Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8
Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di maja 14, 15, 17, 18, 16, 16, 13, 19 Wartości próby ależą do przedziału [13, 19]. Przykład 2: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di wrześia 11, 16, 21, 16, 10, 22, 14, 18 Wartości próby ależą do przedziału [10, 22]. W obu przykładach średia temperatura jest taka sama (rówa 16), ale w Przykładzie 2 występuje większy rozrzut wartości próby. Stąd do poprawego opisu próby ależy wprowadzić róże jej charakterystyki. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 2 / 8
Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di maja 14, 15, 17, 18, 16, 16, 13, 19 Wartości próby ależą do przedziału [13, 19]. Przykład 2: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di wrześia 11, 16, 21, 16, 10, 22, 14, 18 Wartości próby ależą do przedziału [10, 22]. W obu przykładach średia temperatura jest taka sama (rówa 16), ale w Przykładzie 2 występuje większy rozrzut wartości próby. Stąd do poprawego opisu próby ależy wprowadzić róże jej charakterystyki. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 2 / 8
Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di maja 14, 15, 17, 18, 16, 16, 13, 19 Wartości próby ależą do przedziału [13, 19]. Przykład 2: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di wrześia 11, 16, 21, 16, 10, 22, 14, 18 Wartości próby ależą do przedziału [10, 22]. W obu przykładach średia temperatura jest taka sama (rówa 16), ale w Przykładzie 2 występuje większy rozrzut wartości próby. Stąd do poprawego opisu próby ależy wprowadzić róże jej charakterystyki. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 2 / 8
Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di maja 14, 15, 17, 18, 16, 16, 13, 19 Wartości próby ależą do przedziału [13, 19]. Przykład 2: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di wrześia 11, 16, 21, 16, 10, 22, 14, 18 Wartości próby ależą do przedziału [10, 22]. W obu przykładach średia temperatura jest taka sama (rówa 16), ale w Przykładzie 2 występuje większy rozrzut wartości próby. Stąd do poprawego opisu próby ależy wprowadzić róże jej charakterystyki. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 2 / 8
Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di maja 14, 15, 17, 18, 16, 16, 13, 19 Wartości próby ależą do przedziału [13, 19]. Przykład 2: wyiki pomiarów temperatury w ciągu 8 kolejych di wrześia 11, 16, 21, 16, 10, 22, 14, 18 Wartości próby ależą do przedziału [10, 22]. W obu przykładach średia temperatura jest taka sama (rówa 16), ale w Przykładzie 2 występuje większy rozrzut wartości próby. Stąd do poprawego opisu próby ależy wprowadzić róże jej charakterystyki. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 2 / 8
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
W próbie 2 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 18, 6, odchyleie stadard. ŝ = 4, 3. W próbie 2 większa wariacja gdyż większy rozrzut wyików. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 3 / 8 Charakterystyki próby x 1, x 2,..., x średia arytmetycza x = 1 x i = x 1+x 2 +...+x, wariacja zwykła s 2 = wariacja skorygowaa ŝ 2 = dla > 30, 1 dla 30, odchyleia stadardowe zwykłe i skorygowae s = s 2, ŝ = ŝ 2, mediaa jest to wartość środkowa w uporządkowaej próbie (ew. średia arytm. środkowych). Wariacja i odchyleie stadardowe są miarami rozrzutu wartości próby wokół wartości średiej W próbie 1 średia wyosi x = 16, wariacja ŝ 2 = 4, odchyleie stadard. ŝ = 2.
Szereg rozdzielczy, histogram Szereg rozdzielczy jest tabelą wartości próby wraz z liczebością. Poiższy szereg rozdzielczy podaje wyiki 101 pomiarów poziomu rzeki. poziom rzeki (w m.) liczebość 4, 75 4, 95 15 4, 95 5, 15 17 5, 15 5, 35 20 5, 35 5, 55 25 5, 55 5, 75 14 5, 75 5, 95 10 Histogram jest wykresem słupkowym liczebości od wartości próby. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 4 / 8
Szereg rozdzielczy, histogram Szereg rozdzielczy jest tabelą wartości próby wraz z liczebością. Poiższy szereg rozdzielczy podaje wyiki 101 pomiarów poziomu rzeki. poziom rzeki (w m.) liczebość 4, 75 4, 95 15 4, 95 5, 15 17 5, 15 5, 35 20 5, 35 5, 55 25 5, 55 5, 75 14 5, 75 5, 95 10 Histogram jest wykresem słupkowym liczebości od wartości próby. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 4 / 8
Zależość między dwiema zmieymi Badamy zależość między dwiema zmieymi (cechami) p. dawką awozu a wielkością plou poziomem asłoeczieia a wielkością plou stopiem iflacji a poziomem bezrobocia. Próba jest teraz postaci: {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...(x, y )}, p. x i stopień iflacji, y i poziom bezrobocia. Jedą z miar zależości jest współczyik korelacji liiowej r. r = 1 (x i x)(y i y) s x s y = (x i x)(x i y) i x) (x 2 (y i y) 2 () Statystyka opisowa 24 maja 2010 5 / 8
Zależość między dwiema zmieymi Badamy zależość między dwiema zmieymi (cechami) p. dawką awozu a wielkością plou poziomem asłoeczieia a wielkością plou stopiem iflacji a poziomem bezrobocia. Próba jest teraz postaci: {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...(x, y )}, p. x i stopień iflacji, y i poziom bezrobocia. Jedą z miar zależości jest współczyik korelacji liiowej r. r = 1 (x i x)(y i y) s x s y = (x i x)(x i y) i x) (x 2 (y i y) 2 () Statystyka opisowa 24 maja 2010 5 / 8
Przykład: pierśica drzewa (cm) 13 17,3 21 21,5 24 26 26,1 28,7 31,1 31,4 grubość kory (mm) 0,9 1,1 1,4 1,3 1,5 1,6 2 1,7 1,8 2,1 Wykres rozrzutu: r = 0, 93. Pukty a wykresie rozrzutu układają się wzdłuż pewej prostej. Jak ją wyzaczyć? () Statystyka opisowa 24 maja 2010 6 / 8
Przykład: pierśica drzewa (cm) 13 17,3 21 21,5 24 26 26,1 28,7 31,1 31,4 grubość kory (mm) 0,9 1,1 1,4 1,3 1,5 1,6 2 1,7 1,8 2,1 Wykres rozrzutu: r = 0, 93. Pukty a wykresie rozrzutu układają się wzdłuż pewej prostej. Jak ją wyzaczyć? () Statystyka opisowa 24 maja 2010 6 / 8
Prosta regresji y = ax + b Współczyiki a i b wyzaczae są metodą ajmiejszych kwadratów (MNK) pochodzącą od Gaussa, tj. ( yi (ax i + b) ) 2 osiąga miimum. Moża wykazać, że a = (x i x)(x i y) (x i x) 2 b = y ax () Statystyka opisowa 24 maja 2010 7 / 8
Prosta regresji y = ax + b Współczyiki a i b wyzaczae są metodą ajmiejszych kwadratów (MNK) pochodzącą od Gaussa, tj. ( yi (ax i + b) ) 2 osiąga miimum. Moża wykazać, że a = (x i x)(x i y) (x i x) 2 b = y ax () Statystyka opisowa 24 maja 2010 7 / 8
Prosta regresji y = ax + b Współczyiki a i b wyzaczae są metodą ajmiejszych kwadratów (MNK) pochodzącą od Gaussa, tj. ( yi (ax i + b) ) 2 osiąga miimum. Moża wykazać, że a = (x i x)(x i y) (x i x) 2 b = y ax () Statystyka opisowa 24 maja 2010 7 / 8
Rówaie prostej regresji: y = 0, 06x + 0, 11. () Statystyka opisowa 24 maja 2010 8 / 8