ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności"

Transkrypt

1 ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne

2 WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na początku XIX weku zasady mnmalzacj odległośc mędzy odpowedzą obektu modelu merzonej jako suma kwadratów odchyłek mało charakter arbtralny. Sperano sę wówczas czy lepsza jest zasada mnmalzacj sumy kwadratów czy też sumy modułów odchyłek, ale spory ne były poparte teorą. Gauss zauważył jednak, że estymator najmnejszej sumy kwadratów maksymalzuje funkcję gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu normalnego pomarów odpowedz, tj. dla wartośc estymat uzyskanych z użycem estymatora LS zmerzone wartośc odpowedz są najbardzej warygodne. Fakt ten znalazł swoje odbce w teor estymacj najwększej warygodnośc dopero w początkach dwudzestego weku za sprawą rozwoju statystyk. Zasadę wyboru takch wartośc estymowanych parametrów, które maksymalzują prawdopodobeństwo uzyskwanych pomarów a posteror można stosować w różnych sytuacjach pomarowych. Konkretny algorytm zależy od postac modelu dentyfkowanego obektu, modelu zakłóceń, stopna znajomośc parametrów zakłóceń. Stąd nazwa estymator najwększej warygodnośc mów nam tylko o klase algorytmu a ne o jego konkretnej postac. Przykład: Jaka jest najbardzej prawdopodobna rzeczywsta wartość merzona? Merzymy stałe napęce zakłócone szumem. Po perwszym pomarze chcemy określć wartość tego napęca. aturalny wybór to przyjęce wprost wartośc zmerzonej za estymatę napęca. Czy take postępowane może prowadzć do systematycznego błędu estymacj (czyl błędu obcążena) dla specyfcznego rozkładu szumu? astępne wykonalśmy bardzo dużo pomarów? Czy średna z pomarów jest dobrą estymatą napęca.

3 FUKCJA WIARYGODOŚCI Komputerowa dentyfkacja obektów Przy maksymalzacj prawdopodobeństwa wystąpena zaobserwowanych wartośc odpowedz (tzn. ch warygodnośc) postępować będzemy analogczne jak przy dopasowanu odpowedz modelu do pomarów, tyle że teraz model odpowedz będze mał charakter statystyczny, podany w postac funkcj gęstośc prawdopodobeństwa wystąpena określonych wartośc odpowedz. ajczęścej wartość oczekwana odpowedz będze równa nezakłóconej odpowedz modelu dynamcznego a rozrzut będze wynkał z zakłóceń addytywnych (np. szumy ceplne, szum kwantowana). Dopasowane będzemy prowadzć przez dobór takch wartośc parametrów modelu, żeby funkcja gęstośc prawdopodobeństwa osągała w punktach pomarowych wartość maksymalną. Zapszmy formalne zadane takego wyboru wartośc estymat neznanych parametrów, żeby zmerzone wartośc y p odpowedz obektu były najbardzej prawdopodobne. Funkcja gęstośc prawdopodobeństwa cągu próbek y, sygnału odpowedz na znane pobudzene ma postać welowymarową. Każda z próbek jest zmenną losową a funkcja gęstośc opsuje cały wektor próbek = [ y y ], y y,, w sposób łączny. Dodatkowo zakładamy, że wartośc próbek zależą od poszukwanych parametrów modelu (zależnośc od sygnału wejścowego ne notujemy dla utrzymana jasnośc zapsu). Tak węc funkcja gęstośc będze meć oznaczene ( ; ) L = p y θ gdze y jest wektorem próbek (zmennych losowych), a θ wektorem estymowanych parametrów. Zaps ze średnkem oznacza, że θ ne jest wektorem losowym tylko wektorem parametrów funkcj gęstośc. Funkcja ta nos nazwę funkcj warygodnośc (ang. lkelhood functon). Oczywśce jest to ta sama funkcja gęstośc prawdopodobeństwa pomarów, której używalśmy na poprzednch zajęcach do wylczena macerzy nformacyjnej.

