Badanie współzaleŝności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej. Badanie zaleŝności dwóch cech ilościowych. Analiza regresji prostej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Badanie współzaleŝności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej. Badanie zaleŝności dwóch cech ilościowych. Analiza regresji prostej"

Transkrypt

1 Badane współzaleŝnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Badane zaleŝnośc dwóch cech loścowych. Analza regresj prostej Kody znaków: Ŝółte wyróŝnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz

2 Zagadnena. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny. 2. Idea opsu współzaleŝnośc. 3. Testowane hpotezy o korelacj.. Regresja lnowa Y względem X. 2. Prosta regresj. 3. Testowane hpotezy o regresj. 4. Współczynnk opsujące regresję. 2

3 Wprowadzene - przykład A W frme_a za godznę dyŝuru pracownk otrzymuje 0 zł. Zapytano 0 osób o ch tygodnowy czas pracy zarobk. tygodnowy czas pracy w godznach cecha X tygodnowe zarobk w złotych cecha Y Frma_A osoba osoba 2 osoba 3 osoba 4 osoba 5 osoba 6 osoba 7 osoba 8 osoba 9 osoba 0 czas pracy zarobk

4 Wprowadzene - przykład A W frme_a za godznę dyŝuru pracownk otrzymuje 0 zł. Zapytano 0 osób o ch tygodnowy czas pracy zarobk. tygodnowy czas pracy w godznach cecha X tygodnowe zarobk w złotych cecha Y Frma_A osoba osoba 2 osoba 3 osoba 4 osoba 5 osoba 6 osoba 7 osoba 8 osoba 9 osoba 0 czas pracy zarobk Posortowane rosnąco wg czasu pracy: Frma_A osoba osoba 6 osoba 0 osoba 8 osoba 7 osoba 5 osoba 9 osoba 4 osoba 2 osoba 3 czas pracy zarobk

5 Wprowadzene - przykład A Frma A zarobk czas pracy 5

6 Wprowadzene - przykład A Frma A Zarobk zaleŝą od czasu pracy według wzoru: zarobk zarobk 0*czas pracy y0x Jest to zaleŝność funkcyjna (determnstyczna) czas pracy 6

7 Wprowadzene - przykład B W frme_b za godznę dyŝuru pracownk otrzymuje 8 zł+opłatę za nterwencję. Zapytano 0 osób o ch tygodnowy czas pracy zarobk. tygodnowy czas pracy w godznach cecha X tygodnowe zarobk w złotych cecha Y czas pracy zarobk

8 Wprowadzene - przykład B Frma B Punkty ne leŝą na jednej prostej Jest to zaleŝność korelacyjna. 250 zarobk czas pracy 8

9 Wprowadzene - przykład B Frma B Frma B zarobk zarobk czas pracy czas pracy 9

10 Idea opsu współzaleŝnośc cech Przykład. Z dzesęcu poletek dośwadczalnych zebrano plony bulw zemnaczanych (cecha X) oznaczono w nch procentową zawartość skrob (cecha Y). Wynk zestawono w tabel: plon x (kg) zawartość skrob y (%) 7, 6,9 7,0 6,8 6,9 6,5 6,3 6,6 6,5 6,4 wynk z perwszego poletka wynk z drugego poletka Czy te wynk wskazują na występowane współzaleŝnośc mędzy cecham X, Y? Tworzene wykresu. 0

11 Dagram korelacyjny zawartość skrob 7,2 7, 7 6,9 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6,2 wynk z perwszego poletka plon Interpretacja beŝącego dagramu korelacyjnego.

12 Korelacja cech loścowych X, Y cechy loścowe obserwowane w dośwadczenu, n lczba jednostek dośwadczalnych, Wynk dośwadczena: wartośc cechy X: x x 2 x 3... x n wartośc cechy Y: y y 2 y 3... y n wynk dla perwszej jednostk dośwadczalnej wynk dla n-tej jednostk dośwadczalnej 2

13 Kerunek korelacj Dagram korelacyjny wartośc cechy Y y x wartośc cechy X Cechy X, Y są ujemne skorelowane 3

14 Kerunek korelacj cd. Dagram korelacyjny 2 wartośc cechy Y wartośc cechy X Cechy X, Y są dodatno skorelowane 4

15 Sła korelacj Dagram korelacyjny 3 Dagram korelacyjny 4 Y Y Cechy X, Y są slne skorelowane X Cechy X, Y są słabo skorelowane X Wyjaśnene na tablcy. 5

