Wkład 8: Bła stwna c. D nż. Zbgnew Sklask Kateda Elektonk, paw. C-, pok. skla@agh.edu.pl http://lae.uc.agh.edu.pl/z.sklask/ 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Śodek as/ śodek cężkośc Jak opsać dowoln uch cała? Któego punktu cała? Zawse ożna wbać tak punkt cała, któ pousa sę tak jakb pousał sę pojednc punkt atealn pod dałane tch sach sł ewnętnch ŚRODEK MASY cała. Dla układu punktów atealnch: 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Dla as punktowch Cągł okład as d l d M d d l d M d d l d M d wekto położena śodka as s ˆ ˆj k ˆ d d d M s M 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Pkład Cenk, jednoodn słup o ase M długośc leżąc pooo postawono ponowo. Oblcć wkonaną pacę. Kopec Płsudskego uspan w latach -tch ub. weku a kstałt stożka o wsokośc 5 śednc podstaw. Oblcć pacę jaka ostała wkonana podcas spana kopca. Pjąć śedną gęstość 7 kg/. 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 4
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 5 Ruch śodka as n n S a a a a M... dt v v v v M n n S... dt M n n S... n S F F F a M... a s F ew M Ruch śodka as odbwa sę pod wpłwe wektoowej su wsstkch sł dałającch na układ - ówneż sł wewnętnch. Jednak asad dnak sł wewnętne sę ównoważą s M
Śodek as układu pousa sę tak, jakb cała asa układu bła skupona w śodku as jakb wsstke sł ewnętne na ną dałał. Pęd śodka as p s F ew dps dvs M Vs M dt dt dps dt F ew p s const Zasada achowana pędu Pkład: Sedąc na dobe canoe o ase długośc wośla o ase M wstał pesedł sbkoścą V w na jego dug konec. Oblc jaką sbkoścą o le pesunęło sę canoe. 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 6
Podstawowe pojęca uchu obotowego punktu atealnego bł stwnej Odpowednke pędu w uchu postępow jest oent pędu w uchu obotow p V Skoo V p oa Skoo to = V to V = oa = W uchu postępow słę wąże lnow pspesene cała. Jaką welkość wąże pspesene kątow w uchu obotow? 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 7
Powód uchu obotowego bł - oent sł Jeżel ena sę oent pędu układu to p const d d d d dp p p dt dt dt dt dt v v F d F M Ostatecne: M F dt Zasada achowana oentu pędu: Jeżel const d to M ew dt 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 8
M F Jeżel dała sła stcna F t F t to M = Ft a oa M F n F to M = M F t Jeżel dała dowolne skeowana sła F to M F F F t n t Moent sł w t uchu nadaje sła stcna. 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 9
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka Moent bewładnośc Enega knetcna -tego punktu atealnego: k v E k E Moent bewładnośc ależ od: -wbou os obotu -kstałtu cała -oescena as cała E k Dla cągłego okładu as d Enega układu punktów atealnch obacającch sę taką saą kg
Pkład Oblcć oent bewładnośc postokąta o waach a b gęstośc powechnowej, wględe: a) podstaw a jako os, b) wględe os postopadłej do boku a, pechodącej pe śodek postokąta, c) wględe os postopadłej do powechn postokąta pechodącej pe jeden jego wechołków. 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka Tenso oentu bewładnośc V V V węc achunku wektoowego wadoo: B A C C A B C B A węc ate p
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka ale Zate Składowe wektoa :
Poądkując np. gde: skoo Można węc apsać jako: węc Dla poostałch składowch postępuje analogcne 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 4
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 5 Można węc ównane wektoowe astąpć pe układ tech ównań: ~ W ogóln ppadku wekto ne a keunku pędkośc kątowej, co jest pcną skoplkowanego achowana sę wującego cała stwnego.
