Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace warunki: x, y, z X, a, b K 1. x + y = y + x, 2. x + (y + z) = (x + y) + z, 3. 0 X x X x + 0 = x, 4. x X x X x + ( x) = 0, 5. a(x + y) = ax + ay, 6. (a + b)x = ax + bx, 7. a(bx) = (ab)x, 8. 1 x = x Zbiór X z dzia laniami + i nazywamy wtedy przestrzeni a liniow a lub przestrzeni a wektorow a rzeczywist a lub zespolon a i oznaczamy (X, +, ). W LASNOŚCI PRZESTRZENI LINIOWYCH 1. Istnieje dok ladnie jeden element zerowy 0 oraz dla każdego x X istnieje dok ladnie jeden element przeciwny x. 2. Dla dowolnego x zachodz a równości ( x) = x, 0 x = 0, x = ( 1) x, x + + x = nx, (n-razy), n N. 3. Dla dowolnych x, y X istnieje dok ladnie jedno rozwi azanie równania z + x = y, jest ono równe z = y + ( x). 1

PRZYK LADY PRZESTRZENI LINIOWYCH (a) Zbiór X elementów x = (t 1,, t n ), gdzie t 1,, t n K, przy czym (t 1,, t n ) + (s 1,, s n ) = (t 1 + s 1,, t n + s n ) a(t 1,, t n ) = (at 1,, at n ), Przestrzeń tȩ oznaczamy K n, czyli R n lub C n. a K (b) Zbiór X ci agów x = (t k ), gdzie t k K oraz k N, przy czym (t k ) + (s k ) = (t k + s k ), a(t k ) = (at k ), a K (c) Zbiór X funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym o wartościach z K, f : K przy czym, jeśli f, g X, a K, t, to (f + g)(t) = f(t) + g(t), (af)(t) = af(t) Zauważmy, że przyk lad (b) jest szczególnym przypadkiem przyk ladu (c), o ile = N. (d) Niech X 1,, X n bȩd a przestrzeniami liniowymi nad tym samym zbiorem K. Wtedy ich iloczyn kartezjański, tj. zbiór elementów x = (x 1,, x n ), gdzie x k X k dla k = 1,, n jest przestrzeni a liniow a przy nastȩpuj acych definicjach dzia lań: (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = = (x 1 + y 1,, x n + y n ), a(x 1,, x n ) = (ax 1,, ax n ), a K W szczególności R n = R R lub C n = C C (n-razy). Jeśli (X, +, ) jest przestrzeni a liniow a, to niepusty podzbiór X 0 X nazywamy jej podprzestrzeni a liniow a, gdy (X 0, +, ) jest przestrzeni a liniow a. 2

TWIERDZENIE Niech (X, +, ) bȩdzie przestrzeni a liniow a. Niepusty podzbiór X 0 X jest podprzestrzeni a liniow a przestrzeni (X, +, ) wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku x, y X 0 i a K wynika x + y X 0 i ax X 0. PRZYK LADY PODPRZESTRZENI LINIOWYCH (e) Niech (X, +, ) - przestrzeń liniowa nad K, x 1,, x n X. Niech X 0 bȩdzie zbiorem wszystkich kombinacji liniowych elementów x 1,, x n, tzn. X 0 = {x 0 = a 1 x 1 + + a n x n : a 1,, a n K} Wtedy przestrzeń (X 0, +, ) jest podprzestrzeni a liniow a przestrzeni (X, +, ). (f) Podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich ci agów (przyk l.(b)) s a nastȩpuj ace zbiory: - zbiór ci agów ograniczonych, - zbiór ci agów zbieżnych, - zbiór ci agów zbieżnych do 0, - zbiór ci agów x = (t k ), dla których k=1 t k < ; jednocześnie każdy z nich jest podprzestrzeni a liniow a poprzedniej. (g) Nastȩpuj ace zbiory s a podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni wszystkich funkcji określonych w [a, b] o wartościach z K: - zbiór funkcji ograniczonych w przedziale domkniȩtym [a, b] R o wartościach z K, - zbiór funkcji ci ag lych w [a, b] o wartościach z K, - zbiór funkcji absolutnie ci ag lych w [a, b] o wartościach z K; jednocześnie każdy z nich jest podprzestrzeni a liniow a poprzedniej. 3

