Uk lady Liego: teoria i zastosowania

Uk lady Liego: teoria i zastosowania Javier de Lucas Araujo Katedra Metod Matematycznych w Fizyce 13 Marca 2014

Przyk lady zasad superpozycji I Dla dowolnego uk ladu równań różniczkowych jednorodnych liniowych, np. dx i n dt = aj(t)x i j, i = 1,..., n, j=1 rozwi azanie ogólne, x(t), można zapisać w formie x(t) = n k j x (j) (t), gdzie x (1) (t),..., x (n) (t) to fundamentalny uk lad rozwi azań i k 1,..., k n to zbiór sta lych. j=1 2 of 48

Przyk lady zasad superpozycji II Podobnie, rozwi azanie ogólne, x(t), dla każdego uk ladu równań różniczkowych liniowych, np. dx i dt = n aj(t)x i j + b i (t), i = 1,..., n, j=1 można zapisać w postaci x(t) = x (0) (t) + n k j (x (j) (t) x (0) (t)), gdzie x (0) (t),..., x (n) (t) to pewna rodzina rozwi azań uk ladu i k 1,..., k n to zbiór sta lych. j=1 3 of 48

Przyk lady zasad superpozycji III Rozwi azanie ogólne dla dowolnego równania rózniczkowego Riccatiego, tj. dx dt = a(t) + b(t)x + c(t)x 2, można zapisać w postaci x(t) = x (1)(t)(x (3) (t) x (2) (t)) + kx (2) (t)(x (3) (t) x (1) (t)), (x (3) (t) x (2) (t)) + k(x (3) (t) x (1) (t)) gdzie x (1) (t), x (2) (t), x (3) (t) s a trzema rozwi azaniami uk ladu i k to liczba rzeczywista. 4 of 48

Charakterystyka uk ladów posiadaj acych zasady superpozycji Definicja Mówimy, że uk lad równań różniczkowych posiada zasadȩ superpozycji kiedy jego ogólne rozwi azanie można zapisać w nastȩpuj acy sposób x(t) = F (x (1) (t),..., x (m) (t); k). gdzie F : N m N N to funkcja niezależna od czasu, tzw. zmienna t, x (1) (t),..., x (m) (t) to rodzina rozwi azań tego uk ladu i k to element rozmaitości N. 5 of 48

Kilka wyników dotycz acych teorii uk ladów Liego L. Königsberger, Über die einer beliebigen differentialgleichung erster Ordnung angehörigen selbst ändigen Transcendenten, Acta Math. 3, 1 48 (1883). (po niemiecku) M.E. Vessiot, Sur une classe d équations différentielles, Ann. Sci. École Norm. Sup. 10, 53 64 (1893) i C.R. Math. Acad. Sci. Paris 116, 959 961 (1893), (po francusku) M.S. Lie, Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine continuirliche endliche Gruppe gestatten, Math. Ann. 25, 71 151 (1885). (po niemiecku). M.S. Lie i G. Scheffers, Vorlesungen über continuierliche Gruppen mit geometrischen und anderen Anwendungen, Teubner, Leipzig, 1893. J.F. Cariñena, J. Grabowski i G. Marmo, Superposition rules, Lie theorem and partial differential equations, Rep. Math. Phys. 60, 237 258 (2007). D. Blázquez-Sanz and J.J. Morales-Ruiz, Local and Global Aspects of Lie s Superposition Theorem, J. Lie Theory 20, 483 517 (2010).

Algebra Liego Algebra Liego to przestrzeń wektorowa V wyposażona w nawias [, ] : V V V, tzw Nawias Liego, spe lniaj acy nastȩpuj ace w laśnosci: Nawias jest dwu-liniowe, czyli [λ 1 v 1 + λ 2 v 2, v 3 ] = λ 1 [v 1, v 3 ] + λ 2 [v 2, v 3 ], [v 3, λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ] = λ 1 [v 3, v 1 ] + λ 2 [v 3, v 2 ], dla dowolnych λ 1, λ 2 R i v 1, v 2, v 3 V. Nawias jest antisymetryczny [v 1, v 2 ] = [v 2, v 1 ]. Nawias spe lnia tożsamość Jacobiego, czyli 7 of 48 [v 1, [v 2, v 3 ]] = [[v 1, v 2 ], v 3 ] + [v 2, [v 1, v 3 ]].

