MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw"

Transkrypt

1 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 86 Analza dyskrymnacyjna regresja logstyczna w procese oceny zdolnośc kredytowej przedsęborstw Robert Jagełło Warszawa, 0 r.

2 Wstęp Robert Jagełło Narodowy Bank Polsk. Składam serdeczne podzękowana dr. hab. prof. Unwersytetu Ekonomcznego w Krakowe Mateuszow Ppenow za cenne wskazówk, komentarze sugeste, które pozwolły nadać pracy jej ostateczny kształt. Dzękuję równeż dr. Łukaszow Kozłowskemu za pomocne uwag metodologczne podczas psana nnejszego opracowana. Projekt badawczy został zrealzowany w ramach konkursu Komtetu Badań Ekonomcznych NBP na projekty badawcze przeznaczone do realzacj przez pracownków NBP osoby spoza NBP oraz sfnansowany ze środków Narodowego Banku Polskego. Projekt grafczny: Olwka s.c. Skład druk: Drukarna NBP Wydał: Narodowy Bank Polsk Departament Edukacj Wydawnctw Warszawa, ul. Śwętokrzyska / tel. 6, fax 6 Copyrght Naro dowy Bank Polsk, 0 ISSN Materały Studa są rozprowadzane bezpłatne Dostępne są równeż na strone nternetowej NBP: N a r o d o w y B a n k P o l s k

3 Sps treśc Sps treśc: Streszczene... Wstęp.... Model dyskrymnacyjny Sformułowane celu modelu Przygotowane materału statystycznego (dobór przedsęborstw) Budowa modelu dyskrymnacyjnego Istota modelu analzy dyskrymnacyjnej Optymalna reguła klasyfkacj Kanonczna funkcj dyskrymnacyjna Dobór zmennych przy budowe kanoncznej funkcj dyskrymnacyjnej7.. Weryfkacja sły dyskrymnacyjnej modelu.... Model regresj logstycznej..... Istota modelu regresj logstycznej..... Budowa modelu regresj logstycznej..... Dobór zmennych do modelu regresj logstycznej Weryfkacja modelu regresj logstycznej Badana nad ryzykem kredytowym przedsęborstw w Polsce przy wykorzystanu analzy dyskrymnacyjnej..... Model E.Mączyńskej..... Model M.Pogodzńskej S.Sojaka..... Modele J.Gajdk T.Stosa..... Modele D.Hadask Model A.Hołdy Model D.Werzby Model S. Sojaka J.Stawckego Modele B.Prusaka Modele INE PAN (E.Mączyńskej, M.Zawadzkego) Model poznańsk.... Badana nad ryzykem kredytowym przedsęborstw w Polsce przy wykorzystanu regresj logstycznej..... Modele M.Gruszczyńskego..... Modele P. Stępna T.Strąka Modele D.Wędzkego Modele dyskrymnacyjne dla małych średnch przedsęborstw w Polsce Model dyskrymnacyjny dla małych średnch przedsęborstw z sektora Przemysł Model dyskrymnacyjny dla małych średnch przedsęborstw z sektora Budownctwo Model dyskrymnacyjny dla małych średnch przedsęborstw z sektora Handel Model dyskrymnacyjny dla małych średnch przedsęborstw z sektora Transport Model dyskrymnacyjny dla małych średnch przedsęborstw z sektora Usług MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

4 Sps treśc 6. Modele regresj logstycznej dla małych średnch przedsęborstw w Polsce Model regresj logstycznej dla sektora Przemysł Model regresj logstycznej dla sektora Budownctwo Model regresj logstycznej dla sektora Handel Model regresj logstycznej dla sektora Transport Model regresj logstycznej dla sektora Usług Zakończene Załącznk Załącznk. Wartośc wskaźnków fnansowych próby przedsęborstw z sektora Przemysł Załącznk. Wartośc wskaźnków fnansowych próby przedsęborstw z sektora Budownctwo Załącznk. Wartośc wskaźnków fnansowych próby przedsęborstw z sektora Handel Załącznk. Wartośc wskaźnków fnansowych próby przedsęborstw z sektora Transport Załącznk. Wartośc wskaźnków fnansowych próby przedsęborstw z sektora Usług... 0 Bblografa:... Sps tabel:... 6 Sps wykresów: Sps załącznków: N a r o d o w y B a n k P o l s k

5 Streszczene Streszczene Opracowane podejmuje problematykę szacowana zdolnośc kredytowej małych średnch przedsęborstw w Polsce przy zastosowanu dwóch metod: analzy dyskrymnacyjnej regresj logstycznej. Zaprezentowano w nm dotychczasowe badana nad wykorzystanem analzy dyskrymnacyjnej regresj logstycznej w ocene ryzyka kredytowego przedsęborstw w Polsce oraz przeprowadzono własne badana nad zastosowanem tych metod do szacowana ryzyka kredytowego małych średnch przedsęborstw. Na podstawe próby 00 podmotów oszacowano odrębne funkcje dyskrymnacyjne logtowe dla pęcu sektorów gospodark polskej: przemysłu, budownctwa, handlu, transportu usług. Zaprezentowane w opracowanu modele pozwalają na obektywną ocenę ryzyka kredytowego przedsęborstw, a wynk uzyskane przy ch pomocy mogą służyć jako narzędza wspomagające podejmowane decyzj kredytowych. Wynk przeprowadzonego w opracowanu badana wykazały, że na zdolność kredytową poszczególnych sektorów wpływają różne wskaźnk różne jest ch oddzaływane na wartośc funkcj dyskrymnacyjnych logtowych. Przeprowadzając zatem ocenę ryzyka kredytowego małych średnch podmotów w Polsce, ne pownno sę ch traktować w sposób unwersalny homogenczny, lecz wskazane jest podejśce zróżncowane uwzględnające sektor gospodark w jakm dany podmot funkcjonuje. Słowa kluczowe: analza danych, analza dyskrymnacyjna, regresja logstyczna, ryzyko kredytowe, małe średne przedsęborstwa JEL: C0, C, G, G MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

6 Wstęp Wstęp Powszechne stosowane przez bank komercyjne metody oceny ryzyka kredytowego to metody punktowe wykorzystujące w analze zarówno czynnk loścowe (merzalne) jak jakoścowe (nemerzalne). Współczesna praktyka bankowa operając sę na coraz wększym dośwadczenu oraz coraz szerszych bogatszych bazach danych wykazuje tendencję do tworzena model kredytowych pozwalających szacować ryzyko przede wszystkm na podstawe czynnków loścowych. Iloścowe metody oceny ryzyka kredytowego są tworzone w oparcu o statystyczny pomar prawdopodobeństwa nespłacena zobowązań kredytowych. Na funkcjonowane tego systemu składają sę dwa elementy: dane modele. Dane mogą meć postać nformacj ze sprawozdań fnansowych, cen rynkowych akcj lub długu, wskaźnków makroekonomcznych charakteryzujących aktualną lub prognozowaną sytuację gospodark konunktury w sektorze. Nowoczesne modele ryzyka kredytowego pozwalają przekształcć dane na nformacje o skal zakrese zagrożeń dla zaangażowana kredytowego banku. Szczególne stotne jest dentyfkowane ryzyka jego pomar mające doprowadzć do mnmalzacj zagrożena nespłacena zobowązań podejmowane odpowednch środków zaradczych. Skutecznych narzędz do kontrolowana kondycj przedsęborstw dostarcza analza fnansowa. Odpowedno przeprowadzone badane może wskazać potencjalne zagrożena, jednak ne zawsze daje jednoznaczne odpowedz odnośne ryzyka wystąpena newypłacalnośc, natomast zazwyczaj jest czasochłonne często wymaga od pracownka podejmowana subektywnych decyzj opartych ne na wedzy ale na ntucj. Potencjalnym rozwązanem problemu skutecznośc oceny ryzyka kredytowego jest zastosowane metod statystycznych, które pozwalają konstruować modele obektywne, łatwe szybke w zastosowanu, oparte na czynnkach merzalnych co najstotnejsze skuteczne. Obektywność skuteczność model wynka z zastosowanych kryterów z tego, że modele oparte są na analze danych statystycznych. Tendencja do wykorzystywana wedzy z dzedzny statystyk ekonometr przejawa sę w trakce budowana systemów wczesnego ostrzegana, które ułatwają N a r o d o w y B a n k P o l s k

7 Wstęp weryfkację wnosków kredytowych odrzucene potencjalnych newarygodnych kredytoborców. Tak zaprojektowane systemy łączą w sobe technk statystyczne z tradycyjną analzą wskaźnkową, wychodząc z założena, ż umejętna ocena sprawozdań fnansowych stanowć pownna podstawę dla oceny zdolnośc kredytowej przy danej transakcj. Wskaźnk fnansowe, odpowedno wprzęgnęte do modelu statystycznego, odzwercedlają bowem te trudnośc przedsęborstw, które ostateczne prowadzć mogą do bankructwa. Zalczyć tu należy przede wszystkm problemy zwązane z zagrożenem utraty płynnośc fnansowej, ponesena strat w dzałalnośc beżącej, czy też utratą możlwośc beżącego fnansowana sę na rynku. W trakce tworzena wspomnanych typów tradycyjnych model loścowych dane pochodzące ze sprawozdań fnansowych frm wykorzystywane są zwykle jako zmenne nezależne, które warunkują wartość neobserwowalnej bezpośredno zmennej zależnej, określającej sytuację ekonomczno-fnansową frmy, a tym samym jej zdolność kredytową. Take ujęce problemu możlwe jest dzęk uwzględnenu hpotezy badawczej zakładającej stnene ukrytego wymaru objawającego sę jedyne swym obserwowalnym symptomam. Wartośc ukrytej cechy, wyznaczone za pomocą model statystycznych, pozwalają bądź to zaklasyfkować dane przedsęborstwo do odpowednej grupy nskego lub wysokego ryzyka, bądź to oszacować prawdopodobeństwo jego upadłośc. Reguła klasyfkująca budowana jest w oparcu o hstoryczne bazy danych, opsujące te przedsęborstwa, o których wemy, ż w określonym przedzale czasu okazały sę warygodnym bądź newarygodnym kredytoborcam. Dzęk takej regule bank uzyskuje możlwość zarządzana ryzykem kredytowym ne tylko poprzez odrzucane wnosków nowych newarygodnych podmotów, ale także przez udzelane m kredytu za odpowedną opłatą, wynkającą z wartośc wylczonego prawdopodobeństwa ch upadłośc. Tradycyjne modele loścowe oceny zdolnośc kredytowej po raz perwszy pojawły sę w praktyce już w latach 0-tych weku, a za ch prekursora uważać należy P.J.Frtz Patrcka, który jednakże w swoch analzach uwzględnał jedyne dwa MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