Elementy x 1,, x n przestrzeni liniowej (X, +, ) nazywamy liniowo zależnymi, gdy istniej a takie liczby a 1,, a n K, nie wszystkie równe zeru, że a 1 x 1 + + a n x n = 0. Elementy x 1,, x n nazywamy liniowo niezależnymi, gdy nie s a liniowo zależne, tj. gdy warunki a 1 x 1 + + a n x n = 0, a 1,, a n K poci agaj a za sob a a 1 = = a n = 0 Najwiȩksz a liczbȩ ca lkowit a nieujemn a n o tej w lasności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w (X, +, ) nazywamy wymiarem przestrzeni (X, +, ) i oznaczamy dim X Jeżeli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarow a, a jeżeli taka liczba n nie istnieje, to przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarow a i piszemy dim X =. Jeśli dim X = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy baz a przestrzeni liniowej (X, +, ). Przyk lady (a) i (e) przedstawiaj a przestrzenie skończenie wymiarowe. Baz a w (a) jest np. uk lad wektorów e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),. e n = (0, 0,, 1) Przyk lady (b), (f) i (g) s a przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeń z przyk ladu (c) jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest skończony. PRZESTRZENIE LINIOWE METRYCZNE Niech funkcja d : X X R + {0}, gdzie zbiór X, spe lnia nastȩpuj ace warunki: 1. d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 4

2. d(x, y) = d(y, x) 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Funkcjȩ d nazywamy odleg lości a lub metryk a w X. Zbiór X wraz z odleg lości a d, czyli parȩ (X, d) nazywamy przestrzeni a metryczn a. Niech (X, d) bȩdzie przestrzeni a metryczn a i niech x 0, x n X, n N. Mówimy, że ci ag (x n ) jest zbieżny do x 0 w (X, d), jeśli d(x n, x 0 ) 0, gdy n. Mówimy, że ci ag (x n ) elementów przestrzeni metrycznej (X, d) spe lnia warunek Cauchy ego, gdy ε > 0 N m, n > N d(x n, x m ) < ε TWIERDZENIE Każdy ci ag (x n ) zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, d) spe lnia warunek Cauchy ego. Przestrzeń metryczn a (X, d) nazywamy zupe ln a, gdy każdy ci ag (x n ) jej elementów, spe lniaj acy warunek Cauchy ego, jest zbieżny do pewnego elementu x 0 X. σ- cia lem podzbiorów niepustego zbioru nazywamy tak a rodzinȩ Σ podzbiorów, że 1. jeśli A 1, A 2, Σ, to A 1 A 2 Σ, 2. Σ, 3. jeśli A Σ, to dope lnienie A Σ. że Miar a w σ-ciele Σ podzbiorów zbioru nazywamy tak a funkcjȩ µ : Σ [0, ], 5

1. µ( ) = 0, 2. jeśli A 1, A 2, Σ oraz A i A j =, i j, to ( ) µ A n = µ(a n ) n=1 n=1 przeliczalna addytywność Miarȩ µ nazywamy skończon a, gdy µ() < oraz σ-skończon a, gdy istniej a takie zbiory 1, 2, Σ, że n = gdzie µ( n ) <, n N. n=1 MIARA LEBESGUE A Niech G R n - zbiór otwarty i niepusty; istnieje wtedy ci ag prostok atów domnkniȩtych P k R n, gdzie P k = {(x 1,, x n ) : a k i x i b k i, i = 1,, n} o parami roz l acznych wnȩtrzach, dla których G = k=1 P k. Oznaczmy m(p k ) = (b k 1 a k 1) (b k n a k n) Miarȩ zbioru otwartego G określamy równości a m(g) = m(p k ) k=1 Niech teraz A bȩdzie dowolnym zbiorem w R n. Miar a zewnȩtrzn a zbioru A nazywamy m (A) = inf{m(g) : A G, G otwarty} Gdy A jest zbiorem otwartym, to m (A) = m(a). Zbiór A R n nazywamy mierzalnym w sensie Lebesgue a, gdy ε > 0 G otwarty taki, że 6