16 Brak korelacj Dagram korelacyjny 5 wartośc cechy Y wartośc cechy X Cechy X, Y są neskorelowane 6

17 Prezentacja braku korelacj cd. Dagram korelacyjny 6 wartośc cechy Y wartośc cechy X Cechy X, Y są neskorelowane 7

18 Problem Jak wykryć (opsać) współzaleŝność pomędzy cecham za pomocą parametru lczbowego? 8

19 * Przykłady teoretyczne Dośwadczene losowe D - dwukrotny rzut monetą. Czy zmenne losowe w poszczególnych przykładach są nezaleŝne czy zaleŝne? Przykład. zm. los. X : lczba orłów w obu rzutach zm. los. X 2 : (lczba orłów w obu rzutach) 2 Przykład 2. zm. los. X 3 : lczba orłów w perwszym rzuce zm. los. X 4 : lczba orłów w drugm rzuce Przykład 3. zm. los. X : lczba orłów w obu rzutach zm. los. X 5 : (lczba orłów w obu rzutach) (-) Przykład 4. zm. los. X : lczba orłów w obu rzutach zm. los. X 6 : (lczba orłów w obu rzutach) 2 Jak wykryć (opsać) współzaleŝność pomędzy zmennym losowym, kedy znane są tylko ch rozkłady? 9

20 Kowarancja WspółzaleŜność mędzy zmennym losowym X Y opsuje parametr kowarancja ozn.: COV ( X, Y ) Defncja COV ( X, Y ) E [ ( X EX ) ( Y EY ) ] E ( X Y) ( EX ) ( EY ) Oblczane kowarancj w przykładach 4. 20

21 * Kowarancja - przykłady Dośwadczene losowe D -dwukrotny rzut monetą. Czy zmenne losowe w poszczególnych przykładach są nezaleŝne czy zaleŝne - odp. na podstawe wartośc kowarancj: Odp. ntucyjna Kowarancja P. zm. los. X : l. orłów zm. los. X 2 : (l. orłów) 2 zaleŝne COV(X, X 2 ) P 2. zm. los. X 3 : l. orłów w perwszym rzuce zm. los. X 4 : l. orłów w nezaleŝne COV(X 3, X 4 )0 drugm rzuce P 3. zm. los. X : l. orłów zm. los. X 5 : (l. orłów) (-) zaleŝne COV(X, X 5 )-0,5 P 4. zm. los. X : l. orłów zm. los. X 6 : (l. orłów) 2 zaleŝne COV(X, X 6 ) 2

22 Współczynnk korelacj Marą współzaleŝnośc lnowej dwóch zmennych losowych X, Y jest wskaźnk nazywany współczynnkem korelacj lnowej Pearsona, oznaczany grecką lterą ρ (czyt.: ro): ρ COV DX ( X, Y) DY Dla dowolnych dwóch zmennych losowych X oraz Y zachodz: ρ, 22

23 * Współczynnk korelacj przykłady Dośwadczene losowe D - dwukrotny rzut monetą Czy zmenne losowe w poszczególnych przykładach są nezaleŝne czy zaleŝne odp. na podstawe współczynnka korelacj: Odp. ntucyjna Współcz. korelacj ρ P. X : l. orłów X 2 : (l. orłów) 2 zaleŝne ρ P 2. X 3 : l. orłów w perwszym rz. X 4 : l. orłów w drugm rz. nezaleŝne ρ2 0 P 3. X : l. orłów X 5 : (l. orłów) (-) zaleŝne ρ3 - P 4. X : l. orłów X 6 : (l. orłów) 2 zaleŝne ρ4 0,94 23

24 Uwag termnologa. Jeśl zmenne losowe są zaleŝne lnowo, to nazywamy je skorelowanym. 2. Do wykrywana korelacj (zaleŝnośc lnowej) słuŝy współczynnk korelacj ρ: jeśl ρ 0, to zmenne są neskorelowane, jeśl ρ, to zmenne losowe są całkowce skorelowane (zaleŝne lnowo), o jeśl ρ, to są skorelowane dodatno, o jeśl ρ -, to są skorelowane ujemne. 3. Współczynnk korelacj ρ słuŝy do opsywana sły korelacj: jeśl ρ 0, to zmenne są słabo skorelowane, jeśl ρ, to zmenne są slne skorelowane. Dagram na tablcy. 24

