PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

Transkrypt

1 Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym. Zbór wartośc dla teresującej badacza cechy (lub cech) u wszystkch jedostek populacj fzyczej tworzy tzw. populację geeralą. Jeżel zbór elemetów populacj geeralej jest skończoy, to będzemy ją określać jako populację skończoą. Przykładem może być p. zbór drzew wś w pewym sadze, zbór wyprodukowaych produktów daego da. W przypadku, gdy zbór elemetów populacj jest eskończoy, to populację określamy jako eskończoą. Przykładem ech będze zbór oce ogólych WIII/ PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

2 (kosumeckch) pewego produktu (p. kompotu z wś). W populacj mogą as teresować cechy loścowe, które będzemy azywać merzalym jak cechy jakoścowe, czyl emerzale. Formale, populację geeralą będzemy traktować jako zbór ezależych realzacj pewej zmeej losowej jedo lub welowymarowej (wele cech badaych jedocześe). Celem badaa statystyczego może być pozae rozkładu daej cechy jak oszacowae charakterystyk tego rozkładu. Jeżel zmea losowa X jest modelem probablstyczym dla pewej cechy w populacj geeralej (p. rozkład N(7,00) dla wzrostu dorosłego Polaka), to rozkład prawdopodobeństwa zmeej modelowej opsuje rozkład częstośc występowaa różych wartośc tej cechy WIII/ PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

3 (prawdopodobeństwo P(60<X<90) opsuje prawdopodobeństwo wzrostu mędzy 60 a 90cm), a parametry rozkładu tej zmeej (m7, σ00) są jedocześe parametram populacj. Badae statystycze może być badaem pełym - jeżel obejmuje wszystke elemety populacj geeralej; częścowym - jeżel ograczoe jest do pewej częśc populacj geeralej. Tę część populacj geeralej, a której wykoywae jest badae statystycze azywamy populacją próbą lub próbą. Statystyka matematycza zajmuje sę tylko badaam częścowym, przy czym muszą być jeszcze spełoe określoe waruk doboru próby. Podstawowym warukem, jak mus być spełoy w badaach częścowych jest losowy dobór próby. Tak otrzymaą próbę azywamy próbą losową. WIII/3 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

4 Populacja Wosk o populacj Próba Aalza, Wosk z próby Próba prosta (prosta próba losowa) Jeżel elemety próby zostały pobrae w tak sposób, aby: każdy elemet populacj geeralej mał tę samą szasę zalezea sę w próbe, losowae elemetów próby było ezależe, WIII/4 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

5 próba była dostatecze lcza, to możemy oczekwać, że prawdłowośc występujące w populacj zajdą swoje odbce w próbe (jeśl tak jest, to taką próbę azywamy próbą reprezetatywą). Jak wcześej powedzelśmy, próba ma dostarczyć formacj o aalzowaej zmeej w populacj, mędzy ym a podstawe elemetów próby będzemy szacować (oceać, estymować) ezae parametry populacj. Przykład: Fabryka produkuje kubeczk jogurtu (ok. 00g). Populacją są produkowae kubeczk jogurtu w daym roku, a cechą może być masa etto. Aby próba była próbą prostą, ależy tak ustalć sposób losowaa, aby: każdy wyprodukoway kubeczek mał jedakową szasę ależeć do próby (te produkowae w styczu te w grudu, produkowae rao po połudu,...), WIII/5 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

6 pobrae do próby było ezależe (poberamy kubeczek do próby ezależe od tego, czy dzsaj pobralśmy już,5 czy 0 kubeczków) poberzemy wystarczającą ch lość (p 50 przy określeu masy, albo 00 dla określea odchylea stadardowego) Przykłady ych metod doboru próby ż próba prosta Próba celowa (dobór eksperck) dobór eprobablstyczy. Staramy sę wybrać jedostk tak, aby próba była reprezetatywa. Stosowae gdy mamy dość dobre formacje o obektach a możlwe jest przebadae tylko małej ch lczby. Próba warstwowa obekty dzeloe są a grupy. Z każdej grupy osobo obekty losowae są jak w próbe prostej. Lczebość prób pobraych z grup e mus być proporcjoala do proporcj tych grup (p. badamy 00 osób palących 00 WIII/6 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