A G oraz m (G \ A) < ε Miarȩ zewnȩtrzn a zbioru mierzalnego w sensie Lebesgue a nazywamy jego miar a Lebesgue a i oznaczamy m(a) Niech bȩdzie dowolnym zbiorem, a Σ dowolnym σ-cia lem podzbiorów zbioru. Niech f bȩdzie rozszerzon a funkcj a rzeczywist a określon a w zbiorze, tj. f odwzorowuje zbiór w przedzia l[, + ] z w l aczeniem i +. Funkcjȩ f nazywamy Σ-mierzaln a, gdy dla każdej liczby rzeczywistej a zbiór tych t, dla których f(t) > a należy do Σ. CA LKA LEBESGUE A Niech A bȩdzie dowolnym podzbiorem zbioru. Funkcj a chrakterystyczn a zbioru A nazywamy funkcjȩ { 1 dla t A, χ A (t) = 0 dla t \ A. R. Niech A 1,, A m Σ bȩd a parami roz l aczne, A 1 A m = oraz c 1,, c m Funkcj a prost a nazywamy funkcjȩ określon a wzorem f(t) = m c i χ Ai (t) i=1 Funkcjȩ prost a nazywamy ca lkowaln a (wzglȩdem miary µ), gdy µ({t : f(t) 0}) <. Ca lkȩ z funkcji prostej ca lkowalnej określamy równości a fdµ = m c i µ(a i ) i=1 W przypadku dowolnej mierzalnej funkcji f 0, ca lkȩ określamy jako granicȩ fdµ = lim f n dµ n gdzie (f n )- ci ag funkcji prostych, nieujemnych, niemalej acych i takich, że f n (t) f(t) dla każdego t. 7

Czȩść dodatni a f + funkcji f określamy wzorem { f(t) gdy f(t) 0, f + (t) = 0 gdy f(t) < 0, a czȩść ujemn a f funkcji f wzorem { f(t) gdy f(t) 0, f (t) = 0 gdy f(t) > 0. Dla każdego t mamy wiȩc f(t) = f + (t) f (t) Niech f bȩdzie dowoln a funkcj a mierzaln a. Ca lk a z funkcji f nazywamy fdµ = f + dµ f dµ Gdy fdµ <, to funkcjȩ f nazywamy ca lkowaln a. PRZESTRZENIE BANACHA Niech X bȩdzie przestrzeni a liniow a nad zbiorem K liczb rzeczywistych lub zespolonych. Funkcjȩ x x odwzorowuj ac a zbiór X w zbiór liczb nieujemnych nazywamy norm a, gdy spe lnia ona dla dowolnych x, y X i dowolnego a K warunki: 1. x = 0 poci aga x = 0, 2. x + y x + y (warunek trójk ata), 3. ax = a x (warunek jednorodności). Jeśli funkcja ta spe lnia tylko warunki 2 i 3, to nazywamy j a pseudonorm a. Przestrzeń liniow a X wraz z określon a w niej norm a, czyli parȩ (X, ) nazywamy przestrzeni a unormowan a. Przestrzeń unormowana jest przestrzeni a metryczn a przy definicji odleg lości d(x, y) = x y. 8

W tej samej przestrzeni można wprowadzić różne definicje normy, uzyskuj ac różne przestrzenie unormowane. Np. w przestrzeni funkcji ci ag lych w przedziale [0, 1] można określić normȩ wzorem ale można j a też określić wzorem x = max 0 t 1 x(t) x = 1 0 x(t) dt uzyskuj ac dwie różne przestrzenie unormowane. Przestrzeń unormowan a zupe ln a (X, ) nazywamy przestrzeni a Banacha. Przestrzeń unormowana jest wiȩc przestrzeni a Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ci ag jej elementów spe lniaj acy warunek Cauchy ego, jest zbieżny do pewnego elementu tej przestrzeni. PRZYK LADY PRZESTRZENI BANACHA (a) Przestrzeń n-wymiarowa l p n, gdzie p 1. Elementami przestrzeni ln p s a uk lady n liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t 1,, t n ) z norm a n x = ( t k p ) 1/p (b) Przestrzeń m ci agów ograniczonych. k=1 Elementami przestrzeni m s a ci agi nieskończone ograniczone liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t k ) z norm a Przestrzeń tȩ oznacza siȩ także l. x = sup t k k (c) Przestrzenie c ci agów zbieżnych i c 0 ci agów zbieżnych do 0. 9

