ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności"

Transkrypt

1 ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne

2 WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na początku XIX weku zasady mnmalzacj odległośc mędzy odpowedzą obektu modelu merzonej jako suma kwadratów odchyłek mało charakter arbtralny. Sperano sę wówczas czy lepsza jest zasada mnmalzacj sumy kwadratów czy też sumy modułów odchyłek, ale spory ne były poparte teorą. Gauss zauważył jednak, że estymator najmnejszej sumy kwadratów maksymalzuje funkcję gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu normalnego pomarów odpowedz, tj. dla wartośc estymat uzyskanych z użycem estymatora LS zmerzone wartośc odpowedz są najbardzej warygodne. Fakt ten znalazł swoje odbce w teor estymacj najwększej warygodnośc dopero w początkach dwudzestego weku za sprawą rozwoju statystyk. Zasadę wyboru takch wartośc estymowanych parametrów, które maksymalzują prawdopodobeństwo uzyskwanych pomarów a posteror można stosować w różnych sytuacjach pomarowych. Konkretny algorytm zależy od postac modelu dentyfkowanego obektu, modelu zakłóceń, stopna znajomośc parametrów zakłóceń. Stąd nazwa estymator najwększej warygodnośc mów nam tylko o klase algorytmu a ne o jego konkretnej postac. Przykład: Jaka jest najbardzej prawdopodobna rzeczywsta wartość merzona? Merzymy stałe napęce zakłócone szumem. Po perwszym pomarze chcemy określć wartość tego napęca. aturalny wybór to przyjęce wprost wartośc zmerzonej za estymatę napęca. Czy take postępowane może prowadzć do systematycznego błędu estymacj (czyl błędu obcążena) dla specyfcznego rozkładu szumu? astępne wykonalśmy bardzo dużo pomarów? Czy średna z pomarów jest dobrą estymatą napęca.

3 FUKCJA WIARYGODOŚCI Komputerowa dentyfkacja obektów Przy maksymalzacj prawdopodobeństwa wystąpena zaobserwowanych wartośc odpowedz (tzn. ch warygodnośc) postępować będzemy analogczne jak przy dopasowanu odpowedz modelu do pomarów, tyle że teraz model odpowedz będze mał charakter statystyczny, podany w postac funkcj gęstośc prawdopodobeństwa wystąpena określonych wartośc odpowedz. ajczęścej wartość oczekwana odpowedz będze równa nezakłóconej odpowedz modelu dynamcznego a rozrzut będze wynkał z zakłóceń addytywnych (np. szumy ceplne, szum kwantowana). Dopasowane będzemy prowadzć przez dobór takch wartośc parametrów modelu, żeby funkcja gęstośc prawdopodobeństwa osągała w punktach pomarowych wartość maksymalną. Zapszmy formalne zadane takego wyboru wartośc estymat neznanych parametrów, żeby zmerzone wartośc y p odpowedz obektu były najbardzej prawdopodobne. Funkcja gęstośc prawdopodobeństwa cągu próbek y, sygnału odpowedz na znane pobudzene ma postać welowymarową. Każda z próbek jest zmenną losową a funkcja gęstośc opsuje cały wektor próbek = [ y y ], y y,, w sposób łączny. Dodatkowo zakładamy, że wartośc próbek zależą od poszukwanych parametrów modelu (zależnośc od sygnału wejścowego ne notujemy dla utrzymana jasnośc zapsu). Tak węc funkcja gęstośc będze meć oznaczene ( ; ) L = p y θ gdze y jest wektorem próbek (zmennych losowych), a θ wektorem estymowanych parametrów. Zaps ze średnkem oznacza, że θ ne jest wektorem losowym tylko wektorem parametrów funkcj gęstośc. Funkcja ta nos nazwę funkcj warygodnośc (ang. lkelhood functon). Oczywśce jest to ta sama funkcja gęstośc prawdopodobeństwa pomarów, której używalśmy na poprzednch zajęcach do wylczena macerzy nformacyjnej.