7 WIII/7 epalących). Wększa efektywość badań ż próba prosta. Stosowaa p. przez GUS. Nech cecha (zmea losowa) X ma pewe rozkład ormaly X N(m, σ ), oraz ech x (,,..., ) ozacza -elemetową próbę losową z populacj eskończoej. Oceam ebcążoym średej waracj w populacj geeralej są odpowedo: średa z próby: x x m ˆ waracja odchylee stadardowe: x x x x s ) ( ) ( σˆ ˆ s s σ PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

8 Te wartośc wyzaczae a podstawe próby są ajbardzej prawdopodobym wartoścam odpowedch parametrów populacj. Średa arytmetycza, stosowaa bardzo często, jest wskazaa wtedy, gdy sumowae wyków ma ses. Jeśl e, moża posłużyć sę średą geometryczą (p. gdy otujemy koleje zmay procetowe pewej welkośc) lub harmoczą (poszukujemy średego współczyka/lorazu, p. gdy uśredamy prędkość przejazdu daego odcka). Kolejy wskaźk z grupy parametrów zmeośc to współczyk zmeośc v: v x s 00% Wyraża zmeość cechy w stosuku do jej wartośc średej. Jest jedostką emaowaą, węc może służyć do porówaa zmeośc cech wyrażaych w WIII/8 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

9 różych jedostkach (p. zmeość masy w kg zmeość wysokośc w cm). Medaa w próbe (m e ) jest wartoścą środkową lub średą dwu wartośc środkowych spośród uporządkowaych obserwacj. (tyle samo obserwacj powyżej co pożej meday) Powyższe charakterystyk to podstawowe parametry próby wykorzystywae w praktyce. Wartość średa medaa są maram położea, a waracja, odchylee stadardowe współczyk zmeośc maram rozproszea badaej właścwośc. Dla kokretych prób tej samej (badaej) populacj określoe parametry przyjmują eco róże wartośc. Estymatorom ezaych parametrów populacj stawamy wele wymogów, które WIII/9 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

10 mają zapewć dobre oszacowae ezaych charakterystyk. Mędzy ym oczekujemy by estymator był eobcążoy, czyl przecęte trafe oceał ezay parametr populacyjy (e może średo zawyżać. e może średo zażać). Oczekujemy też by estymator był efektywy, to zaczy charakteryzował sę małą waracją (dość dokłade przyblżał wartość parametru populacyjego). Średa z próby x jest ajefektywejszym eobcążoym estymatorem wartośc oczekwaej m rozkładu Normalego. WIII/0 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

11 Przykład Badao plo pewej odmay pszecy-x, pobrao małą próbę prostą, 5, x : 35, 37, 40, 38, 40 Wartość średa jest rówa m ˆ x 38 5 Medaa ma wartość 38. Waracja, odchylee stadardowe współczyk zmeośc w próbe, lczoe według podaych formuł, są rówe: σˆ s 8 5 4,5 σˆ s 4,5, V 5,58 % WIII/ PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

12 Dla lczej próby kostruujemy szereg rozdzelczy zestawee wskazujące a rozkład wartośc w próbe (być może w populacj), a przykład: Przykład:Badając czas obsług przy kase sklepowej 00 losowo wybraych kletów uzyskao astępujące wyk (w sekudach): X czas obsług przy kase X<0 5 0<X< <X< <X< <X<00 00<X<0 3 X>0 3 WIII/ PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

13 Wyk moża przedstawć grafcze w postac hstogramu. Hstogram for Czas frequecy Czas Parametry próby dużej, sklasyfkowaej w powyższy sposób, moża polczyć jak dla próby prostej lub według formuł dla szeregu rozdzelczego. WIII/3 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

14 x s x & N 99 ( x& x) N N 7 x& 803 S ( 8,3 x& N ) Tabelkę z szeregem rozdzelczym rozszerzoo o odpowede kolumy.... X x *x x *x X< <X< <X< <X< <X< <X< X> suma WIII/4 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso

15 Kostrukcja szeregu rozdzelczego. Grace przedzałów w szeregu rozdzelczym powy być okrągłe lczba przedzałów powa być w okolcy 5log(N) lub +3,3log(N) W omawaym przypadku grace przedzałów były rówe (0,40,..., 0) lczba przedzałów (7) była w okolcy wartośc 0 lub 7,6 Dla szeregu rozdzelczego moża określć róweż fukcję dystrybuaty empryczej. WIII/5 PDF created wth FePrt pdffactory Pro tral verso