25 Idea Jak wykryć (opsać) współzaleŝność pomędzy cecham? 25

26 Ops współzaleŝnośc W jednej populacj rozpatrujemy dwe cechy; modelują je zmenne losowe X, Y. W populacj występuje zaleŝność mędzy X, Y opsana współczynnkem ρ, ale ne znamy jego wartośc lczbowej - moŝna ją estymować, testować hpotezy o tej wartośc. Losujemy n-elementową próbę dwucechową: (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ); Ocenamy neznaną wartość współczynnka korelacj ρ na podstawe próby: ρˆ r (współczynnk r jest oceną parametru populacyjnego ρ) 26

27 27 Ops współzaleŝnośc cd. Oblczamy współczynnk korelacj r dla próby według wzoru: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n y y x x y x n y x y y x x y y x x r RównowaŜny zaps lcznka: ( ) ( ) n n y x n y x y y x x

28 Ops współzaleŝnośc cd. Oznaczena upraszczające zaps wzoru: SS x n ( x ) x 2, SS y n ( y ) y 2, xy n ( x ) ( ) x y y Określena: SS x suma kwadratów odchyleń dla cechy X, SS y suma kwadratów odchyleń dla cechy Y, S xy suma loczynów odchyleń dla cech X, Y. Uproszczony zaps wzoru na współczynnk korelacj lnowej Pearsona dla próby: S r SS S x xy SS y 28

29 Testowane współzaleŝnośc Czy korelacja mędzy cecham X, Y jest znacząca (stotna)? Jeśl cechy X oraz Y mają rozkład normalny, moŝna weryfkować hpotezę dotyczącą korelacj: Hpoteza zerowa o braku korelacj Hpoteza alternatywna H : ρ 0 H : ρ 0 0 wyberamy pozom stotnośc α, losujemy próbę dwucechową: (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), oblczamy współczynnk korelacj r dla próby według wzoru: r SS x S xy SS y 29

30 Test r stosujemy test r: wartość empryczna funkcj testowej r emp r, odczytujemy wartość krytyczną r α, v n -2, jeŝel r emp > r α, v n 2, to H 0 odrzucamy, w przecwnym przypadku H 0 ne moŝna odrzucć. 30

31 Test t MoŜna zastosować teŝ test t-studenta: wartość empryczna funkcj testowej wyraŝona jest wzorem t emp r n 2 r 2 odczytujemy wartość krytyczną t α, v, gdze ν n-2 jeŝel t emp > t α, v, to H 0 odrzucamy, w przecwnym przypadku H 0 ne moŝna odrzucć. 3

32 Przykład Z dzesęcu poletek dośwadczalnych zebrano plony bulw zemnaczanych (cecha X) oznaczono w nch procentową zawartość skrob (cecha Y). Wynk zestawono w tabel: plon x zawartość 7, 6,9 7,0 6,8 6,9 6,5 6,3 6,6 6,5 6,4 skrob y zawartość skrob (%) Dagram korelacyjny 7,2 7, 7 6,9 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6, plon 32

33 Przykład cd. Przyjmujemy, Ŝe:. cecha X - plon z poletka, cecha Y zawartość skrob mają rozkłady normalne, oraz 2. ρ jest współczynnkem korelacj mędzy zmennym losowym X, Y; jego wartość jest neznana. Oblczamy współczynnk korelacj r mędzy cecham X, Y na podstawe próby ze wzoru: r SS x S xy SS y, 33

34 Przykład cd. x 24 kg, y 6,7%, SS 84 SS 0, 68, y S 8, xy 6, x r - 0,90, Czy korelacja mędzy cecham X, Y jest znacząca (stotna)? 34

35 Przykład cd. stawamy hpotezę o braku korelacj: H 0 : ρ 0, H : ρ 0, wyberamy pozom stotnośc α 0,05, stosujemy test r; wzór funkcj testowej: r emp r gdze: r - współczynnk korelacj mędzy cecham X, Y oblczony na podstawe próby; w przykładze r - 0,9, zatem r emp - 0,9, odczytujemy wartość krytyczną r α, v n -2 r 0,05, 8 0,632, ponewaŝ r emp - 0,90 > r 0,05, 8 0,632, węc hpotezę H 0 odrzucamy. Stwerdzamy statystyczne stotną korelację mędzy plonem bulw zemnaczanych a zawartoścą skrob. 35