Własnośc tensoa oentu bewładnośc Setcn: = Można go dagonalować do postac: Sua jest otopowa, cl wględe os układu: Gd cało a setę osową np. wględe os OZ to = óżne od ea są tlko watośc os głównej jest neależna od oentacj cała d V dv 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 6
dla cągłego okładu as eleent dagonalne eleent poadagonalne V dv V dv V dv V dv V dv td.. UWAGA!!! Moent bewładnośc jest addtwn!!! 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 7
ntepetacja eleentów tensoa oentu bewładnośc N n n n N n ( ) n n n kwadat odległośc od os OZ N n n n n n n n Eleent dagonalne ają klascną ntepetację = Eleent poadagonalne pojawają sę gd pojawa sę aseta 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 8
Twedene Stenea (o osach ównoległch) Gd obót bł o ase M następuje wokół os Z pechodącej pe śodek as to Jeżel bła acne sę obacać wokół os Z, ównoległej do Z oddalonej od nej o odległość a to ś ω a ' Ma 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 9
Poównane podstawowch welkośc fcnch woów Ruch postępow (stał keunek) Ruch obotow (stała oś obotu) położene pędkość lnowa v (/s) pspesene lnowe a (/s ) asa () v a d dt dv dt położene kątowe pędkość kątowa ω (ad/s) pspesene kątowe ε (ad/s ) (kg) oent bewładnośc (ad) d dt d dt (kg ) 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Poównane podstawowch welkośc fcnch woów cd. sła F (N) pęd p (kg /s) F p a v oent sł M (N ) oent pędu (kg s) M enega knetcna E k (J) uogólnona asada dnak E k F dp dt v enega knetcna E k (J) uogólnona asada dnak E k M d dt 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Pkład oblceń tensoa oentu bewładnośc Dsketn okład as Roważć układ cteech as (a,a), (a,-a), (-a,-a) oa (-a,a), oesconch w wechołkach kwadatu. Wajene odległośc ęd asa ne ulegają ane. (a) Znaleźć tenso oentu bewładnośc tego układu as. Odp.: a).. 6a a?? a 6a a.. -a a 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka (b) Znaleźć wekto oentu pędu tego układu as podcas obotu pędkoścą kątową = spawdć c jest on ównoległ do wektoa pędkośc kątowej. b) j ˆ ˆ 6 a a ~ a a a a
now okład as Cenk jednoodn pęt o długośc l gęstośc lnowej obaca sę wokół os OZ d d const oa l l l d l l d l l 8 cl 8 X Z l l 8 d l Y Jeżel pesune oś obotu na konec pęta, to =? 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 4
Powechnow okład as Cenk jednoodn dsk o poenu R gęstośc d powechnowej ds Z R d d d= ds = d X Y węc R d R R 4 4 poostałe oent bewładnośc oblc kostając własnośc cała o set osowej - własnośc tensoa oentu bewładnośc: R 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 5
8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 6 Wadoo, że a węc V V dv d gde Dla cągłego okładu as:
Dla oważanego dsku Z R otuje węc X Y d ds S R R d R 4 4 R a węc R R stąd R 4 R 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 7
ub oblcając nacej: skoo d a + + = oa = a węc = = ½ ds d S R R 4 4 R 4 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 8
Powłoka kulsta (sfea) Gęstość powechnowa powłok o poenu R wnos d ds Skoo jest seta kulsta to: d d R + + = oa = = = cl d d ub nacej: X Z R R Y 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 9
Objętoścow okład as Kula o poenu R gęstośc objętoścowej sfe R M d d d d M R d dv d dv 4 d R 8 4 d 8 R 5 5 8 M 5 4 R R 5 5 MR 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Seta clndcna X X Z Z walec o poenu podstaw R, wsokośc H ase M Y Y w 4 MR MH 4 MR cenk pęt o długośc ase M p M M MH MR 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka
Pkład: Dwe as punktowe = g = g są uescone na końcach stwnego, neważkego pęta o długośc = 5 c. Pęt uescon jest pod kąte = wględe os OX, a śodek as tego układu cał najduje sę w śodku układu współędnch XY. Pęt wuje cęstotlwoścą f = H, a osą obotu jest oś OY. Oblcć składowe wektoa oentu pędu oa podać jego keunek. Plan: śodek as składowe tensoa składowe oentu pędu tg Y X
Śodek as: s,,5,,5, Składowe tensoa: cos, 8 cos, 9 sn, sn, 7,9,78,,4,6,4,,6kg,6,5, kg, 65,56,4,96 kg,6 9,6 9,6 6,5
Składowe oentu pędu: tg, 4 6,5, 4 9,6 4 6,5 9,6 9,6,6,76 9,6 6,5 tg o 7,8
Tocene be poślgu Tocene be poślgu jest specfcn odaje uchu bł stwnej, będąc łożene uchu postępowego śodka as uchu obotowego wokół śodka as. Pcną tocena jest wstępowane taca statcnego. R ś 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 5
ωr v ś v ś ś v ś v ś ωr v ś ωr v = uch obotow wokół os pechodącej pe śodek as uch postępow v ś R tocene be poślgu jako łożene uchów a ś R 8-- Wdał nfoatk, Elektonk Telekounkacj - Telenfoatka 6