4 ZASADA MAKSYMALIZACJI WIARYGODOŚCI Komputerowa dentyfkacja obektów Estymator maksymalzujący funkcję warygodnośc w punkce y p (zaobserwowana realzacja wektora próbek): ( yp θ ) θ ˆ = arg max p ; θ jest nazywany estymatorem najwększej warygodnośc (ang. maxmum lkelhood, w skróce ML) oznaczany θ ˆ ML. Oczywśce maksymalzacja może być przeprowadzona tylko przy znajomośc postac funkcj warygodnośc. Zatem żeby określć estymator najwększej warygodnośc należy znać, lub założyć na podstawe posadanej wedzy, ogólną postać funkcj warygodnośc zależnej od neznanych (a estymowanych) parametrów θ. Maksymalzację można prowadzć metodam teracyjnego poszukwana ekstremów funkcj nelnowych bezpośredno na funkcj gęstośc, jednak w przypadku pewnych rozkładów zadane upraszcza sę do estymatorów jednokrokowych (wyrażeń algebracznych). Zostane to pokazane w dalszej częśc wykładu. Przykład: Bezpośredna maksymalzacja funkcj warygodnośc dla zakłóceń gaussowskch dwóch pomarów clf m=5; % rzeczywsta wartość współczynnka (stałej) S=[ 0; 0 ]; % macerz kowarancyjna szumu 8 y=m+randn(,); % pomar zakłócony szumem gaussowskm % funkcja warygodnośc (ze znakem mnus: max->mn) -/(*p*sqrt(det(s)))*exp(-/*(y-x)'*nv(s)*(y-x)); mest=fmnunc(l, 5,[],y,S) % estymowana wartość współczynnka plot(m, m, 'bo', y(), y(),'r*'); axs([ ]) 6 4 yv=0:0.:0; yv=0:0.:0; for k=:length(yv), for k=:length(yv) V(k,k)=-L(mest,[yv(k);yv(k)],S); end, end hold on, contour(yv,yv,v,0), grd on Jak to wygląda na os czasowej? Co sę zmen przy pomarze nercyjnej odpowedz dynamcznej? 0

5 ESTYMATORY AJWIĘKSZEJ WIARYGODOŚCI I ICH WŁASOŚCI Popularność estymatorów wynkających z zasady najwększej warygodnośc wynka z ch korzystnych własnośc statystycznych. Jak dowedzono estymatory te są asymptotyczne (tzn. z rosnącą loścą danych pomarowych): zgodne, neobcążone, efektywne. Dla przypomnena, ostatna cecha oznacza, że mają one najmnejszą macerz kowarancyjną ze wszystkch estymatorów neobcążonych, równą ogranczenu Rao-Cramera w postac odwrotnośc macerzy nformacyjnej. Z jednej strony zasada najwększej warygodnośc jest metodą generowana optymalnych estymatorów przy przyjętych założenach co do funkcj gęstośc prawdopodobeństwa. Z drugej strony przyjęło sę używać nazwy estymator najwększej warygodnośc na każdy estymator, które ma wymenone optymalne własnośc. W tym przypadku mamy węc do czynena z odwrotną sytuacją, najperw określa sę estymator, a późnej wykazuje jego korzystne własnośc. Tak węc pojęce estymator najwększej warygodnośc jest bardzo ogólne obejmuje całą klasę estymatorów o szczególnych własnoścach. Jak zobaczymy w następnym punkce, przyjęce określonych założeń co do postac funkcj warygodnośc skutkuje szczególną postacą estymatora ML.

6 PRZYPADKI SZCZEGÓLE Komputerowa dentyfkacja obektów PRZYPADEK : Od zasady najwększej warygodnośc do zasady najmnejszej sumy kwadratów. Model pomaru Zastosujmy zasadę najwększej warygodnośc do przypadku najczęścej stosowanego w praktyce, tj. opsu zakłóceń pomaru rozkładem normalnym. Załóżmy, że nezakłócone wyjśce dentyfkowanego obektu y o (t) jest zwązane ze znanym wejścem obektu u(t) parametram obektu θ pewną zależnoścą (dowolną, być może dynamczną lub nelnową ze względu na parametry), co zapszemy w postac modelu obektu dentyfkacj: yo (, ) = g u θ Zakładamy równeż, że zakłócena pomarowe ε mają charakter addytywny rozkład normalny o zerowej wartośc oczekwanej (błąd pomaru bez składowej systematycznej). Dostępne pomarowo wyjśce obektu y(t) jest węc opsane zależnoścą (, θ ) y = g u + ε Jeśl dokonujemy pomaru wyjśca obektu w różnych chwlach czasowych t, t ( ) =,,,, to wynkowy zbór pomarów y t, który zapszemy jako kolumnowy wektor pomarów y, możemy opsać -wymarowym rozkładem normalnym o wartośc oczekwanej o y (tzn. y ( t ) =,, o macerzy kowarancj zakłóceń w momentach pomaru. ). Macerz kowarancj wektora pomarów jest równa