4 ZASADA MAKSYMALIZACJI WIARYGODOŚCI Komputerowa dentyfkacja obektów Estymator maksymalzujący funkcję warygodnośc w punkce y p (zaobserwowana realzacja wektora próbek): ( yp θ ) θ ˆ = arg max p ; θ jest nazywany estymatorem najwększej warygodnośc (ang. maxmum lkelhood, w skróce ML) oznaczany θ ˆ ML. Oczywśce maksymalzacja może być przeprowadzona tylko przy znajomośc postac funkcj warygodnośc. Zatem żeby określć estymator najwększej warygodnośc należy znać, lub założyć na podstawe posadanej wedzy, ogólną postać funkcj warygodnośc zależnej od neznanych (a estymowanych) parametrów θ. Maksymalzację można prowadzć metodam teracyjnego poszukwana ekstremów funkcj nelnowych bezpośredno na funkcj gęstośc, jednak w przypadku pewnych rozkładów zadane upraszcza sę do estymatorów jednokrokowych (wyrażeń algebracznych). Zostane to pokazane w dalszej częśc wykładu. Przykład: Bezpośredna maksymalzacja funkcj warygodnośc dla zakłóceń gaussowskch dwóch pomarów clf m=5; % rzeczywsta wartość współczynnka (stałej) S=[ 0; 0 ]; % macerz kowarancyjna szumu 8 y=m+randn(,); % pomar zakłócony szumem gaussowskm % funkcja warygodnośc (ze znakem mnus: max->mn) -/(*p*sqrt(det(s)))*exp(-/*(y-x)'*nv(s)*(y-x)); mest=fmnunc(l, 5,[],y,S) % estymowana wartość współczynnka plot(m, m, 'bo', y(), y(),'r*'); axs([ ]) 6 4 yv=0:0.:0; yv=0:0.:0; for k=:length(yv), for k=:length(yv) V(k,k)=-L(mest,[yv(k);yv(k)],S); end, end hold on, contour(yv,yv,v,0), grd on Jak to wygląda na os czasowej? Co sę zmen przy pomarze nercyjnej odpowedz dynamcznej? 0

5 ESTYMATORY AJWIĘKSZEJ WIARYGODOŚCI I ICH WŁASOŚCI Popularność estymatorów wynkających z zasady najwększej warygodnośc wynka z ch korzystnych własnośc statystycznych. Jak dowedzono estymatory te są asymptotyczne (tzn. z rosnącą loścą danych pomarowych): zgodne, neobcążone, efektywne. Dla przypomnena, ostatna cecha oznacza, że mają one najmnejszą macerz kowarancyjną ze wszystkch estymatorów neobcążonych, równą ogranczenu Rao-Cramera w postac odwrotnośc macerzy nformacyjnej. Z jednej strony zasada najwększej warygodnośc jest metodą generowana optymalnych estymatorów przy przyjętych założenach co do funkcj gęstośc prawdopodobeństwa. Z drugej strony przyjęło sę używać nazwy estymator najwększej warygodnośc na każdy estymator, które ma wymenone optymalne własnośc. W tym przypadku mamy węc do czynena z odwrotną sytuacją, najperw określa sę estymator, a późnej wykazuje jego korzystne własnośc. Tak węc pojęce estymator najwększej warygodnośc jest bardzo ogólne obejmuje całą klasę estymatorów o szczególnych własnoścach. Jak zobaczymy w następnym punkce, przyjęce określonych założeń co do postac funkcj warygodnośc skutkuje szczególną postacą estymatora ML.

6 PRZYPADKI SZCZEGÓLE Komputerowa dentyfkacja obektów PRZYPADEK : Od zasady najwększej warygodnośc do zasady najmnejszej sumy kwadratów. Model pomaru Zastosujmy zasadę najwększej warygodnośc do przypadku najczęścej stosowanego w praktyce, tj. opsu zakłóceń pomaru rozkładem normalnym. Załóżmy, że nezakłócone wyjśce dentyfkowanego obektu y o (t) jest zwązane ze znanym wejścem obektu u(t) parametram obektu θ pewną zależnoścą (dowolną, być może dynamczną lub nelnową ze względu na parametry), co zapszemy w postac modelu obektu dentyfkacj: yo (, ) = g u θ Zakładamy równeż, że zakłócena pomarowe ε mają charakter addytywny rozkład normalny o zerowej wartośc oczekwanej (błąd pomaru bez składowej systematycznej). Dostępne pomarowo wyjśce obektu y(t) jest węc opsane zależnoścą (, θ ) y = g u + ε Jeśl dokonujemy pomaru wyjśca obektu w różnych chwlach czasowych t, t ( ) =,,,, to wynkowy zbór pomarów y t, który zapszemy jako kolumnowy wektor pomarów y, możemy opsać -wymarowym rozkładem normalnym o wartośc oczekwanej o y (tzn. y ( t ) =,, o macerzy kowarancj zakłóceń w momentach pomaru. ). Macerz kowarancj wektora pomarów jest równa