36 Przykład cd. Zastosowane testu t-studenta: t emp r n 2 r 2 0,9 ( 0,9) ,84 odczytujemy wartość krytyczną t α, v n -2 t 0,05, 8 2,3, ponewaŝ t emp 5,84 > 2,3 t 0,05, 8, to H 0 odrzucamy. 36

37 Badane zaleŝnośc dwóch cech loścowych. Analza regresj prostej 37

38 Badane zaleŝnośc cechy Y od X Przykład. Z dzesęcu poletek dośwadczalnych zebrano plony bulw zemnaczanych (cecha X) oznaczono w nch procentową zawartość skrob (cecha Y). Wynk zestawono w tabel: plon x zawartość skrob 7, 6,9 7,0 6,8 6,9 6,5 6,3 6,6 6,5 6,4 y Dagram korelacyjny zawartość skrob (%) 7,2 7, 7 6,9 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6, Analza korelacj przeprowadzona przy pozome stotnośc 0,05 wykazała stotną korelację mędzy plonem bulw a zawartoścą skrob. Wyznaczono współczynnk korelacj Pearsona r -0,90. Plon bulw zawartość skrob są ujemne skorelowane. plon O tej zaleŝnośc moŝna powedzeć węcej (wzór zaleŝnośc, dea opsu)... 38

39 Oznaczena termnologa Ops zaleŝnośc cechy Y od cechy X (ops regresj cechy Y względem cechy X) cecha X : objaśnająca, opsująca, nezaleŝna cecha Y : objaśnana, opsywana, zaleŝna Postać funkcj regresj II rodzaju: g (x) β x + β0 lub g (x) β x + α współczynnk regresj stała regresj 39

40 Ops zaleŝnośc cechy Y od X X, Y cechy obserwowane w dośwadczenu, Y~N n lczba jednostek dośwadczalnych (lczebność próby), Próba: nr jednostk dośwadczalnej 2 3 n wartośc cechy X: x x 2 x 3... x n wartośc cechy Y: y y 2 y 3... y n Dagram korelacyjny: cecha Y βˆ b, βˆ 0 b0 prosta regresj równane prostej regresj: y b*x + b0 cecha X b - współczynnk regresj b 0 - stała regresj 40

41 Prosta regresj Estymacja parametrów β β0 metodą najmnejszych kwadratów (MNK): Komentarz... cecha Y równane prostej regresj: y b*x + b0 y(x ) y e b? b0? y (x) b*x + b0 x cecha X e y( x ) y n e 2 mn 4

42 Prosta regresj cd. Estymatory uzyskane metodą najmnejszych kwadratów: b n n ( x x) ( y y) ( x ) x 2 b 0 y b x 42

43 Prosta regresj cd. Oznaczena upraszczające zaps wzoru: SS x n ( x ) x S xy n 2, SS y n ( y ) y ( x ) ( ) x y y Określena: SS x suma kwadratów odchyleń dla cechy X, SS y suma kwadratów odchyleń dla cechy Y, S xy suma loczynów odchyleń dla cech X, Y. Estymatory uzyskane metodą najmnejszych kwadratów: b S xy SS x b y b x, 0 2, Interpretacja współczynnka regresj b... 43

44 Test t Czy badana zaleŝność jest znacząca (stotna)? Stawamy hpotezę: H 0 : β 0 H : β 0 (hpoteza o braku regresj) Wyberamy pozom stotnośc α, stosujemy test t-studenta: b s temp b, gdze ( ) x Odczytujemy z tablc wartość krytyczną: Wnoskujemy: s b SS y n 2 b S SS xy kryt tα, v n 2 Jeśl t emp > t kryt to H 0 odrzucamy, w przecwnym przypadku H 0 ne moŝna odrzucć. t 44

