Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Podobne dokumenty
( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

1 Definicja całki oznaczonej

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Wymagania kl. 2. Uczeń:

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Pierwiastek z liczby zespolonej

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Analiza Matematyczna (część II)

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Pierwiastek z liczby zespolonej

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

3. F jest lewostronnie ciągła

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Podstawy analizy matematycznej II

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Podstawy układów logicznych

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Zadanie 1. Z definicji wyprowadź wzory na pochodne funkcji. Przypominam definicję pochodnej f (x)

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Transkrypt:

1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =, co zpisujemy g jeżeli dl kżdego > możn wskzć tką liczbę istnieje tk liczb >, żeby było -g< dl < <. Deinicję tę z pomocą symboli możemy zpisć nstępująco g g Zuwżmy, że n to, by grnic lewostronn mogł istnieć, unkcj powinn być określon w pewnym przedzile otwrtym, którego prwym końcem jest. Ntomist dl = orz > unkcj może nie być określon. Deinicj. Mówimy, że + jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =, co zpisujemy jeżeli dl kżdej liczby M> istnieje tk liczb >, że >M dl kżdej liczby tkiej, że - < <. Deinicję tę możemy zpisć nstępująco: M M Deinicj.3 Mówimy, że - jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =, co zpisujemy jeżeli dl kżdej liczby M > istnieje tk liczb >,że < - M dl kżdej liczby tkiej, że - < <. Deinicję tę możn zpisć nstępująco: M M

Dl prwostronnej grnicy unkcji w punkcie = podje się deinicje odpowiednio, jk wyżej, z tą tylko zminą, że podne nierówności mją być spełnione dl zwrtego w przedzile < < +. Grnicę prwostronną unkcji w punkcie = c oznczmy symbolem. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji noszą wspólną nzwę grnic jednostronnyc. Interpretcj geometryczn grnic jednostronnyc Zpis g geometrycznie ozncz rys..1, że jkikolwiek weźmiemy wąski psek.1 g- < y < g+, to musi istnieć tkie otoczenie lewostronne punktu =, czyli tki przedził. < < gdzie >, że cły wykres unkcji dl z przedziłu. znjduje się w psku.l. Rys..1 Grnic lewostronn unkcji Zpis geometrycznie ozncz rys.., że dl kżdej prostej y = M istnieje tki przedził -,, gdzie >, że cły wykres unkcji odpowidjącej temu przedziłowi znjduje się pond prostą y = M. Z tego wynik, że prost = jest tzw. symptotą pionową krzywej y = Anlogiczną interpretcję geometryczną m grnic prwostronn unkcji. Rys.. Nieskończoność jko grnic lewostronn unkcji

Grnic unkcji w punkcie. Deinicj.4 Mówimy, że liczb g jest grnicą unkcji w punkcie =, co zpisujemy g jeżeli istnieją grnice lewostronn i prwostronn w punkcie = i obie są równe liczbie g. Grnic unkcji przy dążącym do. Deinicj.5 Mówimy, że liczb g jest grnicą unkcji przy +, co zpisujemy g jeżeli dl dowolnie obrnej liczby > O istnieje tk liczb K>, że g< dl kżdej liczby tkiej, że > K K K g Zpis ten geometrycznie ozncz rys..3, że jkkolwiek jest wąski psek g <y < g +, to istnieje tk prost = K, że cły wykres unkcji y= n prwo od prostej = K znjduje się wewnątrz tego psk. Z tego wynik, że prost y = g jest tzw. symptotą poziomą krzywej y =, gdy +. Deinicj.6 Rys..3 Grnic unkcji przy. Mówimy, że liczb g jest grnicą unkcji przy -, co zpisujemy g jeżeli dl dowolnie obrnej liczby > istnieje tk liczb K> O, że g< dl kżdej liczby tkiej, że < - K. K K g 3

Deinicj.7 Mówimy, że unkcj dąży do + przy +, co zpisujemy jeżeli dl dowolnie obrnej liczby M> istnieje tk liczb K>, że >M dl kżdej liczby tkiej, że > K. Deinicj.8 Mówimy, że unkcj dąży do - przy +, co zpisujemy jeżeli dl dowolnie obrnej liczby M> istnieje tk liczb K>, że <-M dl kżdej liczby tkiej, że > K. Podobnie określmy grnice przy - Zcodzą nstępujące twierdzeni o grnicc: Twierdzenie.1 c c Jeżeli istnieją grnice orz g to: g g c c g g c c c c c pod wrunkiem, że g orz g c g g c c Anlogiczne twierdzeni zcodzą dl grnic lewostronnyc i prwostronnyc Przykłd.1 Obliczyć grnice unkcji: 1.. 3. 4. 1, 3 5 5 1 tg 3 1 4 4

