Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C = {z = x, y x, y R}. Defiicja 2. Niech z 1 = x 1, y 1, = x 2, y 2 będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy: 1. mówimy, że liczby te rówe tz. z 1 = x 1 = x 2 y 1 = y 2, 2. sumę liczb zespoloych określamy wzorem z 1 + = x 1 + x 2, y 1 + y 2,. iloczy liczb zespoloych określamy wzorem z 1 = x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1. Twierdzeie 1 Własości działań w zbiorze liczb zespoloych. Niech z = x, y, z 1,, z będą dowolymi liczbami zespoloymi. Wtedy: 1. z 1 + = + z 1, 2. z 1 + + z = z 1 + + z,. 0=0,0 C z + 0 = z, 4. z C z + z = 0, gdzie z = x, y, 5. z 1 = z 1,. z 1 z = z 1 z, 7. 1=1,0 C z 1 = z, 8. z 0 1 z C z 1 z, gdzie 1 z = x x 2 +y 2, y x 2 +y 2, 9. z 1 + z = z 1 + z 1 z. 1
Zadaie 1. Wykoać podae działaia: a 1, 1 + 1,, c 2, 1, 0, e 1, 12,, g 2, 04, 0, b, 0 + 1, 2, d 0, 2 2, 1, f 1, 1, 2, h 0, 20,. Defiicja. Liczbę 0, 1 azywamy jedostką urojoą i ozaczamy i = 0, 1. Każdą liczbę zespoloą z = x, y moża zapisać w postaci z = x + iy, x, y R, którą azywamy postacią algebraiczą kaoiczą. Wtedy liczbę 1. x azywamy częścią rzeczywistą liczby zespoloej z, co ozaczamy Rez = x, 2. y azywamy częścią urojoą liczby zespoloej z, co ozaczamy Imz = y. Fakt 1. Liczby zespoloe z 1, są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy Zadaie 2. Wykoać podae działaia: Rez 1 = Re oraz Imz 1 = Im. a 2i + 2 + i, b 7 4i + 2 i, c 1 2i 2 4i, d 2i 2 + i, e 2 i1 i, f 2 2i 2i, g 2 + i + 2 + i, h 1 + i + 2 2i2 + i, i 2i 2+i. Zadaie. Zaleźć x, y R spełiające podae rówaia: a x2 i + y + i = 2i 5, b x i 2 yi = 11 2i, c x 2+i + y 2i = 2, d x1 + 2i + y4 i = i, e 2x 2i 1 2yi = 8 2i, 2x f 1 i + y 1 i = 1, g x2 + i + y5 2i = 8 + 7i, h 1+yi x 2i = i 1. Defiicja 4. Sprzężeiem liczby zespoloej z = x + iy, gdzie x, y R, azywamy liczbę zespoloą z określoą wzorem z = x iy. 2
Twierdzeie 2 Własości sprzężeia liczb zespoloych. Niech z, z 1, będą dowolymi liczbami zespoloymi. Wtedy: 1. z 1 + = z 1 +, 2. z 1 = z 1,. z 1 = z 1, 4. z1 = z 1, o ile 0, 5. z + z = 2 Rez,. z z = 2i Imz, 7. z = z, 8. Imz = Imz. Defiicja 5. Modułem liczby zespoloej z = x + iy, gdzie x, y R, azywamy ieujemą liczbę rzeczywistą z określoą wzorem z = x 2 + y 2. Twierdzeie Własości modułu liczb zespoloych. Niech z, z 1, będą dowolymi liczbami zespoloymi. Wtedy: 1. z = z = z, 2. z z = z 2,. z 1 = z 1, 4. z 1 = z 1, o ile 0, 5. z 1 + z 1 +,. z 1 z 1, 7. Rez z oraz Imz z, 8. Rez 1 z 1. Defiicja. Argumetem liczby zespoloej z = x + iy 0, gdzie x, y R, azywamy każdą liczbę rzeczywistą α spełiającą cosα = x z i siα = y z. Spośród argumetów liczby z moża wyróżić te, który spełia 0 α < 2π. Nazywamy go argumetem główym liczby z i ozaczamy argz [0, 2π. Twierdzeie 4 Własości argumetu liczb zespoloych. Niech z, z 1, C. Wtedy dla pewego k Z, dla którego wyik ależy do [0, 2π: 1. arg z = 2π argz, 2. arg z = argz + π + 2kπ,. arg 1 z = 2π argz, 4. arg z 1 = argz 1 + argz 1 + 2kπ, 5. arg z = argz + 2kπ,. arg z1 = argz 1 arg + 2kπ,