45 Stawamy hpotezę: Test F H 0 : β 0 H : β 0 (hpoteza o braku regresj) Wyberamy pozom stotnośc α, stosujemy test F-Fshera: F emp b Sxy ( n 2) SS y b S xy Odczytujemy z tablc wartość krytyczną: F kryt Fα, v, v2 n 2 Wnoskujemy: Jeśl F emp > F kryt to H 0 odrzucamy, w przecwnym przypadku H 0 ne moŝna odrzucć. 45

46 Przykład W przykładze: n0, x 24kg, 6,7% y, SS x 84, SS y 0,68, S xy -6,8. Wyznaczamy równane prostej regresj. Współczynnk w równanu Sxy 6,8 b 0,08 SSx 84 b 0 y b x 6,7 ( 0,08) 24 8,64 Prosta regresj: y 8,64 0,08x y 0,08x + 8,64 Uwaga o odczytanu znaku współczynnka regresj. 46

47 Przykład cd. Badamy stotność regresj cechy Y względem cechy X (stotność zaleŝnośc Y od X) Stawamy hpotezę: H 0 : β 0 H : β 0 (hpoteza o braku regresj) Pozom stotnośc α 0,05, stosujemy test t-studenta: s b SS y b S xy 0,68 ( 0,08) ( 6,8) 84 ( n 2) SS ( 0 2) x 0, t b 0,08 emp 5,79 s 0,04 t t 2, 3 kryt 0,05, 8 b Wnoskujemy: t emp 5,79 > 2,3 t kryt, zatem H 0 odrzucamy. 0,04 Stwerdzono statystyczne stotną zaleŝność zawartośc skrob od plonu bulw zemnaka. 47

48 Przykład cd. Zamast testu t moŝna zastosować test F: F emp b S SS xy y ( n 2) bs xy ( 0,08) ( 6,8) (0-2) 0,68 ( 0,08) ( 6,8) 4,4064 0,292 34, F 34, F 0 5, 32 emp F kryt,05,, 8 Wnoskujemy: F emp 34, > 5,32 F kryt, zatem H 0 odrzucamy. 48

49 Zgodność znaków współczynnków b oraz r Prosta regresj: y b0 + b*x Dla cech X, Y znak współczynnka regresj b współczynnka korelacj r są jednakowe. Na podstawe współczynnka regresj b moŝna powedzeć, jak jest kerunek korelacj badanych cech. W przykładze Prosta regresj y 8,64 0,08x b -0,08 zatem współczynnk korelacj r < 0. Zawartość skrob jest ujemne skorelowana z plonem bulw zemnaka. Kedy plon rośne, zawartość skrob maleje. 49

50 Interpretacja współczynnka regresj b Prosta regresj: y b0 + b*x Jeśl wartość cechy X wzrośne o jednostkę (w jednostkach cechy X), to wartość cechy Y zmen sę o b jednostek (w jednostkach cechy Y), a dokładnej: wzrośne, gdy b > 0 zmaleje, gdy b < 0 Interpretacja współczynnka regresj b w przykładze Prosta regresj y 8,64 0,08x b -0,08 Jeśl plon bulw zemnaka wzrośne o kg, to zawartość skrob zmnejszy sę o 0,08%. 50

51 Interpretacja współczynnk determnacj Współczynnk determnacj, ozn. d d r 2 00%, gdze r współczynnk korelacj Interpretacja współczynnka determnacj Współczynnk d przedstawa udzał zmennośc cechy Y objaśnonej (wytłumaczonej) zmennoścą cechy X. W przykładze: r - 0,9, to d (- 0,9) 2 00% 0,8 00% 8% W 8% zmenność zawartośc skrob jest wytłumaczona zmennoścą plonu, natomast 9% zmennośc zawartośc skrob ne jest wytłumaczona zmennoścą plonu. 5

52 Predykcja wartośc cechy Y Oblczane wartośc przewdywanej dla cechy zaleŝnej Y oparte na równanu regresj. Prosta regresj: y b0 + b*x Przewdywana wartość cechy Y Gdy cecha X przyjme wartość x, to cecha Y przyjme wartość, którą oznaczymy ŷ. Ocena punktowa: yˆ b0 + bx Ocena przedzałowa: Y ( yˆ t s ; yˆ + t ) α, ν regr α, ν s regr P α 52

53 Predykcja wartośc cechy Y cd. We wzorze: Y ( yˆ t s ; yˆ + t ) α, ν regr α, ν s regr P α mamy: s regr SS y b n 2 SS 2 x n + x x SS ( ) x 2 53