Przyk lady: Zbiór M n (R) macierz kwadratowych n n o wspó lczynnikach rzeczywistych: [A, B] = A B B A, A, B M n (R). Zbiór sl(n, R) macierz kwadratowych n n bezśladowych o wspó lczynnikach rzeczywistych z nawiasem Liego [A, B] = A B B A, Zbiór X(N) pól wektorowych na rozmaitości N: A, B M n (R). [D 1, D 2 ] = D 1 D 2 D 2 D 1, D 1, D 2 X(N). Lie 1880 Każda algebra Liego skończonego wymiaru na R jest podalgebr a Liego algebry x, x x, x 2 sl(2, R). x 8 of 48

GKO classification: Primitive Lie algebras # Primitive Basis of vector fields X i Domain P 1 A α R R 2 { x, y }, α(x x + y y ) + y x x y, α 0 R 2 P 2 sl(2) { x, x x + y y }, (x 2 y 2 ) x + 2xy y R 2 y 0 P 3 so(3) {y x x y, (1 + x 2 y 2 ) x + 2xy y }, 2xy x + (1 + y 2 x 2 ) y R 2 P 4 R 2 R 2 { x, y }, x x + y y, y x x y R 2 P 5 sl(2) R 2 { x, y }, x x y y, y x, x y R 2 P 6 gl(2) R 2 { x, y }, x x, y x, x y, y y R 2 P 7 so(3, 1) { x, y }, x x +y y, y x x y, (x 2 y 2 ) x +2xy y, 2xy x +(y 2 x 2 ) y R 2 P 8 sl(3) { x, y }, x x, y x, x y, y y, x 2 x + xy y, xy x + y 2 y R 2 9 of 48

GKO classification: Imprimitive Lie algebras # Imprimitive Basis of vector fields X i Domain I 1 R { x } R 2 I 2 h 2 { x }, x x R 2 I 3 sl(2) (type I) { x }, x x, x 2 x R 2 I 4 sl(2) (type II) { x + y, x x + y y }, x 2 x + y 2 y R 2 x y I 5 sl(2) (type III) { x, 2x x + y y }, x 2 x + xy y R 2 y 0 I 6 gl(2) (type I) { x, y }, x x, x 2 x R 2 I 7 gl(2) (type II) { x, y y }, x x, x 2 x + xy y R 2 y 0 I 8 B α R R 2 { x, y }, x x + αy y, 0 < α 1 R 2 I 9 h 2 h 2 { x, y }, x x, y y R 2 I 10 sl(2) h 2 { x, y }, x x, y y, x 2 x R 2 10 of 48

GKO classification: Imprimitive Lie algebras II # Imprimitive Basis of vector fields X i Domain I 11 sl(2) sl(2) { x, y }, x x, y y, x 2 x, y 2 y R 2 I 12 R r+1 { y }, ξ 1 (x) y,..., ξ r (x) y, r 1 R 2 I 13 R R r+1 { y }, y y, ξ 1 (x) y,..., ξ r (x) y, r 1 R 2 I 14 R R r { x, η 1 (x) y }, η 2 (x) y,..., η r (x) y, r 1 R 2 I 15 R 2 R r { x, y y }, η 1 (x) y,..., η r (x) y, r 1 R 2 I 16 Cα r h 2 R r+1 { x, y }, x x + αy y, x y,..., x r y, r 1, α R R 2 I 17 R (R R r ) { x, y }, x x + (ry + x r ) y, x y,..., x r 1 y, r 1 R 2 I 18 (h 2 R) R r+1 { x, y }, x x, x y, y y, x 2 y,..., x r y, r 1 R 2 I 19 sl(2) R r+1 { x, y }, x y, 2x x + ry y, x 2 x + rxy y, x 2 y,..., x r y, r 1 R 2 I 20 gl(2) R r+1 { x, y }, x x, x y, y y, x 2 x + rxy y, x 2 y,..., x r y, r 1 R 2 11 of 48

Pola wektorowe zależne od czasu Niech π 2 i π bȩd a rzutowaniami π 2 : (t, x) R N x N i π : (x, v) TN x N. Pole wektorowe zależne od czasu na rozmaitości N to odwzorowanie X : R N TN, takie jak na poniższym diagramie, jest przemienne π X = π 2 TN X π π(x (t, x)) = π 2 (t, x) = x π 2 R N N X (t, x) π 1 (x) = T x N Wówczas odwzorowania X t : x N X (t, x) TN s a polami wektorowymi. Pole wektorowe zależne od t X (t, x) pola wektorowe {X t } t R 12 of 48