. Ciągłość unkcji Deinicj.9 Funkcję nzywmy unkcją ciągłą w punkcie =, jeżeli istnieje grnic i jeżeli grnic t równ się. Zcodzą nstępujące twierdzeni dotyczące ciągłości unkcji: Twierdzenie. Sum dwóc unkcji ciągłyc w punkcie = jest unkcją ciągłą w tym punkcie, Iloczyn dwóc unkcji ciągłyc w punkcie = jest unkcją ciągłą w tym punkcie. Ilorz dwóc unkcji ciągłyc w punkcie = tkim, że dzielnik jest różny od zer, jest unkcją ciągłą w tym punkcie. Jeżeli unkcj złożon gjest określon w pewnym otoczeniu punktu =, unkcj g jest ciągł w punkcie = o, unkcj u jest ciągł w punkcie u = u, gdzie u = g o, to unkcj złożon g jest ciągł w punkcie = o. Ciągłość njwżniejszyc unkcji: Wielomin W n jest unkcją ciągłą dl wszystkic wrtości. Funkcj wymiern Wn/Wm jest unkcją ciągłą dl tyc wrtości, przy któryc minownik jest różny od zer. Funkcj potęgow, gdzie jest to stł dowoln, jest określon i ciągł dl wrtości >. Funkcj wykłdnicz, gdzie >, jest ciągł dl wszystkic wrtości. Funkcj logrytmiczn log, gdzie > i 1, jest ciągł dl wrtości >. Funkcje trygonometryczne są ciągłe: 1. sin i cos dl wszystkic wrtości,. tg dl k+1/, gdzie k jest dowolną liczbą cłkowitą, 3. ctg dl k, gdzie k jest dowolną liczbą cłkowitą. Przykłd. Przykłd unkcji nieciągłej: Zbdć ciągłość unkcji: dl y 3 dl 5 nieciągł w punkcie =5 1 dl 5 5

.3. Pocodne rzędu pierwszego Deinicj.1 Pocodną unkcji y = w punkcie nzywmy grnicę, do której dąży stosunek przyrostu wrtości unkcji, y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezleżnej, gdy przyrost zmiennej niezleżnej dąży do zer, czyli grnicę y Jeżeli grnic tk nie istnieje, to unkcj w tym punkcie nie m pocodnej. Pocodną unkcji y = oznczmy symbolmi: dy d y,, lub d d Odnjdywnie pocodnej unkcji nzyw się różniczkowniem unkcji. Dził mtemtyki trktujący o pocodnyc, ic włsnościc i zstosownic nzywmy rcunkiem różniczkowym. Funkcj, któr w kżdym punkcie pewnego przedziłu, b m pocodną, nzyw się unkcją różniczkowlną w tym przedzile. Przykłd.3 Przykłdy obliczni pocodnej z deinicji: Obliczyć n podstwie deinicji pocodne unkcji: 1. y =,. y = sin, Zcodzą twierdzeni: Twierdzenie.3 Jeżeli unkcj m w dnym punkcie pocodną skończoną, czyli jest unkcją różniczkowlną, to jest w tym punkcie ciągł. Ale, unkcj ciągł może nie mieć pocodnej, np. unkcj = w punkcie = 1 1 6

Twierdzenie.4 Pocodn unkcji stłej równ się zeru, tzn. jeżeli y = c, to y' =. Twierdzenie.5 Pocodn iloczynu stłej przez unkcję równ się iloczynowi stłej przez pocodną unkcji, tzn. jeżeli y = c, to y = c Niec u =, v = g oznczją unkcje różniczkowlne. Wówczs zcodzą trzy podne niżej wzory: Pocodn sumy unkcji. Jeżeli y = u + v, to y = u + v Pocodn iloczynu unkcji. Jeżeli y = uv, to y =u v + uv. Pocodn ilorzu unkcji. u' v uv' Jeżeli y = u/v, i v, to y' v Wżniejsze wzory rcunku różniczkowego 1. = -1 jeśli > i R,. sin = cos, 3. cos = - sin, 4. 5. 1 tg ' jeśli cos, cos ctg 1 ' jeśli sin, sin 6. = ln 7. e = e, 8. 1 log ' ln jeśli > 9. 1 ln ' jeśli > 7

Przykłd.4 Obliczyć pocodną unkcji: 1. y = 3 4 + 3-3-1,. y = sin, 3. y sin cos.4 Interpretcj geometryczn pocodnej. Deinicję pocodnej unkcji w punkcie, możn zpisć zgodnie z oznczenimi rysunku.4 w nstępującej postci: Pocodną unkcji y = w punkcie = A nzywmy grnicę y y. Ilorz tg jest współczynnikiem kierunkowym prostej przecodzącej przez punkty A i M. Jeżeli, to punkt M dąży do punktu A, ztem prost przecodząc przez punkty A i M dąży do stycznej do krzywej y = w punkcie = A. Ztem, pocodn unkcji y = w dnym punkcie równ się współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu unkcji w tym punkcie. Rys..4 Interpretcj geometryczn pocodnej unkcji w punkcie. Przykłd.5 Znleźć współczynnik kierunkowy m prostej y = m + n stycznej do unkcji y = w punkcie P,. Rozwiąznie. Zgodnie z deinicją pocodnej i jej interpretcją geometryczną y m Przykłd.6 Obliczyć, w którym punkcie styczn do linii y 3 3 9 jest równoległ do osi OX. 8