8 Wstęp wskaźnk fnansowe. Prace na szerszą skalę nad zastosowanem statystyk ekonometr w tej dzedzne rozpoczęły sę natomast w latach 60-tych weku, a prowadzone były mędzy nnym przez W.H.Beavera E.I.Altmana, który był prekursorem w wykorzystanu analzy dyskrymnacyjnej do badana ryzyka upadłośc przedsęborstw. Wraz z begem czasu wykorzystane metod loścowych stawało sę coraz bardzej popularne, główne dzęk możlwoścom posłużena sę komputeram do oblczeń na welu zmennych. Pojawały sę także nowe koncepcje oceny ryzyka, wykorzystujące odmenne technk statystyczne. Warto zauważyć, ż technk te nejednokrotne ne są konkurencyjne wobec sebe, ale wzajemne sę uzupełnają, pozwalając badaczow precyzyjnej określć skalę zagrożena, z jakm spotyka sę bank przy kredytowanu. Do systemów wczesnego ostrzegana, które wykorzystywane być mogą w połączenu ze sobą zalczyć możemy lnową analzę dyskrymnacyjną oraz regresję logstyczną. Celem nnejszego opracowana jest konstrukcja funkcj dyskrymnacyjnych oraz regresj logstycznej dla sektora MSP w Polsce w oparcu o sprawozdawczość fnansową 00 małych średnch przedsęborstw funkcjonujących w pęcu sektorach gospodark: - przemyśle, - handlu, - budownctwe, - transporce, - usługach. P.Szczepankowsk Ocena ryzyka dzałalnośc przedsęborstw na podstawe sprawozdań fnansowych (Metodologa amerykańska, Un Europejskej polska), Wyższa Szkoła Przedsęborczośc Zarządzana m. Leona Koźmńskego, artykuł dostępny na nformacja zaczerpnęta 8 maja 00 r. W.H Beaver, Fnancal Ratos and Predctors of Falure. Emprcal Research n accountng Selected Studes, dodatek do Journal of Accountng Research, 996 r. s. 77-, E.I.Altman, Fnancal Ratos, Dscrmnant Analyss and the Predcton of Corporate Bankruptcy, Journal of Fnance, September, 968 r, s N a r o d o w y B a n k P o l s k

9 Model dyskrymnacyjny. Model dyskrymnacyjny Model dyskrymnacyjny powstaje w wynku przeprowadzena szeregu czynnośc. Poneważ jest on modelem statystycznym, czynnośc te mają charakter sformalzowany. Należy je wykonać w następujących etapach: - sformułowane celu modelu, - przygotowane materału statystycznego (dobór przedsęborstw), - budowa modelu dyskrymnacyjnego, - weryfkacja modelu. Przejśce przez te etapy jest nezbędne, aby móc wnoskować na podstawe modelu dyskrymnacyjnego. Najwęcej pracy pochłana etap drug. Rozłożono go węc na dwe częśc: dobór frm oraz dobór zmennych objaśnających... Sformułowane celu modelu Instytucje kredytowe wykorzystują analzę dyskrymnacyjną w modelowanu ryzyka kredytowego, a w szczególnośc ryzyka upadłośc kredytoborcy. W obszarze prognozowana upadłośc analza dyskrymnacyjna znajduje najszersze zastosowane. W zwązku z tym celem modelu jest pomar ryzyka wystąpena newypłacalnośc przedsęborstw sektora małych średnch przedsęborstw (MŚP) poprzez rozdzelene populacj przedsęborstw na dwe grupy, z których jedna będze oznaczać frmy, które z wysokm prawdopodobeństwem będą wypłacalne (należnośc wobec nch zostaną sklasyfkowane przez bank jako należnośc w sytuacj normalnej bądź pod obserwacją), a druga będze grupować frmy, które będą meć (z wysokm prawdopodobeństwem) problemy z wypłacalnoścą (należnośc wobec nch zostaną zaklasyfkowane jako należnośc zagrożone, czyl ponżej standardu, wątplwe stracone). Cel modelu różn sę od klasycznych model dyskrymnacyjnych, które zazwyczaj przyjmują podzał podmotów na przedsęborstwa wypłacalne upadłe. W nnejszym opracowanu przedsęborstwa złe będą traktowane nawet wówczas gdy są wypłacalne ale ch sytuacja fnansowa może stanowć zagrożene termnowej spłaty kredytu. 7 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86 7

10 Model dyskrymnacyjny Defnując powyższy cel modelu, należy dokonać następujących założeń: dwe grupy przedsęborstw są rozłączne, stneją cechy pozwalające odróżnć obekty jednej grupy od obektów drugej, cecham tym są wskaźnk fnansowe. W powyższych założenach tych tkw stota analzy dyskrymnacyjnej. Odstępstwo od jednego z założeń automatyczne osłab dokładność prognozy. Oznaczają one, że już w dnu sporządzana prognozy przedsęborstwa dobre stotne różną sę od złych, a tym co je odróżna są wartośc wskaźnków fnansowych.. Model dyskrymnacyjny wykorzystując właścwośc prognostyczne wskaźnków fnansowych pozwol stwerdzć, czy przedsęborstwo przetrwa następne lata. Atutem metody welokryteralnej jest stworzene kombnacj lnowej wskaźnków, która najlepej rozdzel populację przedsęborstw na dwe grupy. Znka węc problem sprzecznośc sygnałów płynących z tradycyjnej analzy fnansowej. Dopasowane funkcj odbywa sę metodą statystyczną, a zatem ważna staje sę kwesta odpowednego doboru materału statystycznego... Przygotowane materału statystycznego (dobór przedsęborstw) Aby wnoskowane statystyczne ne było obarczone stotnym dużym błędam, należy zadbać o dostateczną lczebność próby. Do oszacowana model dla pęcu sektorów gospodark dobrano po czterdześc podmotów, wobec których bank w Polsce posadały należnośc sklasyfkowane jako neregularne (wg stanu na grudna 009 r.). Do nch dobrano po czterdześc podmotów funkcjonujących w tym samym sektorze, wobec których należnośc były traktowane jako normalne (wg stanu na grudna 009 r.), tak aby zapewnć proporcję pół na pół. Łączne przeanalzowano 00 przedsęborstw sektora małych średnch przedsęborstw, W.H Beaver, Fnancal Ratos and Predctors of Falure. Emprcal Research n accoutng op. ct, s. 77-, M. Gruszczyńsk, Modele prognozy zmennych jakoścowych w fnansach bankowośc, SGH, Warszawa 00 r., s N a r o d o w y B a n k P o l s k

11 Model dyskrymnacyjny dodatkowo wobec których należnośc były sklasyfkowane jako normalne w dnu grudna 008 r... Budowa modelu dyskrymnacyjnego... Istota modelu analzy dyskrymnacyjnej Przy budowe dyskrymnacyjnego modelu oceny ryzyka kredytowego reprezentująca populację próba n obektów (przedsęborstw) podzelona zostaje na k = klasy, które oznaczymy symbolam k oraz k. Klasy te obejmują odpowedno przedsęborstwa, które okazały sę warygodnym newarygodnym kredytoborcam. Każdy obekt, nezależne od przynależnośc do klasy, scharakteryzowany jest za pomocą wektora p cech (wskaźnków fnansowych) x x x,..., x, T p. Nasze zadane polega na zbudowanu lnowej funkcj, która pomoże nam zaszeregować obekt do jednej z dwóch klas (przypsywać mu wartość cechy K) na podstawe znanych wartośc x, x,..., x cech,,..., p. Jego rozwązanem stane sę funkcja przyjmująca następującą postać: Y... 0 p p. () gdze: Y - zmenna dyskrymnacyjna, której wartość pozwala zaszeregować obekt do jednej z dwóch klas k oraz k ; - współczynnk funkcj dyskrymnacyjnej; p lczba zmennych nezależnych (wskaźnków fnansowych) przyjętych do analzy. Algorytm klasyfkacyjny odnosć sę będze w perwszym rzędze do próby obektów, na podstawe której zostane on stworzony. Nemnej jednak, w przypadku gdy próba stanowć będze reprezentację całej populacj obektów, możlwe stane sę także zaszeregowane (predykcja przynależnośc) tych jednostek, których klasy jeszcze ne znamy (czyl przedsęborstw, które dopero składają wnosk kredytowe). Procedurę tę można nazwać dyskrymnacją. Zauważmy, ż każdy obekt określany jest przez wektor losowy Z, K dystrybuantę oznaczymy symbolem x, k) P x, K k brzegowe zostają wówczas określone następująco 6 : F Z, którego (. Rozkłady 6 W.Ostasewcz, Statystyczne metody analzy danych, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej we Wrocławu, Wrocław 998 r., s.-. 9 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86 9

