Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Transkrypt

1 Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1, 1 3. Jeżeli ϱ > 0, to większym wartościom jednej cechy odpowiadają (średnio) większe wartości drugiej cechy. Zależność dodatnia (rosnąca, stymulująca). 4. Jeżeli ϱ < 0, to większym wartościom jednej cechy odpowiadają (średnio) mniejsze wartości drugiej cechy. Zależność ujemna (malejąca, limitująca). W Z Statystyka 8.1

2 5. Jeżeli ϱ = 0, to bez względu na wartości przyjmowane przez jedną z cech, średnie wartości drugiej cechy są takie same. Cechy nieskorelowane. 6. Jeżeli ϱ = ±1, to istnieją takie liczby rzeczywiste a oraz b, że Y = ax + b. Jeżeli ϱ = 1, to a > 0. Jeżeli ϱ = 1, to a < 0. Współczynnik korelacji jest miernikiem liniowej zależności między cechami X oraz Y. Im ϱ jest bliższe 1, tym bardziej liniowa jest zależność między cechami. 7. Jeżeli (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, to ϱ = 0 jest równoważne niezależności cech X, Y. W Z Statystyka 8.2

3 ϱ=0.00 ϱ=0.75 ϱ=0.95 ϱ=1.00 W Z Statystyka 8.3

4 Współczynnik korelacji między cechami X i Y ϱ = kowariancja(x, Y ) D2 X D 2 Y Niech (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n ) będzie próbą Współczynnik korelacji z próby (próbkowy) R = cov(x, Y ) varx vary Współczynnik korelacji Pearsona Suma iloczynów odchyleń cov(x, Y ) = n X i Y i n XȲ = i=1 n i=1 n (X i X)(Y i Ȳ ) i=1 Kowariancja z próby X i Y i 1 n ( n ) ( n ) X i Y i i=1 i=1 C(X, Y ) = 1 n 1 n i=1 (X i X)(Y i Ȳ ) = cov(x, Y ) n 1 W Z Statystyka 8.4

5 H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne H 0 : ϱ = 0 Test współczynnika korelacji Pearsona (poziom istotności α) Próba: (X i, Y i ), i = 1,..., n Statystyka testowa R = cov(x, Y ) varx vary Wartość krytyczna r(α; n) (dwustronna) Jeżeli R > r(α; n), to hipotezę H 0 odrzucamy. W Z Statystyka 8.5

6 Ilościowy opis zależności Zakładamy niezerowość współczynnika korelacji: ϱ 0 Ilościowy opis zależności Y od X: E(Y X = x) = f(x) Funkcja f nosi nazwę funkcji regresji Przy założeniu normalności f(x) = β 0 + β 1 x β 1 współczynnik regresji β 0 stała regresji Zadanie: oszacować parametry funkcji regresji W Z Statystyka 8.6

7 Ocena parametrów funkcji regresji Próba (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Niezbędne rachunki X, varx, Ȳ, vary, cov(x, Y ) β 1 = cov(x, Y ) varx β 0 = Ȳ β 1 X Resztowa suma kwadratów varr = vary (1 R 2 ) Resztowa suma kwadratów reprezentuje rozrzut obserwacji cechy Y wokół dopasowanej funkcji regresji Wariancja resztowa S 2 = varr n 2 W Z Statystyka 8.7

8 Przedział ufności dla współczynnika regresji (poziom ufności 1 α) Wariancja estymatora β 1 Przedział ufności S 2 β 1 = S2 varx β 1 ( β 1 t(α; n 2)S β1 ; β 1 + t(α; n 2)S β1 ) Przedział ufności dla stałej regresji (poziom ufności 1 α) Wariancja estymatora β 0 Przedział ufności S 2 β 0 = S2 varx ( ) varx n + X 2 β 0 ( β 0 t(α; n 2)S β0 ; β 0 + t(α; n 2)S β0 ) W Z Statystyka 8.8

9 Przykład. W pewnej rodzinie obserwowano tygodniowe wydatki na używki (Uż) i artykuły spożywcze (Sp). Na podstawie poniższych danych zbadać istnienie zależności. Jeżeli taka zależność istnieje, to opisać ją ilościowo. Uż Sp Uż Sp Uż Sp Uż Sp Uż Sp Plan działania 1. Istnienie zależności 2. Ilościowy opis 3. Wnioski W Z Statystyka 8.9

10 Populacja: Cechy: X: tygodniowe wydatki na używki Y : tygodniowe wydatki na artykuły spożywcze Założenie: normalność rozkładów badanych cech Techniki statystyczne: 1. Weryfikacja hipotezy H 0 : ϱ = 0 2. Dopasowanie funkcji regresji y = β 0 + β 1 x Poziom istotności α = 0.05 Poziom ufności 1 α = 0.95 W Z Statystyka 8.10

11 Weryfikacja hipotezy H 0 : ϱ = 0 Obliczenie próbkowego współczynnika korelacji R = cov(x, y) varx vary n = 50 x = ȳ = x 2 i = y 2 i = xi y i = varx = x 2 i n ( x) 2 = vary = y 2 i n (ȳ) 2 = cov(x, y) = x i y i n xȳ = W Z Statystyka 8.11

12 Próbkowy współczynnik korelacji R = = Wartość krytyczna współczynnika korelacji Pearsona r(0.05; 50) = Ponieważ R > r(0.05; 50), więc hipotezę o zerowości współczynnika korelacji odrzucamy. Wniosek. Wydatki na używki (X) i wydatki na artykuły spożywcze (Y ) są od siebie zależne. Ponieważ współczynnik korelacji jest ujemny, więc zależność ma charakter malejący, tzn. im większe są wydatki na używki, tym mniejsze (średnio) na artykuły spożywcze. W Z Statystyka 8.12

13 Ilościowy opis zależności E(Y X = x) = β 0 + β 1 x β 1 = cov(x, y) varx = = β 0 = ȳ β 1 x = ( ) = Zależność między średnim kosztem a ilością towaru opisana jest wzorem średni y = x Równanie to obowiązuje tylko w zakresie między min x i = 41 a max x i = 47. Wariancja resztowa s 2 = vary (1 R2 ) (n 2) = W Z Statystyka 8.13

14 Przedziały ufności Wartość krytyczna t(0.05; 48) = Przedział ufności dla współczynnika regresji s 2 β 1 = s2 varx = β 1 ( β 1 t(α; n 2)S β1 ; β 1 + t(α; n 2)S β1 ) β 1 ( , ) Wniosek: zwiększenie wydatków na używki o jednostkę spowoduje przeciętny spadek wydatków na artykuły spożywcze o co najmniej , ale nie więcej niż (zaufanie do tak sformułowanego wniosku wynosi 95%). Przedział ufności dla stałej regresji s 2 β 0 = s2 varx ( varx n + x2) = β 0 ( β 0 t(α; n 2)s β0 ; β 0 + t(α; n 2)s β0 ) β 0 ( , ) W Z Statystyka 8.14

15 pomiary. prosta regresji W Z Statystyka 8.15