Pola wektorowe zależne od czasu Krzyw a ca lkow a pola wektorowego X nad N nazywamy funkcjȩ γ : R R N, tak a, że X (t, γ(t)) = dπ γ. dt Każdy uk lad w powyższym wzorze definiuje tylko jedno pole wektorowe i na odwrót. X (t, x) dx i dt = X i (t, x), i = 1,..., n. 13 of 48

Twierdzenie Liego Scheffera Uk lad równań różniczkowych pierwszego rzȩdu dx i dt = X i (t, x), i = 1,..., n, posiada zasadȩ superpozycji, wtedy i tylko wtedy, gdy powi azane pole wektorowe zależne od czasu X (t, x) można zapisać w nastȩpuj acy sposób r X (t, x) = b α (t)x α (x), α=1 gdzie X 1,..., X r to rodzina pól wektorowych generuj aca algebrȩ Liego skończonego wymiaru, tzw. algebrȩ Vessiota Guldberga. 14 of 48

Twierdzenie Liego Scheffera i równania Riccatiego Z każdym równaniem Riccatiego możemy powi azać pole wektorowe zależne od czasu dx dt = b 1(t) + b 2 (t)x + b 3 (t)x 2, które można zapisać w nastȩpuj acy sposób gdzie X (t, x) = b 1 (t)x 1 (x) + b 2 (t)x 2 (x) + b 3 (t)x 3 (x), X 1 = x, X 2 = x x, spe lniaj a relacje komutacyjne X 3 = x 2 x, [X 1, X 2 ] = X 1, [X 1, X 3 ] = 2X 2, [X 2, X 3 ] = X 3. Innymi s lowami, pola wektorowe X 1, X 2, X 3 generuj a algebrȩ Liego skończonego wymiaru (w laśnie sl(2, R)). 15 of 48

Równania Kummera-Schwarza drugiego rzȩdu Równaniami Kummera Schwarza nazywamy równania różniczkowe takie jak d 2 x dt 2 = 3 ( ) dx 2 2b 0 x 3 + a 0 (t)x, 2x dt gdzie b 0 to liczba rzeczywista i a 0 (t) to dowolna funkcja zależna od czasu. dx dt = v, dv dt = 3 v 2 2 x 2b 0x 3 + a 0 (t)x, 16 of 48

Równania Kummera-Schwarza drugiego rzȩdu Powyższy uk lad jest powi azany z polem wektorowym ( 3 v 2 ) X t = 2 x 2b 0x 3 + a 0 (t)x v + v x = 1 (X 2 + a 0 (t)x 1 ), 2 gdzie X 1 = 2x v, X 3 = x x + 2v v, X 2 2 = v x + spe lniaj a relacje ( 3 v 2 ) 2 x 2b 0x 3 v, [X 1, X 2 ] = 2X 3, [X 2, X 3 ] = X 2, [X 1, X 3 ] = X 1. Zatem X (t, x) to uk lad Liego. 17 of 48

Równania Kummera-Schwarza trzeciego rzȩdu Równania Kummera Schwarza trzeciego rzȩdu maj a postacie d 3 x dt 3 = 3 2 ( dx dt ) 1 ( d 2 x dt 2 ) 2 ( ) dx 3 2b 0 + 2a 0 (t) dx dt dt, gdzie b 0 to liczba rzeczywista i a 0 (t) to dowolna funkcja zależna od czasu. Teraz, mamy dx dt = y (1), dy (1) = y (2), dt dy (2) dt = 3 y (2)2 2 y (1) 2b 0y (1)3 + 2a 0 (t)y (1). 18 of 48

Równania Kummera-Schwarza trzeciego rzȩdu To równanie jest powi azane z polem wektorowym y (1) x + y (2) y (1) + ( ) 3 y (2)2 + + 2 y (1) 2b 0y (1)3 Niech X 1, X 2, X 3 bȩd a polami wektorowymi w formie 19 of 48 X 1 = y (1) y (2), ( X 2 = y (1) x + y (2) y (1) + X 3 = y (1) (2) + 2y y (1) y (2), 3 2 y (2) + 2a 0(t)y (1). (1) y (2) ) y (2)2 y (1) 2b 0y (1)3 y (2),

spe lniaj acymi relacje komutacyjne: [X 1, X 2 ] = X 3, [X 2, X 3 ] = X 2, [X 1, X 3 ] = X 1. Wówczas te pola wektorowe generuj a algebrȩ Liego, która jest izomorficzna z sl(2, R). Ponadto, można zapisać Innymi s lowy, X to uk lad Liego. X t = X 2 + 2a 0 (t)x 1. 20 of 48

