Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak

Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207

Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere......................... 4.3 Zbiór liczb rzeczywistych....................... 5.4 Rozszerzoy zbiór liczb rzeczywistych............... 7 2 Fukcja liczbowa jedej zmieej 8 2. Defiicja i podstawowe własości fukcji.............. 8 2.2 Wybrae fukcje elemetare.................... 0 2.2. Wartość bezwzględa.................... 0 2.2.2 Część całkowita liczby rzeczywistej............. 2.3 Ciągi liczbowe............................. 2.3. Graice wybraych ciągów liczbowych........... 2 2.4 Twierdzeie Bolzao-Weierstrassa.................. 2 2.5 Defiicja graicy fukcji....................... 23 2.5. Własości fukcji ciągłych.................. 24

Rozdział Zbiory liczbowe i fukcje. Zbiór liczb wymierych Q Podzbiorami zbioru liczb wymierych Q są zbiory liczb: całkowitych Z = {..., 2,, 0,, 2,...} i aturalych N = {, 2, 3,...}. Liczba wymiera to ułamek p q, gdzie: p, q Z i q 0. Dwa ułamki są rówe =) gdy ich licziki i miaowiki są rówe. W zbiorze liczb wymierych określoe jest dodawaie, odejmowaie, możeie i dzieleie: p q ± p q = p q ± p q q q p q p q = p p q q p q : p q = p q q p Liczbę p q azywamy przeciwą do p q, a liczbę q p odwrotą do p q. Dla liczb r, s, t Q, możeie i dodawaie spełiają astępujące prawa:. Przemieość dodawaia: x + y = y + x. 2. Łączość dodawaia: x + y + z) = x + y) + z. 3. Przemieość możeia: x y = y x. 4. Łączość możeia: x y z) = x y) z. 5. Rozdzielość możeia względem dodawaia: x y + z) = x y + x z. Zbiór liczb wymierych jest liiowo uporządkoway. Powiemy, że p q jest miejsze < od p q jeżeli, przy założeiu q, q > 0, liczba całkowita pq jest miejsza od qp : 2

ROZDZIAŁ. ZBIORY LICZBOWE I FUNKCJE 3 q, q > 0) pq < qp ) p q < p q Określoa w te sposób relacja < spełia astępujące prawa:. Dla dowolych r, s Q r s zachodzi jede ze związków: r < s lub s < r. 2. Jeżeli r < s i s < t, to: r < t relacja jest przechodia). 3. Jeżeli r < s, to: r + t < s + t. 4. Jeżeli 0 < r i 0 < s, to: 0 < r s. Wyrażeie r < s r jest miejsze od s) azywamy ierówością ostrą i będziemy rówież przedstawiać w postaci s > r s jest większe od r). Nierówość słabą r s reprezetuje alteratywę: r < s lub r = s r jest miejsze lub rówe s). Podobie r s ozacza jedą z możliwości: r > s lub r = s r jest większe lub rówe s). Powiemy, że liczba wymiera r jest dodatia gdy r > 0, a ieujema gdy r 0. Podobie, liczba wymiera r jest ujema gdy r < 0, a iedodatia gdy r 0. Liczbę wymierą moża przedstawić w postaci ułamka rozwiięcia) dziesiętego skończoego p. /8 = 0.25) lub ułamka dziesiętego ieskończoego i okresowego p. /3 = 0.33333... = 0.3)): p q = ±a 0.a a 2 a 3... = ±a 0 + a 0 + a 2 0 2 + a 3 0 3... + a k 0 k +.....) gdzie: a i to cyfry od 0 do 9. Relację porządku dla ułamków dziesiętych a, b Q określa defiicja: jeżeli a < b, to istieje takie, że a i = b i dla i = 0,, 2,..., oraz a < b. Suma ieskończoej liczby wyrazów w rówaiu.. jest skończoa istieje). Wyika to z astępującej ierówości: a 0 +a 2 0 2 +a 3 0 3...+a k 0 k +... 9 0 + 0 2 + ) 0 3 +... = 9 9 = gdzie suma w awiasie okrągłym jest sumą szeregu geometryczego. Ułamek dziesięty skończoy moża przedstawić w postaci ułamka ieskończoego okresowego, p. 0.9) = 9 0 + 0 2 + ) 0 3 +... = 0.9) = 0. + 0.9) 00 = 0. + 00 = 0.2 Poiżej przedstawioo przykład zamiay ułamka dziesiętego okresowego r = 0.3) a ułamek zwykły:

ROZDZIAŁ. ZBIORY LICZBOWE I FUNKCJE 4 0r = + 0.3) 00 0.3) = 3 + 0.3) 0.3) = 3 99 r = 0 + 3 990 = 56 495.2 Liczby iewymiere Okazuje się, że posługując się liczbami wymierymi ie moża określić długości przeciwprostokątej c trójkąta prostokątego o przyprostokątych o długości rówej. Wiemy, że c = 2. Łatwo jest udowodić, że 2 ie jest liczbą wymierą. W tym celu załóżmy, że prawdziwa jest teza przeciwa, tj. liczba 2 jest liczbą wymierą i moża ją przedstawić w postaci ułamka ieskracalego: 2 = m, gdzie liczik i miaowik są liczbami całkowitymi. Możemy zapisać 2 2 = m 2, skąd wyika, że liczba m 2 jest liczbą parzystą i rówież m jest liczbą parzystą. Dlatego, m = 2k i dalej 2 = 2k 2, gdzie k Z. Zatem rówież jest liczbą parzystą, co przeczy założeiu, że ułamek m jest ieskracaly. Wyika stąd, że teza, iż 2 ie jest liczbą wymierą jest prawdziwa. 2 jest przykładem liczby iewymierej. 2 moża wyrazić jako ułamek dziesięty ieskończoy i ieokresowy, co ilustruje poiższy schemat: < 2 < 2.4 < 2 <.5.4 < 2 <.42.44 < 2 <.45.442 < 2 <.443 Na kolejych miejscach ułamka dziesiętego po lewej stroie umieszczamy ajwiększą cyfrę, tak by ułamek dziesięty podiesioy do kwadratu był miejszy od 2. Podobie, po prawej stroie wybieramy takie ajmiejsze cyfry, tak by ułamek dziesięty podiesioy do kwadratu był większy od 2. Otrzymujemy w te sposób przybliżeia liczby 2 z iedomiarem i z admiarem. Kotyuując ieskończeie wiele razy te proces, otrzymujemy ułamek dziesięty ieskończoy reprezetujący liczbę 2 =.4423562... Podsumowując dotychczasowe rozważaia stwierdzamy, że liczbę wymierą reprezetuje ułamek dziesięty okresowy lub skończoy), a liczbę iewymierą ułamek dziesięty ieskończoy i ieokresowy. Zbiór wszystkich liczb iewymierych ozaczamy symbolem Q. Wrócimy jeszcze raz przykładu liczby iewymierej 2. Wykażemy jej związek z przekrojem Dedekida zbioru liczb wymierych. Podzielimy zbiór Q a dwa rozłącze zbiory: A = { r : r Q, r 2 < 2 }.2.) B = { r : r Q, r 2 > 2 }.2.2)

ROZDZIAŁ. ZBIORY LICZBOWE I FUNKCJE 5 Wykażemy, że zbiór A ie ma liczby ajwiększej, a zbiór B ie ma liczby ajmiejszej. Dla dowolej liczby wymierej r zdefiiujmy liczbę s = p p2 2 p + 2 = 2p + 2 p + 2 s 2 2 = 2 p2 2 p + 2) 2 Jeżeli teraz p A, to rówież s A oraz s > p. Podobie, jeżeli p B, to rówież s B oraz s < p. Kosekwecją tego faktu jest to, że oś liczbowa, a której zazaczoo pukty odpowiadające liczbom wymierym zawiera pustki. Zdefiiujemy teraz ograiczeie góre zbioru liczbowego X. Jeżeli istieje liczba M taka, że dla każdego x X zachodzi x M. Podobie określa się ograiczeie dole m zbioru X. Jest to taka liczba, że dla każdego x X zachodzi m x. Jeżeli ograiczeie góre M ależy do zbioru X, to azywamy je elemetem maksymalym. Jeżeli ograiczeie dole m ależy do zbioru X, to azywamy je elemetem miimalym. Liczbę α azywamy kresem górym supremum) zbioru X α = sup X) jeżeli: α jest ograiczeiem górym X, dla liczby α < α istieje takie x X, że α < x < α. Liczbę β azywamy kresem dolym ifimum) zbioru X β = if X) jeżeli: β jest ograiczeiem dolym X, dla liczby β > β istieje takie x X, że β < x < β. Zdefiioway wyżej zbiór B jest zbiorem ograiczeń górych zbioru A, atomiast zbiór A jest zbiorem ograiczeń dolych zbioru B. Poieważ, zbiór A ie ma liczby ajwiększej, a zbiór B ie ma liczby ajmiejszej, to zbiór A ie ma kresu górego, a zbiór B ie ma kresu dolego, które byłyby liczbami wymierymi. Okazuje się poadto, że liczba iewymiera 2 jest kresem górym A i kresem dolym B. Poieważ A jest ograiczoy od góry, to posiada kres góry, powiedzmy p. Jedak jeżeli p 2 < 2 to p ie może być kresem górym, co wyika z twierdzeia, że pomiędzy dwoma liczbami iewymierymi zajdziemy liczbę wymierą. Z tego samego powodu jeżeli p 2 > 2 to p ie może być ajmiejszym z ograiczeń górych. Zatem p 2 = 2 i p = 2..3 Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbioru liczb wymierych i iewymierych: R = Q Q. Zbiór R będzie dalej azyway zbiorem liczbowym. Zbiór liczb rzeczywistych jest liiowo uporządkoway relacją porządku zdefiiowaą w taki sam sposób jak to miało miejsce w przypadku liczb wymierych.