54 Przykład - predykcja wartośc cechy Y W przykładze: Prosta regresj y 8,64 0,08x n0, x 24kg, 6,7% y, SS x 84, SS y 0,68, S xy -6,8 Dla plonu x20 kg przewdywana zawartość skrob wynese: Ocena punktowa (%): y ˆ b0 + bx 8,64 + ( 0,08)* 20 7,02 Ocena przedzałowa: Y ( yˆ t s ; yˆ + t ) α, ν regr α, ν s regr P α 54

55 Przykład - predykcja wartośc cechy Y cd. W przykładze: Prosta regresj y 8,64 0,08x n0, x 24kg, 6,7% y, SS x 84, SS y 0,68, S xy -6,8 Dla plonu x20 kg przewdywana zawartość skrob wynese y ˆ 7,02% Ocena przedzałowa dla pozomu ufnośc P-α95% s regr SS y b 2 n 2 SS x n + ( x x) SS x 2 0,68 ( 0,8) ( 20 24) ,269 0,5390 0,068 55

56 Przykład - predykcja wartośc cechy Y cd. W przykładze: t α, ν t 0,05, 8 2,3060, s regr 0,068 Y Y ( yˆ t s ; yˆ + t ) α, ν regr α, ν s regr P ( 7,02 2,3060 0,068; 7,02 + 2,3060 0,068) P 0,05 ( 7,02 0,6; 7,02 + 0,6) Y P 0, 95 ( 6,86; 7,8) Y P 95% Dla plonu na pozome 20 kg przewdywana zawartość skrob wynese mędzy 6,9 a 7,2% z p-stwem 95%. α Praktyczne warunk ustalana cechy zaleŝnej nezaleŝnej. Wykorzystane prostej regresj. 56

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ.

Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ. IDEA OPISU WSPÓŁZALEśNOŚCI CECH X, Y cechy obserwowane w doświadczeniu, n liczba jednostek doświadczalnych, Wyniki doświadczenia: wartości

Bardziej szczegółowo

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ

BADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ WYKŁAD 3 BADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X - ANALIZA REGRESJI PROSTEJ Było: Przykład. Z dziesięciu poletek doświadczalnych zerano plony ulw ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową zawartość

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH 1 Test zgodnośc χ 2 Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład o dystrybuance F). Hpoteza alternatywna H1( Cecha X populacj

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji Weryfkacja hpotez dla welu populacj Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej 5. Parametryczne testy stotnośc w

Bardziej szczegółowo

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4 Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010 Egzamn ze statystyk/ Studa Lcencjacke Stacjonarne/ Termn /czerwec 2010 Uwaga: Przy rozwązywanu zadań, jeśl to koneczne, naleŝy przyjąć pozom stotnośc 0,01 współczynnk ufnośc 0,99 Zadane 1 PonŜsze zestawene

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających

Bardziej szczegółowo

Dobór zmiennych objaśniających

Dobór zmiennych objaśniających Dobór zmennych objaśnających Metoda grafowa: Należy tak rozpąć graf na werzchołkach opsujących poszczególne zmenne, aby występowały w nm wyłączne łuk symbolzujące stotne korelacje pomędzy zmennym opsującym.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE NIEZALEśNOŚCI DWÓCH CECH JAKOŚCIOWYCH TEST CHI KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE NIEZALEśNOŚCI DWÓCH CECH JAKOŚCIOWYCH TEST CHI KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE NIEZALEśNOŚCI DWÓCH CECH JAKOŚCIOWYCH TEST CHI KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład W celu porównania skuteczności wybranych herbicydów: A, B, C sprawdzano, czy masa chwastów na poletku zaleŝy

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH

Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa.   PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Analza danych Analza danych welowymarowych. Regresja lnowa. Dyskrymnacja lnowa. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH Parę zmennych losowych X, Y możemy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

Nieparametryczne Testy Istotności

Nieparametryczne Testy Istotności Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański

Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański Natala Nehrebecka Darusz Szymańsk . Sprawy organzacyjne Zasady zalczena Ćwczena Lteratura. Czym zajmuje sę ekonometra? Model ekonometryczny 3. Model lnowy Postać modelu lnowego Zaps macerzowy modelu dl

