G i m n a z j a l i s t ó w

Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w Stowzyszenie n zez Edukji Mtemtyznej Zestw 6 szkie ozwiązń zdń Znjdź wszystkie tójki (x, y, z) liz zezywistyh, któe są ozwiąznimi ównni 5(x +y +z ) = 4(xy +yz +zx) Rozwiąznie Pzeksztłją ównowżnie dne ównnie, otzymujemy 5(x +y +z ) = 4(xy +yz +zx) 4x 4xy +y +4y 4yz +z +4z 4zx+x = 0 (x y) +(y z) +(z x) = 0 Poniewż kwdt lizy zezywistej jest zwsze nieujemny, wię sum kwdtów jest ówn zeo tylko wtedy, gdy wszystkie lizy są zemi, ztem zyli x y = y z = z x = 0 x = z = 4y = 8x Stąd ównnie m tylko jedno ozwiąznie: x = y = z = 0 Udowodnij, że dl kżej lizy ntulnej n 6 kwdt możn oziąć n n kwdtów Rozwiąznie Łtwo podzielić kwdt n 4 kwdty Po kżdym tkim podzile liz kwdtów zwiększ się o 3 Stosują ten podził wielokotnie możemy uzyskć wszystkie lizy posti 4+3n, gdzie n N 0 Rozpozynją od podziłu n 6 kwdtów i dzielą kolejno dowolne powstłe kwdty n 4 zęśi możemy uzyskć wszystkie lizy posti 6 + 3n, gdzie n N 0

Jeśli podzielimy kwdt n 8 zęśi, to ozumują nlogiznie uzyskujemy wszystkie lizy posti 8+3n, gdzie n N 0 Możemy wię podzielić kwdt n 4, 6, 7, 8 i dowolną większą lizę kwdtów 3 N okęgu o śodku S opisno tpez ABCD (o podstwh AB i CD) Wykż, że AS BS = CS DS Rozwiąznie W dowolnym tpezie sum kątów pzy kżdym z mion wynosi 80, zyli <)BAD +<)ADC = 80 D d Odinki AS i DS są dwusieznymi kątów, wię S <)SAD +<)ADS = 90, stąd tójkąt ASD jest postokątny, w któym A B jest jest wysokośią popowdzoną do pzeiwpostokątnej AD Oznzmy zęśi n któe spodek wysokośi podzielił odinek AD jko odinki i d Poniewż wysokość dzieli tójkąt postokątny ASD n dw tójkąty do niego podone, wię = d zyli d = Pzepowdzją nlogizne ozumownie dl tójkąt BSC, uzyskujemy (pzy oznzenih z ysunku) popoję =, wię = C

Kozystją z twiedzeni Pitgos oz powyższyh ównośi, otzymujemy AS + DS = + + d + = +d + d +d = = (+d) + d(+d) = d d(+d) + d(+d) = +d d(+d) = d = Anlogiznie BS + CS = = Z dwóh osttnih ównośi, dostjemy AS + DS = BS + CS zyli AS BS = CS DS 4 N stole leży 9 żetonów z numemi od do 9 Dwóh zwodników g w nstępująą gę: piewszy gz w swoim uhu usuw ze stołu żeton z wyną lizą oz wszystkie żetony z jej dzielnikmi, nstępnie dugi wykonuje uh według tyh smyh zsd itd Wygyw zwodnik, któy zdejmie ze stołu osttni żeton Któy z gzy (piewszy zy dugi) m sttegię wygywjąą i n zym on może polegć? 9 7 5 3 6 4 8 Rozwiąznie Uzsdnimy, że jeśli piewszy gz w piewszym swoim uhu weźmie żeton oznzony numeem 7, to jest w stnie zgwntowć soie wygną Oznzmy gz piewszego pzez G, dugiego pzez G Rozwżmy w tkiej sytuji wszystkie opje uhu dugiego gz: G G G pozostją żetony dlsz ozgywk 7 9 8 5 6 po uhh wygyw G 7 8 9 5 6 po uhh wygyw G 7 6 6 5 9 po uhh wygyw G 7 5 3 4 6 8 9 dlsz ozgywk opisn poniżej 7 4 3 5 6 8 9 po 4 uhh wygyw G 7 3 4 5 6 8 9 po 4 uhh wygyw G 7 5 3 4 6 8 9 dlsz ozgywk opisn poniżej 3

Jeżeli po uhu piewszego gz n stole zostną żetony 3, 4, 6, 8, 9, to piewszy gz może osiągnąć zwyięstwo nstępujźo: G G pozostją żetony dlsz ozgywk 9 4 6 8 po uhh wygyw G 8 3 6 9 po uhh wygyw G 6 4 8 9 po uhh wygyw G 4 9 6 8 po uhh wygyw G 3 8 6 9 po uhh wygyw G 5 Znjdź wszystkie lizy piewsze p, dl któyh wtość wyżeni nie jest podzieln pzez 360 Rozwiąznie p 4 5p +4 Pzeksztłją dne wyżenie ównowżnie, otzymujemy p 4 5p +4 = (p 4 4p +4) p = (p ) p = = (p p)(p +p) = (p )(p+)(p+)(p ) = = (p )(p )(p+)(p+) Zuwżmy, że liz jest podzieln pzez 360 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzieln pzez 5, 8 i 9 Jeżeli p jest lizą łkowitą, to wśód liz: p, p, p, p+, p+ dokłdnie jedn jest podzieln pzez 5 (poniewż jest to pięć kolejnyh liz łkowityh) Łtwo spwdzić, że dl p = 5 wyżenie dne w zdniu nie jest podzielne pzez 5 Jeśli p jest lizą piewszą óżną od 5, to dokłdnie jedn z liz: p, p, p+, p+ jest podzieln pzez 5, wię i dne wyżenie dzieli się pzez 5 Jeśli p jest lizą niepzystą, to lizy p i p + są kolejnymi lizmi pzystymi i jedn z nih dzieli się pzez 4, wię ih ilozyn dzieli się pzez 8, stąd i dne wyżenie dzieli się pzez 8 Jeśli ntomist p = (jest to jedyn liz piewsz pzyst), to wtość dnego wyżeni jest ówn 0 Czyli dl kżdej lizy piewszej p dne wyżenie dzieli się pzez 8 Jeśli p jest lizą podzielną pzez 3, to wśód liz: p, p, p+, p+ są dwie, któe dzielą się pzez 3, ztem dne wyżenie dzieli się pzez 9 Łtwo spwdzić, że dl p = 3 wyżenie nie dzieli się pzez 3 N podstwie powyższyh uwg, dne wyżenie nie dzieli się pzez 360 tylko dl p = 3 oz p = 5 4

6 Dny jest tójkąt o okh długośi,, Ustl, w jkih popojh śodek okęgu wpisnego w ten tójkąt podzielił odinki wyięte z dwusieznyh kątów tójkąt pzez zeg tego tójkąt Rozwiąznie Pzyjmijmy oznzeni jk n ysunku: A, B, C wiezhołki tójkąt; I śodek okęgu wpisnego w tójkąt ABC; X, Y Z punkty pzeięi oków BC, AC, AB pzez odpowiednie dwusiezne kątów tójkąt ABC W dlszej zęśi ozwiązni pzez [M N P ] oznzć ędziemy pole tójkąt o wiezhołkh M, N, P C Y h I h X h A Z Punkt I jest śodkiem okęgu wpisnego w tójkąt ABC, wię jest oddlony od kżdego jego oku o, gdzie jest pomieniem okęgu wpisnego Poniewż punkt X leży n dwusieznej kąt BAC, wię jest jednkowo oddlony od oków AB i AC Pzyjmijmy, że t odległość jest ówn h Tójkąty ACI i XCI mją wspólną wysokość h, wię B i jednoześnie Stąd () Anlogiznie otzymujemy () [ACI] = AI h oz [XCI] = XI h [ACI] = AC oz [XCI] = CX [ACI] [XCI] = AI XI = CA CX [BAX] [CAX] = BX CX = AB AC 5

Uwg Równośi () i () możn otzymć ezpośednio z twiedzeni o dwusieznej kąt wewnętznego tójkąt Wykozystują ówność (), otzymujemy CX = BC BC +CX = = BX AB + = CX CX CX AC + = + + = Stąd (3) CX = + Wykozystują tez () i (3), dostjemy AI XI = CX = (+) = + Powdzą nlogiznie ozumownie, otzymujemy BI Y I = + CI oz ZI = + 7 W zwoośinie ABCD kwędzie śiny ABC są odpowiednio ówne: BC =, CA =, AB =, wszystkie pozostłe śiny są pzystjąe do śiny ABC Oliz odległość między kwędzimi AB i CD Rozwiąznie Zuwżmy, że w zwoośinie opisnym w teśi zdni w kżdym jego wiezhołku shodzą się kwędzie o długośih, i Popowdźmy tzy py płszzyzn ównoległyh: płszzyznę ównoległą do kwędzi AB i zwiejąą kwędź CD oz płszzyznę ównoległą do kwędzi CD i zwiejąą kwędź AB, 6

pę płszzyzn wyznzonyh pzez kwędzie BC i AD, pę płszzyzn wyznzonyh pzez kwędzie AC i BD D N M h L C B g A f K Płszzyzny te wyznzją ównoległośin AKBLM CN D, w któym pzeiwległe śiny są pzystjąymi ównoległookmi Zuwżmy, że kwędzie zwoośinu ABCD są pzekątnymi śin otzymnego ównoległośinu Kżd p pzeiwległyh śin m oie pzekątne tej smej długośi, ztem ównoległooki muszą yć postokątmi, zyli ównoległośin AKBLM CN D jest postopdłośinem Oznzmy jego kwędzie: f =AK, g =AL i h=am Odległość między kwędzimi AB i CD jest ówn h Kozystją z twiedzeni Pitgos, otzymujemy zleżnośi g +h = h +f = g +f = Dodją dw piewsze ównni stonmi oz wykozystują tzeie, dostjemy g +h +h +f = h + = +, stąd h = + h = + 7