II seria zadań z Geometrii różniczkowej I 26. grudnia 2014 r. (wraz z komentarzem z 5. stycznia 2015 r.)

Transkrypt

1 II seria zadań z Geometrii różniczkowej I 26. grudnia 24 r. (wraz z komentarzem z 5. stycznia 25 r.) Uwaga: W niniejszym tekście stosujemy konwencjȩ sumacyjn a Einsteina! ω Komentarz: Poznaliśmy kilka sposobów wyznaczania formy pierwotnej dla danej formy zamkniȩtej, p N (pamiȩtajmy: zamkniȩtość jest warunkiem koniecznym, a w przypadku p-formy na rozmaitości M ści agalnej do punktu także warunkiem wystarczaj acym istnienia formy pierwotnej), a mianowicie: (.i) p = : rozwi azujemy układ równań różniczkowych cz astkowych otrzymanych poprzez przyrównanie funkcjonalnych współczynników rozkładu -formy danej ω w bazie współrzȩdniowej przestrzeni kostycznej do pochodnych cz astkowych funkcji pierwotnej w odpowiednich kierunkach współrzȩdniowych, ω(x, x 2,..., x n ) = ω i (x, x 2,..., x n ) dx i ω = df x (x, x 2,..., x n ) = ω (x, x 2,..., x n ) x 2 (x, x 2,..., x n ) = ω 2 (x, x 2,..., x n ) x n (x, x 2,..., x n ) = ω n (x, x 2,..., x n ). Przykład: Znajdziemy, o ile istnieje, funkcjȩ pierwotn a -formy na R 3 danej wzorem ω(x, y, z) = (x 2 2yz) dx + (y 2 2xz) dy + (z 2 2xy) dz. Łatwo sprawdzamy, że jest ona zamkniȩta, wiȩc też wobec ści agalności R 3 także dokładna. Niechaj f bȩdzie funkcj a pierwotn a ω, a wtedy x (x, y, z) = x2 2yz y (x, y, z) = y2 2xz z (x, y, z) = z2 2xy.. Rozpoczynaj ac rozwi azywanie powyższego układu od pierwszego równania, znajdujemy f(x, y, z) = x3 3 co po podstawieniu do drugiego równania daje 2xyz + g(y, z), g y (y, z) = y2, Nie istnieje kanoniczny algorytm odcałkowywania formy dokładnej, wprawdzie bowiem formuła na homotopiȩdaje nam konkretne wyrażenie na formȩ pierwotn a, jednakowoż współczynniki rozkładu tejże w bazie współrzȩdniowej przestrzeni kostycznej s a dane jako całki, które należy obliczyć, aby uznać zagadnienie za rozwi azane, a to bywa trudne lub wrȩcz niewykonalne w sposób analityczny.

2 sk ad g(y, z) = y3 3 + h(z). Na podstawie równania ostatniego otrzymujemy wiȩc czyli i ostatecznie g (z) = z 2, g(z) = z3 3 + C, C R f(x, y, z) = x3 +y 3 +z 3 3 2xyz + C. (.ii) p N : możemy wykorzystać prost a (choć raczej nieco ad hoc) konstrukcjȩ formaln a: W rozmaitości M wyróżniamy punkt P (dowolny) i na jego otoczeniu O P wprowadzamy (lokalny) układ współrzȩdnych κ (y, y 2,..., y n, t) O P P R n (P jest n-wymiarowym płatem parametryzuj acym O P ) tak dobrany (co zawsze można osi agn ać), iżby było (y, y 2,..., y n, t)(p ) = (,,...,, ), a nadto iżby obraz obszaru R n ] ε, + ε[ R n, określonego dla pewnego (dowolnie małego) ε >, wzglȩdem odwzorowania τ R n R n (y, y 2,..., y n, t) (ty, ty 2,..., ty n, t) był zawarty w P (rzecz jasna, hiperpłaszczyzna o równaniu t = jest przez τ odwzorowywana w hiperpłaszczyznȩ zawieraj ac a obraz P wzglȩdem wybranej wcześniej parametryzacji). Cofn awszy ω wzdłuż κ, dostajemy oczywisty rozkład κ ω (y j, t) = ωj j 2...j p (y j, t) dy j dy jp + ωn 2 j j 2...j p (y j, t) dt dy j dy jp. Nastȩpnie cofamy tak otrzyman a p-formȩ z O P gładkiego odwzorowania τ, na (przeciwobraz tegoż obszaru w) R n wzdłuż τ κ ω (y j, t) = ωj j 2...j p (ty j, t) d(ty j ) d(ty j 2 ) d(ty jp ) +t p ω 2 n j j 2...j p (y j, t) dt dy j dy j p = t p ω j j 2...j p (ty j, t) dy j dy jp