12 Model dyskrymnacyjny p P K k ), =, () ( F x) p F ( x) p F ( ) () ( x gdze F ( ) F ( ) są rozkładam warunkowym cech,,..., p w klasach k k : x x F ( x) P( x K k ). () Zamast dystrybuant F F nekedy wygodnej posługwać sę odpowednm funkcjam gęstośc tych rozkładów: f f, czyl: f ( x) f ( x K k ), =,. () Możemy węc stwerdzć, ż problem klasyfkacj określany przez rodzny rozkładów () oraz () polega na tym, aby na podstawe zadanego wektora x T p x x, x,..., określć prawdopodobeństwo P( K k x), a tym samym zaszeregować dany obekt do odpowednej klasy.... Optymalna reguła klasyfkacj Regułę przydzału obektów do jednej z dwóch klas buduje sę przy wykorzystanu tzw. funkcj ryzyka błędnej klasyfkacj, które określają oczekwaną stratę w przypadku zaszeregowana danego obektu do określonej klasy. Przyjmując, że L j oznacza stratę z powodu zaklasyfkowana obektu z klasy k do klasy k j, otrzymujemy dwe funkcje ryzyka: x L PK k x L PK k x x L PK k x L PK k x R, (6) R. (7) Obekt należy ostateczne zaklasyfkować do tej klasy, dla której wartość funkcj ryzyka jest nższa. Jak łatwo jednak zauważyć funkcje ryzyka w postac (6) oraz (7) ne mogą być wykorzystywane w praktyce, ze względu na neznajomość prawdopodobeństw P( K k x). Dlatego też do ch przekształcena wykorzystuje sę wzór Bayesa, zgodne z którym: 0 0 N a r o d o w y B a n k P o l s k

13 Model dyskrymnacyjny f ( x K k ) P( K k ) P( K k x). (8) f x K k P( K k ) f x K k P( K ) k Po uwzględnenu formuł (8), () oraz () funkcje ryzyka przyjmują następującą postać: R ( x) L f ( x) p f ( x) p, (9) L f ( x) p f ( x) p R ( x) L f ( x) p f ( x) p. (0) L f ( x) p f ( x) p Jak już stwerdzlśmy, obekt należy zalczyć do klasy k wówczas, gdy R x) R ( ), co po przyjęcu założena, ż Lj L oraz po uwzględnenu formuł ( x (9) (0) prowadz do następującej nerównośc: f( x) f ( x) ( L ( L L L ) p ) p. () Lewą stronę nerównośc (), uzależnoną od wartośc x, nazywa sę lorazem warygodnośc oznacza symbolem. Prawą stronę, która jest welkoścą stałą, nazywa sę natomast progem, oznaczając ją symbolem t 7. Podsumowując możemy stwerdzć, ż reguła klasyfkacj brzm: jeżel dla zadanego x wartość lorazu warygodnośc jest wększa od wartośc progowej t, to obekt o charakterystykach x zalczyć należy do klasy k, a w przecwnym wypadku do klasy k. Prawdłowa klasyfkacja ne jest oczywśce możlwa bez dokładnego określena funkcj gęstośc rozkładów warunkowych f f, dlatego też przyjmuje sę, ż welowymarowa zmenna losowa,,..., ) opsująca obekty ma ( p p-wymarowy rozkład normalny o różnych wektorach wartośc oczekwanej w każdej grupe jednakowych macerzach kowarancj w obu grupach. Prowadz to do następujących funkcj gęstośc: T f ( x) exp x x n / det, () 7 Ibdem, s.. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

14 Model dyskrymnacyjny gdze: jest p-wymarowym wektorem wartośc oczekwanych zmennej losowej w klase -tej, zaś Σ jest macerzą kowarancj zmennej losowej (jednakową w obu klasach). Podstawając równana () do wzoru (), po klku przekształcenach uzyskujemy: Y T T x 0 ln L L p L L p. () Otrzymalśmy w ten sposób regułę klasyfkacyjną bazującą na funkcj Y, 0 F0 T której składnk F x 0 określa sę manem lnowej funkcj dyskrymnacyjnej Fshera. 8. Zgodne z regułą tą obekt należy przyporządkować do klasy k wówczas, gdy wartość funkcj Y 0 jest wększa od logarytmu naturalnego wartośc progowej t.... Kanonczna funkcj dyskrymnacyjna Zaprezentowana w poprzednm podrozdzale metoda wyznaczana lnowej funkcj dyskrymnacyjnej ne jest jedyną możlwą. W praktyce dość często spotkać sę można z wykorzystywanem procedury prowadzącej do tzw. kanoncznych funkcj dyskrymnacyjnych, której cechy charakterystyczne zostaną omówone ponżej. Tak jak w poprzednm przypadku, tak tym razem celem badacza staje sę wyznaczene lnowej funkcj dyskrymnacj, która na podstawe cech obektu pozwol nam zaszeregować go do jednej z dwóch grup. Kanonczna funkcja dyskrymnacyjna w swojej perwotnej postac pozbawona jest wyrazu wolnego. Nazywana jest wówczas standaryzowaną funkcją dyskrymnacyjną, a defnowana jest przez następującą formułę: Y... p p. () Funkcję dyskrymnacj wyznacza sę w tak sposób, aby maksymalzować loraz zróżncowana jej wartośc pomędzy obektam z różnych klas względem zróżncowana jej wartośc pomędzy obektam z tych samych klas. Warunek 8 Ibdem, s.6. N a r o d o w y B a n k P o l s k

15 Model dyskrymnacyjny optymalzacyjny, będący podstawą do oszacowana współczynnków funkcj dyskrymnacyjnej przyjmuje węc postać 9 : q q G R k k n j ( ) j ( ) y y n /( n k) max ( ) y y /( n k),,..., p, () gdze: q G - zmenność mędzygrupowa wartośc funkcj dyskrymnacyjnej; qr - zmenność wewnątrzgrupowa wartośc funkcj dyskrymnacyjnej; () y j -wartość funkcj dyskrymnacyjnej dla j-tej jednostk w -tej grupe; () y - wartość średna funkcj dyskrymnacyjnej dla jednostek z -tej grupy; y - wartość średna funkcj dyskrymnacyjnej dla wszystkch jednostek objętych badanem; k lczba grup; n - lczba jednostek w -tej grupe; n lczba jednostek objętych badanem. Przed przystąpenem do wyznaczena współczynnków funkcj dyskrymnacyjnej koneczne jest oszacowane macerzy B warancj mędzygrupowych oraz macerzy W warancj wewnątrzgrupowych, które otrzymujemy zgodne ze wzoram 0 : gdze: W B k ( ) T ( ) x x x x n k n k n ( ) ( ) T ( ) ( ) x j x x j x j n k,, (6) (7) () x - wektor średnch wartośc zmennych nezależnych w -tej grupe; x - ogólny wektor średnch wartośc zmennych nezależnych; cech dla j-tego obektu w -tej grupe. () x j - wektor wartośc Wektory współczynnków dla poszczególnych funkcj dyskrymnacyjnych wyznacza sę natomast jako rozwązane równana : ( ) W a 0 B, (8) 9 M.Rószkewcz, Narzędza statystyczne w analzach marketngowych, Wydawnctwo C.H.Beck, Warszawa 00 r., s W.Ostasewcz Statystyczne metody analzy danych, op.ct., s.-. T.Grabńsk, Metody taksonometr, Akadema Ekonomczna w Krakowe, Kraków 99 r., s.7. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

16 Model dyskrymnacyjny gdze: () ( ) ( ) ( ) ( ) a - wektor oszacowań współczynnków T 0,,..., p -tej funkcj dyskrymnacyjnej; - neujemne perwastk równana wyznacznkowego: det W 0 Malejąco uporządkowane współczynnk B. (9) są wzajemne różne różne od zera. Interpretuje sę je jako mary dyskrymnacyjne, odpowadające poszczególnym funkcjom dyskrymnacyjnym nformujące jak slne różncują one grupy. W zwązku z tym przy dwóch klasach do wyznaczena funkcj dyskrymnacyjnej należy wybrać najwększy ze współczynnków na jego podstawe oszacować wektor oszacowań współczynnków,..., T, p przy użycu formuły (8). Poneważ rozwązanem równana (8) jest w zasadze ne pojedynczy wektor, ale jednowymarowa przestrzeń lnowa, często wybera sę za ostateczny wynk analzy ten z wektorów tej przestrzen, dla którego spełnony jest warunek: q. (0) R Rozwązane problemu dyskrymnacyjnego przy pomocy równana (8) prowadz do funkcj przyjmującej postać (), a węc pozbawonej wyrazu wolnego. Funkcja ta jest tzw. standaryzowaną funkcją dyskrymnacyjną, poneważ zmenne nezależne występują w nej w postac standaryzowanej. Aby umożlwć wprowadzane do funkcj dyskrymnacyjnych zmennych nezależnych (cech obektów) w ch perwotnej, nestandaryzowanej forme, należy przekształcć wartośc uzyskane z formuły (8) zbudować funkcję o postac: Y... przy czym oszacowana b współczynnków gdze s jest warancją zmennej. 0 p p, () a funkcj wyznacza sę z zależnośc : b, =,,..., p, () s Składową stałą 0 funkcj nestandaryzowanej estymujemy jako b 0 według formuły: Ibdem, s.9. N a r o d o w y B a n k P o l s k