7 Od zasady najwększej warygodnośc do zasady najmnejszej sumy kwadratów. Funkcja warygodnośc Dotychczas ne czynlśmy założeń co do warancj zakłóceń przy poszczególnych pomarach an o zależnośc losowej mędzy pomaram. Przyjmjmy najbardzej ogólne założene, że te parametry statystyczne zakłóceń są opsane macerzą kowarancyjną V o znanej wartośc. Welowymarowy rozkład normalny o wymenonych parametrach ma funkcję gęstośc (funkcję warygodnośc) o postac: L = p( y; θ) = exp y yo V y y V ( π ) ( π ) T [ ] [ ] T = exp ( u, ) ( u, ) y g θ V y g θ V Przeprowadźmy maksymalzację funkcj warygodnośc w dzedzne wektora parametrów θ, dla uzyskanych w wynku pomaru wartośc y p (pojedynczej realzacj) wektora losowego y. Skorzystamy z faktu, że poszukwane maksmum funkcj o dodatnch wartoścach jest równoważne poszukwanu maksmum logarytmu naturalnego funkcj (logarytm jest funkcją monotonczną), dzęk czemu oblczena staną sę łatwejsze. T lnl = ln( π ) ln ( V ) p ( u, ) p ( u, ) y g θ V y g θ o

8 Od zasady najwększej warygodnośc do zasady najmnejszej sumy kwadratów 3. Maksymalzacja warygodnośc Poneważ perwsze dwa składnk maksymalzowanego wyrażena ne zależą od estymowanych parametrów, to ostateczne maksymalzacja funkcj warygodnośc prowadz do mnmalzacj (zmana znaku) funkcjonału: T ( θ) = y g(, θ) V y g(, θ ) J u u p p Funkcjonał J w szczególnym przypadku dagonalnej macerzy V (zakłócena neskorelowane o różnych warancjach) jest sumą ważonych odwrotnoścam warancj kwadratów różnc mędzy wartoścam zmerzonym a wynkającym z modelu dla danej wartośc wektora estymowanych parametrów θ. Jeśl macerz V jest macerzą jednostkową z mnożnkem σ (zakłócena w poszczególnych pomarach wzajemne nezależne o dentycznej warancj), to funkcjonał J przybera postać znanej nam sumy kwadratów odchyłek pomarów wyjśca obektu od wyjśca modelu. T J( θ) = yp g( u, θ) ( σ I) yp g( u, θ) = y p( t) g ( u, ) σ θ = Tak węc, sformułowane najwększej warygodnośc prowadz w szczególnym przypadku do klasycznego sformułowana najmnejszej sumy kwadratów. Inaczej mówąc, estymator LS przy szczególnym modelu zakłóceń jest estymatorem najwększej warygodnośc. Otrzymalśmy równeż ogólnejsze sformułowane zadana najmnejszej sumy kwadratów w postac ważonej macerzą kowarancj zakłóceń V dla przypadku kedy zakłócena ne mają dentycznego rozkładu /lub są skorelowane.

9 PRZYPADEK : Obekt lnowy z zakłócenam pomaru wyjśca o znanych parametrach statystycznych Wyprowadźmy z zasady najwększej warygodnośc estymator najmnejszej sumy kwadratów dla obektu lnowego w przypadku ogólnym, tj. zakłóceń pomarowych o rozkładze normalnym opsanych macerzą kowarancj V. W rozważanym przypadku równane modelu ma postać: a mnmalzowany funkcjonał: J ( ) yo = g u, θ = Uθ T ( ) θ = y Uθ V y Uθ p p Różnczkowane macerzowe względem θ przyrównane do zera (szczegóły w [Soderstrom, Stoca 997]) prowadz do wzoru na estymator: ( ) ˆ T T M = θ UV U UV y Ten ogólnejszy od LS estymator jest nazywany w teor estymacj estymatorem Markowa lub uogólnonym estymatorem LS. Jego macerz kowarancj wynos Σ = cov = M ( ˆ T θ ) ( ) M UV U podczas gdy klasyczny estymator LS zastosowany w rozważanym przypadku jest co prawda nadal neobcążony, ale ma wększą warancję, równą Σ = cov = LS ( ˆ T T T θls ) ( UU) UVUUU ( ) Poneważ estymator θ ˆ M został wyprowadzony z zasady najwększej warygodnośc, to jego macerz kowarancyjna jest najmnejsza możlwa (asymptotyczne) dla estymatora neobcążonego. Porównane tej macerzy z ogranczenem dolnym Cramera-Rao rzeczywśce przekonuje nas o tym, że w przypadku zakłóceń o rozkładze normalnym dowolnej macerzy kowarancyjnej estymator Markowa jest efektywny.

