Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 2005. Wstęp do rachuu prawdopodobieństwa, W. Feller, PWN 2006. Zadaia z probabilistyi,. Plucińsa, E. Plucińsi, PWN 983. Statystya dla fizyów, R.N. Nowa, PWN, 2002. Statystya dla fizyów. Ćwiczeia, R.N. Nowa, PWN, 2002. aliza daych, S. radt, PWN, 998. Wstęp do aalizy błędu pomiarowego, R.J. Taylor, PWN, 200. Ja aalizować wyii pomiarów, H. bramowicz, PWN 992. Probability ad Statistical Iferece, R.artoszyńsi, M.Niewiadomsa- ugaj, Wiley & Sos, 2007. http://home.agh.edu.pl/mariuszp M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -2
Statystya - podstawowe pojęcia Statystya aua zajmująca się plaowaiem badań, a taże zbieraiem, orgaizacją, prezetacją i aalizą daych, oraz wyciągaiem wiosów i podejmowaiem decyzji a ich podstawie. Słowo statystya jest taże używae do oreśleia samych daych i wielości pochodych. Populacja zbiór wszystich przedstawicieli posiadających badaą cechę. Przyład: adaia demograficze - spis powszechy. Kotrola jaości zbiór wszystich urządzeń daego typu produowaych przez fabryę. Próba losowa reprezetatywa próba całej populacji, tz. taa, tóra odzwierciedla wszystie cechy i związi w iej występujące. Przyład: Próbami losowymi ie są p. sodaże wśród czyteliów dowolego z czasopism, wśród przechodiów a ulicy, głosowaia telewidzów w programach. Mówimy, że próba jest prosta jeśli rezultat wyboru jedego elemetu ie ma wpływu a rezultat wyboru iego elemetu. Przyład: Losując bez zwracaia ule z ury, tóra jest wypełioa sończoą liczbą ul białych i czarych, mamy do czyieia z próbą, tóra ie jest prosta. M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -3
w sobie iych zdarzeń elemetarych. Przyłady: Zdarzeia elemetare Zachowaie uładu, tórego ie możemy przewidzieć z całowitą pewością, azywamy przypadowym. Miarą przypadowości jest prawdopodobieństwo. Pojęcia pierwote rachuu prawdopodobieństwa to zdarzeie elemetare i przestrzeń zdarzeń elemetarych Ω. Dowoly podzbiór Ã Ω azywamy zdarzeiem losowym. Uwaga: Zdarzeia elemetare muszą być esluzywe dae zdarzeie elemetare ie zawiera jedoroty rzut moetą: orzeł (O) i resza (R) to dwa zdarzeia elemetare, tóre budują całą przestrzeń Ω {O, R} rzut dwoma moetami: Ω {(O,O), (O,R), (R,O), (R,R)} miesiąc urodzi: Ω {Sty, Lut, Mar, Kwi, Maj, Cze, Lip, Sie, Wrz, Paź, Lis, Gru} czas życia żarówi zdarzeia elemetare są dowolymi liczbami dodatimi, t>0, a przestrzeń jest iesończoa; ale może w oretym problemie lepiej wybrać Ω {, 2, 3, } godziy/di/miesiące. liczba wypadów a srzyżowaiu w ciągu miesiąca: Ω {,2,3, } a może Ω {, 2, 3,, 000} często prościej rozważyć iesończoy ciąg. jądro promieiotwórcze w olejych odstępach s może się rozpaść (R) lub ie (). Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest iesończoa: R, R, R, R, M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -4
Zdarzeia elemetare - przyłady rzut dwoma ostami do gry: Ω {x, y}, gdzie x,,6 oraz y,,6 2 3 4 5 6 (,) (,2) (,3) (,4) (,5) (,6) 2 (2,) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) suma ocze wyrzucoych a dwóch ostach Ω {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2} dwie osoby przy wadratowym stole iteresuje as zdarzeie : siedzą w rogu. przyłady różych wyborów przestrzei zdarzeń elemetarych: M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -5