ROZDZIAŁ. ZBIORY LICZBOWE I FUNKCJE 6 Udowodimy twierdzeie, że dowoly iepusty zbiór liczbowy E, ograiczoy z góry z dołu) ma kres góry doly). Ograiczymy dowód do wykazaia istieia kresu górego. By wyzaczyć kres góry zbioru liczbowego E zastosujemy astępującą metodę: obierzmy ajwiększą liczbę całkowitą a 0 Z taką, że a 0 E i ie jest ograiczeiem górym E, obierzmy ajwiększą cyfrę a {0,, 2,..., 9} taką, że liczba a 0.a E i ie jest ograiczeiem górym E, obierzmy ajwiększą cyfrę a 2 {0,, 2,..., 9} taką, że liczba a 0.a a 2 E i ie jest ograiczeiem górym E,... Po + kroku dostaiemy liczbę a 0.a a 2... a, która ie jest ograiczeiem górym E. Natomiast liczba a 0.a a 2... a + 0 jest ograiczeiem górym zbioru E. Wykażemy, że liczba a = a 0.a a 2... a... jest kresem górym zbioru E. W pierwszym kroku ależy udowodić, że, jeżeli x > a, to x / E. Rzeczywiście, jeżeli x > a to istieje takie, że: x 0.x x 2... x > a. W kosekwecji x 0.x x 2... x a 0.a a 2... a + 0, a poieważ prawa stroa ierówości jest ograiczeiem górym zbioru E, to x / E. W drugim kroku ależy wykazać, że jeżeli x < a, to x ie jest kresem górym E. Niech x < a, wtedy istieje takie, że x < a 0.a a 2... a, a poieważ a.a a 2... a E, to x ie może być kresem górym. Udowodioe wyżej twierdzeie i sposób kostrukcji przybliżeń wymierych z iedomiarem pozwalają stwierdzić, że: 2 = sup {,.4,.4,.44,.442,...} to zaczy, że liczba iewymiera jest kresem górym zbioru jej przybliżeń z iedomiarem. Podobie, moża stwierdzić, że liczba iewymiera jest kresem dolym zbioru jej przybliżeń z admiarem. Jak ależy rozumieć operację dodawaia i możeia liczb iewymierych, kiedy ie zamy wszystkich cyfr ich rozwiięcia dziesiętego? Właśie udowodioe wyżej twierdzeie daje możliwość poprawego zdefiiowaia działań podstawowych. Dodajmy do siebie koleje przybliżeia z iedomiarem liczb 2 i π: 2 π 2 + π 3 4.4 3. 4.5.4 3.4 4.55.44 3.4 4.555.442 3.45 4.5557.........

ROZDZIAŁ. ZBIORY LICZBOWE I FUNKCJE 7 Otrzymamy zbiór liczb wymierych reprezetujących 2 + π. Zbiór te jest ograiczoy od góry 2 + π <.5 + 4) i posiada kres góry. Dlatego możemy zdefiiować: 2 + π = sup {4, 4.5, 4.55, 4.555, 4.5557,...} Podobie postępujemy w przypadku możeia liczb rzeczywistych: 2 π = sup {3, 4.34, 4.4274, 4.44374, 4.4427093,...} Zbiór liczb rzeczywistych z relacją porządku i działaiami dodawaiem i możeiem określoym jak powyżej spełia prawa arytmetyki takie jak dla liczb wymierych. Poadto, posiada własość istieia kresów: każdy iepusty i ograiczoy z góry z dołu) zbiór liczb rzeczywistych posiada kres góry doly). Liczby rzeczywiste będą dalej azywae po prostu liczbami, chyba że zajdzie koieczość wskazaia kokretego podzbioru R..4 Rozszerzoy zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych rozszerza się przez dodaie dwóch elemetów symboli) ± i zwykle ozacza symbolem R. Wtedy + jest ograiczeiem górym dowolego podzbioru R i tym samym, każdy iepusty podzbiór R ma kres góry. Podoba uwaga dotyczy symbolu. Arytmetyka liczb rzeczywistych uwzględiająca symbole ± opiera się a astępujących zasadach: Jeżeli x R, to x + = +, x =, Jeżeli x = 0, to x ± ) = 0. Jeżeli x > 0, to x + ) = +, x ) =. Jeżeli x < 0, to x + ) =, x ) = +. x + = x = 0. Różicę pomiędzy liczbami rzeczywistymi i symbolami ± podkreśla kowecja azywaia liczb rzeczywistych liczbami skończoymi. Symbole ± to plus/mius ieskończoość.