3 p +dt t p [ ωj j 2...j p (ty j, t) y j k jk (dy j dy jp ) k= +ωn 2 j j 2...j p (ty j, t) dy j dy j p ] = α(y j, t) + dt β(y j, t), przy czym a ponadto, jak łatwo widać, Zauważamy, że warunek zamkniȩtości ω t α(y j, t) = t β(y j, t) =, α(y j, ) =. tłumaczy siȩ na układ warunków = dω = d(τ κ ω )(y j, t) = dt ( t α dy k k β)(y j, t) + dy k k α(y j, t) { ( tα dy k k β)(y j, t) = dy k k α(y j, t) =, a to z racji liniowej niezależności (p + )-form dt dy j dy jp i dy j dy j p+ na R n. Na koniec definiujemy η Ω p (τ (O P )) wzorem η(y j, t) = t ds β(y j, s) i liczymy, korzystaj ac po drodze z Podstawowego Twierdzenia Rachunku Różniczkowego i Całkowego oraz z układu, jak również z własności, dη(y j, t) = dt t ( t ds β(y j, s)) + dy k t ds k β(y j, s) = dt β(y j, t) + = dt β(y j, t) + α(y j, t) α(y j, ) = dt β(y j, t) + α(y j, t) τ κ ω (y j, t). Na podstawie analizy odwzorowania stycznościowego do τ, detτ (y j, t) = det t t t y y 2 y n = t n t, t ds s α(y j, s) wnioskujemy, że w na otoczeniu U τ(]ε, + ε[ R n ) punktu κ(p ) odwzorowanie τ zadaje (odwracaln a) transformacjȩ współrzȩdniow a, a zatem możemy zapisać jawny wzór ω κ (U) = d ((τ κ) η)

4 na szukan a (p )-formȩ pierwotn a ω. Przykład: 2-forma na R 3 dana wzorem ω(x, y, z) = (x + y) dy dz + (x + z) dz dx + (y z) dx dy jest zamkniȩta, a zatem także dokładna. wyznaczamy Wybrawszy P = (,, ) jako punkt odniesienia, ω(tx, ty, t) = t(x + y) (y dt + t dy) dz + t(x + ) dt (x dt + t dx) + t(y ) (x dt + t dx) (y dt + t dy) a st ad = t 3 (y ) dx dy + dt t 2 [(x + y y 2 + ) dx + (xy 2x y) dy], η(x, y, t) = Wynik końcowy to zatem t ds s 2 [(x + y y 2 + ) dx + (xy 2x y) dy] = t3 3 [(x + y y2 + ) dx + (xy 2x y) dy] t2 3 [(x + y y2 + ) (d(tx) x dt) + (xy 2x y) (d(ty) y dt)] = t2 3 [(x + y y2 + ) d(tx) + (xy 2x y) d(ty) + (y 2 + xy x 2 x) dt] = 3 [(t(tx + ty) (ty)2 + t 2 ) d(tx) + ((tx)(ty) t(2tx + ty)) d(ty) +((ty) 2 + (tx)(ty) (tx) 2 t tx) dt]. (τ κ) η(x, y, z) = 3 [(z(x + y) y2 + z 2 ) dx + (xy z(2x + y)) dy + (y 2 + xy x 2 zx) dz]. (.iii) p N : możemy także wykorzystać formułȩ na homotopiȩ: Oznaczmy I = [, ] R i rozważmy odwzorowanie Określmy wreszcie operator R-liniowy j t M I M = M x (t, x). K Ω p+ ( M) Ω p (M) ϖ dt t ϖ(t, ). Zachodzi tożsamość p N K (p+) d M + d M K = j j, (3) w której d M = dt t + dx i i, d M = dx i i

5 s a operatorami pochodnej zewnȩtrznej na M i M, odpowiednio. Istotnie, dokonawszy znajomego rozkładu p-formy ϖ: obliczamy po kolei: ϖ(t, x i ) = α(t, x i ) + dt β(t, x i ), t α(t, x i ) = = t β(t, x i ), oraz K ϖ = K (p+) d Mϖ x (t, i ) = dt β(t, ) d M K ϖ (x i ) = dx k dt k β(t, x i ), d Mϖ (t, x i ) = dx k α(t, x i ) + dt ( t α dx k k β)(t, x i ) dt ( t α dx k k β)(t, x i ) = α(, x i ) α(, x i ) d M K ϖ(x i ), a st ad (K (p+) d M + d M K )ϖ(t, x i ) = α(, x i ) α(, x i ) (j j )ϖ. Zakładaj ac teraz, że M jest ści agalna do punktu x, tj. że istnieje odwzorowanie gładkie (homotopia) o własności h M M x M ( h(, x) = x h(, x) = x ), zwane ści agniȩciem (lub retrakcj a) M do x, zauważmy, że h j = id M, h j = x (to drugie to odwzorowanie stałe, przyporz adkowuj ace punkt x każdemu punktowi M), zatem dla dowolnej -formy z bazy współrzȩdniowej {dx i } i,n, stowarzyszonej z układem współrzȩdnych {x i } i,n, otrzymujemy Jeśli zatem p-forma ω wiȩc też (p )-forma (h j ) dx i = dx i, (h j ) dx i =. jest zamkniȩta, to stosuj ac powyższ a tożsamość do h ω, otrzymujemy (j j )h ω = (K (p+) d M + d M K )h ω η = K h ω Ω p (M) (p ) = d M (K h ω ),

6 spełnia równość d η = (j j )h ω = (h j ) ω (h j ) ω = id M ω = ω, (p ) jest przeto szukan a form a pierwotn a ω. Warto dodać, że w sytuacji, gdy M jest zanurzona w rozmaitości o naturalnej strukturze liniowej (a tak jest w przypadku podrozmaitości R n ), czȩsto można wykorzystać retrakcjȩ liniow a postaci h(t, x) = x + t(x x ). Przykład: Bez trudu sprawdzamy, że 2-forma na R 3 dana wzorem ω(x, y, z) = x 2 dy dz + y 2 dz dx 2z(x + y) dx dy jest zamkniȩta, czyli też dokładna. Wykorzystuj ac ści agalność (wrȩcz gwiaździstość) jej nośnika wzglȩdem punktu x = (,, ) oraz naturaln a strukturȩ R-liniow a na nim, stosujemy retrakcjȩ liniow a h I R 3 R 3 (t, x, y, z) (tx, ty, tz). -forma pierwotna przybiera tu zatem postać η (x, y, z) = dt t 2 t [x 2 (y dt + t dy) (z dt + t dz) + y 2 (z dt + t dz) (x dt + t dx) 2z(x + y) (x dt + t dx) (y dt + t dy)] = 4 [x2 (y dz z dy) + y 2 (z dx x dz) 2z (x + y) (x dy y dx)] (.iv) p N : może okazać siȩ pomocnym cofniȩcie formy danej (zamkniȩtej) wzdłuż reparametryzacji jej nośnika (czyli transformacji współrzȩdniowej), w wyniku którego forma przybiera prost(sz) a postać. Przykład: Nietrudno pokazać, że 2-forma na R > R 2 dana wzorem x ω(x, y, z) = 2 +y 2 +z 2 x 2 [ xz dy dz yz dz dx + (x 2 + y 2 ) dx dy] jest zamkniȩta, wiȩc też dokładna. Wyznaczenie jej -formy pierwotnej na podstawie formuły na homotopiȩ jest możliwe, ale nieoczywiste. Cofn awszy ω wzglȩdem reparametryzacji kulistej τ R > [, π[ ] π 2, π 2 [ R > R 2 (r, θ, ϕ) (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ), znajdujemy τ ω(r, θ, ϕ) = r2 cos 2 ϕ dr dϕ d( r3 ) 3 d(tg ϕ),