Elementami przestrzeni c s a ci agi zbieżne x = (t k ) liczb rzeczywistych lub zespolonych z norm a x = sup t k k a elementami przestrzeni c 0 s a ci agi zbieżne do 0 liczb rzeczywistych lub zespolonych z t a sam a norm a. (d) Przestrzeń l p szeregów zbieżnych z p-t a potȩg a, gdzie p 1. Elementami przestrzeni l p s a ci agi nieskończone liczb rzeczywistych lub zespolonych x = (t k ), dla których k=1 t k p < z norm a x = ( t k p ) 1/p (e) Przestrzeń C() funkcji ci ag lych. k=1 Elementami przestrzeni C() s a funkcje ci ag le, określone w przestrzeni, o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, z norm a x = sup x(t) t (f) Przestrzeń L p (, Σ, µ) funkcji ca lkowalnych z p-t a potȩg a, p 1. Niech Σ bȩdzie σ-cia lem podzbiorów zbioru, a µ-miar a w Σ. Przez L p (, Σ, µ) lub krócej L p rozumiemy przestrzeń funkcji Σ-mierzalnych x oraz takich, że x(t) p dµ <, z norm a x = ( x(t) p dµ) 1/p (g) Przestrzeń M(, Σ, µ) = L (, Σ, µ) funkcji mierzalnych istotnie ograniczonych. Przy oznaczeniach z poprzedniego przyk ladu, przestrzeń M(, Σ, µ) sk lada siȩ z funkcji Σ-mierzalnych x takich, że sup t A x(t) < dla pewnego zbioru A Σ takiego, że µ( \ A) = 0. Normȩ w przestrzeni M określa siȩ jako supremum istotne funkcji x w, tj. x = supess x(t) gdzie supess x(t) jest kresem dolnym zbioru liczb K > 0 takich, że x(t) K wszȩdzie, z wyj atkiem być może zbioru miary µ zero. 10

PRZESTRZENIE HILBERTA Niech X bȩdzie przestrzeni a nad zbiorem K liczb rzeczywistych lub zespolonych i niech w X X określone bȩdzie odwzorowanie o wartościach z K, f : (x, y) (x y) K, spe lniaj ace nastȩpuj ace warunki: 1. (x + y z) = (x z) + (y z), 2. (ax y) = a(x y), 3. (y x) = (x y), 4. (x x) > 0 dla x 0, gdzie x, y, z X, a K oraz (x y) oznacza liczbȩ sprzȩżon a do (x y). Wtedy funkcjȩ (x, y) (x y) nazywamy iloczynem skalarnym, a parȩ (X, ( )) nazywamy przestrzeni a unitarn a. PRZYK LADY PRZESTRZENI UNITARNYCH (a) Przestrzeń l 2 n z iloczynem skalarnym (x y) = n t k s k k=1 gdzie x = (t 1,, t n ), y = (s 1,, s n ). (b) Przestrzeń l 2 ci agów z iloczynem skalarnym (x y) = t k s k k=1 gdzie x = (t k ), y = (s k ). (c) Przestrzeń L 2 (, Σ, µ) funkcji z iloczynem skalarnym (x y) = x(t)y(t)dµ 11