Rozdział 2 Fukcja liczbowa jedej zmieej 2. Defiicja i podstawowe własości fukcji Wiemy, a podstawie codzieych obserwacji, że pomiędzy różymi właściwościami otaczającego as świata zachodzą róże, często skomplikowae, zależości. Moża powiedzieć, że zbiór wartości liczbowych jakie może przyjmować jeda z rozważaych właściwości jest odwzoroway w zbiór wartości drugiej. Rachuek różiczkowy i całkowy jest tą częścią matematyki, która zajmuje się badaiem odwzorowań pomiędzy zbiorami liczbowymi. Podstawowym pojęciem rachuku różiczkowego i całkowego jest pojęcie fukcji. Fukcja liczbowa jedej zmieej jest odwzorowaiem zbioru X R w zbiór Y R: f : X Y 2..) spełiającym astępujący waruek: Każdemu elemetowi x X odpowiada jede i tylko jede elemet y Y. Zbiór X azywamy dziedzią fukcji, a zbiór Y azywamy przeciwdziedzią fukcji. Niech A X, obrazem zbioru A przy odwzorowaiu f azywamy podzbiór Y, taki że: f A) := {f x) : x A} 2..2) Na przykład, dla fukcji f x) = cos x): f R) = [, ]. Niech B Y, przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaiu f azywamy podzbiór X, taki że: f B) := {x : f x) B} 2..3) Na przykład, dla fukcji f x) = x 2 : f [4, 9]) = [ 3, 2] [2, 3]. 8

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 9 Obraz całego zbioru X, azyway zbiorem wartości fukcji, może być zbiorem Y lub jego podzbiorem: f X) Y. Fukcję f : X Y azywamy ijekcją różowartościową), wtedy i tylko wtedy gdy: x x 2 f x ) f x 2 ) 2..4) x,x 2 X Fukcję f : X Y azywamy surjekcją fukcją a), wtedy i tylko wtedy gdy: y = f x) 2..5) y Y x X Fukcję, która jest jedocześie ijekcją i surjekcją azywamy bijekcją. Fukcję f, której wartość jest rówa wartości argumetu, ozaczamy symbolem Id X i azywamy fukcją idetyczościową: Id X x) = x 2..6) x X Fukcję f : X Y azywamy fukcją stałą, wtedy gdy: f x) = y 0 2..7) x X y 0 Y co czytamy: dla każdego x ależącego do X istieje y 0 ależące do Y, takie że: fx) = y 0. Niech f : X Y i g : Y Z. Złożeiem fukcji f i g azywamy fukcję h : X Z, taką że: hx) = fgx)) 2..8) x X Fukcję h moża zapisać w postaci: h = f g. Niech f : X Y jest bijekcją. Fukcję f : Y X azywamy fukcją odwrotą do f, wtedy gdy: f f = Id X co zaczy, że f f x)) = x. Niech f : X Y jest okresowa kiedy gdzie liczbę c azywamy okresem fukcji. Niech f : X Y jest parzysta kiedy gdzie liczbę c azywamy okresem fukcji. f x + c) = f x) 2..9) f x) = f x) 2..0)

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 0 Niech f : X Y jest ieparzysta kiedy Fukcja f może być: f x) = f x) 2..) rosąca iemalejąca malejąca x < x 2 fx ) < fx 2 ) 2..2) x,x 2 X x < x 2 fx ) fx 2 ) 2..3) x,x 2 X x < x 2 fx ) > fx 2 ) 2..4) x,x 2 X ierosąca x,x 2 X x < x 2 fx ) fx 2 ) 2..5) Fukcje, które są iemalejące lub ierosące azywamy mootoiczymi, atomiast te które są rosące lub malejące azywamy ściśle mootoiczymi. Fukcja f : X Y jest ograiczoa z góry gdy: f x) M 2..6) M R x X Fukcja f : X Y jest ograiczoa z dołu gdy: f x) m 2..7) m R x X Więcej wiadomości a temat podstawowych własości fukcji moża zaleźć się w podręcziku: F. Leja Rachuek różiczkowy i całkowy. 2.2 Wybrae fukcje elemetare 2.2. Wartość bezwzględa Fukcja wartość bezwzględa moduł) liczby rzeczywistej jest zdefiiowaa astępująco: { x x 0 x = 2.2.) x x < 0