7 Od zasady najwększej warygodnośc do zasady najmnejszej sumy kwadratów. Funkcja warygodnośc Dotychczas ne czynlśmy założeń co do warancj zakłóceń przy poszczególnych pomarach an o zależnośc losowej mędzy pomaram. Przyjmjmy najbardzej ogólne założene, że te parametry statystyczne zakłóceń są opsane macerzą kowarancyjną V o znanej wartośc. Welowymarowy rozkład normalny o wymenonych parametrach ma funkcję gęstośc (funkcję warygodnośc) o postac: L = p( y; θ) = exp y yo V y y V ( π ) ( π ) T [ ] [ ] T = exp ( u, ) ( u, ) y g θ V y g θ V Przeprowadźmy maksymalzację funkcj warygodnośc w dzedzne wektora parametrów θ, dla uzyskanych w wynku pomaru wartośc y p (pojedynczej realzacj) wektora losowego y. Skorzystamy z faktu, że poszukwane maksmum funkcj o dodatnch wartoścach jest równoważne poszukwanu maksmum logarytmu naturalnego funkcj (logarytm jest funkcją monotonczną), dzęk czemu oblczena staną sę łatwejsze. T lnl = ln( π ) ln ( V ) p ( u, ) p ( u, ) y g θ V y g θ o

8 Od zasady najwększej warygodnośc do zasady najmnejszej sumy kwadratów 3. Maksymalzacja warygodnośc Poneważ perwsze dwa składnk maksymalzowanego wyrażena ne zależą od estymowanych parametrów, to ostateczne maksymalzacja funkcj warygodnośc prowadz do mnmalzacj (zmana znaku) funkcjonału: T ( θ) = y g(, θ) V y g(, θ ) J u u p p Funkcjonał J w szczególnym przypadku dagonalnej macerzy V (zakłócena neskorelowane o różnych warancjach) jest sumą ważonych odwrotnoścam warancj kwadratów różnc mędzy wartoścam zmerzonym a wynkającym z modelu dla danej wartośc wektora estymowanych parametrów θ. Jeśl macerz V jest macerzą jednostkową z mnożnkem σ (zakłócena w poszczególnych pomarach wzajemne nezależne o dentycznej warancj), to funkcjonał J przybera postać znanej nam sumy kwadratów odchyłek pomarów wyjśca obektu od wyjśca modelu. T J( θ) = yp g( u, θ) ( σ I) yp g( u, θ) = y p( t) g ( u, ) σ θ = Tak węc, sformułowane najwększej warygodnośc prowadz w szczególnym przypadku do klasycznego sformułowana najmnejszej sumy kwadratów. Inaczej mówąc, estymator LS przy szczególnym modelu zakłóceń jest estymatorem najwększej warygodnośc. Otrzymalśmy równeż ogólnejsze sformułowane zadana najmnejszej sumy kwadratów w postac ważonej macerzą kowarancj zakłóceń V dla przypadku kedy zakłócena ne mają dentycznego rozkładu /lub są skorelowane.

9 PRZYPADEK : Obekt lnowy z zakłócenam pomaru wyjśca o znanych parametrach statystycznych Wyprowadźmy z zasady najwększej warygodnośc estymator najmnejszej sumy kwadratów dla obektu lnowego w przypadku ogólnym, tj. zakłóceń pomarowych o rozkładze normalnym opsanych macerzą kowarancj V. W rozważanym przypadku równane modelu ma postać: a mnmalzowany funkcjonał: J ( ) yo = g u, θ = Uθ T ( ) θ = y Uθ V y Uθ p p Różnczkowane macerzowe względem θ przyrównane do zera (szczegóły w [Soderstrom, Stoca 997]) prowadz do wzoru na estymator: ( ) ˆ T T M = θ UV U UV y Ten ogólnejszy od LS estymator jest nazywany w teor estymacj estymatorem Markowa lub uogólnonym estymatorem LS. Jego macerz kowarancj wynos Σ = cov = M ( ˆ T θ ) ( ) M UV U podczas gdy klasyczny estymator LS zastosowany w rozważanym przypadku jest co prawda nadal neobcążony, ale ma wększą warancję, równą Σ = cov = LS ( ˆ T T T θls ) ( UU) UVUUU ( ) Poneważ estymator θ ˆ M został wyprowadzony z zasady najwększej warygodnośc, to jego macerz kowarancyjna jest najmnejsza możlwa (asymptotyczne) dla estymatora neobcążonego. Porównane tej macerzy z ogranczenem dolnym Cramera-Rao rzeczywśce przekonuje nas o tym, że w przypadku zakłóceń o rozkładze normalnym dowolnej macerzy kowarancyjnej estymator Markowa jest efektywny.