Zastosowanie w mechanice klasycznej dx dt = v, dv dt = ω2 (t)x, dx dt = v, dv dt = ω2 (t)x + k x 3, dg dt = R g e(a(t)) dx dt = v, dv dt = 3 2 v 2 x 2b 0x 3 ω 2 (t)x, dx dt = 1 + ω2 (t). 21 of 48

Niech (A, [, ]) bȩdzie algebr a Liego, gdzie [, ] : A A A to nawias Liego i B podzbioru A, nazywamy przd lużeniem podzbioru B (wzglȩdem zbioru A), czyli Lie(B, A, [, ]), najmniejszej algebry Liego zawieraj acej B. Lemat Dla każdego podzbioru B A, jego przed lużenie jest generowane przez elementy zbioru B, [B, B], [B, [B, B]], [B, [B, [B, B]]],... gdzie [C, D] oznacza nawias Liego miȩdzy elementami podzbiorów C, D A. 22 of 48

Jeśli X (t, x) jest uk ladem Liego, to istnieje algebra Vessiota Guldberga V taka, że {X t } t R V. Wówczas Lie({X t } t R ) V. Innymi s lowami, Lie({X t } t R ) jest algebr a Liego skończonego wymiaru. Odwrotnie, jeśli Lie({X t } t R ) jest algebr a Liego skończonego wymiaru, to X (t, x) jest algebr a Liego. Krótkie twierdzenie Liego Scheffersa Uk lad równań różniczkowych X (t, x) jest uk ladem Liego, wtedy i tylko wtedy, gdy Lie({X t } t R ) jest algebr a Liego skończonego wymiaru. Znikoma algebra Liego Znikom a algebr a Liego pola wektorowego X (t, x) nazywa siȩ najmniesz a algebrȩ Liego V X zawieraj ac a {X t } t R. 23 of 48

Równania Riccatiego drugiego rzȩdu Rozpatrzmy teraz równania Riccatiego drugiego rzȩdu, tj. gdzie ẍ + (b 0 (t) + b 1 (t)x)ẋ + c 0 (t) + c 1 (t)x + c 2 (t)x 2 + c 3 (t)x 3 = 0, b 1 (t) = 3 c 3 (t), b 0 (t) = c 2(t) c3 (t) ċ3(t) 2c 3 (t), c 3(t) 0. Jeżeli dodamy zmienne v = ẋ do tych uk ladów, to nie uzyskamy uk lad ow Liego. Jednak, te równania posiadaj a funkcjȩ Lagranjowsk a wzorem 1 L(t, x, v) = v + U(t, x), gdzie U(t, x) = a 0 (t) + a 1 (t)x + a 2 (t)x 2 i a 0 (t), a 1 (t), a 2 (t) s a funkcjami zmiennych czasu zależne od c 1 (t), c 2 (t), c 3 (t). 24 of 48

Ta funkcja Lagranjowska jest powi azana z funkcj a Hamiltonowsk a h(t, x, p) = vp L(t, x, v) = 2 p p U(t, x). Jej równania Hamiltona s a ẋ = H p = 1 a 0 (t) a 1 (t)x a 2 (t)x 2, p ṗ = H x = p(a 1(t) + 2a 2 (t)x). Udowodnimy, że ten uk lad jest uk ladem Liego. Rozważmy pola wektorowe na O. 25 of 48 X 1 = 1 p x, X 2 = x, X 3 = x x p p, X 4 = x 2 x 2xp p, X 5 = x p x + 2 p p,

