III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy zapisu = a). Ciąg { } moża też zapisywać w postaci a 1, a 2, a 3,...,,... Liczbę azywamy -tym wyrazem ciągu { }. Przykłady określaia ciągów liczbowych:. wzorem, p. = 3, b = 1, c = 1 + 2 2 + 3 3 +... + ; rekurecyjie, p. a 1 = 3, +1 = + 2 ciąg arytmetyczy, b 1 = 1, b +1 = 3b ciąg geometryczy; opisowo, p. - -ta liczba pierwsza. 1
Przykłady ciągów liczbowych:. ciąg liczb parzystych dodatich = 2; ciąg liczb ieparzystych dodatich = 2 1; ciąg arytmetyczy = p + 1)d p - pierwszy wyraz ciągu, d - różica ciągu); ciąg geometyczy = pq 1 p - pierwszy wyraz ciągu, q - iloraz ciągu); ciąg stały = c c - dowola liczba); = 1 + 1 ) ; 1, +1, 1, +1,..., 1) ; 1, 2, 3 3, 4 4,...,. 2. Mootoiczość i ograiczoość ciągu liczbowego. Defiicja 2.1. Mówimy, że ciąg { } jest: rosący, jeżeli dla każdego N < +1 iemalejący, jeżeli dla każdego N malejący, jeżeli dla każdego N +1 > +1 ierosący, jeżeli dla każdego N +1. 2
Ciągi rosące, iemalejące, malejące i ierosące azywamy ciągami mootoiczymi. Moża mówić o ciągach mootoiczych od pewego miejsca tj. pewego umeru 0 N. Uwaga. Mootoiczość dowolego ciągu { } moża ustalić badając zak różicy +1, a ciągu {b } o wyrazach dodatich porówując iloraz z liczbą 1. b +1 b Sprawdzimy, że ciąg = 2 jest rosący. Otrzymujemy +1 = +1) 2 +1) 2 ) = 2 +2+1 1 2 + = 2 > 0 dla wszystkich N. Zatem < +1 dl N. Sprawdzimy, że ciąg b =! N badamy iloraz b +1 b. Otrzymujemy b +1 b = jest malejący. Poieważ b > 0 dla wszystkich + 1)! + 1) +1)! = dla wszystkich N. Zatem b +1 < b dl N. ) < 1, + 1 Defiicja 2.2. Ciąg { } azywamy ograiczoym, jeżeli istieją takie liczby m 1 i m 2, że dla wszystkich N m 1 m 2, lub rówoważie, jeżeli istieje taka liczba M > 0, że dla wszystkich N M. 3
3. Graica ciągu liczbowego. Defiicja 3.1. Liczbę g azywamy graicą ciągu { }, jeżeli dla dowolego ɛ > 0 moża dobrać taką liczbę 0 N, że dla każdego > 0 zachodzi ierówość zapisywaa rówoważie w postaci g < ɛ, g ɛ < < g + ɛ. Mówimy, że ciąg { } jest zbieży do graicy g, co zapisujemy lim = g. Ciągi posiadające graicę azywamy ciągami zbieżymi. Twierdzeie 3.2. o jedozaczości graicy) Ciąg zbieży ie może mieć dwóch różych graic. Przykłady ważych ciągów zbieżych: lim c = c; lim 1 = 0; lim q = 0 dla q < 1; lim a = 1 dla a > 0;; lim = 1; lim 1 + 1 ) = e 2, 718281 4
a) Wykażemy, że lim +1 = 1. Zgodie z defiicją ależy pokazać, że ɛ > 0 0 N N > 0 1 < ɛ. + 1 Weźmy dowoly ɛ > 0. Nierówość epsiloową względu. Otrzymujemy +1 + 1 1 < ɛ > 1 ɛ. ɛ 1 < ɛ rozwiązujemy ze Zatem przyjmując 0 := [ 1 ɛ ɛ + 1], gdzie symbol [x] ozacza część całkowitą z liczby x, otrzymamy, że dla wszystkich > 0 zachodzi ierówość 1 < ɛ. + 1 b) Rozważmy ciąg = 2 1). Mamy a 2 = 2, a 2 1 = 2 dl N. Przypuśćmy, że ciąg { } ma graicę g < 2. Wtedy przyjmując ɛ = 2 g 2 otrzymujemy, że żade wyraz a 2 ie spełiierówości a 2 g < ɛ, czyli g ie może być graicą ciągu { }. Podobie pokazuje się, że graicą ie może być żada liczba g 2. Zatem graica ciągu { } ie istieje. 5