Pojęcie prawdopodobieństwa Pewii rachuu prawdopodobieństwa (Kolmogorov 933): ) Każdemu zdarzeiu losowemu Õ Ω przypisujemy liczbę P(), zwaą prawdopodobieństwem tego zdarzeia, taą że 0bP()b. 2) P-two zdarzeia pewego jest rówe jedości P(Ω). 3) P-two sumy esluzywych zdarzeń losowych i, czyli taich że «, jest rówe sumie p-tw tych zdarzeń P( ) P() + P() Klasycza defiicja prawdopodobieństwa: liczba zdarze elemetarych sprzyjajacych zdarzeiu P() liczba wszystich zdarze elemetarych Defiicja częstościowa prawdopodobieństwa: Miarą p-twa jest względa częstości występowaia zdarzeia iedy liczba obserwacji dąży do iesończoości. Prawdopodobieństwa subietywe: (przydate gdy mamy do czyieia ze zdarzeiami taimi ja p. czy istieje życie w oceaie pod powierzchią siężyca Satura.,, tratujemy jao hipotezy (tz. stwierdzeia tóre albo są prawdziwe albo fałszywe); P() miara aszej wiary w to, że jest prawdziwe Przyład: wybór pomiędzy otrzymaiem gotówi a udziałem w loterii M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -6
Zdarzeia elemetare - przyłady Przyład: Rozmieszczeie r 3 ul (rozróżialych) w 3 omórach: { abc } { a bc } { a bc} { abc } { b ac } { b ac} { abc} { c ab } { c ab} { ab c } { a bc} { a b c} { ac b } { b ac} { a c b} { bc a } { c ab} { b a c} { ab c} { ab c} { b c a} { ac b} { ac b} { c a b} { bc a} { bc a} { c b a}. 0. 9. 2.. 20. 3. 2. 2. 4. 3. 22. 5. 4. 23. 6. 5. 24. 7. 6. 25. 8. 7. 26. 9. 8. 27. P ( E i ) 27 i,..., 27 Zdarzeie : w jedej z omóre są co ajmiej dwie ule - zdarzeia el. 2 Zdarzeie : pierwsza omóra ie jest pusta - zdarzeia el., 45, 2227 Zdarzeie C: zachodzi zarówo ja i - zdarzeia el., 45 Zdarzeie D: zachodzi lub - zdarzeia el. 27 (cała przestrzeń) M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -7
Zdarzeia elemetare - przyłady Przyłady zagadień typu r ul w omórach : Di urodzi: r osób, 365 di Wypadi: r wypadów, 7 di tygodia Strzelaie do celu: r trafień, celów Klasyfiacja elemetów (p. ludzi) wg. ategorii (wie): r elemetów, ategorii Opuszczaie widy przez ludzi: r pasażerów, pięter Rzuty ośćmi do gry: r ości (rzutów), 6 możliwych wyiów daego rzutu Przypade ul ierozróżialych: { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }. - - 4. - 7. - 0. 2. - - 5. - 8. - 3. - - 6. - 9. - P ( E ) P ( E ) P ( E ) P ( E )... P ( E ) P ( E ) 2 2 3 4 9 0 27 9 9 P ( E i ) i,..., 0 0 Przypade ierozróżialych zarówo ul ja i omóre:. - - 2. - 3. { } { } { } M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -8
Prawa de Morgaa: Działaia a zbiorach Prawa rozdzielości dla dodawaia i możeia: ( C) ( ) ( C) ( C) ( ) ( C) Ω Wiose z pewia (3): Mamy ( ) oraz ( ) ( ) P( ) P() + P( ) P() P( ) + P( ) Odejmując stroami dostajemy: P( ) P() + P() P( ) Przyład: P( C) P( ( C)) P() + P( C) P( ( C)) P() + P() + P(C) -P( C) P(( ) ( C)) P() + P() + P(C) P( C) P( ) P( C) + P( C) P-two zdarzeia przeciwego do zdarzeia : ( ) ( ) P P M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -9
Formuła włączaia-wyłączaia Twierdzeie: Dla dowolych zdarzeń, 2,, zachodzi: ( ) i ( i ) ( i j ) ( i j ) P P P + P i i i < j i < j < + ( ) P(... ) + 2 Dowód (iducyjy): Ozaczeia i oraz + i + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i P P P + P P + ( ) ( ) ( ) i i j ( 2 ) P P + + P... + i i < j ( ) ( ) ( ) + P P + i i + i, i,..., Stosując założeie iducyje do zdarzeń i odpowiedio przestawiając wyrazy otrzymujemy tezę. Dowód (zliczaie): Załóżmy, że oreśloe zdarzeie elemetare występuje w pierwszych zdarzeiach losowych i. Po prawej stroie formuły wł-wył zdarzeie to występuje tylo raz: + ± ( + ( ) ) 2 3 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -0
Formuła włączaia-wyłączaia Przyład: Ile wyosi p-two p, że podczas rzutów ostą do gry, co ajmiej jeda ze ściae osti ie wypadie ai raz? i ściaa i ie wypadła ai raz podczas rzutów ostą, i,, Obliczamy p-twa (i < j < < ): ( ) ( 5 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 3 ) P i, P i i, P i j, 6 6 6 Szuae p-two wyosi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p 6 5 6 4 6 3 6 2 6 + + 6 2 6 3 6 4 6 5 6 p 0. 73 p 056. p 049. p 0. 36 p 0. 5 p 006. 0 2 3 5 20 25 p to p-two, że podczas rzutów wypadie ażda ze ściae co ajmiej raz. Twierdzeie: Formuła włączaia-wyłączaia pozwala zaleźć ograiczeia a szuae p-twa. Wprowadzając ozaczeia p P S S + S... ( ) i mamy i 2 3 p S, p S S, p S S + S,... 2 2 3 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -
Elemety ombiatoryi Jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarych jest sończoa, to obliczaie prawdopodobieństw zdarzeń będących podzbiorami tej przestrzei ułatwiają pojęcia i twierdzeia z ombiatoryi. Reguła iloczyu: jeśli pewą czyość wyouje się w iezależych etapach, przy czym etap moża wyoać a sposobów, etap 2 a 2 sposobów,, wreszcie etap -ty a sposobów, to liczba N sposobów jaimi moża wyoać tę czyość wyosi: Rozróżiamy dwa typy losowań: bez powtórzeń raz wylosoway elemet ie wraca do populacji, z powtórzeiami wylosoway elemet wraca do populacji przed olejym losowaiem. Rozróżiamy dwa typy uporządowaia: N 2 olejość losowaych elemetów jest istota (wariacje, permutacje), olejość losowaych elemetów ie jest istota (ombiacje). M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -2
Wariacje z powtórzeiami Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosoway elemet za ażdym razem zwracamy do populacji (losowaie ze zwracaiem). Każdy z elemetów możemy wybrać a sposobów. Ozacza to, że liczba -wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi: Przyłady: W Rzucając oste do gry uzysamy jedą z 6 możliwych ofiguracji. Wśród ich w 5 przypadach ie będzie ai jedej jedyi, atomiast w 5 - przypadach wypadie doładie jeda jedya. Z cyfr, 2, 3, 4, 5 moża utworzyć 5 3 trzycyfrowych liczb aturalych, w tórych ażda z cyfr może się powtarzać dowolą ilość razy. Jeśli w ażdej omórce może zaleźć się dowola liczba cząste, to rozróżialych cząste możemy rozmieścić w omórach a sposobów (rozład Maxwella-oltzmaa). M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -3
Wariacje bez powtórzeń Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosowaego elemetu ie zwracamy do populacji (losowaie bez zwracaia). Pierwszy elemet moża wybrać a sposobów, drugi już tylo a -, trzeci a -2, atomiast -ty tylo a -+ sposobów. Ozacza to, że liczba -wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru -elemetowego wyosi: Przyłady: V ( )( 2) ( + )! ( )! Mając do dyspozycji sześć pioowych pasów o różych barwach możemy utworzyć 6!/(63)! trójolorowych flag. Z cyfr, 2, 3, 4, 5 moża utworzyć 5!/(53)! trzycyfrowych liczb aturalych w tórych ażda z cyfr może wystąpić co ajwyżej jede raz. Jeżeli w ażdej omórce może zaleźć się tylo jeda ula, to ul (ule są marosopowe a więc rozróżiale) moża rozmieścić w ich a!/()! sposobów. (alogia: omóri piętra budyu, ule osoby w widzie) M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -4
Permutacje bez i z powtórzeiami Losujemy elemetów spośród elemetów bez zwracaia. Pierwszy elemet moża wybrać a sposobów, drugi już tylo a -, trzeci a 2, atomiast przedostati tylo a 2 sposoby. Ozacza to, że liczba permutacji bez powtórzeń zbioru -elemetowego wyosi: P ( )( 2) 2! Przyład: (statystya Maxwella-oltzmaa) cząste moża rozmieścić po jedej w ustaloych omórach a! sposobów. Jeśli wśród elemetów mamy różych elemetów, z tórych pierwszy powtarza się razy, drugi 2 razy,, -ty razy ( + 2 + + ), to liczba rozróżialych losowań bez zwracaia, czyli liczba permutacji z powtórzeiami zbioru -elemetowego, w tórym poszczególe elemety powtarzają się odpowiedio, 2,, razy wyosi: M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -5 (,,..., ) P 2!!!! 2 Przyład: (statystya M-) w pierwszej omórce, w drugiej 2,, w -tej cząste moża rozmieścić a P (, 2,, ) sposobów.