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ Dla dowolych liczb x, y, z R, fukcja x posiada astępujące waże własości: x 0 2.2.2) x y = x y 2.2.3) x y = x y dla y 0 2.2.4) x + y x + y 2.2.5) x y x y 2.2.6) x y x z + z y 2.2.7) 2.2.2 Część całkowita liczby rzeczywistej Fukcja część całkowita etier, floor) liczby rzeczywistej jest zdefiiowaa astępująco: Na przykład: [2.7] = 2, ale [ 3.4] = 4. 2.3 Ciągi liczbowe [x] = max {p : p Z, p x} 2.2.8) Ciąg liczbowy tworzą wartości fukcji odwzorowującej zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych: f : N R 2.3.) gdzie f) = a =, 2, 3,...) ozacza wyraz ogóly ciągu liczbowego. Defiicja. Liczbę rzeczywistą g azywamy graicą właściwą graicą) ieskończoego ciągu liczbowego {a } jeżeli a g < ε 2.3.2) > 0 ε>0 0 N Powyższy zapis ozacza, że liczba g jest graicą ciągu liczbowego, wtedy i tylko wtedy kiedy w przedziale g ε, g + ε) zajdują się prawie wszystkie elemety ciągu. Sformułowaie prawie wszystkie elemety ozacza wszystkie elemety ciągu poza ich skończoą, zależą od wartości ε, ilością.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 2 Dla uproszczeia, zamiast sformułowaia ieskończoy ciąg liczbowy, będziemy używać termiu ciąg liczbowy lub po prostu ciąg, oraz symbolu {a } zamiast {a }. Graicę ciągu ozaczamy astępująco lub prościej a g. lim a = g 2.3.3) Defiicja 2. Ciąg liczbowy {a } ma graicę iewłaściwą +, jeżeli a > M 2.3.4) > 0 M>0 0 Defiicja 3. Ciąg liczbowy {a } ma graicę iewłaściwą, jeżeli a < m 2.3.5) > 0 m>0 0 Obliczeie graicy ciągu liczbowego sprowadza się od stroy praktyczej) do zastosowaia: defiicji graicy ciągu, twierdzeia o arytmetyce ciągów, twierdzeń porówawczych oraz graic pewych szczególych ciągów. 2.3. Graice wybraych ciągów liczbowych Twierdzeie 4. Nierówość Beroulliego jest spełioa dla x, gdzie x R, N. + x) + x 2.3.6) Dowód. Zasada idukcji matematyczej. Dla 0 = ierówość jest prawdziwa. Załóżmy, że dla pewego > 0 zachodzi + x) +x. Pozostaje wykazać, że z tego założeia wyika + x) + + + ) x: + x) + = + x) + x) > + x) + x) + x) + > + + ) x + x 2 + x) + > + + ) x Zatem ierówość Beroulliego jest spełioa dla dowolej liczby aturalej.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 3 Twierdzeie 5. Uogólieie ierówości Beroulliego. Jeżeli x to + x) α + αx dla α 2.3.7) + x) α + αx dla 0 α 2.3.8) Twierdzeie 6. Wzór dwumiaowy Newtoa a + b) = k=0 Dowód. Zasada idukcji matematyczej. ) a k b k 2.3.9) k Twierdzeie 7. Niech a R, wtedy lim a = { 0 a < a > 2.3.0) Dowód. Dla a = 0 teza twierdzeia jest oczywista. Dla 0 < a < mamy: Na mocy ierówości Beroulliego: a = + δ, δ > 0 a = + δ) > + δ 0 < a < + δ Zatem a 0 gdy. Wyika stąd, że rówież a 0 gdy. Dla a > mamy: a = + δ, δ > 0 Zatem a gdy. a = + δ) > + δ Twierdzeie 8. Niech a R i a > 0, wtedy lim a = 2.3.)

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 4 Dowód. Dla a = teza twierdzeia jest prawdziwa. Niech a > : a > a = + δ, δ > 0 a = + δ ) > + δ 0 < δ < a Zatem δ 0 gdy i w kosekwecji a x. Dla 0 < a < moża zdefiiować b = a >. Widać, że a = wyika z faktu b. b co Twierdzeie 9. Dowód. Dla > moża zapisać: = + δ ) = + Zatem δ i gdy. lim = 2.3.2) = + δ ) δ + 2) > δ 2 2 2 0 < δ < ) δ 2 +... + δ 2 Defiicja 0. Średia arytmetycza A i geometrycza G wyrażają się wzorami: A = a +... + a 2.3.3) G = a... a 2.3.4)

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 5 Twierdzeie. Jeżeli to oraz lim a = g 2.3.5) lim A = g 2.3.6) lim G = g dla a 0 2.3.7) Dowód. Wykażemy tezę twierdzeia dla ciągu średich arytmetyczych. Poieważ ciąg a g, to dla każdego ε > 0 istieje taka liczba aturala, że dla > : g ε < a + < g + ε g ε < a +2 < g + ε... g ε < a < g + ε Dodając stroami te ierówości otrzymujemy g ε < a + +... + a < g + ε Zauważmy teraz, że a +... + a lim zatem istieje takie 2 N, że dla > 2 = 0 ε 2 < a +... + a < ε 2 Poieważ, to istieje takie 3 N, że dla > 3 g ε 2 < a + +... + a < g + ε 2 Dodając stroami dwie ostatie ierówości otrzymamy dla > max 2, 3 ): g ε < a +... + a + a + +... + a < g + ε g ε < a +... + a < g + ε

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 6 tz. a +... + a g < ε Dowód dla średiej geometryczej przebiega podobie. Powyższe twierdzeie pozwala łatwo wykazać proszę spróbować samodzielie) dwa koleje: Twierdzeie 2. Jeżeli to lim a + a ) = g 2.3.8) a lim = g Dowód. Zdefiiujemy ciąg, taki że: b = a oraz b = a a dla >. Wtedy b +... + b i jeżeli b = a a g, to rówież = a b +... + b co dowodzi tezy twierdzeia. = a g Twierdzeie 3. Jeżeli a > 0 i to a + lim = g 2.3.9) a lim a = g Dowód. Zdefiiujemy ciąg, taki że: b = a oraz b = a /a dla >. Wtedy i jeżeli b = a /a g, to rówież co dowodzi tezy twierdzeia. b... b = a b... b = a g

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 7 Twierdzeie 4. Ciąg liczbowy o wyrazie ogólym a = + ) 2.3.20) jest rosący i ograiczoy z góry. Dowód. Korzystamy z ierówości Beroulliego x = ): 2 ) 2 > + ) ) > + ) ) > + ) > + ) Zatem a > a co ozacza, że baday ciąg jest rosący. Wykażemy, że ciąg a jest ograiczoy z góry: + ) = + + + ) = ) + 2 k=0 ) k ) ) 2 2 3 ) k +... + + ) < + + 2 + 2 3 +... + 2 3... + ) < + + 2 + 2 2 +... + 2 + ) < + 2 2 = + 2 ) 2 ) )... 2 3... < 3 Defiicja 5. Poieważ ciąg + ) jest rosący i ograiczoy z góry, to jest zbieży. Graica tego ciągu defiiuje liczbę Eulera e = lim + 2.3.2) ) gdzie e 2, 7828828459.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 8 Twierdzeie 6. Ciąg liczbowy o wyrazie ogólym a = + ) + 2.3.22) jest malejący i ograiczoy z dołu. Graicą tego ciągu jest liczba Eulera lim + + = e ) Twierdzeie 7. lim l + ) = 0 2.3.23) lim [ l + )] = 2.3.24) Dowód. Na mocy poprzedich twierdzeń moża zapisać: Dlatego: + ) < e < + ) + l + ) < < + ) l + ) + < l + ) < + < l + ) < Stosując teraz twierdzeie o trzech ciągach otrzymujemy tezę twierdzeia. Twierdzeie 8. Niech a > 0. Dla dowolego ciągu liczbowego x Rówoważie, dla dowolego ciągu liczbowego x 0 Dowód. Dla x > zachodzą ierówości Zatem, dla a > otrzymujemy lim x a = 2.3.25) lim ax = 2.3.26) [x ] + < x [x ]

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 9 atomiast dla 0 < a < mamy a [x]+ < a x a [x] a [x] < a x a [x]+ Ciągi po prawej i lewej stroie dwóch ostatich ierówości dążą do, skąd wyika, że x a. Twierdzeie 9. Niech a > 0. Dla dowolego ciągu liczbowego x Rówoważie, dla dowolego ciągu liczbowego x 0 lim x x = 2.3.27) lim xx = 2.3.28) Dowód. Podobie jak w przypadku poprzediego twierdzeia. Twierdzeie 20. Dla dowolego ciągu liczbowego x lim + ) x = e 2.3.29) x Dowód. Jeżeli x, to rówież [x ]. I dalej: + + [x ] x < [x ] + [x ] + < + + x [x ] ) [x] + < + ) x + ) [x]+ [x ] + x [x ] ) + [x ] + ) [x]+ < + ) x + ) [x] + ) [x ] + x [x ] [x ] Poieważ ciągi w lewej i prawej części powyższej ierówości dążą do lub e, to łatwo zauważyć, że teza twierdzeie jest prawdziwa.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 20 Twierdzeie 2. Dla dowolego ciągu liczbowego x : lim l + ) = 0 2.3.30) x [ lim x l + )] = 2.3.3) x Dowód. Łatwo przeprowadzić, postępując podobie jak w poprzedim twierdzeiu. Twierdzeie 22. Dla dowolego ciągu liczbowego x 0: lim l + x ) = 0 2.3.32) l + x ) lim = 2.3.33) x Dowód. Wystarczy dokoać podstawieia: x = y twierdzeie. i zastosować poprzedie Twierdzeie 23. lim [ )] e = 2.3.34) Dowód. Zdefiiujmy x = e. Widać, że x 0 gdy. Moża, wobec tego, zapisać: + x ) = e l + x ) = Zatem = l + x ) e ) = x l + x ) = l+x ) x Twierdzeie 24. Dla dowolego ciągu liczbowego x )] [x e x = 2.3.35) lim

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 2 Twierdzeie 25. Dla dowolego ciągu liczbowego x 0 e x ) lim = 2.3.36) x Twierdzeie 26. Dla dowolego ciągu liczbowego x 0 Dowód. Po prostych przekształceiach: a x ) lim = l a 2.3.37) x a x x l a = e a x ) e x l a ) e x l a ) = = l a x x x l a przyjmując y = x l a 0, możemy zapisać a x ) ) = ay l a l a x y 2.4 Twierdzeie Bolzao-Weierstrassa Jest to jedo z ajważiejszych twierdzeń aalizy matematyczej. Defiicja 27. Ze zbioru wartości ideksu dowolego ciągu liczbowego {a } wybierzmy liczby < 2 <... < k <.... Zbiór {a k } azywamy podciągiem ciągu liczbowego {a }. Twierdzeie 28. Każdy podciąg ciągu zbieżego do graicy g, jest zbieży do tej samej graicy. Jeżeli ciąg ie ma graicy, to przyajmiej dwa jego podciągi są zbieże do różych graic. Defiicja 29. Kulą o promieiu δ i środku x 0 x 0, δ R) azywamy zbiór Kx 0, δ) = {x : x R, x x 0 < δ}. Defiicja 30. Zbiór E R azywamy otoczeiem puktu x 0, jeżeli istieje kula o środku w x 0 i promieiu δ takim, że Kx 0, δ) E.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 22 Defiicja 3. Liczbę s azywamy puktem skupieia ciągu {a }, jeżeli w każdym otoczeiu puktu s, leży ieskończeie wiele elemetów ciągu {a }. Graica ciągu jest jego puktem skupieia, ale pukt skupieia ie musi być graicą ciągu. W otoczeiu puktu skupieia musi leżeć ieskończeie wiele elemetów ciągu, ale ie muszą być to prawie wszystkie elemety ciągu. Defiicja 32. Ciąg przedziałów domkiętych [a, b ] azywamy zstępującym, jeżeli a a + b + b dla =, 2, 3,... 2.4.) Twierdzeie 33. Każdy zstępujący ciąg przedziałów domkiętych [a, b ] o długościach b a 0, ma pukt wspóly wszystkim przedziałom. Dowód. Ciąg {a } jest rosący i ograiczoy z góry, zatem a a. Ciąg {b } jest malejący i ograiczoy z dołu, zatem b b. Poadto, b a = lim b a ) = 0. Zatem a a i b a dla wszystkich N skąd wyika, że a jest puktem wspólym przedziałów [a, b ]. Zstępujący ciąg przedziałów otwartych może ie mieć puktu wspólego. Na przykład, ciąg przedziałów 0, ) ie ma puktu wspólego. Twierdzeie 34. Bolzao-Weierstrassa. Każdy ieskończoy i ograiczoy zbiór E R ma co ajmiej jede pukt skupieia. Dowód. Wybieramy przedział domkięty [a, b ] posiadający ieskończeie wiele elemetów i zawarty E. W astępym kroku wybieramy przedział [a 2, b 2 ] [a, b ] rówież zawierający ieskończeie wiele elemetów. Kotyuując te proces otrzymamy zastępujący ciąg przedziałów domkiętych posiadających ieskończeie wiele elemetów i zawierających się w E. Na podstawie poprzediego twierdzeia wiemy, że te ciąg przedziałów domkiętych posiada pukt wspóly. Jest to zarazem pukt skupieia E poieważ w jego dowolym otoczeiu zajduje się ieskończeie wiele elemetów zbioru E. Twierdzeie 35. Wiosek z twierdzeia Bolzao-Weierstrassa. Z każdego ograiczoego, ieskończoego ciągu liczbowego {a } moża wybrać podciąg zbieży. Dowód. Nieskończoy i ograiczoy ciąg liczbowy {a } posiada pukt skupieia s. Moża więc zdefiiować ciąg iepustych przedziałów s k, s + ) k, gdzie k =, 2, 3,.... Następie moża utworzyć pociąg ciągu {a } wybierając z każdego przedziału s k, s + ) k jede elemet ak. Tak wybray podciąg {a k } jest zbieży do graicy s.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 23 2.5 Defiicja graicy fukcji Załóżmy, że g, g +, g R, a fukcja f jest określoa w pewym otoczeiu puktu x 0 R. Będziemy rozważać ciągi liczbowe {x } takie, że x ależą do wspomiaego otoczeia. Defiicja 36. Defiicja Heiego Fukcja f w pukcie x 0 graicę g, jeżeli dla każdego ciągu x x 0 x x 0 ) ciąg wartości fukcji fx ) g. Defiicja 37. Defiicja Cauchy ego Fukcja f w pukcie x 0 graicę g, jeżeli x x 0 < δ fx) g < ε 2.5.) ε>0 δ>0 Liczbę rzeczywistą g azywamy graicą właściwą. Graicę fukcji zapisujemy astępująco: lim fx) = g 2.5.2) x x 0 Defiicja 38. Fukcja f ma w pukcie x 0 graicę lewostroą g, jeżeli dla każdego ciągu x x 0 x < x 0 ) ciąg wartości fukcji fx ) g : lim fx) = g 2.5.3) x x 0 Defiicja 39. Fukcja f ma w pukcie x 0 graicę prawostroą g +, jeżeli dla każdego ciągu x x 0 x > x 0 ) ciąg wartości fukcji fx ) g + : lim fx) = g + 2.5.4) x x + 0 Jeżeli fukcja ma graicę w pewym pukcie, to graica lewostroa i prawostroa są w tym pukcie rówe. Defiicja 40. Fukcja f ma w pukcie x 0 graicę iewłaściwą ±, jeżeli dla każdego ciągu x x 0 x x 0 ) ciąg wartości fukcji fx ) ±. Ciągi {x } występujące w powyższych defiicjach mogą rozbieże do ±. Podobie jak w przypadku ciągów liczbowych, praktycza stroa obliczeia graicy fukcji sprowadza się do zastosowaia: defiicji graicy fukcji, twierdzeia o arytmetyce graic fukcji, twierdzeia o trzech fukcjach, udowodioych graic pewych szczególych wyrażeń fukcyjych oraz a własości ciągłości fukcji. Rozważmy fukcje f i g określoe a zbiorze E R.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 24 Twierdzeie 4. O arytmetyce graic fukcji Niech x 0 będzie puktem skupieia zbioru E. Jeżeli fukcje f i g mają w pukcie x 0 graice: to: lim fx) = f, x x 0 lim gx) = g 2.5.5) x x 0 c fx) c f 2.5.6) fx) ± gx) f ± g 2.5.7) fx) gx) f g 2.5.8) fx) gx) f g gdzie gx) 0, g 0 2.5.9) Twierdzeie 42. O trzech fukcjach Jeżeli trzy fukcje g, f, h spełiają w zbiorze E dla x 0 ierówości gx) fx) hx) 2.5.0) i fukcje gx), hx) mają w pukcie x 0 tą samą graicę g, to rówież lim fx) = g 2.5.) x x 0 2.5. Własości fukcji ciągłych Defiicja 43. Fukcja f jest w pukcie x 0 ciągła, wtedy gdy lim fx) = fx 0 ) 2.5.2) x x 0 Powiemy, że fukcja jest ciągła w zbiorze E R jeżeli jest ciągła w każdym pukcie ależącym do E. Fukcje elemetare: potęgowe, wykładicze oraz trygoometrycze, są ciągłe w każdym pukcie ależącym do ich dziedziy. Aaliza własości fukcji ciągłych wymaga zdefiiowaia iezbędych topologiczych charakterystyk zbiorów liczbowych. Defiicja 44. Zbiór E R azywamy otwartym jeżeli dla każdego puktu x E istieje kula Kx, δ) E. Defiicja 45. Zbiór E R azywamy domkiętym jeżeli zawiera wszystkie swoje pukty skupieia.

ROZDZIAŁ 2. FUNKCJA LICZBOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 25 Defiicja 46. Zbiór E R azywamy zwartym jeżeli z każdego ieskończoego ciągu jego elemetów {x } moża wybrać podciąg zbieży do graicy ależącej do E. Defiicja 47. Zbiór E R azywamy spójym jeżeli dla każdego podziału E = A B takiego, że A B =, jede ze zbiorów A i B zawiera przyajmiej jede pukt skupieia drugiego. Przedział liczbowy [a, b] jest zwarty i spójy. Przedział liczbowy jedo lub dwustroie otwarty p. a, b]) jest spójy, ale ie jest zwarty. Zbiór [a, c) c, b] = [a, b] \ {c} ie jest spójy i ie jest zwarty. Niech dziedzią fukcji f będzie zbiór E R. Twierdzeie 48. Jeżeli fukcja f jest ciągła i dodatia ujema) w pukcje x 0 E, to istieje otoczeie Kx 0, δ), w którym wszystkie wartości fx) są dodatie ujeme). Twierdzeie 49. Fukcja f ciągła w zbiorze spójym E zawierającym dwa pukty a i b przybiera każdą wartość między fa) i fb) fa). Twierdzeie 50. Fukcja f ciągła w zbiorze zwartym E przybiera w pewym pukcie x wartość ajmiejszą i w pewym pukcie x 2 wartość ajwiększą. Twierdzeie 5. Fukcja f ciągłą w zbiorze zwartym E jest ograiczoa, tj. istieją takie liczby m i M, że m fx) M dla x E. Twierdzeie 52. Fukcja f rosąca malejąca) jest różowartościowa, więc ma fukcję odwrotą f. Twierdzeie 53. Fukcja f odwrota do fukcji f różowartościowej i ciągłej w zbiorze zwartym E jest ciągła a zbiorze fe).