17 Model dyskrymnacyjny p b0 b x. () Zarówno standaryzowana jak nestandaryzowana wersja funkcj dyskrymnacyjnej znajdują swoje zastosowane w praktyce. Perwsza z nch służy przede wszystkm do określena sły kerunku oddzaływana poszczególnych zmennych nezależnych na zmenną klasyfkującą. Współczynnk tej funkcj są porównywalne, a co za tym dze, pozwalają uszeregować poszczególne zmenne nezależne odnośne stopna ch wpływu na klasyfkację. Im wyższą wartość przyjmuje moduł współczynnka standaryzowanej funkcj dyskrymnacyjnej, tym bardzej dana zmenna rzutuje na przynależność obektu do danej grupy. Podobną nformację uzyskać możemy także dzęk wyznaczenu wpółczynnków korelacj pomędzy zmenną klasyfkującą każdą ze zmennych nezależnych. Drugą, nestandaryzowaną, postać funkcj dyskrymnacyjnej, wygodne jest wykorzystywać do klasyfkacj obektów, z tego względu, ż ne trzeba wprowadzać do nej wartośc zmennych nezależnych po ch wystandaryzowanu. Innym słowy, przy probleme oceny ryzyka kredytowego na podstawe wskaźnków fnansowych, wartośc tych wskaźnków mogą w swej perwotnej postac służyć za wartośc zmennych nezależnych funkcj dyskrymnacyjnej. Dla poprawnej klasyfkacj nezbędna jest znajomość punktu progowego będącego wartoścą zmennej dyskrymnacyjnej Y, rozdzelającą populację obektów na dwe klasy. Punkt progowy określć możemy jako tę wartość y zmennej klasyfkacyjnej Y, dla której równe są sobe prawdopodobeństwa zaszeregowana obektu do każdej z grup: P K k y) P( K k ). () ( y * t, Wyrażene () po wykorzystanu wzoru Bayesa daje sę sprowadzć do następującej postac: f y K k p f y K k p, () gdze lczby p p określone są przez formułę () mogą być szacowane jako frakcje (częstość występowana) poszczególnych klas w populacj lub próbe. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

18 Model dyskrymnacyjny Łatwo dostrzec, że w przypadku, gdy p p są sobe równe, a rozkłady zmennej Y w obu klasach są symetrycznym rozkładam tego samego typu o jednakowej warancj różnych wartoścach oczekwanych, to punkt progowy * t funkcj dyskrymnacyjnej znajduje sę dokładne w połowe odległośc pomędzy wartoścam oczekwanym obu rozkładów. Wyznaczając węc centrody, czyl średne wartośc zmennej dyskrymnacyjnej w obu klasach, za punkt progowy funkcj dyskrymnacyjnej uznać możemy wówczas średną wartość tych centrodów. Jeżel prawdopodobeństwa p p ne są zaś sobe równe, to procedura wyznaczana punktu progowego staje sę neco bardzej rozbudowana. Należy wtedy założyć, ż rozkłady zmennej Y w obu klasach są rozkładam normalnym o jednakowych warancjach (ch oszacowanem jest q R ) różnych wartoścach oczekwanych (ch estymatoram są centrody). Po wprowadzenu do równośc () wzorów funkcj gęstośc jednowymarowego rozkładu normalnego, po klku przekształcenach dochodzmy do postac algorytmu wyznaczana punktu progowego: t * p q ln y, () () R y p () () y y (6) gdze: * t wartość punktu progowego; () () y, y - centrody zmennej Y odpowedno w klase k k ; q R - zmenność wewnątrzgrupowa zmennej Y, będąca składnkem formuły () równa jednośc. Reasumując, poneważ punkt progowy * t dzel przestrzeń lnową na dwa * przedzały ( ; t ) oraz t * ; ), to klasyfkacj obektów do poszczególnych grup dokonujemy zgodne z następującą zasadą: obekt zalczyć należy do klasy odpowadającej przedzałow, do którego należy wartość funkcj dyskrymnacyjnej dla tego obektu. Dodajmy jeszcze, ż przy założenu normalnośc rozkładów zmennej Y w obu klasach, możlwe staje sę także oszacowane prawdopodobeństw przynależnośc obektu do każdej z klas P( K k y) P( K k y). Ponowne pomocny okazuje sę w tym względze wzór Bayesa, zgodne z którym: 6 6 N a r o d o w y B a n k P o l s k

19 Model dyskrymnacyjny P( K f ( y K k ) p k y). (7) f y K k p f y K k p... Dobór zmennych przy budowe kanoncznej funkcj dyskrymnacyjnej W trakce tworzena modelu dyskrymnacyjnego pojawa sę problem, które ze zmennych nezależnych opsujących obekty pownny zostać użyte w modelu. Jak zauważył bowem Erc Falkensten główny problem ze wskaźnkam fnansowym polega na tym, że jest ch za dużo. Jedną z podstawowych metod rozwązana tej kwest jest ocena różnc średnch wartośc cech w poszczególnych klasach wybór do analzy tych zmennych, w przypadku których różnce te są znaczne. Dodatkowym, równe stotnym, kryterum staje sę przy tym także stopeń skorelowana zmennych nezależnych pomędzy sobą m jest on wyższy, tym gorsza jakość modelu. Przy doborze zmennych analtyk staje węc przed zadanem nekedy dość skomplkowanym, zwłaszcza przy dużej lczbe wymarów analzy, gdyż rozpatrywać mus równocześne klka kryterów, ne mając wcale gwarancj, ż decyzja przez nego podjęta doprowadz do modelu o możlwe maksymalnej sle dyskrymnacyjnej stotnych statystyczne wartoścach współczynnków. Przystępując do budowy modelu przyjmuje sę następujące krytera selekcj wskaźnków: a) wysoka zdolność dyskrymnacyjna wskaźnków, b) wskaźnk dobrane do modelu odzwercedlają wszystke obszary analzy fnansowej, c) nska korelacja pomędzy wskaźnkam dobranym do modelu oraz wysoka korelacj pomędzy wskaźnkam dobranym do modelu ne dobranym do modelu. Ponadto ocena dobranych wskaźnków pownna być tym lepsza m wyższy pozom wskaźnka, dzęk czemu model analzy dyskrymnacyjnej będze mał charakter RskCalc TM for Prvate Companes: Moody s Default Model. Ratng Metodology, nformacja zaczerpnęta maja 00 r. 7 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86 7

20 Model dyskrymnacyjny addytywny, co pozwol w dalszej kolejnośc na łatwejszą nterpretację otrzymywanych wynków. Ad a) Konstruując model poszukuje sę zestawu zmennych o jak najwększej pojemnośc nformacyjnej. Postulat ten będze spełnony jeśl średna wartość wskaźnka w populacj podmotów w sytuacj normalnej będze stotne różnć sę od średnej wartośc wskaźnka w populacj podmotów w sytuacj zagrożonej. Ponadto wartość odchylena standardowego wskaźnka w grupe podmotów dobrych pownna być zblżona do wartośc odchylena standardowego w grupe podmotów złych. Dzęk temu osągnęte zostaje kryterum wysokej zdolnośc dyskrymnacyjnej wskaźnka. W celu sprawdzena statystyczne stotnej różncy średnch formułuje sę hpotezę zerową jako równość średnch, wobec hpotezy alternatywnej, ż średne są różne. H H 0 : m : m, k, k m m, k, k gdze: m, k, m, k - średne zmennej odpowedno w klasach k k Jeśl rozkład badanej cechy (zmennej losowej) jest rozkładem normalnym: N(m, ) w perwszej populacj N(m, ) w drugej populacj, przy czym odchylena standardowe tych populacj są neznane ale jednakowe, tj. =, a populacje mają lczebnośc n n testem stotnośc dla tego problemu jest następująca statystyka: gdze: t x x.(8) ( n ) s ( n ) s n n n n x- średna wartość cechy z perwszej populacj, x - średna wartość cechy z drugej populacj, s - warancja cechy z perwszej populacj s - warancja cechy z drugej populacj, n lczebność perwszej populacj, 8 8 N a r o d o w y B a n k P o l s k

21 Model dyskrymnacyjny n - lczebność drugej populacj. Statystyka ta, przy założenu prawdzwośc hpotezy H 0, ma rozkład t-studenta o n + n stopnach swobody. Oblczonej wartośc statystyk t odpowada pewne prawdopodobeństwo p. Jeśl p < to odrzucamy hpotezę zerową przyjmując za prawdzwą hpotezę alternatywną, ż dwe średne ne są sobe równe. Jeśl p > to stwerdzamy, ż ne ma podstaw do odrzucena hpotezy zerowej. Jeśl p = to analtyk podejmuje decyzję co z tym zrobć, odrzucć bądź ne H 0. Przy równych prawdopodobeństwach p p dla bezbłędnego wyznaczena punktu progowego w zasadze wystarczyłaby nformacja, ż rozkłady zmennej dyskrymnacyjnej Y w obu klasach są jednakowym typam rozkładów symetrycznych o tej samej warancj, ale nnych wartoścach oczekwanych. Takej gwarancj ne można byłoby meć wówczas, gdyby rozkłady zmennych nezależnych w poszczególnych klasach posadały różne warancje. Dlatego też za stotne założene analzy dyskrymnacyjnej uznaje sę homogenczność warancj zmennych w obu klasach. Dla pewnośc, ż budowany model analzy dyskrymnacyjnej ne będze prowadzł do błędnych wnosków, dla każdej zmennej zgodne z testem homogencznośc warancj Fshera zweryfkować należy parę hpotez: H H, 0 :, k, k, :, k, k gdze:,k,,k - warancje zmennej odpowedno w klasach k k. Statystyka testowa przyjmuje postać: F n ( n ) s, (9) n ( n ) s gdze: F statystyka testu Fshera; n - lczebność perwszej grupy; n lczebność drugej grupy; s estymator warancj z perwszej grupy; s estymator warancj z drugej grupy. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt

22 Model dyskrymnacyjny Statystyka testowa Fshera ma rozkład F o v = (n ) oraz v = (n -) stopnach swobody. W przypadku, gdy wartość statystyk z próby przewyższa wartość krytyczną (odczytaną z tablc) dla danego pozomu stotnośc (naczej mówąc, gdy pozom prawdopodobeństwa odpowadający wyznaczonej statystyce z próby jest mnejszy od założonego pozomu stotnośc ), to następuje odrzucene hpotezy zerowej na rzecz hpotezy alternatywnej. W sytuacj tej wykorzystane dostępnej zmennej nezależnej do budowy modelu analzy dyskrymnacyjnej można uznać za nezasadne. Należy jednak dodać, ż neznaczne odchylena od homogencznośc są zwykle do zaakceptowana. Ad b) Przy wyborze wskaźnków fnansowych należy dążyć do odzwercedlena wszystkch obszarów dzałalnośc przedsęborstwa. Wskazane jest zatem dobrane po klka wskaźnków z każdej z grup wyodrębnonych w analze fnansowej. Dokonując wyboru wskaźnków, należy kerować sę wedzą z zakresu analzy fnansowej przyjąć do oceny wskaźnk: płynnośc, rentownośc, aktywnośc gospodarczej, struktury fnansowana. Po wstępnej selekcj pownno sę dysponować szerokm zborem wskaźnków obejmujących wszystke aspekty dzałalnośc przedsęborstwa. Ad c) Doberając wskaźnk pownno sę wyberać te, które mają jak najwększy wpływ na badane zjawsko, a przy tym ne są powązane z pozostałym wskaźnkam. W języku statystyk można tę zasadę opsać jako postulat maksymalnej korelacj zmennej objaśnającej ze zmenną objaśnaną oraz mnmalnej korelacj z pozostałym zmennym objaśnającym. Problem ten rozwązuje znalezene współczynnków korelacj Pearsona: r P n ( x x)( y n n ( x x) y) ( y y) (0) gdze: M.Dobosz, Wspomagana komputerowo statystyczna analza wynków badań, Ext, Warszawa, 00 r., s N a r o d o w y B a n k P o l s k

23 Model dyskrymnacyjny r P - współczynnk korelacj Pearsona, x y - zmenne losowe o cągłych rozkładach x,y - wartośc prób losowych tych zmennych ( =,,...,n), x, y - wartośc średne prób losowych zmennych Za jedno z założeń, które wymenane jest w lteraturze przedmotu dość często, uznać należy normalność rozkładów zmennych losowych w poszczególnych klasach. Przy spełnenu tego założena rozkłady zmennej dyskrymnacyjnej Y w obu klasach równeż są rozkładam normalnym o jednakowych warancjach, ale różnych wartoścach oczekwanych. Dzęk temu możlwe staje sę bezproblemowe wyznaczene punktu progowego t * w oparcu o równość (6). Dodajmy jednak, ż naruszene założena o normalnośc rozkładów ne jest jednak zazwyczaj krytyczne, choć oczywśce w wypadku tym ne należy raczej szacować prawdopodobeństw przynależnośc obektów do poszczególnych klas, lecz ogranczyć sę do określena punktu progowego. Wstępne zdefnowany zestaw wskaźnków, które przebadano pod względem przydatnośc do modelu wg wyżej opsanych kryterów wygląda następująco: Tabela. Wstępne zdefnowany zestaw wskaźnków do budowy modelu dyskrymnacyjnego Lp. Nazwa wskaźnka Konstrukcja wskaźnka. Płynność beżąca aktywaobrotowe zobowazana krotkotermnowe. Płynność szybka aktywaobrotowe- zapasy- RMK zobowazana krotkotermnowe. Płynność gotówkowa srodk penezne zobowazana krotkotermnowe. Udzał kaptału obrotowego w aktywaobrotowe- zobowazana krotkotermnowe aktywach aktywaogolem. Marża brutto wynk zesprzedazy brutto koszty dzalalnosc operacyjnej 6. Rentowność operacyjna sprzedaży wynk operacyjny przychody ogolem Ibdem, s.6. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

24 Model dyskrymnacyjny 7. Rentowność operacyjna aktywów 8. Rentowność netto kaptałów własnych 9. Rotacja aktywów 0. Rotacja aktywów obrotowych. Rotacja należnośc. Rotacja zapasów. Udzał kaptału własnego w pasywach (wskaźnk kaptałowy). Pokryce zobowązań krótkotermnowych kaptałem własnym. Pokryce aktywów trwałych kaptałem własnym 6. Udzał nadwyżk fnansowej netto w zobowązanach ogółem Źródło: Opracowane własne wynk operacyjny aktywaogolem wynk netto kaptal wlasny przychody ogolem aktywaogolem przychody ogolem aktywaobrotowe przychody ogolem naleznosc przychody ogolem zapasy kaptal wlasny pasywaogolem kaptal wlasny zobowazana krótkotermnowe kaptal wlasny aktywatrwale wynk netto amortyzacja odsetk zobowazana ogolem.. Weryfkacja sły dyskrymnacyjnej modelu Ocena sły dyskrymnacyjnej samego modelu odbywa sę natomast przy użycu statystyk λ Wlksa, ujętej przez następującą równość 6 : det W, () det B W gdze macerze B oraz W określone zostały przez formuły (6) (7). Wartość współczynnka λ Wlksa meśc sę w zakrese od (brak mocy dyskrymnacyjnej) do 0 (maksymalna moc dyskrymnacyjna). Jeśl wartość tego współczynnka jest wysoka blska jednośc to możemy przypuszczać, ż stneje brak podstaw do klasyfkacj obektów według przyjętej formuły dyskrymnacyjnej. Aby sprawdzć, czy współczynnk Wlksa stotne różn sę od jednośc testujemy parę hpotez: H :, 0 6 B.Guzk, W.Jurek, D.Appenzeler Prognozowane symulacje. Wybrane zagadnena, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej w Poznanu, Poznań 006 r., s.7. N a r o d o w y B a n k P o l s k

25 Model dyskrymnacyjny H :, przy czym statystyka testująca hpotezę zerową ma rozkład ch-kwadrat o v = p stopnach swobody (lczba zmennych nezależnych) dana jest wzorem 7 : k p n ln( ˆ). () gdze: ˆ - wartość współczynnka Wlksa oszacowana na podstawe próby. Jeżel pozom prawdopodobeństwa odpowadający oblczonej statystyce jest nższy od przyjętego pozomu stotnośc, to uznać należy, ż współczynnk Wlksa różn sę stotne od jednośc, a tym samym model posada dużą zdolność dyskrymnacyjną. Specyfczną metodą oceny jakośc modelu dyskrymnacyjnego jest ocena poprawnośc predykcj (np. procentowa), dokonanych przy jego użycu. Z jednej strony możemy meć do czynena z oceną predykcj post hoc, kedy to klasyfkowany obekt należał do próby, na podstawe której estymowano model. Innym typem weryfkacj modelu jest zaś ocena predykcj a pror, kedy to przewdywana była przynależność do klas przypadków, które ne zostały użyte do estymacj. Oczywśce dokładność predykcj a pror jest zwykle nższa nż predykcj post hoc. 7 M.Rószkewcz, Narzędza statystyczne..., op.ct., s.88. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

26 Model regresj logstycznej. Model regresj logstycznej.. Istota modelu regresj logstycznej Model lnowej welowymarowej analzy dyskrymnacyjnej służy przede wszystkm do klasyfkacj obektów do jednej z dwóch grup oraz porządkowana cech względem ch wpływu na tę przynależność. Wprawdze pozwala on także szacować prawdopodobeństwa tych przynależnośc, to jednak precyzję oszacowań warunkuje w stotnym stopnu założene o normalnośc rozkładu zmennych w obu klasach oraz homogenczność warancj. Założeń tych ne trzeba czynć w wypadku stosowana modelu regresj logstycznej. Warto jednak podkreślć, ż ne jest to jedyną zaletą tego modelu. Pozwala on bowem wycągnąć stotne wnosk odnośne zmennych nezależnych, do których to wnosków cężko byłoby dojść jedyne przy zastosowanu analzy dyskrymnacyjnej. Innym słowy model regresj logstycznej może wspomagać decyzje podejmowane przy pomocy analzy dyskrymnacyjnej ( na odwrót). Ne pownen węc on być traktowany tylko jako alternatywa dla analzy dyskrymnacyjnej, ale także jako jej uzupełnene. Model regresj logstycznej, określany często jako model logtowy, pozwala przede wszystkm modelować symulować prawdopodobeństwo przynależnośc obektu do jednej z dwóch klas, w zależnośc od charakteryzującego go wektora p zmennych nezależnych x x x,..., x T, p. Przy ocene ryzyka kredytowego, zmennym nezależnym stają sę wskaźnk fnansowe przedsęborstwa składającego wnosek kredytowy. Regresja logstyczna stanow swostą odpowedź na problemy pojawające sę przy tworzenu model lnowych szacujących prawdopodobeństwa przynależnośc do jednej z dwóch grup. Model lnowy, bez narzucana na nego dodatkowych warunków, ne jest w stane zapewnć, ż wartość zmennej zależnej należałaby zawsze do przedzału 0 ;, a węc takego, jak odpowada możlwym prawdopodobeństwom przynależnośc do danej klasy. Dlatego też do modelowana prawdopodobeństwa, wykorzystuje sę właśne model oparty na dystrybuance rozkładu logstycznego, przyjmujący następującą postać: P exp 0... p p, () N a r o d o w y B a n k P o l s k