Kombiacje bez powtórzeń Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosowaego elemetu ie zwracamy do populacji (losowaie bez zwracaia). Nie iteresuje as rówież olejość wylosowaych elemetów. Mamy więc do czyieia z -elemetowymi podzbiorami zbioru -elemetowego. Liczba -elemetowych ombiacji bez powtórzeń z -elemetowego zbioru wyosi: Przyłady: C!!( )! Z 0 osób możemy utworzyć trzy zespoły liczące odpowiedio po 5, 3 i 2 osoby a ( 0) ( 5) 0! 5! ( ) ( ) 2520 5 3 5! 0 5! 3! 5 3! sposobów. Na ile sposobów moża rozmieścić 20 ul w trzech omórach, ta aby w pierwszej było ich 0, w drugiej 6, a w trzeciej 4? Odpowiedź: ( 20) ( 0) 0 6 Jeżeli w ażdej omórce może zaleźć się tylo jeda cząsta, to ierozróżialych cząste moża rozmieścić w r omórach a ( ) sposobów (rozład Fermiego Diraca). M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -6
Kombiacje z powtórzeiami Rozważmy elemety różych rodzajów. Elemety tego samego rodzaju tratujemy jao ierozróżiale. Każdy zbiór elemetowy ( ) gdzie ażdy elemet ależy do jedego z tych rodzajów azywamy -elemetową ombiacją z powtórzeiami z rodzajów elemetów. Liczba -elemetowych ombiacji z powtórzeiami z elemetów rodzajów jest rówa: + ( + )! C C + Przyłady:!( )! Rozpatrzmy rozmieszczeie 8 ierozróżialych ul w 6 omórach - liczba rozróżialych rozmieszczeń wyosi ( ) 8 C 3 6 287 8 Rzucając r ierozróżialych oste do gry, otrzymamy ( ) ( ) C r r + r + 5 5 6 r 5 ierozróżialych ofiguracji (omóri to liczby ocze, ule to osti). Jeśli w ażdej omórce może zaleźć się dowola liczba cząste, to ierozróżialych cząste możemy rozmieścić w omórach a sposobów (rozład osego- C Eisteia). Wszystie omóri będą zajęte w przypadach. M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -7 C
Przyład: mechaia statystycza Każdy możliwy sta uładu to put w przestrzei fazowej. Statystya M-(cząsti rozróżiale, dowola liczba cząste w omórce): W Statystya -E (cząsti ierozróżiale, dowola liczba cząste w omórce): + ( + )! C C +!( )! Statystya F-D (cząsti ierozróżiale, co ajwyżej jeda cząsta w omórce):! C!( )! p-two rozmieszczeia cząste po jedej w ustaloych omórach:!!( )!!( )! M-: p -E: p F-D: p C ( ) +! C! Statystya -E: + ( )! - wszystie omóri zajęte: C ( )!( )! - doładie m cząste w ustaloej omórce: C + m 2 m m - doładie m cząste w jedej z omóre: C m M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -8
Prawdopodobieństwo - przyłady Przyład : Wida z 7 pasażerami jedzie przez 0 pięter. Jaa jest szasa, że ludzie będą wysiadali pojedyczo a piętrach? alogia: 7 ul tóre mamy rozmieścić w 0 omórach. Każdy przypade oddzielego wysiadaia odpowiada losowaiu bez zwracaia. Sytuację gdy po ilu pasażerów może wysiąść a jedym z pięter możemy opisać jao losowaie ze zwracaiem. Oczywiście pasażerowie są rozróżiali i jest istote to to wysiądzie a tórym piętrze. Szuae prawdopodobieństwo jest więc rówe: 7 V0 P 7 W 0 0. 06 Przyład 2: Wyciągamy 5 art z talii 52 dobrze potasowaych art. Jaie jest p-two, że są wśród ich a) 4 asy, b) 4 asy i jede ról, c) trzy 0-ti i dwa walety, d) 9-ta, 0-ta, walet, rólowa i ról, e) trzy są tego samego oloru i dwie ie, f) co ajmiej jede as? a) P 4 C4 C48 5 C 52 5445 b) P 4 C4 C4 5 C 52 649740 d) P C4 C4 C4 C4 C4 5 C 52 64 62435 c) P 3 2 C4 C4 5 C 52 08290 e) P 3 2 4 C3 3 C3 429 5 C 465 52 f) 5 C48 35673 8482 P 5 C 5445 5445 52 M. Przybycień Rachue prawdopodobieństwa i statystya Wyład -9