10 Przykład: Średna na podstawe welu pomarów tej samej welkośc o różnej dokładnośc Załóżmy, że chcemy sę dowedzeć, która jest godzna, ale ne mamy zegarka. Pytamy napotkanych ludz o godznę wnoskujemy z odpowedz o poszukwanej welkośc. Inaczej mówąc, zberamy dane pomarowe na ch podstawe estymujemy pewną welkość. Załóżmy, że odpowedz udzelło nam dzecko z tandetnym plastkowym zegarkem, zanedbany człowek bez zegarka (popatrzył na słońce) profesor AGH z Omegą na ręce. Uzyskalśmy następującą nformację z przypsaną przez nas warygodnoścą nformacj merzoną odchylenem standardowym: :30 ±5mnut (dzecko) :00 ±godzna (zanedbany) :8 ±mnuta (profesor) Zakładając, że odpowedz ne są skorelowane, jaka będze macerz kowarancj zakłóceń pomaru? Jaka będze postać estymatora wynk estymacj? Oblczena przeprowadzmy wspólne na tablcy. Przykład: Klka pomarów o zakłócenach skorelowanych różnej warancj nterpretacja wybelana szumu Interpretacja sposobu oblczeń powyższego estymatora, gdze każdy pomar mał skojarzoną wagę reprezentującą stotność nformacyjną pomaru, może być uogólnona dla przypadku zakłóceń skorelowanych. Wtedy mnożene przez odwrotność macerzy kowarancj daje ne tylko efekt wyrównana pozomu szumu, ale równeż efekt dekorelacj zakłóceń pomarów. Efekt jest znany jako wybelane szumu (ang. nose whtenng) ma swoje odbce w T p p ważonej postac kryterum sumy kwadratów reszt dopasowana: ( ) J θ = y Uθ V y Uθ.

11 PRZYPADEK 3: Zakłócena pomaru wyjśca o neznanych parametrach statystycznych W praktyce rzadko znamy parametry statystyczne zakłóceń przed wykonanem eksperymentu pomarowego. ajczęścej szacujemy warancję zakłóceń na podstawe danych pomarowych. Parametry zakłócena są węc dodatkowym elementem wektora parametrów estymowanych jeśl są potrzebne np. do oszacowana warancj estymat. Dla wyprowadzena estymatora warancj najwększej warygodnośc załóżmy normalny rozkład neskorelowanych zakłóceń o dentycznej neznanej warancj, tzn. zakłócena mają charakter..d. W takm przypadku funkcja warygodnośc po logarytmowanu ma postać: lnl = ln( π) ln ( σ ) ( ) (, ) y t g u σ θ = Przyrównane różnczk względem warancj do zera doprowadz nas do poszukwanego estymatora tej welkośc: skąd lnl = + y( t ) (, ) g u θ = 0 4 σ σ σ = σ y t g u e ( ) ( ) =, θ = = = Estymator warancj jest węc równy wartośc średnokwadratowej reszt dopasowana modelu do pomarów. Dodatkowo estymator warancj jest nezależny od estymatora parametrów obektu.

12 PRZYPADEK 4: Zakłócena pomaru wejśca wyjśca obektu lnowego Równe częstym praktycznym problemem jak neznajomość warancj zakłóceń jest nedostępność dokładnych wartośc sygnału wejścowego, który dotąd zawsze przyjmowalśmy jako znany dokładne. Znane są jedyne jego zakłócone wartośc zmerzone. Jedno wyjśce z tej sytuacj to uznane wartośc zmerzonych za dokładne stosowane estymatora klasycznego. Przeanalzujmy problem na przykładze obektu lnowego z jednym parametrem opsanego modelem: yo = k uo Przyjmjmy, że wartośc u o y o są stałe w czase trwana pomarów. Dostępne pomarowo sygnały y u są zakłócone, tj. u = u o + µ, y = yo + ϕ. Załóżmy, że zakłócena µ, ϕ są wzajemne neskorelowane mają warancje odpowedno σ µ, σ ϕ. Estymator LS parametru k ma w tym prostym skalarnym przypadku postać k Rozpsując ten wzór z uwzględnenem zakłóceń otrzymujemy k LS = = = y u ( y + )( u + ) y u + y + u + o o o o o o = = = = = LS = = ( uo + µ ) uo + uoµ + µ = = = = u ϕ µ µ ϕ µϕ Wraz z rosnącą loścą danych pomarowych poszczególne sumy loczynów dążą w grancy do korelacj mnożonych czynnków.

