dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach, lub macierz wymiaru m n. Poziome rz dy nazywamy wierszami macierzy, a pionowe kolumnami. Liczby a ij b d ce liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub funkcjami nazywamy elementami lub wyrazami macierzy A. Element a ij znajduje si w i tym wierszu oraz j tej kolumnie. B dziemy zapisywa A = [a ij m n lub A = [a ij. Macierze A = [a ij m n i B = [b ij r s s równe, je±li maj ten sam wymiar i na tych samych miejscach te same elementy, tzn.. m = r i n = s. i,j a ij = b ij M m n (R) - zbiór wszystkich macierzy wymiaru m n o elementach rzeczywistych Rodzaje macierzy Macierz kwadratow stopnia n nazywamy macierz A = [a ij wymiaru n n, tzn. macierz o równej ilo±ci wierszy i kolumn. Elementy a, a,..., a nn tworz gªówn przek tn macierzy A : a a... a n a a... a n A =... ; a n a n... a nn Macierz kwadratow stopnia n, której wszystkie elementy stoj ce poni»ej jej gªównej przek tnej s zerami (tzn. a ij = dla i > j) nazywamy macierz górnotrójk tn : a a... a n a... a n A =... ;... a mn
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierz kwadratow stopnia n, której wszystkie elementy stoj ce nad jej gªówn przek tn s zerami (tzn. a ij = dla i < j) nazywamy macierz dolnotrójk tn : a... a a... A =... ; a n a n... a nn Macierz, której wszystkie elementy nie stoj ce na gªównej przek tnej s zerami (tzn. a ij = dla i j) nazywamy macierz diagonaln : a... a... A =... ;... a nn nie oznacza to,»e na przek tnej nie mog wyst powa zera; Kwadratow macierz diagonaln stopnia n, której wszystkie elementy stoj ce na jej gªównej przek tnej maj warto± nazywamy macierz jednostkow i oznaczamy symbolem I n b d¹ te» E n :...... I n =... ;... nazywa si macierz jednostkow stopnia n. Macierz wymiaru n m, której wszystkie elementy s równe zero nazywamy macierz zerow....... =...... Denicja. Niech A = [a ij m n. Macierz transponowan macierzy A nazywamy macierz B = [b ij n m, gdzie b ij = a ji. Macierz transponowan do macierzy A oznaczamy symbolem A T. Oznacza to,»e macierz A T powstaje z macierzy A przez zamian wierszy na kolumny i kolumny na wiersze. 6 4 Przykªad. Niech A = 8 8. Wówczas 8 A T = 6. 4 8
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Denicja. Kwadratow macierz nazywamy symetryczn je±li A T = A. 8 Przykªad. Macierz A = 8 jest macierz symetryczn, gdy» 8 A T = 8 = A. Dziaªania na macierzach Na macierzach mo»emy wykonywa operacje dodawania(odejmowania), mno»enia oraz operacje mno»enia macierzy przez liczb (skalar). Denicja 4. Niech A = [a ij m n, B = [b ij m n. Sum (ró»nic ) macierzy okre±lamy nast puj co: Iloczyn macierzy A przez liczb α jak poni»ej A ± B = [a ij ± b ij. α A = [αa ij Oznacza to,»e dwie macierze mo»emy dodawa wtedy i tylko wtedy, gdy maj takie same wymiary. Dodawanie (odejmowanie) polega na dodawaniu (odejmowaniu ) elementów na tych samych pozycjach. Mno»enie macierzy przez liczb to mno»enie ka»dego jej elementu przez t liczb. 6 Przykªad. Niech A = 4 8, B = oraz α =. Wówczas 5 8 5 6 A + αb = 4 8 + ( ) = 5 8 5 8 9 6 4 8 + 6 9 =. 5 4 45 4 4 8 6 Przykªad 4. Niech A = 4 8, B =. 5 8 5 Wówczas dziaªanie 6 A + B = 4 8 + nie jest wykonalne. 5 8 5