27 Model regresj logstycznej gdze: P - prawdopodobeństwo przynależnośc obektu do klasy kodowanej jako K = (w odróżnenu od drugej z klas, która kodowana jest jako K = 0). Łatwo zauważyć, ż wartośc funkcj regresj logstycznej zawerać sę będą w przedzale otwartym ( 0; ). Naturalne ne stanow to jednak problemu, poneważ sytuacje, w których P 0 bądź P w zasadze ne występują w rzeczywstośc... Budowa modelu regresj logstycznej Najpowszechnej obecne wykorzystywaną metodą szacowana parametrów modelu logstycznego () jest metoda najwększej warygodnośc (MNW), poneważ estymatory uzyskane tą technką są zgodne, mają asymptotyczny rozkład normalny są asymptotyczne najefektywnejsze. Przed mplementacją MNW koneczne jest uporządkowane macerzy obserwacj. Przynależność każdej jednostk do jednej z grup zakodować należy przy pomocy bnarnej zmennej K: K= oznacza grupę przedsęborstw w sytuacj normalnej, K=0 oznacza grupę przedsęborstw w sytuacj zagrożonej. W przypadku MNW każda z n obserwacj traktowana jest jako pojedyncza próba z dwumanowego rozkładu Bernoullego z prawdopodobeństwam sukcesu porażk określonym jako P oraz Q P, gdze P jest wartoścą funkcj logstycznej dla -tego obektu. Wyznaczene parametrów modelu logtowego polega na maksymalzowanu funkcj warygodnośc, przyjmującej postać: gdze:,..., T 0, k P P P P K K 0 n k L, () p ; k - wartość bnarnej zmennej K dla -tego obektu. Dla ułatwena oblczeń (przy wyznaczanu perwszej pochodnej), zadane maksymalzacj funkcj warygodnośc zastępuje sę poprzez równoważny mu problem maksymalzacj jej logarytmu naturalnego. Po uwzględnenu tej modyfkacj, wyznaczene parametrów modelu logtowego sprowadza sę do rozwązana następującego zadana: ln L n k ln P k ln P max 0,,..., p. () MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

28 Model regresj logstycznej Problem () rozwązuje sę technką teracyjną, przy czym wartość oszacowań parametrów modelu, uzyskana w t+ teracj określona jest równanem 8 : a ( t) a ( t) n P n ( t) ( t) ( ) T ( ) ( t) ( ) a P a k P a, (6) T ( t) ( t) ( t) ( t) gdze: a a, a,..., a T - wektor oszacowań parametrów modelu 0 ( t) ( t) ( t) ( t) uzyskany w t+ teracj; a a, a,..., a T (t) modelu uzyskany w t-tej teracj; p - wektor oszacowań parametrów 0 a funkcj logstycznej dla -tego obektu; p P - oszacowana w t-tej teracj wartość () - macerz o wymarach p n, której -ty wersz stanową wartośc p cech -tego obektu (perwszy element -tego wersza to ), zaś pozostałe elementy są równe 0. Uzyskane oceny parametrów funkcj regresj logstycznej mają następującą nterpretację: o jeżel wynk z próby wskazuje, ż 0, to uznać możemy, ż wzrost wartośc cechy, przy kontrolowanym wpływe (nezmennośc) pozostałych cech, prowadz do wzrostu prawdopodobeństwa przynależnośc obektu do klasy zakodowanej jako K =, o jeżel oszacowana sugerują, ż 0, to należy uznać, że wzrost wartośc zmennej, przy kontrolowanym wpływe pozostałych zmennych, prowadz do spadku prawdopodobeństwa przynależnośc obektu do klasy zakodowanej jako K =, o jeżel wedle oszacowań 0, to uznajemy, ż zmany wartośc zmennej, przy kontrolowanym wpływe pozostałych zmennych, ne mają wpływu na prawdopodobeństwa przynależnośc obektu do którejkolwek z klas. Warto podkreślć, ż wartośc oszacowań parametrów ne są nterpretowalne, co było możlwe w przypadku analzy dyskrymnacyjnej. Dodatkowe wnosk odnośne modelowanego zjawska, uzyskujemy natomast wychodząc od tzw. logtu ( G ), który określany jest przez równość: 8 J.S.Cramer, Logt models from economc and other felds, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge 00 r., s N a r o d o w y B a n k P o l s k

29 Model regresj logstycznej Wyrażene,..., p P /( ) P G ln,..., p ln, (7) P nazywane jest lorazem szans określa P relatywną zmanę możlwośc wystąpena zdarzena 9. W przypadku regresj logstycznej, po uwzględnenu równośc (9), loraz szans upraszcza sę do następującej postac: Zauważmy, ż:,,...,, zatem wyrażene exp,...,... p 0 p p. (8) j,..., j,..., j,..., p p,, p p exp j, (9) exp określa, o le razy zmen sę relatywne prawdopodobeństwo przynależnośc jednostk do klasy, jeżel zmenna j wzrosła o, przy kontrolowanym wpływe pozostałych zmennych nezależnych. Innym słowy: o jeśl exp w, to mówmy, ż wzrost zmennej j o, przy j nezmennośc pozostałych zmennych, skutkuje wzrostem o ( w ) 00% szansy przynależnośc obektu do segmentu kodowanego jako K =, o jeśl exp w, to uznajemy, że wzrost zmennej j o, przy j nezmennośc pozostałych zmennych, skutkuje spadkem o ( w ) 00% szansy przynależnośc obektu do segmentu kodowanego jako K =. Należy dodać, ż w przypadku, gdy mamy do czynena z zerojedynkową zmenną, to wyrażene exp( ) wskazuje le razy wzrasta loraz szans dla kategor zmennej względem kategor 0 tej zmennej 0. Jeżel, dla dwóch różnych wskaźnków fnansowych oraz j przejśce ze środka jednego punktowanego przedzału do środka kolejnego przedzału wązać sę pownno z taką samą zmaną lorazu szans, to wówczas: 9 M.Rószkewcz, Narzędza statystyczne..., op.ct., s.9. 0 M.Gruszczyńsk, Modele..., op.ct., s.6. 7 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86 7

30 Model regresj logstycznej exp( ) exp( ), (0) j j gdze: - wartość o jaką zmenć sę mus wartość, by znalazła sę ona w sąsednm przedzale punktowanym wyżej; j - wartość o jaką zmenć sę mus wartość j, by znalazła sę ona w sąsednm przedzale punktowanym wyżej. Z równośc (0) wynka bezpośredno, że: j j. () Zważywszy na wzór (), dochodzmy do wnosku, ż szerokość przedzału punktowego dla wskaźnka pownna być / razy wększa od szerokośc j przedzału punktowego dla wskaźnka j. Podsumowując charakterystykę walorów modelu regresj logstycznej ne sposób ne wspomneć o jego zasadnczej cesze, zwązanej z możlwoścą kwantyfkacj prawdopodobeństw przynależnośc określonej jednostk do poszczególnych klas - dzęk temu wykonalne staje sę także zadane zaszeregowana tej jednostk do jednej z dwóch klas. Reguła klasyfkacyjna brzm w tym wypadku w następujący sposób: obekt zalczyć należy do tej klasy, dla której wększe jest prawdopodobeństwo jego przynależnośc do nej. Fakt, ż model logtowy, tak jak analza dyskrymnacyjna, umożlwa klasyfkację obektów ne oznacza naturalne, ż model dyskrymnacyjny jest zbędny, jeżel zastosuje sę już regresję logstyczną. Jak bowem wspomnano wcześnej, parametry standaryzowanej funkcj dyskrymnacyjnej pozwalają uszeregować zmenne nezależne względem ch wpływu na prawdopodobeństwo przynależnośc obektu do danej klasy. Tej nformacj ne uzyska sę wykorzystując tylko model logtowy... Dobór zmennych do modelu regresj logstycznej Kwesta doboru zmennych do modelu regresj logstycznej rozwązywana być może na drodze oceny stotnośc parametrów stojących przy zmennych. Perwotny model logtowy, zbudowany w oparcu o wszystke zmenne nezależne, należy węc 8 8 N a r o d o w y B a n k P o l s k

31 Model regresj logstycznej modyfkować, wyłączając z nego te cechy, które okazały sę nestotne statystyczne. Ocena stotnośc poszczególnych współczynnków funkcj regresj logstycznej sprowadza sę każdorazowo do weryfkacj następujących hpotez: H : 0, 0 H : 0. Statystyką testową jest statystyka Walda, mająca rozkład swobody, określona przez następujący wzór : o v stopnu gdze: a, () S a a - oszacowana wartość współczynnka ; S standardowy błąd a oszacowana współczynnka. Jeżel wartość prawdopodobeństwa odpowadająca oszacowanej wartośc statystyk jest nższa od założonego pozomu stotnośc, to należy odrzucć hpotezę zerową o nestotnośc -tego współczynnka modelu regresj logstycznej. Procedurę ogranczana zboru zmennych użytych w modelu można przeprowadzać w sposób krokowy. Należy wówczas każdorazowo wyrugowywać z modelu tylko jedną, najmnej stotną zmenną, a następne ponowne szacować badać stotność parametrów stojących przy pozostałych zmennych. Proces ten kończy sę w momence, gdy wszystke pozostające w modelu zmenne okazują sę być stotne lub gdy wszystke z nch zostaną z nego wyrzucone. W tym ostatnm przypadku wykorzystane regresj logstycznej do analzy jest neuzasadnone. Należy przy tym dodać, że często krokowe badane stotnośc poszczególnych współczynnków modelu regresj logstycznej prowadz do ogranczena zmennych nezależnych do takego samego zboru, jak uzyskalbyśmy przy krokowej analze dyskrymnacyjnej. Jednakże w nnejszym badanu w celu zachowana spójnośc model dyskrymnacyjnych logstycznych dla każdego sektora, oparto analzę logstyczną na wskaźnkach przyjętych do modelu w badanu dyskrymnacyjnym. M.Rószkewcz, Narzędza..., op.ct., s.9. 9 MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86 9

32 Model regresj logstycznej.. Weryfkacja modelu regresj logstycznej Analza stotnośc poszczególnych współczynnków funkcj logstycznej stanow oczywśce swostą technkę weryfkacj całego modelu. Nemnej jednak jakość uzyskanego rozwązana ocenana być może równeż na podstawe statystyk V będącej różncą mędzy dwukrotnym ujemnym logarytmem funkcj warygodnośc dla oszacowanego modelu modelu zawerającego jedyne stałą 0 :,,..., V ln L p L. () 0 ln L(α 0, α,, α p ) - funkcja warygodnośc dla oszacowanego modelu, p lczba zmennych w modelu L(α 0 ) - funkcja warygodnośc dla modelu zawerającego jedyne stałą 0. 0 Statystyka V przy dużych próbach ma rozkład zblżony do rozkładu o v ( p ) stopnach swobody. Przy jej użycu testowana jest para hpotez: H : 0 dla,,..., p, 0 H : 0 przynajmnej dla jednego, gdze,,..., p. Oczywśce m wyższa wartość statystyk V, tym nższy odpowadający jej pozom prawdopodobeństwa, a co za tym dze tym mnejsze ryzyko popełnena błędu przy odrzucenu hpotezy zerowej, zakładającej nestotność wszystkch współczynnków stojących przy zmennych nezależnych. Do weryfkacj oszacowanego modelu logtowego służyć mogą także mary dopasowana zblżone nterpretacyjne do współczynnka determnacj R dla modelu regresj lnowej. Za jedne z najpopularnejszych mar tego typu uznać wypada współczynnk Coxa-Snella ( R ) oraz Nagelkerke a ( R ) : C S N R CS L 0 L 0,,..., p N, () N- lczba obserwacj w próbe. R CS RN L 0 N. () Ibdem, s.9. zaczerpnęta w dnu 8 lstopada 00 r. nformacja 0 0 N a r o d o w y B a n k P o l s k

33 Model regresj logstycznej Współczynnk te przyjmują wartośc z przedzału 0 ;. Im te wartośc są wyższe, tym wyższa jest jakość zbudowanego modelu regresj logstycznej. Na zakończene warto podkreślć, ż marą jakośc modelu regresj logstycznej, tak jak mało to mejsce w przypadku analzy dyskrymnacyjnej, może być ocena poprawnośc predykcj w próbe. MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt 86

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PORÓWNAWCZA WYNIKÓW UZYSKANYCH ZA POMOCĄ MIAR SYNTETYCZNYCH: M ORAZ PRZY ZASTOSOWANIU METODY UNITARYZACJI ZEROWANEJ

ANALIZA PORÓWNAWCZA WYNIKÓW UZYSKANYCH ZA POMOCĄ MIAR SYNTETYCZNYCH: M ORAZ PRZY ZASTOSOWANIU METODY UNITARYZACJI ZEROWANEJ METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XVI/3, 2015, str. 248 257 ANALIZA PORÓWNAWCZA WYNIKÓW UZYSKANYCH ZA POMOCĄ MIAR SYNTETYCZNYCH: M ORAZ PRZY ZASTOSOWANIU METODY UNITARYZACJI ZEROWANEJ Sławomr

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów. Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE OPTIMAL INVESTMENT STRATEGY FUNDAMENTAL ANALYSIS

OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE OPTIMAL INVESTMENT STRATEGY FUNDAMENTAL ANALYSIS ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Sera: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 68 Nr kol. 1905 Adranna MASTALERZ-KODZIS Unwersytet Ekonomczny w Katowcach OPTYMALNE STRATEGIE INWESTYCYJNE PODEJŚCIE FUNDAMENTALNE

Bardziej szczegółowo

Zjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych)

Zjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych) Statystyka - nauka zajmująca sę metodam badana przedmotów zjawsk w ch masowych przejawach ch loścową lub jakoścową analzą z punktu wdzena nauk, do której zakresu należą.

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

Analiza i diagnoza sytuacji finansowej wybranych branż notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych w latach

Analiza i diagnoza sytuacji finansowej wybranych branż notowanych na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych w latach Jacek Batóg Unwersytet Szczecńsk Analza dagnoza sytuacj fnansowej wybranych branż notowanych na Warszawskej Gełdze Paperów Wartoścowych w latach 997-998 W artykule podjęta została próba analzy dagnozy

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Ocena jakościowo-cenowych strategii konkurowania w polskim handlu produktami rolno-spożywczymi. dr Iwona Szczepaniak

Ocena jakościowo-cenowych strategii konkurowania w polskim handlu produktami rolno-spożywczymi. dr Iwona Szczepaniak Ocena jakoścowo-cenowych strateg konkurowana w polskm handlu produktam rolno-spożywczym dr Iwona Szczepanak Ekonomczne, społeczne nstytucjonalne czynnk wzrostu w sektorze rolno-spożywczym w Europe Cechocnek,

Bardziej szczegółowo

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r. Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego

Bardziej szczegółowo

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Badana sondażowe Brak danych Konstrukcja wag Agneszka Zęba Zakład Badań Marketngowych Instytut Statystyk Demograf Szkoła Główna Handlowa 1 Błędy braku odpowedz Całkowty brak odpowedz (UNIT nonresponse)

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji modele ekonometryczne

Analiza regresji modele ekonometryczne Analza regresj modele ekonometryczne Klasyczny model regresj lnowej - przypadek jednej zmennej objaśnającej. Rozpatrzmy klasyczne zagadnene zależnośc pomędzy konsumpcją a dochodam. Uważa sę, że: - zależność

Bardziej szczegółowo

Model oceny ryzyka w działalności firmy logistycznej - uwagi metodyczne

Model oceny ryzyka w działalności firmy logistycznej - uwagi metodyczne Magdalena OSIŃSKA Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Model oceny ryzyka w dzałalnośc frmy logstycznej - uwag metodyczne WSTĘP Logstyka w cągu ostatnch 2. lat stała sę bardzo rozbudowaną dzedzną dzałalnośc

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax

Bardziej szczegółowo

Analiza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem

Analiza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem WARSZTATY 2003 z cyklu Zagrożena naturalne w górnctwe Mat. Symp. str. 461 466 Elżbeta PILECKA, Małgorzata SZCZEPAŃSKA Instytut Gospodark Surowcam Mneralnym Energą PAN, Kraków Analza ryzyka jako nstrument

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA

Bardziej szczegółowo

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010 Egzamn ze statystyk/ Studa Lcencjacke Stacjonarne/ Termn /czerwec 2010 Uwaga: Przy rozwązywanu zadań, jeśl to koneczne, naleŝy przyjąć pozom stotnośc 0,01 współczynnk ufnośc 0,99 Zadane 1 PonŜsze zestawene

Bardziej szczegółowo

Nieparametryczne Testy Istotności

Nieparametryczne Testy Istotności Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji i regresji

Analiza korelacji i regresji Analza korelacj regresj Zad. Pewen zakład produkcyjny zatrudna pracownków fzycznych. Ich wydajność pracy (Y w szt./h) oraz mesęczne wynagrodzene (X w tys. zł) przedstawa ponższa tabela: Pracownk y x A

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI

MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Alcja Wolny-Domnak Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MODELOWANIE LICZBY SZKÓD W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH W PRZYPADKU WYSTĘPOWANIA DUŻEJ LICZBY ZER, Z WYKORZYSTANIEM PROCEDURY KROSWALIDACJI Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20 Darusz Letkowsk Unwersytet Łódzk BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG0 Wprowadzene Teora wyboru efektywnego portfela nwestycyjnego zaproponowana przez H. Markowtza oraz jej rozwnęca

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na

Bardziej szczegółowo

Dobór zmiennych objaśniających

Dobór zmiennych objaśniających Dobór zmennych objaśnających Metoda grafowa: Należy tak rozpąć graf na werzchołkach opsujących poszczególne zmenne, aby występowały w nm wyłączne łuk symbolzujące stotne korelacje pomędzy zmennym opsującym.

Bardziej szczegółowo

OeconomiA copernicana 2013 Nr 3. Modele ekonometryczne w opisie wartości rezydualnej inwestycji

OeconomiA copernicana 2013 Nr 3. Modele ekonometryczne w opisie wartości rezydualnej inwestycji OeconomA coperncana 2013 Nr 3 ISSN 2083-1277, (Onlne) ISSN 2353-1827 http://www.oeconoma.coperncana.umk.pl/ Klber P., Stefańsk A. (2003), Modele ekonometryczne w opse wartośc rezydualnej nwestycj, Oeconoma

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Adranna Mastalerz-Kodzs Unwersytet Ekonomczny w Katowcach KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Wprowadzene W dzałalnośc nstytucj fnansowych, takch

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej...

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... Adam Waszkowsk * Adam Waszkowsk Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej w doborze spó³ek do portfela nwestycyjnego Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej... Wstêp Na warszawskej Ge³dze Paperów

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

Zapytanie ofertowe nr 4/2016/Młodzi (dotyczy zamówienia na usługę ochrony)

Zapytanie ofertowe nr 4/2016/Młodzi (dotyczy zamówienia na usługę ochrony) Fundacja na Rzecz Rozwoju Młodzeży Młodz Młodym ul. Katedralna 4 50-328 Wrocław tel. 882 021 007 mlodzmlodym@archdecezja.wroc.pl, www.sdm2016.wroclaw.pl Wrocław, 24 maja 2016 r. Zapytane ofertowe nr 4/2016/Młodz

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze Wykłady Jacka Osewalskego z Ekonometr zebrane ku pouczenu przestrodze UWAGA!! (lstopad 003) to jest wersja neautoryzowana, spsana przeze mne dawno temu od tego czasu ne przejrzana; ma status wersj roboczej,

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

Regulacje i sądownictwo przeszkody w konkurencji między firmami w Europie Środkowej i Wschodniej

Regulacje i sądownictwo przeszkody w konkurencji między firmami w Europie Środkowej i Wschodniej Łukasz Goczek * Regulacje sądownctwo przeszkody w konkurencj mędzy frmam w Europe Środkowej Wschodnej Wstęp Celem artykułu jest analza przeszkód dla konkurencj pomędzy frmam w Europe Środkowej Wschodnej.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH

ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH Potr Mchalsk Węzeł Centralny OŻK-SB 25.12.2013 rok ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH Celem ponższej analzy jest odpowedź na pytane: czy wykształcene radnych

Bardziej szczegółowo

Propozycja modyfikacji klasycznego podejścia do analizy gospodarności

Propozycja modyfikacji klasycznego podejścia do analizy gospodarności Jacek Batóg Unwersytet Szczecńsk Propozycja modyfkacj klasycznego podejśca do analzy gospodarnośc Przedsęborstwa dysponujące dentycznym zasobam czynnków produkcj oraz dzałające w dentycznych warunkach

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 1. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 1. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 2014 część 1 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,

Bardziej szczegółowo

Analiza struktury zbiorowości statystycznej

Analiza struktury zbiorowości statystycznej Analza struktury zborowośc statystycznej.analza tendencj centralnej. Średne klasyczne Średna arytmetyczna jest parametrem abstrakcyjnym. Wyraża przecętny pozom badanej zmennej (cechy) w populacj generalnej:

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyczne i uniwersalna funkcjonalność scoringu

Podstawy statystyczne i uniwersalna funkcjonalność scoringu Podstawy statystyczne unwersalna funkcjonalność scorngu Leszek Boguszewsk Barbara Gelńska Przy Katedrze Statystyk Unwersytetu Gdańskego II edycja Konferencj Naukowej Interdyscyplnarne wykorzystane metod

Bardziej szczegółowo

O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH

O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Mateusz Baryła Unwersytet Ekonomczny w Krakowe O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY TWORZENIA STRATEGII ZRÓWNOWAŻONEGO TRANSPORTU MIEJSKIEGO SELECTED METHODS FOR DEVELOPING SUSTAINABLE URBAN TRANS- PORT STRATEGIES

WYBRANE METODY TWORZENIA STRATEGII ZRÓWNOWAŻONEGO TRANSPORTU MIEJSKIEGO SELECTED METHODS FOR DEVELOPING SUSTAINABLE URBAN TRANS- PORT STRATEGIES Zbgnew SKROBACKI WYBRANE METODY TWORZENIA STRATEGII ZRÓWNOWAŻONEGO TRANSPORTU MIEJSKIEGO SELECTED METHODS FOR DEVELOPING SUSTAINABLE URBAN TRANS- PORT STRATEGIES W artykule przedstawone systemowe podejśce

Bardziej szczegółowo

D Archiwum Prac Dyplomowych - Instrukcja dla studentów

D Archiwum Prac Dyplomowych - Instrukcja dla studentów Kraków 01.10.2015 D Archwum Prac Dyplomowych - Instrukcja dla studentów Procedura Archwzacj Prac Dyplomowych jest realzowana zgodne z zarządzenem nr 71/2015 Rektora Unwersytetu Rolnczego m. H. Kołłątaja

Bardziej szczegółowo

Analiza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009

Analiza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009 Mara Konopka Katedra Ekonomk Organzacj Przedsęborstw Szkoła Główna Gospodarstwa Wejskego w Warszawe Analza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009 Wstęp Polska prywatyzacja

Bardziej szczegółowo

Nota 1. Polityka rachunkowości

Nota 1. Polityka rachunkowości Nota 1. Poltyka rachunkowośc Ops przyjętych zasad rachunkowośc a) Zasady ujawnana prezentacj nformacj w sprawozdanu fnansowym Sprawozdane fnansowe za okres od 01 styczna 2009 roku do 31 marca 2009 roku

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych

Zarządzanie ryzykiem w przedsiębiorstwie i jego wpływ na analizę opłacalności przedsięwzięć inwestycyjnych dr nż Andrze Chylńsk Katedra Bankowośc Fnansów Wyższa Szkoła Menedżerska w Warszawe Zarządzane ryzykem w rzedsęborstwe ego wływ na analzę ołacalnośc rzedsęwzęć nwestycynych w w w e - f n a n s e c o m

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Grzegorz PRZEKOTA ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Zarys treśc: W pracy podjęto problem dentyfkacj cykl gełdowych.

Bardziej szczegółowo

Wpływ płynności obrotu na kształtowanie się stopy zwrotu z akcji notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie

Wpływ płynności obrotu na kształtowanie się stopy zwrotu z akcji notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie Agata Gnadkowska * Wpływ płynnośc obrotu na kształtowane sę stopy zwrotu z akcj notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe Wstęp Płynność aktywów na rynku kaptałowym rozumana jest przez nwestorów

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ

MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ 4 MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ DWST WPZN 423189/BSZI13 Warszawa, 2013 -Q-4 Pan Marek Mchalak Rzecznk Praw Dzecka Szanowny Pane, w odpowedz na Pana wystąpene z dna 28 czerwca 2013 r. (znak: ZEW/500127-1/2013/MP),

Bardziej szczegółowo

Parametry zmiennej losowej

Parametry zmiennej losowej Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru

Bardziej szczegółowo

Polityka dywidend w spółkach notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w latach 1994 2002

Polityka dywidend w spółkach notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w latach 1994 2002 Joanna Wyrobek Akadema Ekonomczna w Krakowe Poltyka dywdend w spółkach notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe w latach 1994 2002 1. Cel badań Celem badań była analza poltyk wypłaty dywdend

Bardziej szczegółowo

METODY WIELOWYMIAROWEJ ANALIZY PORÓWNAWCZEJ W OCENIE ZDOLNOŚCI KREDYTOWEJ GMIN W POLSCE. Streszczenie

METODY WIELOWYMIAROWEJ ANALIZY PORÓWNAWCZEJ W OCENIE ZDOLNOŚCI KREDYTOWEJ GMIN W POLSCE. Streszczenie Marcn Wśnewsk Unwersytet Ekonomczny w Poznanu Katedra Teor Penądza Poltyk Penężnej METODY WIELOWYMIAROWEJ ANALIZY PORÓWNAWCZEJ W OCENIE ZDOLNOŚCI KREDYTOWEJ GMIN W POLSCE Streszczene Jednostk samorządu

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH Danel Kosorowsk Katedra Statystyk, UEK w Krakowe Posedzene Rady Wydzału Zarządzana Kraków, 23.05.2013 PLAN REFERATU 1.

Bardziej szczegółowo

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ Ćwczene nr 1 cz.3 Dyfuzja pary wodnej zachodz w kerunku od środowska o wyższej temperaturze do środowska chłodnejszego. Para wodna dyfundująca przez przegrody budowlane w okrese zmowym napotyka na coraz

Bardziej szczegółowo

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej: dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE WYBRANYCH WSKAŹNIKÓW POZIOMU ŻYCIA MIESZKAŃCÓW MIAST ŚREDNIEJ WIELKOŚCI A SYSTEM LOGISTYCZNY MIASTA 1

PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE WYBRANYCH WSKAŹNIKÓW POZIOMU ŻYCIA MIESZKAŃCÓW MIAST ŚREDNIEJ WIELKOŚCI A SYSTEM LOGISTYCZNY MIASTA 1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XI/2, 2010, str. 102 111 PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE WYBRANYCH WSKAŹNIKÓW POZIOMU ŻYCIA MIESZKAŃCÓW MIAST ŚREDNIEJ WIELKOŚCI A SYSTEM LOGISTYCZNY MIASTA 1

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

Modelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim - wprowadzenie

Modelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim - wprowadzenie Mgr Krzysztof Pontek Katedra Inwestycj Fnansowych Ubezpeczeń Akadema Ekonomczna we Wrocławu Modelowane struktury stóp procentowych na rynku polskm - wprowadzene Wprowadzene Na rynku stóp procentowych analzowana

Bardziej szczegółowo

Badanie optymalnego poziomu kapitału i zatrudnienia w polskich przedsiębiorstwach - ocena i klasyfikacja

Badanie optymalnego poziomu kapitału i zatrudnienia w polskich przedsiębiorstwach - ocena i klasyfikacja Jacek Batóg Unwersytet Szczecńsk Badane optymalnego pozomu kaptału zatrudnena w polskch przedsęborstwach - ocena klasyfkacja Prowadząc dzałalność gospodarczą przedsęborstwa kerują sę jedną z dwóch zasad

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH

WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ m. J. A. Komeńskego w Leszne R o k 0 0 8, n r 6 TOMASZ ŚWIST* WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU Studa Ekonomczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Bardziej szczegółowo

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH Domnk Krężołek Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA AYYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU MEALI NIEŻELAZNYCH Wprowadzene zereg czasowe obserwowane na rynkach kaptałowych

Bardziej szczegółowo