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego). TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wkład wstępn. Teora prawdopodobeństwa element kombnatork. Zmenne losowe ch rozkład 3. Populacje prób danch, estmacja parametrów 4. Testowane hpotez statstcznch 5. Test parametrczne

Bardziej szczegółowo

Estymacja punktowa i przedziałowa

Estymacja punktowa i przedziałowa Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności zmiennych ilościowych korelacja i regresja

Analiza zależności zmiennych ilościowych korelacja i regresja Analza zależnośc zmennych loścowych korelacja regresja JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Plan wykładu 1. Lnowa zależność mędzy dwoma zmennym: Prosta regresja Metoda najmnejszych

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej Rachunek prawdopodobeństwa statstka W 11: Analz zależnoścpomędz zmennm losowm Model regresj welokrotnej Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Model regresj lnowej Model regresj lnowej prostej

Bardziej szczegółowo

Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa-

Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa- ZałoŜena scheatu Gaussa- Markowa I. Model jest nezennczy ze względu na obserwacje: f f f3... fl f, czyl y f (x, ε) II. Model jest lnowy względe paraetrów. y βo + β x +ε Funkcja a być lnowa względe paraetrów

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych cd.

Testowanie hipotez statystycznych cd. Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa i nieliniowa

Regresja liniowa i nieliniowa Metody prognozowana: Regresja lnowa nelnowa Dr nż. Sebastan Skoczypec Zmenna losowa Zmenna losowa X zmenna, która w wynku pewnego dośwadczena przyjmuje z pewnym prawdopodobeństwem wartość z określonego

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji i regresji

Analiza korelacji i regresji Analza korelacj regresj Zad. Pewen zakład produkcyjny zatrudna pracownków fzycznych. Ich wydajność pracy (Y w szt./h) oraz mesęczne wynagrodzene (X w tys. zł) przedstawa ponższa tabela: Pracownk y x A

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 11

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 11 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 11 1 1. Testowane hpotez łącznych 2. Testy dagnostyczne Testowane prawdłowośc formy funkcyjnej: test RESET Testowane normalnośc składnków losowych: test Jarque-Berra

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI

WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI dr Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. Prezentowany artykuł pośwęcony jest wybranym zagadnenom analzy korelacj regresj. Po przedstawenu najważnejszych

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

Temat: Badanie niezależności dwóch cech jakościowych test chi-kwadrat

Temat: Badanie niezależności dwóch cech jakościowych test chi-kwadrat Temat: Badanie niezależności dwóch cech jakościowych test chi-kwadrat Anna Rajfura 1 Przykład W celu porównania skuteczności wybranych herbicydów: A, B, C sprawdzano, czy masa chwastów na poletku zależy

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Paca domowa 9. W pewnym bowaze zanstalowano dwa automaty do napełnana butelek. Ilość pwa nalewana pzez pewszy est zmenną losową o ozkładze N( m,, a lość pwa dozowana pzez dug automat est zmenną losową

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10 Natala Nehrebecka Stansław Cchock Wykład 10 1 1. Testy dagnostyczne 2. Testowane prawdłowośc formy funkcyjnej modelu 3. Testowane normalnośc składnków losowych 4. Testowane stablnośc parametrów 5. Testowane

Bardziej szczegółowo

1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:

1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń: .. Uprość ops zdarzeń: a) A B, A \ B b) ( A B) ( A' B).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A b) A B, ( A B) ( B C).. Uproścć ops zdarzeń: a) A B A B b) A B C ( A B) ( B C).4. Uproścć ops zdarzeń: a) A B, A B

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW Było: Testowanie hipotez (ogólnie): stawiamy hipotezę, wybieramy funkcję testową f (test statystyczny), przyjmujemy poziom istotności α; tym samym wyznaczamy obszar krytyczny testu (wartość krytyczną funkcji

Bardziej szczegółowo

Procedura normalizacji

Procedura normalizacji Metody Badań w Geograf Społeczno Ekonomcznej Procedura normalzacj Budowane macerzy danych geografcznych mgr Marcn Semczuk Zakład Przedsęborczośc Gospodark Przestrzennej Instytut Geograf Unwersytet Pedagogczny

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych Współcznnk korelacj lnowej oraz funkcja regresj lnowej dwóch zmennch S S r, cov współcznnk determnacj R r Współcznnk ndetermnacj ϕ r Zarówno współcznnk determnacj jak ndetermnacj po przemnożenu przez 00