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Denicja 5. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz C = [c ij m p okre±lon nast puj co: w k w k... w k r w k w k... w k r C = A B =..., w m k w m k... w m k r gdzie oznacza iloczyn skalarny wektorów, natomiast: w,..., w m - wiersze macierzy A, k,..., k r - kolumny macierzy B. Oznacza to,»e iloczyn macierzy A i B jest okre±lony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, a element c ij macierzy C jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B. Denicja 6. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a ij n n, o elementach rzeczywistych lub zespolonych nazywamy funkcj, któr oznaczamy symbolem det A lub A przyporz dkowuj c danej macierzy liczb. Funkcja ta jest okre±lona nast puj co: Je±li n =, to det A = a. Je±li n, to det A = ( ) + a det A + ( ) + a det A +... + ( ) +n a n det A n, gdzie A ij jest macierz stopnia n, otrzyman z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Skrócone metody obliczania pewnych wyznaczników Reguªa obliczania wyznaczników stopnia drugiego [ a b det = ad bc. c d Reguªa Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego. a b c det d e f = aei + bfg + cdh ceg afh bdi. g h i Uwaga. Reguªy te nie przenosz si na wyznaczniki wy»szych stopni. Denicja 7. Niech A = [a ij b dzie macierz kwadratow stopnia n. Dopeªnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczb d ij = ( ) i+j det A ij, gdzie A ij jest macierz stopnia n powstaª z macierzy A przez wykre±lenie i-tego wiersza i j- tej kolumny. 4
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Wªasno±ci wyznacznika ) Je±li wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A s równe, to det A =, ) Je±li w macierzy A dwa wiersze s proporcjonalne, to det A =, ) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmian znaku wyznacznika tej macierzy, 4) Je±li do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadaj ce im elementy innego wiersza pomno»one przez dowoln liczb, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.: 5) det AB = det A det B oraz det (A + B) = det A + det B, 6) det A = det A T, 7) Pomno»enie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomno»enie przez α jej wyznacznika. Uwaga. Powy»sze wªasno±ci pozostaj prawdziwe tak»e dla kolumn. Macierz odwrotna Denicja 8. Niech A b dzie macierz nieosobliwa stopnia n. Mówimy,»e macierz B jest macierz odwrotn do A, je±li AB = BA = I n. Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A. Niech D = [d ij n n oznacza macierz dopeªnie«algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz odwrotna A wyra»a si wzorem: A = det A d d... d n d d... d n... d n d n... d nn Operacje elementarne: a) dowolny wiersz mno»ymy przez liczb ró»n od b) przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze T = det A DT. c) do dowolnego wiersza dodajemy dowoln kombinacj pozostaªych wierszy 5
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6. Dane s macierze: A = 5, B = D = Zadania, E = [, C =, F = 5 4 Wykonaj nast puj ce dziaªania (je±li to mo»liwe): A + B (b) A C (c) A B (d) B T A (e) A + B T (f) A D T (g) A T C (h) C T (A + B) (i) E C B (j) F F T + D A. Oblicz: (c) 4 4, (b) [, (d) 4 [ T [.,. Wykorzystuj c poznane metody oblicz nast puj ce wyznaczniki: 5 (b) 8 cos x sin x (c) 4 5 6 7 (d) 6 (e) 4 (f) 4 6 8 5 4 (g) 4 (h) 5 4 (i) 4 4 5 4 8 5 4 6 5 (j) 4 (k) 6 7 (l) 5 9 6 6 4 6 5 5 9 4 8 4,, 6
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 4. Rozwi za w zbiorze liczb rzeczywistych równania: x x x + = (b) 5 = (c) 5 x x 4 x y 4 y z 4 z x y z 5. Wykaza,»e x x y y z z x x y y z z = x y z x y z. x 4 y 4 z 4 x x x = x x 6. Znajd¹ macierz odwrotn do danej: [ 4 5 7 (b) [ (c) (d) 5 7 6 4 5 (e) 7. Rozwi za [ poni»sze równania [ macierzowe: [ [ 4 X + = (d) X 5 [ [ 4 9 (b) X = (e) X + = X [ [ [ 5 5 (c) X = (f) X 4 5 9 = = [ 4 [ 6 8 5 5 Odpowiedzi:. a) 7 6 4 7 7 7 ; b) 4 5 4 6 6 8 ; c) 4 6 6 9 ; d) a) -; b) sin x + 8 cos x; c) -6; d) ; e) -4; f) ;. g) ; h) ; i) -; j) 6; k) -; l). [ [ 7 4 6. a) ; b) ; c) ; 5 7 9 d) 9 4 ; e) 45 ; 7 9 4 [ [ [ 7. a) ; b) ; c) [ 8 [ d) ; e) ; f) 5 ; ; 5 4 7. 7