7 możemy zatem wypisać -formȩ pierwotn a w postaci τ η (r, θ, ϕ) = r 2 tg ϕ dr i ostatecznie η (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) y x ( r r r x dx + y dy + z dz) = y x 2 +y 2 +z 2 x (x dx + y dy + z dz). Kolejnym omówionym przez nas zagadnieniem było wyznaczanie krzywych całkowych równań różniczkowych na (podzbiorach) R 2 (x, y) daj acych siȩ zapisać w ogólnej postaci ω(x, y) = P (x, y) dx + Q(x, y) dy =. (4) Zwi azek tego zagadnienia z geometri a różniczkow a ustala oczywista obserwacja: Powyższe równanie można traktować jako równanie wyróżniaj ace pewne pole wektorowe V Γ(TD) na dziedzinie D określoności równania (o ile rzecz jasna ω nie jest na nim trywialna, co zakładamy), a mianowicie: V R = ker ω. Krzywe całkowe tego pola to właśnie krzywe całkowe równania. S a one opisane w sposób uwikłany równaniem F (x, y) = C R, w którym F pochodzi z odcałkowania równania, przy czym stał a C określamy na podstawie znajomości dowolnego punktu na krzywej. Krzywe te wyznaczaliśmy w dwóch przypadkach: (2.i) Ilekroć dane współczynniki funkcjonalne P i Q z równania (4) spełniaj a warunek P y = Q x, (5) dziedzina zaś jest ści agalna, to równanie jest zupełne, tj. istnieje funkcja różniczkowalna F D R o własności P (x, y) dx + Q(x, y) dy = df (x, y), któr a wyznaczamy w taki sam sposób jak w punkcie (.i). Istotnie, (5) to warunek zamkniȩtości, który w poł aczeniu z warunkiem ści agalności D implikuje istnienie funkcji pierwotnej F. ω Przykład: W bezpośrednim rachunku sprawdzamy, że równanie postaci ( sin y x + log x y + ) dx + (cos y log x y x+sin y y ) dy =, określone na D = R > R >, jest zamkniȩte, po czym poprzednio zilustrowan a technik a wyprowadzamy sk ad równanie krzywej całkowej: F (x, y) = (x + sin y) log x y, (x + sin y) log x y = C. I tak, na przykład, krzywa całkowa przechodz aca przez punkt (e, π) jest opisana równaniem (x + sin y) log x y = e log e π.

8 (2.ii) Jeśli współczynniki w równaniu (4) nie spełniaj a wprawdzie warunku (5), ale można dobrać funkcjȩ różniczkowaln a µ D R {}, zwan a czynnikiem całkuj acym, tak by był spełniony warunek (µp ) y = (µq) x, to wówczas wobec równości ker ω = ker (µ ω) krzywe całkowe równania wyjściowego s a zarazem krzywymi całkowymi równania a tych ostatnich szukamy już metod a z punktu (2.i). (µp )(x, y) dx + (µq)(x, y) dy =, (6) Proste postaci szczególne czynnika całkuj acego to (f, g to dowolne funkcje różniczkowalne) µ (x, y) = f(ax + by), µ (x, y) = g(x a y b ), (a, b) R 2 {(, )}. Przykład: Czynnika całkuj acego dla równania (2x 3 y 2 y + x 2 ) y dx + x 3 (xy 2 ) dy =, którego nie-zamkniȩtość sprawdzamy bez trudu, szukamy w postaci Równość (6) przybiera teraz postać f f µ(x, y) = f(xy). (xy) = ( Q x P y )(x,y) x P (x,y) y Q(x,y), zatem warunkiem jej spełnienia jest stałość prawej jej strony (danej!) na krzywych xy = const, albo równoważnie zależności tejże prawej strony od zmiennych x i y wył acznie poprzez ich iloczyn. Warunek ten sprawdzamy w bezpośrednim rachunku: ( Q x P y )(x,y) x P (x,y) y Q(x,y) = 4x 3 y 2 3x 2 6x 3 y 2 +2y x 2 xy (2x 3 y 2 y+x 2 ) yx 3 (xy 2 ) = 2 Widzimy wiȩc, że warunek jest spełniony, a jego rozwi azaniem jest czynnik całkuj acy postaci µ(x, y) = A (xy), A R {}. 2 Rzecz jasna, wartość stałej A nie ma żadnego znaczenia dla naszych rozważań, możemy przeto położyć (np.) A =. xy.