10 Przykład: Średna na podstawe welu pomarów tej samej welkośc o różnej dokładnośc Załóżmy, że chcemy sę dowedzeć, która jest godzna, ale ne mamy zegarka. Pytamy napotkanych ludz o godznę wnoskujemy z odpowedz o poszukwanej welkośc. Inaczej mówąc, zberamy dane pomarowe na ch podstawe estymujemy pewną welkość. Załóżmy, że odpowedz udzelło nam dzecko z tandetnym plastkowym zegarkem, zanedbany człowek bez zegarka (popatrzył na słońce) profesor AGH z Omegą na ręce. Uzyskalśmy następującą nformację z przypsaną przez nas warygodnoścą nformacj merzoną odchylenem standardowym: :30 ±5mnut (dzecko) :00 ±godzna (zanedbany) :8 ±mnuta (profesor) Zakładając, że odpowedz ne są skorelowane, jaka będze macerz kowarancj zakłóceń pomaru? Jaka będze postać estymatora wynk estymacj? Oblczena przeprowadzmy wspólne na tablcy. Przykład: Klka pomarów o zakłócenach skorelowanych różnej warancj nterpretacja wybelana szumu Interpretacja sposobu oblczeń powyższego estymatora, gdze każdy pomar mał skojarzoną wagę reprezentującą stotność nformacyjną pomaru, może być uogólnona dla przypadku zakłóceń skorelowanych. Wtedy mnożene przez odwrotność macerzy kowarancj daje ne tylko efekt wyrównana pozomu szumu, ale równeż efekt dekorelacj zakłóceń pomarów. Efekt jest znany jako wybelane szumu (ang. nose whtenng) ma swoje odbce w T p p ważonej postac kryterum sumy kwadratów reszt dopasowana: ( ) J θ = y Uθ V y Uθ.

11 PRZYPADEK 3: Zakłócena pomaru wyjśca o neznanych parametrach statystycznych W praktyce rzadko znamy parametry statystyczne zakłóceń przed wykonanem eksperymentu pomarowego. ajczęścej szacujemy warancję zakłóceń na podstawe danych pomarowych. Parametry zakłócena są węc dodatkowym elementem wektora parametrów estymowanych jeśl są potrzebne np. do oszacowana warancj estymat. Dla wyprowadzena estymatora warancj najwększej warygodnośc załóżmy normalny rozkład neskorelowanych zakłóceń o dentycznej neznanej warancj, tzn. zakłócena mają charakter..d. W takm przypadku funkcja warygodnośc po logarytmowanu ma postać: lnl = ln( π) ln ( σ ) ( ) (, ) y t g u σ θ = Przyrównane różnczk względem warancj do zera doprowadz nas do poszukwanego estymatora tej welkośc: skąd lnl = + y( t ) (, ) g u θ = 0 4 σ σ σ = σ y t g u e ( ) ( ) =, θ = = = Estymator warancj jest węc równy wartośc średnokwadratowej reszt dopasowana modelu do pomarów. Dodatkowo estymator warancj jest nezależny od estymatora parametrów obektu.

12 PRZYPADEK 4: Zakłócena pomaru wejśca wyjśca obektu lnowego Równe częstym praktycznym problemem jak neznajomość warancj zakłóceń jest nedostępność dokładnych wartośc sygnału wejścowego, który dotąd zawsze przyjmowalśmy jako znany dokładne. Znane są jedyne jego zakłócone wartośc zmerzone. Jedno wyjśce z tej sytuacj to uznane wartośc zmerzonych za dokładne stosowane estymatora klasycznego. Przeanalzujmy problem na przykładze obektu lnowego z jednym parametrem opsanego modelem: yo = k uo Przyjmjmy, że wartośc u o y o są stałe w czase trwana pomarów. Dostępne pomarowo sygnały y u są zakłócone, tj. u = u o + µ, y = yo + ϕ. Załóżmy, że zakłócena µ, ϕ są wzajemne neskorelowane mają warancje odpowedno σ µ, σ ϕ. Estymator LS parametru k ma w tym prostym skalarnym przypadku postać k Rozpsując ten wzór z uwzględnenem zakłóceń otrzymujemy k LS = = = y u ( y + )( u + ) y u + y + u + o o o o o o = = = = = LS = = ( uo + µ ) uo + uoµ + µ = = = = u ϕ µ µ ϕ µϕ Wraz z rosnącą loścą danych pomarowych poszczególne sumy loczynów dążą w grancy do korelacj mnożonych czynnków.