One spe lniaj a relacje komutacyjne [X 1, X 2 ] = 0, [X 1, X 3 ] = 1 2 X 1, [X 1, X 4 ] = X 5, [X 1, X 5 ] = 0, [X 2, X 3 ] = X 2, [X 2, X 4 ] = 2X 3, [X 2, X 5 ] = X 1, [X 3, X 4 ] = X 4, [X 3, X 5 ] = 1 2 X 5, [X 4, X 5 ] = 0. Zatem one generuj a algebrȩ Vessiota Guldberga piȩciowymiarow a V. Ponadto, pole wektorowe zależne od czasu X t powi azane z uk ladami Hamiltona (25) ma formȩ X (t, x, p) = X 1 (x, p) a 0 (t)x 2 (x, p) a 1 (t)x 3 (x, p) a 2 (t)x 4 (x, p), Wówczas uk lad (25) jest uk ladem Liego. Poza tym, pola wektorowe X 1,..., X 5 s a polami Hamiltonowskimi zwi azanymi ze struktur a symplektyczn a na rozmaitości T R. 26 of 48

Dok ladniej, poniższe pola wektorowe maj a Hamiltonowskie funkcje h 1 (x, p) = 2 p, h 2 (x, p) = p, h 3 (x, p) = xp, h 4 (x, p) = x 2 p, h 5 (x, p) = 2x p, takie, że {h i, h j } h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 1 0 0 h 1 /2 h 5 2h 6 0 h 2 0 0 h 2 2h 3 h 1 0 h 3 h 1 /2 h 2 0 h 4 2h 6 0 h 4 h 5 2h 3 h 4 0 h 5 /2 0 h 5 2h 6 h 1 2h 6 h 5 /2 0 0 h 6 0 0 0 0 0 0 i 27 of 48 h t = h 1 a 0 (t)h 2 a 1 (t)h 3 a 2 (t)h 4.

Równiania Riccatiego drugiego rzȩdu mog a być powi azane z dzia lani a grupy Liego Φ : G O O w formie ((( λ1 Φ λ 2 ) ( α β, γ δ i zasad a superpozycji )) ( )) x, = p ( ) x0 λ 1 p0 1 + λ 5 ( p 0 ), ( p 1/2 0 + λ 5 ) 2. x (0) = 3( p 2 x 2 p 1 x 1 ) + 2 ( p 1 x 1 p 3 x 3 ) + 1 x 1 p1 3 ( p 2 p 1 ) + 2 ( p 1 p 3 ) +, p 1 k 1 p (0) = ( 1 p1 + 3 ( p 1 p 2 ) + 2 ( p 1 p 3 ))( 2 + p 1 p 2 (x 2 x 1 )) 1 p2 p 1 (x 1 x 2 ) + 2 p2 p 3 (x 2 x 3 ) +. p 3 p 2 (x 3 x 2 ) + 1 28 of 48

Definicja Struktur a Liego Hamiltona nazywamy trókȩ (M, Λ, h), gdzie (M, Λ) to rozmaitośc Poissona z bi-wektorem Poissona Λ i h to t-parametryzowana rodzina funkcji h t : M R, taka, że Lie({h t } t R ) to algebra Liego skończonego wymiaru. Definicja Uk ladem Liego Hamiltona nazywamy uk lad X na rozmaitości Poissona (M, Λ) taki, że istnieje struktura Liego Hamiltona (M, Λ, h) taka, że X t Λ( dh t ) dla dowolnego t R. Trójkȩ (M, Λ, X ) nazywamy trójk a Liego Hamiltona. 29 of 48

Oscylatory Winternitza Smorodinsky ego można zapisać w nastȩpuj acy sposób ẋ i = p i, ṗ i = ω 2 (t)x i + k i = 1,..., n. xi 3, Powyższy uk lad opisuje ca lki pola wektorowego zależnego od czasu n [ ( X t = p i + ω 2 (t)x i + k ) ] x i xi 3. p i i=1 na T R n. Rozpatrzmy pola wektorowe n n ( 1 X 1 = x i, X 2 = p i 2 i=1 i=1 n ( X 3 = p i + k x i xi 3 i=1 x i p i x i p i ). Za pomoc a tych pól wektorowych można zapisać X t = X 3 ω 2 (t)x 1. 30 of 48 p i ),

Ponieważ [X 1, X 2 ] = X 1, [X 2, X 3 ] = X 3, [X 1, X 3 ] = 2X 2, zatem powyższy uk lad jest uk ladem Liego. Ponadto, pola wektorowe X 1, X 2 i X 3 s a polami wektorowymi powi azanymi z funkcjami Hamiltonowskimi h 1 = 1 n n xi 2, h 2 = x i p i, h 3 = 1 n ( pi 2 + b ) i 2 2 xi 2, i=1 i=1 które spe lniaj a relacje komutacyjne i=1 {h 1, h 2 } = h 1, {h 1, h 3 } = 2h 2, {h 2, h 3 } = h 3. Ponieważ X t = Λ(d(h 3 ω 2 (t)h 1 )), wiȩc (M, Λ, h) to struktura Liego Hamiltona. 31 of 48