9 W nastȩpnym kroku odcałkowujemy poprawione równanie, df (x, y) = (µp )(x, y) dx + (µq)(x, y) dy (2xy x + ) 2 y dx + x (x ) y dy 2 { F x (x, y) = 2xy x + 2 y (x, y) = x (x F y y 2 ) { F (x, y) = x2 y + x + x y + G(y) F (x, y) = x (x y y 2 ) F (x, y) = x 2 y + x + x y + C. Wnioskujemy zatem, że krzywe całkowe wyjściowego równania s a zadane w sposób uwikłany przez równania x 2 y + x + x y + C =. Zadanie. Wyznacz funkcjȩ pierwotn a dla danej -formy ω ta istnieje. (i) ω(x, y, z) = ( y + y ) z dx + ( x z + x ) y dy xy 2 z dz dla O = R R 2 2 > ; (ii) ω(x, y) = x dy y dx x 2 +xy+y 2 dla O = R > R lub O = { (x, y) R 2 x + y > }; (iii) ω y z log y) dz dla O = R R 2 > ; określonej na obszarze O, o ile funkcja (x, y, z) = (y 2 e xy2 cos x log z) arctg z dx+(2y e xy2 arctg z z y z ) dy+( exy2 sin x log z sh y dx+sin x dy (iv) ω(x, y) = cos x+ch y dla O = R R. z 2 + sin x arctg z z + Zadanie 2. że -forma ω Niechaj f i g bȩd a gładkimi funkcjami na pewnym obszarze O, o tej własności, = df + f dg jest różna od zera w każdym punkcie O. Znajdź ogóln a postać funkcji F C (O; R) spełniaj acej warunek d(f ω ) =. Zadanie 3. Zdefiniujmy -formȩ na R 3 wzorem ϑ(x, y, z) = x dy + y dz + z dx. Udowodnij stwierdzenie: f C (R 3 ;R) ( d(f ϑ) = f = ). Zadanie 4. Oblicz całkȩ z -formy danej wzorem ω(x, y) = e 2 (x2 +y 2) [ch (xy) dx + sh (xy) dy]

10 po brzegu kwadratu [, a] [, b] R 2 wskazówek zegara. (dla a, b > ) zorientowanym przeciwnie do kierunku ruchu Zadanie 5. Dla 2-formy na R 2 R > = O danej wzorem wyznacz -formȩ ω(x, y, z) = z (x dy dz + y dz dx + z dx dy) 3 η = dt ( t H ω)(t, ) i sprawdź w bezpośrednim rachunku pradziwość równości d η = ω dla poniższych gładkich odwzorowań H I O O, (i) H(t, x, y, z) = (tx, ty, t + tz), (ii) H(t, x, y, z) = (tx, ty, z t ). Zadanie 6. Sprawdź, że dana 2-forma ω formȩ pierwotn a. na obszarze O jest zamkniȩta, a nastȩpnie wyznacz jej (i) ω(x, y, z) = g z dy dz + z dz dx ( x + g ) y dx dy na O = R3, określona dla dowolnych funkcji f, g C (O; R); (ii) ω(x, y, z) = xy 2 z (zt dx dy + tx dy dz + xy dz dt + yz dt dx) na O = R4 > ; (iii) ω(x, y, z) = (z e y 2x 2 y 2 ) dx dy y+2 y+ dz dx + x (ey + (y+) ) dz dy na O = R ], [ R; 2 (iv) ω(x, y, z) = [z 2 ( 2xyz) + 3y ] (x+) dx dy + (3xy 2 z 2 z x ) 2 y+2 dz dx + [ (y+2) 2xz] dy dz na 2 O =], [ ] 2, [ R; (v) ω(x, y, z) = (z sh x cos y e z sin(2y)) dx dy + (e z sin 2 y + z 2 e x ) dz dx ch x cos y dy dz na O = R 3 ; (vi) ω(x, y, z) = (x 2 +y 2 +z 2 2 ) 3 (x dy dz +y dz dx+z dx dy) na O = { (x, y, z) R 3 x 2 +y 2 > }; (vii) ω(x, y, z) = [(y x zf z 2 +y 2 +z 2 y f) dy dz + (z x f x z f) dz dx + (x y f y x f) dx dy] na O = R 3 {(,, )}; Zadanie 7. Wyprowadź warunki, jakie musz a spełniać funkcje P i Q w formule (4), ażeby istniał czynnik całkuj acy szczególnej postaci (f i g s a dowolnymi funkcjami gładkimi)

11 (i) µ(x, y) = f(ax + by) dla pewnych stałych (a, b) R 2 {(, )}; (ii) µ(x, y) = f(x a y b ) dla pewnych stałych (a, b) R 2 {(, )}; (iii) µ(x, y) = f(x 2 + y 2 ); (iv) µ(x, y) = f(x) g(y). Wykorzystaj wynik z punktu (i) w celu odcałkowania równań oraz (x + sin x + sin y) dx + cos y dy = dla (a, b) = (, ) ( 2 xy 4y2 3 x 2 ) dx + ( 3 xy 2y2 4xy 2 y 2 ) dy = dla (a, b) = (2, 3), a nastȩpnie wynik z punktu (iv) do odcałkowania równania (3x 3 y + y 2 ) dx + (x 4 + xy) dy =. Powodzenia!