(d) Przestrzeń X funkcji ci ag lych w przedziale [0, 1] z iloczynem skalarnym (x y) = 1 0 x(t)y(t)dt Oznaczmy x = (x x) Przestrzeń unitarn a z iloczynem skalarnym ( ) nazywamy przestrzeni a Hilberta, gdy jest zupe lna przy odleg lości d(x, y) = x y = (x y x y). Przestrzenie l 2 n, l 2, L 2 (, Σ, µ) s a przestrzeniami Hilberta. Z definicji wynika, że każda przestrzeń Hilberta jest przestrzeni a Banacha. Nie jest prawdziwe twierdzenie odwrotne, np. przestrzeń C([0, 1]) jest przestrzeni a Banacha, ale nie jest przestrzeni a unitarn a, wiȩc nie jest przestrzeni a Hilberta. Nie każda przestrzeń unitarna jest przestrzeni a Hilberta, np. przestrzeń X, której elementami s a funkcje ci ag le w przedziale [0, 1] jest przy iloczynie skalarnym (x y) = 1 0 x(t)y(t)dt jest przestrzeni a unitarn a, ale nie jest przestrzeni a Hilberta. Czȩsto, np. przy badadniu równań różniczkowych cz astkowych, zachodzi potrzeba rozważania ogólniejszych przestrzeni typu L 2. Niech D bȩdzie otwartym podzbiorem przestrzeni R n. Symbolem L 2 (D) qp bȩdziemy oznaczać przestrzeń funkcji wektorowych f na D, mierzalnych w sensie Lebesgue a, przyjmuj acych wartości w zbiorze M(q, p) macierzy wymiaru q p i takich, że D trf(s)f(s) dµ <, gdzie µ oznacza miarȩ Lebesgue a na D, - operacjȩ transpozycji: (a kj ) = (a jk ), tr - operacjȩ brania śladu. Definiuj ac na tym zbiorze iloczyn skalarny wzorem (f g) = trf(s)g(s) dµ otrzymujemy przestrzeń Hilberta. D W teorii procesów stochastycznych mamy czȩsto do czynienia z ogólniejsz a przestrzeni a Hilberta L 2 (, B, µ) pq, zwi azan a z przestrzeni a probabilistyczn a (, B, µ) pq. Niech µ 12

- bȩdzie miar a σ - skończon a, przeliczalnie addytywn a na σ - ciele B podzbiorów pewnego zbioru. L 2 (, B, µ) pq jest zbiorem funkcji macierzowych f : M(p, q) mierzalnych wzglȩdem B i spe lniaj acych warunek trf(s)f(s) dµ <. Iloczynem skalarnym na tej przestrzeni Hilberta jest (f g) = trf(s)g(s) dµ Czasem zachodzi potrzeba rozważania przestrzeni otrzymanych z danej przestrzeni Hilberta. Omówmy najprostszy przyk lad. Iloczynem kartezjańskim dwóch przestrzeni Hilberta H i K jest zbiór wszystkich par (h, k), h H, k K, z dzia laniami określonymi jak na produkcie przestrzeni liniowych tzn. a(h, k) = (ah, ak), (h, k) + (h 1, k 1 ) = (h + h 1, k + k 1 ) i z iloczynem skalarnym ((h, k) (h 1, k 1 )) = (h h 1 ) + (k k 1 ) Otrzyman a w ten sposób przestrzeń Hilberta oznaczamy H K Powyższ a definicjȩ można rozszerzyć na skończon a liczbȩ przestrzeni Hilberta, H i, i = 1,, n. Gdy wystȩpuj ace tu przestrzenie s a jednakowe H i = H, piszemy H n zamiast H H (n - razy). Przestrzeń L 2 (D) qp może być utożsamiana z qp - krotnym iloczynem kartezjańskim przestrzeni L 2 (D). W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański ci agu (H n ) przestrzeni Hilberta. Jest to przestrzeń liniowa sk ladaj aca siȩ z ci agów (x j ), x j H j, gdzie (x j ) + ( x j ) = (x j + x j ), a(x j ) = (ax j ). Do iloczynu kartezjańskiego j=1 H j zaliczymy te ci agi x = (x j ), dla których j=1 x j 2 <, a iloczyn skalarny określamy wzorem (x y) = (x j y j ) j=1 Przestrzeń l 2 ci agów liczb sumowalnych z kwadratem możemy otrzymać w powyższy sposób, gdy za wyjściowe przestrzenie H j weźmiemy zbiory R lub C. 13