13 Korzystając z braku korelacj mędzy zakłócenam z zerowej wartośc oczekwanej zakłóceń, uzyskujemy granczną wartość estymatora równą lm k yu yu k = = = o o = o o LS uo µ uo µ = = = Powyższy wynk dowodz, że w przypadku zakłóconych pomarów wejśca estymator LS daje wynk obcążone. σ µ uo Spróbujmy w takm raze wyprowadzć z zasady najwększej warygodnośc estymator neobcążony dla rozważanej sytuacj pomarowej. Przy przyjętych założenach funkcja warygodnośc ma postać L = p( y; θ ) = exp + πσ σ ϕ µ ( ϕ µ ) ϕ µ σ = σ = Maksymalzacja powyższej funkcj gęstośc jest równoważna mnmalzacj wyrażena J = + + y ku σ ϕ µ λ o o ϕ = σµ = ( ) gdze λ jest mnożnkem Lagrange a (metoda mnożnków Lagrange a służy rozwązywanu zadań mnmalzacj z ogranczenam równoścowym). Przyrównane różnczek względem y o, u o λ do zera prowadz do wyrażena na estymator najwększej warygodnośc o zmodyfkowanej w stosunku do LS postac k ML = = = y u Porównane własnośc statystycznych obydwu analzowanych tu estymatorów jest tematem jednego z zadań.

14 ZADAIA Komputerowa dentyfkacja obektów Zadane Zmodyfkuj program bezpośrednej maksymalzacj funkcj warygodnośc do przypadku dwóch pomarów nercyjnej odpowedz dynamcznej z neznaną estymowaną stałą czasową? Przeanalzuj jak przyjęty model odpowedz przekłada sę na lokalzację zmaksymalzowanej funkcję warygodnośc. Zadane Porównaj teoretyczną macerz kowarancj estymat parametrów obektu lnowego (y=au+b) z estymatora klasycznego LS estymatora Markowa dla 0 zakłóceń pomaru wyjśca o znanej macerzy kowarancj (np. połowa pomarów z wększą warancją). Wyrysuj przebeg odchylena standardowego estymat parametrów w funkcj dysproporcj odchylena standardowego pomarów. Zadane 3 Porównaj obcążene warancję estymatora LS estymatora najwększej warygodnośc w funkcj warancj zakłóceń dla zakłóconych pomarów wejśca wyjśca modelu lnowego z jednym parametrem. Tym razem analzę przeprowadź metodą eksperymentalną. Przedstaw wynk w postac grafcznej.

15 LITERATURA Komputerowa dentyfkacja obektów Sydenham P.H., Podręcznk Metrolog, WKŁ Warszawa 988 (rozdzał 8 pt. Estymacja parametru, paragraf 8.3.) Soderstrom T., Stoca P., Identyfkacja systemów, PW Warszawa 997

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze Wykłady Jacka Osewalskego z Ekonometr zebrane ku pouczenu przestrodze UWAGA!! (lstopad 003) to jest wersja neautoryzowana, spsana przeze mne dawno temu od tego czasu ne przejrzana; ma status wersj roboczej,

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji.

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji. Zakład Systemów Zaslana (Z-5) Opracowane nr 323/Z5 z pracy statutowej pt. Opracowane metody predykcj czasu życa bater na obekce oceny jej aktualnego stanu na podstawe analzy beżących parametrów jej eksploatacj.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax

Bardziej szczegółowo

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4 Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji i regresji

Analiza korelacji i regresji Analza korelacj regresj Zad. Pewen zakład produkcyjny zatrudna pracownków fzycznych. Ich wydajność pracy (Y w szt./h) oraz mesęczne wynagrodzene (X w tys. zł) przedstawa ponższa tabela: Pracownk y x A

Bardziej szczegółowo

Część III: Termodynamika układów biologicznych

Część III: Termodynamika układów biologicznych Część III: Termodynamka układów bologcznych MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW Z PODSTAW BIOFIZYKI IIIr. Botechnolog prof. dr hab. nż. Jan Mazersk TERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH Nezwykle cenną metodą

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji modele ekonometryczne

Analiza regresji modele ekonometryczne Analza regresj modele ekonometryczne Klasyczny model regresj lnowej - przypadek jednej zmennej objaśnającej. Rozpatrzmy klasyczne zagadnene zależnośc pomędzy konsumpcją a dochodam. Uważa sę, że: - zależność

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego Zadane na wykonane Projektu Zespołowego Celem projektu jest uzyskane następującego szeregu umejętnośc praktycznych: umejętnośc opracowana równoległych wersj algorytmów (na przykładze algorytmów algebry

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1)

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1) LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-) wwwmuepolslpl/~wwwzmape Opracował: Dr n Jan Około-Kułak Sprawdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Zatwerdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Cel wczena Celem wczena jest

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)

Bardziej szczegółowo

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n

Bardziej szczegółowo

Analiza modyfikacji systemów bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych AC na przykładzie wybranego zakładu ubezpieczeń

Analiza modyfikacji systemów bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych AC na przykładzie wybranego zakładu ubezpieczeń Analza modyfkacj systemów bonus-malus Ewa Łazuka Klauda Stępkowska Analza modyfkacj systemów bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych AC na przykładze wybranego zakładu ubezpeczeń Tematyka przedstawonego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Dany jest szereg rozdzielczy przedziałowy, wyznaczyć następujące miary: 0 5 5 wariancja, odchylenie standardowe

Zadanie 2. Dany jest szereg rozdzielczy przedziałowy, wyznaczyć następujące miary: 0 5 5 wariancja, odchylenie standardowe Zadane 1. Dany jet zereg przedzałowy, wyznaczyć natępujące mary: x n średna arytmetyczna 1 10 warancja, odchylene tandardowe 15 domnanta 3 0 medana 4 35 kurtoza 5 0 6 15 Zadane. Dany jet zereg rozdzelczy

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 86 Analza dyskrymnacyjna regresja logstyczna w procese oceny zdolnośc kredytowej przedsęborstw Robert Jagełło Warszawa, 0 r. Wstęp Robert Jagełło Narodowy Bank Polsk. Składam

Bardziej szczegółowo

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA. im. Jarosława Dąbrowskiego ROZPRAWA DOKTORSKA RAFAŁ SZYMANOWSKI

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA. im. Jarosława Dąbrowskiego ROZPRAWA DOKTORSKA RAFAŁ SZYMANOWSKI WOJSKOWA AKADEMIA TECHICZA m. Jarosława Dąbrowskego ROZPRAWA DOKTORSKA RAFAŁ SZYMAOWSKI PRECYZYJE LICZIKI CZASU CMOS FPGA Z DWUSTOPIOWĄ ITERPOLACJĄ Promotor prof. dr hab. nż. Józef KALISZ WARSZAWA 003

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej...

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... Adam Waszkowsk * Adam Waszkowsk Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej w doborze spó³ek do portfela nwestycyjnego Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej... Wstêp Na warszawskej Ge³dze Paperów

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną) 1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

DUQUE DATA COLLECTION FOR DELIVERY PORODY - zbieranie danych w projekcie DUQuE

DUQUE DATA COLLECTION FOR DELIVERY PORODY - zbieranie danych w projekcie DUQuE Ne Incluson Defncje Poród Krytera włączena Urodzene dzecka. DUQUE DATA COLLECTION FOR PORODY - zberane danych w projekce DUQuE Pacjentk w weku 15 lat węcej z rozpoznanem podstawowym porodu według klasyfkacj

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

Analiza ekonomiczna rynku energii elektrycznej w latach 2007-2008 1)

Analiza ekonomiczna rynku energii elektrycznej w latach 2007-2008 1) Analza ekonomczna rynku energ elektrycznej w latach 2007-2008 1) Autor: Marek Detl 2) (Buletyn Urzędu Regulacj Energetyk - nr 6/2009) Elektroenergetyka jest jedną z kluczowych branŝ w Polsce. Jej dzałane

Bardziej szczegółowo

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20 Darusz Letkowsk Unwersytet Łódzk BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG0 Wprowadzene Teora wyboru efektywnego portfela nwestycyjnego zaproponowana przez H. Markowtza oraz jej rozwnęca

Bardziej szczegółowo

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r. Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego

Bardziej szczegółowo

Ćw. 1. Wyznaczanie wartości średniego statycznego współczynnika tarcia i sprawności mechanizmu śrubowego.

Ćw. 1. Wyznaczanie wartości średniego statycznego współczynnika tarcia i sprawności mechanizmu śrubowego. Laboratorum z Podstaw Konstrukcj Maszyn - 1 - Ćw. 1. Wyznaczane wartośc średnego statycznego współczynnka tarca sprawnośc mechanzmu śrubowego. 1. Podstawowe wadomośc pojęca. Połączene śrubowe jest to połączene

Bardziej szczegółowo

Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).

Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne

Bardziej szczegółowo

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH

KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH KRÓTKIE WPROWADZENIE DO WIZUALIZACJI I ANALIZY FUNKCJONALNEJ DANYCH EKONOMICZNYCH Danel Kosorowsk Katedra Statystyk, UEK w Krakowe Posedzene Rady Wydzału Zarządzana Kraków, 23.05.2013 PLAN REFERATU 1.

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Neural networks. Krótka historia 2004-05-30. - rozpoznawanie znaków alfanumerycznych.

Neural networks. Krótka historia 2004-05-30. - rozpoznawanie znaków alfanumerycznych. Neural networks Lecture Notes n Pattern Recognton by W.Dzwnel Krótka hstora McCulloch Ptts (1943) - perwszy matematyczny ops dzalana neuronu przetwarzana przez nego danych. Proste neurony, które mogly

Bardziej szczegółowo

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH

MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA STATYSTYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH Domnk Krężołek Unwersytet Ekonomczny w Katowcach MIARY ZALEŻNOŚCI ANALIZA AYYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU MEALI NIEŻELAZNYCH Wprowadzene zereg czasowe obserwowane na rynkach kaptałowych

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA W PRZESIEWACZACH WIELOPOKŁADOWYCH

OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA W PRZESIEWACZACH WIELOPOKŁADOWYCH Prace Naukowe Instytutu Górnctwa Nr 136 Poltechnk Wrocławskej Nr 136 Studa Materały Nr 43 2013 Jerzy MALEWSKI* Marta BASZCZYŃSKA** przesewane, jakość produktów, optymalzacja OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA

Bardziej szczegółowo

Nota 1. Polityka rachunkowości

Nota 1. Polityka rachunkowości Nota 1. Poltyka rachunkowośc Ops przyjętych zasad rachunkowośc a) Zasady ujawnana prezentacj nformacj w sprawozdanu fnansowym Sprawozdane fnansowe za okres od 01 styczna 2009 roku do 31 marca 2009 roku

Bardziej szczegółowo

Regulacje i sądownictwo przeszkody w konkurencji między firmami w Europie Środkowej i Wschodniej

Regulacje i sądownictwo przeszkody w konkurencji między firmami w Europie Środkowej i Wschodniej Łukasz Goczek * Regulacje sądownctwo przeszkody w konkurencj mędzy frmam w Europe Środkowej Wschodnej Wstęp Celem artykułu jest analza przeszkód dla konkurencj pomędzy frmam w Europe Środkowej Wschodnej.

Bardziej szczegółowo

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Ewa Szymank Katedra Teor Ekonom Akadema Ekonomczna w Krakowe ul. Rakowcka 27, 31-510 Kraków STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Abstrakt Artykuł przedstawa wynk badań konkurencyjnośc

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją

Badania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław

Bardziej szczegółowo

banków detalicznych Metody oceny efektywnoœci operacyjnej

banków detalicznych Metody oceny efektywnoœci operacyjnej Metody oceny efektywnoœc operacyjnej banków detalcznych Danuta Skora, mgr, doktorantka Wydza³u Nauk Ekonomcznych, Dyrektor Regonu jednego z najwêkszych banków detalcznych Adran Kulczyck, mgr, doktorant

Bardziej szczegółowo

Model oceny ryzyka w działalności firmy logistycznej - uwagi metodyczne

Model oceny ryzyka w działalności firmy logistycznej - uwagi metodyczne Magdalena OSIŃSKA Unwersytet Mkołaja Kopernka w Torunu Model oceny ryzyka w dzałalnośc frmy logstycznej - uwag metodyczne WSTĘP Logstyka w cągu ostatnch 2. lat stała sę bardzo rozbudowaną dzedzną dzałalnośc

Bardziej szczegółowo

EUROELEKTRA. Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej. Rok szkolny 2013/2014

EUROELEKTRA. Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej. Rok szkolny 2013/2014 EUROELEKTRA Ogólnopolska Olmpada Wedzy Elektrycznej Elektroncznej Rok szkolny 232 Zadana z elektronk na zawody III stopna (grupa elektronczna) Zadane. Oblczyć wzmocnene napęcowe, rezystancję wejścową rezystancję

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie hierarchicznej estymacji bayesowskiej w szacowaniu wartości dochodów ludności dla powiatów

Zastosowanie hierarchicznej estymacji bayesowskiej w szacowaniu wartości dochodów ludności dla powiatów Zastosowane herarchcznej estymacj bayesowskej w szacowanu wartośc dochodów ludnośc dla powatów Jan Kuback Ośrodek Statystyk Matematycznej, Urząd Statystyczny w Łodz Herarchczna estymacja bayesowska - wprowadzene

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI PRACY

ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI PRACY STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Barbara Batóg *, Jacek Batóg ** Unwersytet Szczecńsk ANALIZA WPŁYWU OBSERWACJI NIETYPOWYCH NA WYNIKI MODELOWANIA REGIONALNEJ WYDAJNOŚCI

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

kosztów ogrzewania lokali w budynku wielolokalowym.

kosztów ogrzewania lokali w budynku wielolokalowym. OGRZEWNICTWO Cepłownctwo, Ogrzewnctwo, Wentylacja 42/9 (2011) 346 350 www.ceplowent.pl Optymalna metoda wyznaczana współczynnków wyrównawczych do ndywdualnego rozlczana kosztów ogrzewana w budynku welolokalowym

Bardziej szczegółowo

ZAUTOMATYZOWANE STANOWISKO NAWIGACJI RADAROWEJ

ZAUTOMATYZOWANE STANOWISKO NAWIGACJI RADAROWEJ ZESZYY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LII NR 2 (85) 20 Krzysztof Czaplewsk Akadema Marynark Wojennej S ł awomr Ś werczyń sk Centralna Skł adnca Marynark Wojennej ZAUOMAYZOWANE SANOWISKO NAWIGACJI

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Adranna Mastalerz-Kodzs Unwersytet Ekonomczny w Katowcach KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Wprowadzene W dzałalnośc nstytucj fnansowych, takch

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU Studa Ekonomczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ZASTOSOWANIA METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Bardziej szczegółowo

O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH

O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Mateusz Baryła Unwersytet Ekonomczny w Krakowe O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA PODATKU DOCHODOWEGO OD OSÓB FIZYCZNYCH

STATYSTYCZNA ANALIZA PODATKU DOCHODOWEGO OD OSÓB FIZYCZNYCH PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr 39 23 Społeczno-gospodarcze aspekty statystyk ISSN 899-392 Edyta Mazurek Unwersytet Ekonomczny

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Techniczna dla MWT, Rozdział 14. AJ Wojtowicz IF UMK. 5.2. Generacja entropii; transfer ciepła przy skończonej róŝnicy temperatur

Termodynamika Techniczna dla MWT, Rozdział 14. AJ Wojtowicz IF UMK. 5.2. Generacja entropii; transfer ciepła przy skończonej róŝnicy temperatur ermodynamka echnczna dla MW, Rozdzał 4. AJ Wojtowcz IF UMK Rozdzał 4. Zmana entrop w przemanach odwracalnych.. rzemany obegu Carnota.. SpręŜane gazu półdoskonałego ze schładzanem.3. Izobaryczne wytwarzane

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ

MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ 4 MINISTER EDUKACJI NARODOWEJ DWST WPZN 423189/BSZI13 Warszawa, 2013 -Q-4 Pan Marek Mchalak Rzecznk Praw Dzecka Szanowny Pane, w odpowedz na Pana wystąpene z dna 28 czerwca 2013 r. (znak: ZEW/500127-1/2013/MP),

Bardziej szczegółowo

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej: dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO

ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Artur Zaborsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu ANALIZA PREFERENCJI SŁUCHACZY UNIWERSYTETU TRZECIEGO WIEKU Z WYKORZYSTANIEM WYBRANYCH METOD NIESYMETRYCZNEGO SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO Wprowadzene Od ukazana

Bardziej szczegółowo

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta Wprowadzene Zagadnena Sztucznej Intelgencj laboratorum Sec Neuronowe 1 Mchał Bereta Sztuczne sec neuronowe można postrzegać jako modele matematyczne, które swoje wzorce wywodzą z bolog obserwacj ludzkch

Bardziej szczegółowo