WEKTORY I MACIERZE. Strona 1 z 11. Lekcja 7.

Transkrypt

1 Strona z WEKTORY I MACIERZE Wektory i macierze ogólnie nazywamy tablicami. Wprowadzamy je:. W sposób jawny: - z menu Insert Matrix, - skrót klawiszowy: {ctrl}+m, - odpowiedni przycisk z menu paska narzędziowego "Vector and Matrix Toolbar" - określamy liczbę wierszy (rows) i kolumn (columns), - wpisujemy w miejsce znaczników elementy wektora lub macierzy.. Stosując odpowiednie wyrażenia matematyczne.. Wczytując z pliku. v : M : MathCad pozwala wykonywać na tablicach działania arytmetyczne: - dodawanie, - odejmowanie, - mnożenie, - potęgowanie v + v : v v M M M MA : MMA..

2 Strona z Zmiana wymiaru tablicy MathCad pozwala zmienić wymiar (liczbę wierszy i/lub kolumn) istniejącej już tablicy. Wykonujemy to w sposób następujący:. Kliknąć na elemencie tablicy, w miejscu, w którym ma być usunięty/wstawiony wiersz/kolumna.. W menu Insert Matrix określić liczbę wierszy i kolumn, które chcemy usunąć/wstawić.. Skorzystać z przycisku Insert/Delete. Jeżeli wstawiamy wiersze/kolumny, uzupełnić zaznaczone miejsca w tabeli. Wstawić i usunąć w podanych tablicach kilka wierszy i kolumn Indeksy matematyczne: - rozróżniamy indeksy dolne i górne, - indeks dolny - odwołanie do poszczególnych elementów wektora lub macierzy. Wprowadzamy jako [ (nawias kwadratowy z klawiatury), - indeks górny - odwołanie do całej kolumny macierzy. Wprowadzamy go z menu paska narzędziowego "Vector and Matrix Toolbar", lub skrótem klawiszowym jako {ctrl}+, - indeksy muszą być liczbami całkowitymi lub wyrażeniami o wartości całkowitej. UWAGA! Standardowo wiersze i kolumny w tablicach numerowane są począwszy od zera. M, Piszemy M[,, MathCad wyświetli element macierzy M znajdujący się w wierszu o indeksie i w kolumnie o indeksie (drugi wiersz i trzecia kolumna). v Piszemy v[, MathCad wyświetli pierwszy element wektora v element o indeksie ). M Piszemy M {ctrl}+ {spacja}. MathCad wyświetli trzecią kolumnę macierzy M (kolumnę o indeksie )...

3 Strona z Korzystając z indeksów definiować można poszczególne elementy tablic v v : v + v Definiując w ten sposób nowe tablice możemy nadawać wartości tylko wybranym jej elementom. Pozostałe, nie zdefiniowane, przyjmą domyślną wartość. vec : vec : vec MAT, : MAT, : MAT, : MAT Indeksy dolne - literowe (nie matematyczne): - wprowadzamy przy pomocy kropki, - indeks stanowi część nazwy zmiennej (nie wskazuje na element wektora lub macierzy). UWAGA! Należy uważać, aby nie mylić indeksów literowych z matematycznymi. v : Piszemy v.:. Jest to zmienna v. Jest to zupełnie, co innego, aniżeli element o indeksie wektora v Sprawdzamy, co jest zapisane pod v pisząc raz v. (czyli używamy indeksu literowego) oraz pisząc v[ (czyli używając indeksu matematycznego) v v..

4 Strona z Funkcje macierzowe Funkcje macierzowe wprowadzamy z menu paska narzędziowego "Vector and Matrix Toolbar" lub odpowiednim skrótem klawiszowym. Mamy do dyspozycji następujące funkcje macierzowe: - transpozycja - M T, {ctrl}+; - odwracanie macierzy - M -, {shift}+-; - wyznacznik macierzy -, {shift}+\; - iloczyn skalarny -, zwykły znak mnożenia; - iloczyn wektorowy -, {ctrl}+; - wektoryzacja -, {ctrl}+-. Macierz M: M Jej transpozycja: M T Jej odwrotność:... M... Wyznacznik macierzy: M... MM MI MI : Y MI : Y W: MI W Y T W MI T MI + vv : vv w : vv w..

5 Strona z Iloczyn skalarny: Iloczyn wektorowy: vv w. vv w Inne funkcje na wektorach i macierzach: - obliczeni liczby wierszy - rows, - obliczanie liczby kolumn - cols, - długość wektora - length, - element największy - maks, - element najmniejszy - min. M v rows( M) rows( v) length( v) cols( M) cols( v) max( M) max( v) min( M) min( v) Specjalne rodzaje macierzy: - identity(n), macierz diagonalna o wymiarze n*n zawierająca na przekątnej głównej i zera poza nią, - diag(v), macierz diagonalna, zawierająca na przekątnej głównej składowe wektora v. Poza przekątną główną wystąpią zera. Wymiar macierzy zależy od wielkości wektora v. Wektor v musi być wcześniej zdefiniowany. MAM : identity MAM vect : MAMA : diag( vect) MAMA..

6 Strona z Różne zastosowania wektorów i macierzy Równoczesne definiowanie kilku wyrażeń: x : α β : γ x + x + π + x α β γ.. Zamiana zmiennych: i j i : j : : i j j i Wektory i macierze wykorzystać można w definiowanych funkcjach. Wystąpić one mogą zarówno jako parametry funkcji, jak też jako rezultat ich działania. Zastosowanie wektora jako argumentu funkcji distrib( v) : ( v ) + ( v ) V : distrib( V). extend( v) : max( v) min( v) extend( V) Funkcja generuje wynik w postaci macierzy rotate( Θ) : cos Θ sin Θ sin Θ cos Θ rotate rotate π......

7 Strona z Obliczenia równoległe - operator wektoryzacji Jeżeli chcemy wykonać obliczenia na każdym elemencie wektora lub macierzy z osobna, wtedy stosujemy operator wektoryzacji. Pozwala to na wykonanie obliczeń równocześnie dla kilku zmiennych. Operacja wektoryzacji pozwala na zastosowanie operatorów i funkcji skalarnych do wykonania obliczeń na wektorach i macierzach. Definiujemy zmienne, dla których chcemy wykonać obliczenia w postaci wektora;. Piszemy wyrażenie/funkcję, dla której chcemy przeprowadzić obliczenia;. Zaznaczamy polem wyboru wektoryzowane wyrażenie;. Wprowadzamy operator wektoryzacji. Niezależne wymnożenie współrzędnych wektora lub macierzy va : vb : va vb Jest to iloczyn skalarny ( va vb) Zastosowanie wektoryzacji do tego mnożenia, prowadzi do nowego wektora wynikowego, w którym i-ta współrzędna powstaje przez wymnożenie i-ty współrzędnych wektorów va i vb va Nie można podnieść do kwadratu wektora. MathCad policzy to wyrażenie stosując wektoryzację. Wcześniejsze wersje zasygnalizują błąd. va Zastosowanie operatora wektoryzacji spowoduje podniesienie do potęgi każdej ze współrzędnych wektora i umieszczenie wyniku w wektorze wynikowym. MAM MAMA..

8 Strona z MAMA : MAMA + MAMA MAM MAMA ( MAM MAMA) Zastosowanie wektoryzacji do mnożenia macierzy daje nam macierz wynikową, w której element o indeksie i,j powstaje z wymnożenia elementów i,j pierwszej i drugiej macierzy. MAMA ale MAMA MAMA Nie można obliczyć pierwiastka z macierzy MAMA Zastosowanie funkcji wektoryzującej pozwala na obliczenie pierwiastka z każdego elementu macierzy. Wynik obliczeń umieszczany jest w macierzy...

9 Strona z Równoczesne wyliczenie wartości funkcji dla kilku zmiennych wawa π π : sin( wawa) π π sin( wawa).. W MathCadzie zastosowanie w funkcji skalarnej parametru wektorowego da taki sam efekt jak wektoryzacja. Starsze wersje MathCada zasygnalizują błąd... Wektoryzacja funkcji sin pozwala na równoczesne obliczenie wartości tej funkcji dla każdego z składowych wektora v. Chcemy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego dla czterech różnych zestawów parametrów a : b : c : Parametry równania kwadratowego są dane w postaci wektorów. x : b b a c a x : b + b a c a x T T (..i.i ) x (. +.i.i ) Sprawdzamy poprawność obliczeń: ( ax + bx + c) ( ax + bx + c)..

10 Strona z Zadania do samodzielnej pracy Obliczyć wartość wyznacznika, dokonać transpozycji i odwrócić macierze: sin α cos α cos α sin α Obliczyć wartość funkcji w podanym punkcie: fx f( α) : sin( x) cot( x) acos( x) dla x przyjmującego wartości: p/, p/, p/, p/, p/ : dla α przyjmującego wartości: π/, π/, π/,..., π/, π/, π cot( α) π π Obliczyć wartość wyrażenia sin(u)*cos(u), gdzie u : raz stosując mnożenie jak π π dla skalarów, a drugi raz wektoryzując to wyrażenie. Wyjaśnić różnice w wyniku...

11 Strona z Obliczyć pierwiastki równania kwadratowego yax^+bx+c dla następujących parametrów a : b : c : Zdefiniować następujące macierze: A : B : C : Obliczyć A+B, A-B, A*C, A*B^T, B*C, C*B. Wykonać te same działania stosując wektoryzacją...