4. Twierdzeia o ciągach zbieżych. Twierdzeie 4.1. o jedozaczości graicy) Ciąg zbieży ie może mieć dwóch różych graic. Twierdzeie 4.2. Ciąg zbieży jest ograiczoy. Twierdzeie 4.3. Ciąg mootoiczy i ograiczoy jest zbieży. Twierdzeie 4.4. o arytmetyce graic) Załóżmy, że ciągi { } i {b } są zbieże, tz. lim = a i lim b = b. Wówczas 1. lim + b ) = lim + lim b = a + b; 2. lim b ) = lim lim b = a b; 3. lim c ) = c lim = c a; 4. lim b ) = lim lim b = a b; 5. lim b = lim lim b = a b. o ile b 0; 6. lim ) p = lim ) p, gdzie p Z \ {0}; 7. lim k = k lim, gdzie k N \ {1}. W dwóch ostatich wzorach zakłada się, że wyrażeia po obu stroach rówości mają ses. Obliczymy lim 4 +5 1 3 4 2 + 4 +3 2 8 +7 ). 6
Twierdzeie 4.5. o trzech ciągach) Jeżeli ciągi { }, {b }, {c } spełiają waruki: i) b c dl 0 0 - pewa liczbaturala); ii) lim = lim c = g, to lim b = g. Obliczymy lim 2 + 3 + 5. Twierdzeie 4.6. Jeżeli lim = 0 i ciąg b jest ograiczoy, to lim b ) = 0. Obliczymy lim si 2 +1. Twierdzeie 4.7. Ciąg e = 1 + 1 ) jest rosący i ograiczoy z góry. Wiosek 4.7. Ciąg e = 1 + 1 ) jest zbieży. Defiicja 4.8. Graicę ciągu {e } ozaczamy przez e, tj. lim 1 + ) 1 = e. 7
5. Ciągi rozbieże do ieskończoości. Defiicja 5.1. Mówimy, że ciąg { } jest rozbieży do ieskończoości, co zapisujemy lim =, jeżeli dla dowolej liczby M moża dobrać taką liczbę aturalą 0, że dla wszystkich > 0 zachodzi ierówość > M. Mówimy, że ciąg { } jest rozbieży do mius ieskończoości, co zapisujemy lim =, jeżeli dla dowolej liczby M moża dobrać taką liczbę aturalą 0, że dla wszystkich > 0 zachodzi ierówość < M. Jeżeli ciąg { } jest rozbieży do + lub, to mówimy, że ciąg te ma graicę iewłaściwą. Pokażemy, że ciąg = 3 + 2 jest rozbieży do +. Weźmy dowolą liczbę M. Należy tak dobrać 0, aby dl > 0 zachodziłierówość 3 + 2 > M. Mamy 3 + 2 + 2 > M o ile > M 2. Wystarczy więc przyjąć 0 = [M 1] Twierdzeie 5.2. 1. Jeżeli 0 i > 0, to 1 2. Jeżeli 0 i < 0, to 1 +.. 3. Jeżeli ± i > 0, to 1 0. 4. Jeżeli + i b b > 0, to b +. 5. Jeżeli + i b b < 0, to b. 6. Jeżeli + i b +, to + b +. 7. Jeżeli + i {b } jest ograiczoy, to + b +. 8
Uwaga. Jeżeli c = b oraz 0 i b +, to bezpośredio z takiej postaci ciągu c ie możic wywioskować a temat graicy tego ciągu. O ciągu {c } mówimy, że jest ciągiem typu 0 lub ieozaczoością typu 0. Wyróżiamy astępujące symbole ieozaczoe : 0,,, 0 0, 00, 1, 0. Obliczymy lim 2 + ). Twierdzeie 5.3. o dwóch ciągach) Załóżmy, że ciągi { } i {b } spełiają ierówość b dl 0, gdzie 0 - pewa liczbaturala. 1. Jeżeli lim = +, to lim b = +. 2. Jeżeli lim b =, to lim =. Wykażemy, że lim 1 1 + 1 2 + 1 ) 3 +... + 1 = +. Twierdzeie 5.4. Jeżeli > 0 dl N i lim = +, to lim 1 + 1 ) a = e. Obliczymy lim 3+1. 3+4) 9