13 Korzystając z braku korelacj mędzy zakłócenam z zerowej wartośc oczekwanej zakłóceń, uzyskujemy granczną wartość estymatora równą lm k yu yu k = = = o o = o o LS uo µ uo µ = = = Powyższy wynk dowodz, że w przypadku zakłóconych pomarów wejśca estymator LS daje wynk obcążone. σ µ uo Spróbujmy w takm raze wyprowadzć z zasady najwększej warygodnośc estymator neobcążony dla rozważanej sytuacj pomarowej. Przy przyjętych założenach funkcja warygodnośc ma postać L = p( y; θ ) = exp + πσ σ ϕ µ ( ϕ µ ) ϕ µ σ = σ = Maksymalzacja powyższej funkcj gęstośc jest równoważna mnmalzacj wyrażena J = + + y ku σ ϕ µ λ o o ϕ = σµ = ( ) gdze λ jest mnożnkem Lagrange a (metoda mnożnków Lagrange a służy rozwązywanu zadań mnmalzacj z ogranczenam równoścowym). Przyrównane różnczek względem y o, u o λ do zera prowadz do wyrażena na estymator najwększej warygodnośc o zmodyfkowanej w stosunku do LS postac k ML = = = y u Porównane własnośc statystycznych obydwu analzowanych tu estymatorów jest tematem jednego z zadań.

14 ZADAIA Komputerowa dentyfkacja obektów Zadane Zmodyfkuj program bezpośrednej maksymalzacj funkcj warygodnośc do przypadku dwóch pomarów nercyjnej odpowedz dynamcznej z neznaną estymowaną stałą czasową? Przeanalzuj jak przyjęty model odpowedz przekłada sę na lokalzację zmaksymalzowanej funkcję warygodnośc. Zadane Porównaj teoretyczną macerz kowarancj estymat parametrów obektu lnowego (y=au+b) z estymatora klasycznego LS estymatora Markowa dla 0 zakłóceń pomaru wyjśca o znanej macerzy kowarancj (np. połowa pomarów z wększą warancją). Wyrysuj przebeg odchylena standardowego estymat parametrów w funkcj dysproporcj odchylena standardowego pomarów. Zadane 3 Porównaj obcążene warancję estymatora LS estymatora najwększej warygodnośc w funkcj warancj zakłóceń dla zakłóconych pomarów wejśca wyjśca modelu lnowego z jednym parametrem. Tym razem analzę przeprowadź metodą eksperymentalną. Przedstaw wynk w postac grafcznej.

15 LITERATURA Komputerowa dentyfkacja obektów Sydenham P.H., Podręcznk Metrolog, WKŁ Warszawa 988 (rozdzał 8 pt. Estymacja parametru, paragraf 8.3.) Soderstrom T., Stoca P., Identyfkacja systemów, PW Warszawa 997

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze Wykłady Jacka Osewalskego z Ekonometr zebrane ku pouczenu przestrodze UWAGA!! (lstopad 003) to jest wersja neautoryzowana, spsana przeze mne dawno temu od tego czasu ne przejrzana; ma status wersj roboczej,

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA VI. Estymator LS - własności i implementacje

ZAJĘCIA VI. Estymator LS - własności i implementacje Komputerowa dentyfkacja obektów ZAJĘCIA VI Estymator LS - własnośc mplementacje Dokładność wynków dentyfkacj (jakość estymatora) Dokładność estymatora LS Iteracyjne oblczena estymat LS Oblczena dla obektów

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH RYNEK CIEŁA 03 DIANOSYKA YMIENNIKÓ CIEŁA Z UIARYODNIENIEM YNIKÓ OMIARÓ EKLOAACYJNYCH Autorzy: rof. dr hab. nż. Henryk Rusnowsk Dr nż. Adam Mlejsk Mgr nż. Marcn ls Nałęczów, 6-8 paźdzernka 03 SĘ Elementam

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału

= σ σ. 5. CML Capital Market Line, Rynkowa Linia Kapitału 5 CML Catal Market Lne, ynkowa Lna Katału Zbór ortolo o nalny odchylenu standardowy zbór eektywny ozważy ortolo złożone ze wszystkch aktywów stnejących na rynku Załóży, że jest ch N A * P H P Q P 3 * B

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów. Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4 Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji.

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji. Zakład Systemów Zaslana (Z-5) Opracowane nr 323/Z5 z pracy statutowej pt. Opracowane metody predykcj czasu życa bater na obekce oceny jej aktualnego stanu na podstawe analzy beżących parametrów jej eksploatacj.

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje

Bardziej szczegółowo

Nieparametryczne Testy Istotności

Nieparametryczne Testy Istotności Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

TEORIA PORTFELA MARKOWITZA

TEORIA PORTFELA MARKOWITZA TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj 2008 1 Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego

Bardziej szczegółowo

Rozmyta efektywność portfela

Rozmyta efektywność portfela Krzysztof PIASECKI Akadema Ekonomczna w Poznanu Problem badawczy Rozmyta ektywność portfela Buckley [] Calz [] zaproponowal reprezentowane wartośc przyszłych nwestycj fnansowych przy pomocy lczb rozmytych.

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji modele ekonometryczne

Analiza regresji modele ekonometryczne Analza regresj modele ekonometryczne Klasyczny model regresj lnowej - przypadek jednej zmennej objaśnającej. Rozpatrzmy klasyczne zagadnene zależnośc pomędzy konsumpcją a dochodam. Uważa sę, że: - zależność

Bardziej szczegółowo

Część III: Termodynamika układów biologicznych

Część III: Termodynamika układów biologicznych Część III: Termodynamka układów bologcznych MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW Z PODSTAW BIOFIZYKI IIIr. Botechnolog prof. dr hab. nż. Jan Mazersk TERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH Nezwykle cenną metodą

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji i regresji

Analiza korelacji i regresji Analza korelacj regresj Zad. Pewen zakład produkcyjny zatrudna pracownków fzycznych. Ich wydajność pracy (Y w szt./h) oraz mesęczne wynagrodzene (X w tys. zł) przedstawa ponższa tabela: Pracownk y x A

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego

Zadanie na wykonanie Projektu Zespołowego Zadane na wykonane Projektu Zespołowego Celem projektu jest uzyskane następującego szeregu umejętnośc praktycznych: umejętnośc opracowana równoległych wersj algorytmów (na przykładze algorytmów algebry

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1)

LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-1) LABORATORIUM METROLOGII TECHNIKA POMIARÓW (M-) wwwmuepolslpl/~wwwzmape Opracował: Dr n Jan Około-Kułak Sprawdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Zatwerdzł: Dr hab n Janusz Kotowcz Cel wczena Celem wczena jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.

11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej. /22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:

Bardziej szczegółowo

Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa-

Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa- ZałoŜena scheatu Gaussa- Markowa I. Model jest nezennczy ze względu na obserwacje: f f f3... fl f, czyl y f (x, ε) II. Model jest lnowy względe paraetrów. y βo + β x +ε Funkcja a być lnowa względe paraetrów

Bardziej szczegółowo

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010 Egzamn ze statystyk/ Studa Lcencjacke Stacjonarne/ Termn /czerwec 2010 Uwaga: Przy rozwązywanu zadań, jeśl to koneczne, naleŝy przyjąć pozom stotnośc 0,01 współczynnk ufnośc 0,99 Zadane 1 PonŜsze zestawene

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH

WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH Metrologa Wspomagana Komputerowo - Zegrze, 9-22 05.997 WSPOMAGANE KOMPUTEROWO POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI CHWILOWEJ SYGNAŁÓW IMPULSOWYCH dr nż. Jan Ryszard Jask, dr nż. Elgusz Pawłowsk POLITECHNIKA lubelska

Bardziej szczegółowo

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Dany jest szereg rozdzielczy przedziałowy, wyznaczyć następujące miary: 0 5 5 wariancja, odchylenie standardowe

Zadanie 2. Dany jest szereg rozdzielczy przedziałowy, wyznaczyć następujące miary: 0 5 5 wariancja, odchylenie standardowe Zadane 1. Dany jet zereg przedzałowy, wyznaczyć natępujące mary: x n średna arytmetyczna 1 10 warancja, odchylene tandardowe 15 domnanta 3 0 medana 4 35 kurtoza 5 0 6 15 Zadane. Dany jet zereg rozdzelczy

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

Analiza modyfikacji systemów bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych AC na przykładzie wybranego zakładu ubezpieczeń

Analiza modyfikacji systemów bonus-malus w ubezpieczeniach komunikacyjnych AC na przykładzie wybranego zakładu ubezpieczeń Analza modyfkacj systemów bonus-malus Ewa Łazuka Klauda Stępkowska Analza modyfkacj systemów bonus-malus w ubezpeczenach komunkacyjnych AC na przykładze wybranego zakładu ubezpeczeń Tematyka przedstawonego

Bardziej szczegółowo

Zjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych)

Zjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych) Statystyka - nauka zajmująca sę metodam badana przedmotów zjawsk w ch masowych przejawach ch loścową lub jakoścową analzą z punktu wdzena nauk, do której zakresu należą.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa i nieliniowa

Regresja liniowa i nieliniowa Metody prognozowana: Regresja lnowa nelnowa Dr nż. Sebastan Skoczypec Zmenna losowa Zmenna losowa X zmenna, która w wynku pewnego dośwadczena przyjmuje z pewnym prawdopodobeństwem wartość z określonego

Bardziej szczegółowo

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera

7. Wykład VII: Warunki Kuhna-Tuckera Wocech Grega, Metody Optymalzac 7 Wykład VII: Warunk Kuhna-Tuckera 7 Warunk koneczne stnena ekstremum Rozważane est zadane z ogranczenam nerównoścowym w postac: mn F( x ) x X X o F( x ), o { R x : h n

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 86 Analza dyskrymnacyjna regresja logstyczna w procese oceny zdolnośc kredytowej przedsęborstw Robert Jagełło Warszawa, 0 r. Wstęp Robert Jagełło Narodowy Bank Polsk. Składam

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 15. ANALIZA DANYCH WYKRYWANIE OBSERWACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska

SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 15. ANALIZA DANYCH WYKRYWANIE OBSERWACJI. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 15. ANALIZA DANYCH WYKRYWANIE OBSERWACJI ODSTAJĄCYCH, UZUPEŁNIANIE BRAKUJĄCYCH DANYCH Częstochowa 2014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska WYKRYWANIE

Bardziej szczegółowo

Prawdziwa ortofotomapa

Prawdziwa ortofotomapa Prawdzwa ortofotomapa klasyczna a prawdzwa ortofotomapa mnmalzacja przesunęć obektów wystających martwych pól na klasycznej ortofotomape wpływ rodzaju modelu na wynk ortorektyfkacj budynków stratege opracowana

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną) 1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Badana sondażowe Brak danych Konstrukcja wag Agneszka Zęba Zakład Badań Marketngowych Instytut Statystyk Demograf Szkoła Główna Handlowa 1 Błędy braku odpowedz Całkowty brak odpowedz (UNIT nonresponse)

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej...

Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej w doborze spó³ek do portfela inwestycyjnego Zastosowanie wielowymiarowej analizy porównawczej... Adam Waszkowsk * Adam Waszkowsk Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej w doborze spó³ek do portfela nwestycyjnego Zastosowane welowymarowej analzy porównawczej... Wstêp Na warszawskej Ge³dze Paperów

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnienia

EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnienia EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnena dr Dorota Cołek Katedra Ekonometr Wydzał Zarządzana UG http://wzr.pl/dorota-colek/ dorota.colek@ug.edu.pl 1 Wpływ skalowana danych na MNK

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn

Wyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn Wyznaczane zastępczej sprężyn Ćwczene nr 10 Wprowadzene W przypadku klku sprężyn ze sobą połączonych, można mu przypsać tzw. współczynnk zastępczej k z. W skrajnych przypadkach sprężyny mogą być ze sobą

Bardziej szczegółowo

AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID

AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID ĆWICZENIE LABORAORYJNE AUOMAYKA I SEROWANIE W CHŁODNICWIE, KLIMAYZACJI I OGRZEWNICWIE L3 SEROWANIE INWEREROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W RYBIE PD ORAZ PID Wersja: 03-09-30 -- 3.. Cel ćwczena Celem ćwczena

Bardziej szczegółowo