Zadaie 4. Wyzaczyć: a Re2 + i, b Re 2 + i 1 i 2, 15 c Re i, =1 15 d Re i, =1 e 5 i, f 1+i 2+ i, g arg1 + i, h arg 5, i Im 5 + i, j Im 1 + 2 i i 2, 29 k Im i, =0 l Im 29 i, =0 m 1 + 2i 2 i, 2+i2 i 2i, o arg2 2i, p arg 1 i. Zadaie 5. Rozwiązać podae rówaia w zbiorze liczb zespoloych wykorzystując postać algebraiczą liczby zespoloej: a + 2z = 0, b 2z + 1 = iz = 1 + i, c z+ z 1 = 1, d z + 1 + iz = 2 + i, e 2z + = 0, f z + 1 2 = z + 1 2, g z + z + z zi = 2, h 2 + iz = 10. Zadaie. Niech z = a + bi, a, b R. Obliczyć: a, b z z, c 2z z, d Re z z + z z, e z + z, f 2z z, g 2z+iz 2z+i, h Im z z + z z. Zadaie 7. Zazaczyć a płaszczyźie zbiór wszystkich z C spełiających waruek: a z 2 + i = 4, b 1 z i < 5, c argz = π 4, d arg 1 z = π, e π 10π argz <, f arg 2 2iz = π, g z + 2 + i > 2, h 0 < z, i argz + 2 i = π 2, j argz = 7π 10, k π 4 argz 2i π 2, l arg 1 z+i < π. Defiicja 7. Każdą liczbę zespoloą z moża zapisać w postaci: z = rcosα + i siα, gdzie r 0, α R. Wówczas r jest modułem liczby z, a α jedym z jej argumetów. Taką postać liczby z azywamy postacią trygoometryczą. 4
Twierdzeie 5. Niech z 1 = r 1 cosα 1 + i siα 1, = r 2 cosα 2 + i siα 2, gdzie r 1, r 2 0, α 1, α 2 R będą liczbami zespoloymi. Wtedy: z 1 = r 1 r 2 cosα 1 + α 2 + i siα 1 + α 2, z 1 = r 1 r 2 cosα 1 α 2 + i siα 1 α 2, o ile 0. Twierdzeie. wzór de Moivre a Niech z = r cosα + i siα, gdzie r 0, α R oraz N. Wtedy: z = r cosα + i siα. Defiicja 8. Każdą liczbę zespoloą z moża zapisać w postaci: z = re i α, gdzie r 0, α R. Wówczas r jest modułem liczby z, a α jedym z jej argumetów. Taką postać liczby z azywamy postacią wykładiczą. Uwaga 1. Zachodzą aalogicze wzory jak w poprzedich twierdzeiach przy odpowiedich założeiach: z 1 = r 1 e i α1 r 2 e i α 2 = r 1 r 2 e i α 1+α 2, z 1 = r 1e i α1 r 2 e i α = r 1 e i α 1 α 2, o ile z 2 2 0, r 2 z = re i α = r e i α. Zadaie 8. Zapisać poiższe liczby w postaci trygoomeryczej i wykładiczej: a 1, d 1 + i, g e π, j i, m i, b π, e 2i, h 1 + i, k i, i, c 4 4i, f i, i 1 + i, l ie π, o + 4i. Zadaie 9. Zapisać poiższe liczby w postaci kaoiczej: a cos π 4 + i si π 4, b cos π + i si π, c 2cos 7π + i si 7π, d [ cos 5π + i si 5π ] 2, f g +i 10, 1 i 2 2i 4+4i 10, h i 150 i 1 50 i+1 100, e 1+i, 2 i 2+i 2, 1 i 5
j 2+i 15, k l 4cos 7π + i si 7π cos 1π + i si 1π, m cos π + i si π cos 4π + i si 4π, 2cos 11π + i si 11π : 4cos 5π + i si 5π, o cos + i si : cos + i si. cos1 +i si1 8 cos +i si 2 cos2 +i si2, Defiicja 9. Pierwiastkiem stopia N z liczby zespoloej z azywamy każdą liczbę zespoloą w spełiającą rówość: w = z. Zbiór wszystkich pierwiastków stopia N z liczby zespoloej z ozaczamy przez z = {w C w = z}. Fakt 2. Każda liczba zespoloa z = rcosα + i siα, gdzie r 0, α R, ma pierwiastków stopia. Wtedy: z = {z0, z 1,..., z 1 }, gdzie z k = r cos α+2kπ + i si α+2kπ dla k = 0, 1,..., 1. Uwaga 2. Ozaczmy przez ε k pierwiastki stopia z 1, k = 0, 1,..., 1. Wtedy mając jede z pierwiastków stopia z liczby z p. z i resztę możemy obliczyć ze wzoru Wystarczy wykoać 1 iloczyów. z k = z i ε k, k = 0, 1,..., 1. Zadaie 10. Obliczyć podae pierwiastki i zazaczyć je a okręgu: a 1, e 1, i 4 4, m + 4i, b 1, c 4 1, f 4i 2, g 8, j i 21, k i, i, d 1, h 4, l 4 2i + 2 4, o i. Bibliografia: 1. K. Jakowska, T. Jakowski, Zbiór zadań z matematyki, PG, Gdańsk 200. 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liiowa 1. Defiicje, twierdzeia, wzory, GiS, Wrocław 2001.. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liiowa 1. Przykłady i zadaia, GiS, Wrocław 2001. 4. A. Romaowski, Algebra liiowa, PG, Gdańsk 2007. 5. J. Rutkowski, Algebra liiowa w zadaiach, PWN, Warszawa 2008.. J. Topp, Algebra liiowa, PG, Gdańsk 2005.