Niech g bȩdzie algebr a Liego, jej przestrzeń dualna g ma strukturȩ rozmaitości Poissona (g, {, } g ). Dok ladniej, {f, g} g (θ) = [d θ f, d θ g] g, θ, f, g C (g ). Rozpatrzmy uk lady w formie dθ dt = ad φ(t) θ, θ g, gdzie φ(t) to krzywa zawarta w g i ad φ(t) θ = θ ad φ(t). Wybierzmy bazȩ {e 1,..., e r } dla g ze sta lymi strukturalnymi c αβγ, tj. [e α, e β ] g = r γ=1 c αβγe γ, α, β = 1,..., n. Zatem pola wektorowe X α (θ) = ad e α (θ) T θ g, α = 1,..., r, generuj a algebrȩ Vessiota Guldberga dla uk ladu na g. 32 of 48

Ponadto, te pola wektorowe s a Hamiltonowskimi polami z funkcjami Hamiltonowskimi h α =, e α. Co wiȩcej, funkcje h α generuj a algebrȩ Liego (W, {, } g ) skończonego wymiaru: {h α, h β } g (θ) = [d θ h α, d θ h β ] g, θ = [e α, e β ] g, θ r r = c αβγ e γ, θ = c αβγ h γ (θ). γ=1 W konsekwencji, za pomoc a każdej krzywej h t w (W, {, } g ) możemy zdefinionować strukturȩ Liego Hamiltona (g, Λ g, h). Wówczas X t = r α=1 b α(t)x α, gdzie φ(t) = r α=1 b α(t)e α. Ponieważ X α s a Hamiltonowskimi polami wektorowami, zatem [ ( r r r )] X t = b α (t)x α = b α (t) Λ( dh α ) = Λ d b α (t)h α. α=1 α=1 γ=1 α=1 Innymi s lowami, trójca (g, Λ g, h), gdzie h t = r α=1 b α(t)h α, jest struktur a Liego Hamiltona dla uk ladu X. 33 of 48

Pole wektorowe zależne od czasu (jeszcze raz) Z każdym polem wektorowym X n rozmaitości N można powi azać dystrybucjȩ D X tak a, że i jedn a kodystrybucjȩ D X x = {Y x Y V X }, V X x = {ω x ω x (Y ) = 0, Y D X x } = (D X x ). Można stwierdzić, że D X jest inwolutywn a dystrybucj a. Ponadto, dim D x jest lokalnie maksymalny w otwartym i gȩstym podzbiorze U N. 34 of 48

Pole wektorowe zależne od czasu Lemat Dla każdego punktu p U gdzie dim D X = k, istnieje (lokalna) baza dla kodystrybucji V X w postaci df 1,..., df n k, gdzie f 1,..., f n k : V U R s a ca lkami pierwszami pól wektorowych w dystrybucji D X V. Twierdzenie Funkcja f : V N R to ca lka uk ladu X, wtedy i tylko wtedy, gdy df V X V. 35 of 48

Lemat Dla każdego uk ladu Liego Hamiltona X posiadaj acego strukturȩ Liego Hamiltona (M, Λ, h), odwzorowanie Λ d : Lie({h t } t R ) V X jest homomorfizmem surjektywnym miȩdzy algebrami Liego. W rezultacie, V X Lie({h t} t R ) ) ker ( Λ d i elementy algebry V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi na rozmaitości Poissona (M, Λ). Dowód Odwzorowanie Λ d jest liniowe. Ponadto, Λ d{f, g} Λ = Λ[df, dg] Λ = [ Λ(df ), Λ(dg)] f, g C (M). Latwo zauważyć, że Λ d jest surjektywny. Z tego wynika stwierdzenie lematu. 36 of 48

Twierdzenie Dany uk lad X jest uk ladem Liego Hamiltona wzglȩdem rozmaitości Poissona (M, Λ), wtedy i tylko wtedy, gdy jest uk ladem Liego a elementy algebry V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi. Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktur a Liego-Hamiltona dla uk ladu X. Odwzorowanie Λ d jest morfizmem miȩdzy algebrami Liego (C (M), {, } Λ ) i (X(M), [, ]). Ponieważ Lie({h t } t R ) ma skończony wymiar, to Λ d(lie({h t } t R )) ma skończony wymiar. Zatem, X t V X = Λ d(lie({h t } t R )) i X to uk lad Liego. Latwo zauważyć, że V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi wzglȩdem rozmaitości (M, Λ). 37 of 48

Odwrotnie, jeśli X to uk lad Liego i elementy algebry V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi, to można definiować zbiór h 1,..., h r Hamiltonowskich funkcji (nad M) dla tych pól. Wówczas I ij = {h i, h j } to funkcja Hamiltonowska dla pola wektorowego Y ij = [X i, X j ] V X. Zatem, istniej a kombinacje g ij = λ 1 h 1,..., λ n h n, takie, że każda g i j jest funcj a Hamiltonowsk a dla Y ij. W konsekwencji, każda funkcja I ij g ij jest Casimir. Jeśli V = {h 1,..., h n }, V (1) = {I ij g ij i = 1,..., n}, to latwo zauważyć, że V V (1) jest algebr a funkcji skończonego wymiaru i X t = Λ(dh t ). Twierdzenie Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktur a Liego Hamiltona. Uk lad w postaci X t = Λ( dh t ) jest uk ladem Liego-Hamiltona. 38 of 48

Uk lady Liego-Hamiltona i zasady superpozycji Twierdzenie Dany uk lad Liego Hamiltona X powi azany ze struktur a Liego Hamiltona (M, Λ, h) tak a, że dim D X = dim M = dim V X = Lie({h t } t R ), wiȩc X i Λ mog a być zapisane w liniowej postaci na pewnym uk ladzie wspó lrzȩdnych. Dowód Ponieważ zak ladaliśmy, że dim V X = dim Lie({h t } t R ), istnieje baza h 1,..., h r, dla algebry Liego Lie({h t } t R ) taka, że Hamiltonowskie pola wektorowe X 1,..., X r tych elementów s a baz a dla V X. Ponadto, mamy dim M = dim V X, wiȩc te pola wektorowe s a (lokaln a) baz a dla kostycznej przestrzeni TM. Wówczas h 1,..., h r s a uk ladem wspó lrzȩdnych na M i 39 of 48

Λ = r {h i, h j } = h i h j i,j=1 r i,j,k=1 c ijk h k. (2) h i h j Latwo zauważyć, że X t = Λ df t, gdzie f t to krzywa zawarta w algebrze Lie({h t } t R ). Zatem ( n ) n X t = Λ dh t = Λ d b l (t)h l = b l (t)( Λ dh l ) = 2 l=1 n b l (t)c ljk h k. h j j,k=1 W rezultacie, X t jest liniowe i posiada liniow a zasadȩ superpozycji w tym uk ladzie wspó lrzȩdnych. l=1 40 of 48

Twierdzenie Dany uk lad Liego Hamiltona X ustalony na rozmaitości M, takiej że dim D X = dim M, to M ma wymiar parzysty. Dowód Niech (M, Λ, X ) bȩdzie trójc a Liego Hamiltona a (M, Λ, h) struktur a Liego Hamiltona dla uk ladu X. Za lożmy, że V X jest algebr a Liego skónczonego wymiaru. Zatem istnieje (lokalnie) rodzina pól wektorowych X 1,..., X n V X liniowo niezależnych. Wówczas, rodzina 1 form dh 1,..., dh n W, jest liniowo niezależna i Λ(ω j ) = X j dla j = 1,..., n. W konsekwencji, odwzorowanie Λ U jest izomorfizmem. Zatem, M ma parzysty wymiar. 41 of 48

Twierdzenie Dany uk lad Liego-Hamiltona X ustalony na rozmaitości M takiej, że dim D X = dim M i X posiada strukturȩ Liego Hamiltona (M, Λ, h) tak a, że Lie({h t } t R ) V X, wiȩc centrum V X jest trywialne. Dowód Niech X 1 bȩdzie nietrywialnym elementem centrum algebry V X. Ponieważ dim D X = n, istniej a pola wektorowe X 2,..., X n V X generuj ace (razem z X 1 ) lokaln a bazȩ dla wi azki stycznej TM. Jednocześnie, te pola wektorowe s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi wzglȩdem pewnych funkcji h 1,..., h n zawartych w Lie({h t } t R ). Jako, że X 1,..., X n s a liniowo niezależne, to dh 1,..., dh n s a liniowo niezależne. Wówczas {h 1,..., h n } to uk lad wspó lrzȩdnych w M. 42 of 48

Jako, że V X Lie({h t } t R ), wiȩc [X 1, X j ] = 0, dla j = 2,..., n, oznacza, że {h 1, h j } = 0. Wówczas, Λ = n {h i, h j } = X 1 = h i h Λ(dh 1 ) = 0. j i,j=2 Zatem V X ma trywialne centrum. 43 of 48

Ca lka uk lady Liego Hamiltona Twierdzenie Rodzina I X U ca lek niezależnych od czasu na zbiorze otwartym U M dla trójcy (M, Λ, X ) jest algebr a Poissona i ko-dystrybucja V X jest inwolutywna, tj. [ω, ω ] Λ V X U dla każdych ω, ω V X U. Dowód Dane dwie ca lki f 1, f 2 : U R, to df i (Y ) = 0, i = 1, 2, dla każdego pola wektorowego Y V X. Ponieważ X to uk lad Liego Hamiltona, elementy w V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi. Wówczas, można zapisać Y {f, g} = {Yf, g} + {f, Yg} dla każdej pary funkcji f, g C (M). Zatem Y ({f 1, f 2 }) = {Yf 1, f 2 } + {f 1, Yf 2 } = 0. Jako, że λf 1 + µf 2 i f 1 f 2 s a również ca lkami niezależnymi od czasu dla każdych λ, µ R, to rodzina I X U jest algebr a Poissona. 44 of 48

Ko-dystrybucja jest inwolutywna, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnej bazy nawias Liego miȩdzy jej elementami należy do dystrybucji. Ko-dystrybucja V X ma lokalk a bazȩ df 1,..., df n k. Ponadto, [df i, df j ] Λ = d({f i, f j }) i funkcja {f i, f j } jest ca lk a pierwsz a. Zatem {f i, f j } = G(f 1,..., f n k ) wynika, że [df i, df j ] Λ V X. Twierdzenie Jeżeli X to uk lad Liego Hamiltona, wiȩc przestrzeń I X U jest grup a funkcji. 45 of 48

Definicja Niech X bȩdzie uk ladem na rozmaitości Poissona (M, Λ), jego dystrybucja symetrii, SΛ X, jest dystrybucj a Stefana Sussmana w formie (S X Λ ) x = Λ x (V X x ) T x M. Twierdzenie Niech X bȩdzie uk ladem Liego Hamiltona, to Dystrybucja symetrii powi azana z uk ladem X jest inwolutywna. Jeśli f jest ca lk a pierwsz a (niezależn a od czasu) dla uk ladu X, to Λ(df ) jest symetri a Liego (niezależn a od czasu) dla X. Dystrybucja S X ma lokaln a bazȩ symetrii Liego dla uk ladu X. Ponadto, elementy tej bazy s a Hamiltonowskimi polami wektorotwymi powi azanymi z funkcjami Hamiltonowskimi, które s a ca lkami ruchu (niezależnymi od czasu) dla X. 46 of 48

Dla każdych pól wektorowych Y 1, Y 2 w S X, istniej a dwie 2-formy ω, ω S X takie, że Y 1 = Λ(ω), Y 2 = Λ(ω ). Ponieważ X jest uk ladem Liego Hamiltona, to V X jest inwolutywna. Wówczas, [Y 1, Y 2 ] = [ Λ(w), Λ(w )] = Λ([w, w ] Λ ) S X. Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktur a Liego Hamiltona dla uk ladu X : [X t, Λ(df )] = [ Λ(dh t ), Λ(df )] = Λ(d{h t, f }) = Λ[d(X t f )] = 0. Ponieważ V X ma lokaln a bazȩ df 1,..., df n k, gdzie f 1,..., f n k to rodzina ca lek ruchu (niezależnych od czasu) dla X. Wówczas, X f1,..., X fn k, to rodzina symetrii Liego dla X generuj aca (lokalnie) S X. Z tego, można latwo wybrać (lokaln a) bazȩ dla S X. 47 of 48

Twierdzenie Jeśli Y to Hamiltonowskie pole wektorowe i symetria Liego dla uk ladu Liego Hamiltona X takie, że [V X, V X ] = V X, wiȩc Y S X. 48 of 48