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie powinno zawierać:

Sprawozdanie powinno zawierać: Sprawozdane pownno zawerać: 1. wypełnoną stronę tytułową (gotowa do ćw. nr 0 na strone drugej, do pozostałych ćwczeń zameszczona na strone 3), 2. krótk ops celu dośwadczena, 3. krótk ops metody pomaru,

Bardziej szczegółowo

Parametry zmiennej losowej

Parametry zmiennej losowej Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę

Bardziej szczegółowo

IID = 2. i i i i. x nx nx nx

IID = 2. i i i i. x nx nx nx Zadane Analzujemy model z jedną zmenną objaśnającą bez wyrazu wolnego: y = β x + ε, ε ~ (0, σ ), gdze x jest nelosowe.. Wyznacz estymator MNK parametru β oraz oblcz jego warancję. (4 pkt) y. Zaproponowano

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW

Założenia do analizy wariancji. dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW Założenia do analizy wariancji dr Anna Rajfura Kat. Doświadczalnictwa i Bioinformatyki SGGW anna_rajfura@sggw.pl Zagadnienia 1. Normalność rozkładu cechy Testy: chi-kwadrat zgodności, Shapiro-Wilka, Kołmogorowa-Smirnowa

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika

Bardziej szczegółowo

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa Badana sondażowe Brak danych Konstrukcja wag Agneszka Zęba Zakład Badań Marketngowych Instytut Statystyk Demograf Szkoła Główna Handlowa 1 Błędy braku odpowedz Całkowty brak odpowedz (UNIT nonresponse)

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mkroekonometra 13 Mkołaj Czajkowsk Wktor Budzńsk Symulacje Analogczne jak w przypadku cągłej zmennej zależnej można wykorzystać metody Monte Carlo do analzy różnego rodzaju problemów w modelach gdze zmenna

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematyczna Anna Janicka wykład IX, 25.04.2016 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Plan na dzisiaj 1. Hipoteza statystyczna 2. Test statystyczny 3. Błędy I-go i II-go rodzaju 4. Poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 11 NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

ĆWICZENIE 11 NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI ĆWICZENIE 11 NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 11 DOŚWIADCZENIE JEDNOCZYNNIKOWE W UKŁADZIE CAŁKOWICIE LOSOWYM PORÓWNANIA SZCZEGÓŁOWE

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 11 DOŚWIADCZENIE JEDNOCZYNNIKOWE W UKŁADZIE CAŁKOWICIE LOSOWYM PORÓWNANIA SZCZEGÓŁOWE WYKŁAD 11 DOŚWIADCZENIE JEDNOCZYNNIKOWE W UKŁADZIE CAŁKOWICIE LOSOWYM PORÓWNANIA SZCZEGÓŁOWE Było: Przykład. W doświadczeniu polowym załoŝonym w układzie całkowicie losowym w czterech powtórzeniach porównano

Bardziej szczegółowo

1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe

1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe Zjazd 7. SGGW, dn. 28.11.10 r. Matematyka i statystyka matematyczna Tematy 1. Jednoczynnikowa analiza wariancji 2. Porównania szczegółowe nna Rajfura 1 Zagadnienia Przykład porównania wielu obiektów w

Bardziej szczegółowo

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9 Zadanie W celu sprawdzenia, czy pipeta jest obarczona błędem systematycznym stałym lub zmiennym wykonano szereg pomiarów przy różnych ustawieniach pipety. Wyznacz równanie regresji liniowej, które pozwoli

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH

ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH Potr Mchalsk Węzeł Centralny OŻK-SB 25.12.2013 rok ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH Celem ponższej analzy jest odpowedź na pytane: czy wykształcene radnych

Bardziej szczegółowo

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Krzywa wieża w Pizie. SAS Data Step. Przykład (2) Wykład 13 Regresja liniowa

Krzywa wieża w Pizie. SAS Data Step. Przykład (2) Wykład 13 Regresja liniowa Bonformatyka - rozwój oferty edukacyjnej Unwersytetu Przyrodnczego we Wrocławu projekt realzowany w ramac Programu Operacyjnego Kaptał Ludzk współfnansowanego ze środków Europejskego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo