bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

Transkrypt

1 1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow postci 0 j 10 j, gdzie j > 0. Nieterminl S generuje słow postci 0 i 1w0 i, gdzie i > 0 i w jest słowem wygenerownym przez nieterminl X. A więc nieterminl S generuje słow postci 0 i 10 j 10 j 0 i = 0 i 10 j 10 j+i gdzie i, j > 0, czyli język z treści zdni. 1

2 2. Czy j ezyk L 1 jest regulrny (odpowiedź uzsdnić). Odpowiedź. Język ten nie jest regulrny. Złóżmy owiem, że jest regulrny. Korzystjąc z lemtu o pompowniu dojdziemy do sprzeczności. Skoro język jest regulrny, to n mocy lemtu o pompowniu, istnieje stł M, tk, że dl kżedgo słow w z język, jeśli w m długość przynjmniej M, to istnieje podził n trzy słow w = xyz gdzie y niepuste tki, że dl kżdego i słowo xy i z nleży do język. Rozwżmy słowo w = 0 M 10 M 10 2M, które nleży do język i m długość przynjmniej M. Rozwżmy jego podził w = xyz jk wyżej. N mocy lemtu, dl i = 2, słowo xy 2 z powinno nleżeć do język, pokżemy, że nie nleży. Otrzymn sprzeczność dowodzi, że język nie mógł yć regulrny. Jeśli słowo y zwier jedynkę, to słowo xy 2 z zwier trzy lu więcej jedynki, więc nie może nleżeć do język. Jeśli słowo y nie zwier jedynki, to skłd się smych zer, więc jest w cłości zwrte w jednym z trzech loków zer (loki te mją długości odpowiednio M, M i 2M). Wówczs w słowie xy 2 z jeden z loków zer zmieni długość (w porównniu ze słowem xyz), pozostłe nie zmieniją długości. Ozncz to, że sum długości pierwszych dwóch loków zer nie może już yć równ długości trzeciego loku zer. 2

3 3. Niech φ(l) = { w : w L & w R L }. Czy zchodz implikcje (uzsdnić): () L jest ezkontekstowy to φ(l) też jest ezkontekstowy () L jest regulrny to φ(l) też jest regulrny. Odpowiedź. Implikcj () nie zchodzi, lecz implikcj () zchodzi. Powód jest z grusz rzecz iorąc tki, że języki ezkontekstowe nie są zmknięte n przecięci, regulrne są. Implikcj () nie zchodzi. Rozwżmy język L = { i j k : i = j}. Język ten jest ezkontekstowy, generuje go grmtyk Lustrzne odicie tego język to S X S X X. L R = { i j k : j = k}. A więc słowo nleży do L i L R wtedy i tylko wtedy, gdy jest postci i j k gdzie i = j = k. Ziór słów tkiej postci nie jest ezkontekstowy z tego smego powodu, dl którego ezkontekstowy nie jest język { n n c n : n N}. Implikcj () zchodzi. Język φ(l) to przecięcie języków L i L R. Języki regulrne są zmknięte n przecięci (wystrczy rozwżyć produkt dwóch utomtów). A więc wystrczy pokzć, że języki regulrne są zmknięte n opercję lustrznego odici L L R. Automt (niedeterministyczny) dl L R otrzymujemy z utomtu dl L poprzez: zminę stnów kceptujących z początkowymi i odwrócenie kierunku strzłek w trnzycjch. 3

4 4. Nrysowć minimlny deterministyczny utomt skończony kceptujcy słow nd lfetem {, }, w których podsłowo występuje nieprzystą liczę rzy. Nie nleży w tym zdniu pisć uzsdnieni minimlności. Odpowiedź. oś symetrii Dl słów przynjmniej dwuliterowych, utomt pmięt dwie rzeczy: czy wystąpiło przystą czy nieprzystą ilość rzy. osttnie dwie litery, przy czym końcówki i są utożsmione. Kżd komincj jest możliw, stąd 2 3 = 6 stnów. Nie potrzeujemy stnów dl słów o długości zero lu jeden, poniewż: słow ɛ i są równowżne słowu ; słowo jest równowżne słowu. 4

5 5. Dl utomtu skończonego A przez L u (A) oznczmy ziór wszystkich długości słów kceptownych przez A. Czy prolem sprwdzni równości L u (A) = L u (B) jest rozstrzyglny dl utomtów skończonych (uzsdnić). Odpowiedź. Prolem ten jest rozstrzyglny. Poniżej przedstwimy lgorytm rozstrzygjący prolem, który dził w czsie wykłdniczym ze względu n rozmir utomtów A i B. Ziór L u (A) możn widzieć jko ziór słów nd lfetem jednoliterowym {}, minowicie jko ziór słów postci n, gdzie n jest długością pewnego słow kceptownego przez A. Automt rozpoznjący ten ziór słów, oznczmy go A, otrzymujemy z utomtu A poprzez zstąpienie kżdej litery w przejścich przez literę. (Automt A może yć niedeterministyczny, nwet jeśli A ył deterministyczny.) Oznczmy wreszcie przez A utomt otrzymny z A przez determinizcję. Automt A możn oliczyć n podstwie A w czsie wykłdniczym. Przy tej notcji, prolem z zdni rzmi: mjąc dne dw utomty A i B, sprwdzić czy języki rozpoznwne przez A i B są tkie sme. Dl utomtów deterministycznych, sprwdznie równości języków możn zroić w czsie wielominowym, opis tego lgorytmu jest poniżej. Ay sprwdzić równość dwóch języków, konstruujemy produkt krtezjński A B i sprwdzmy, czy w tym utomcie osiągln jest pr stnów, gdzie n jednej współrzędnej stn jest kceptujący, n drugiej współrzędnej stn nie jest kceptujący. Słowo prowdzące do tej pry stnów jest świdkiem n różność języków rozpoznwnych przez A i B. Wżny jest tutj determinizm utomtów, w przeciwnym przypdku dl słow prowdzącego do złej pry (jeden utomt kceptuje, drugi utomt odrzuc), mogłyy istnieć inne iegi pokzujące, że o utomty kceptują słowo. 5

6 6. Mszyn Turing jest typu write-once jeśli w kżdym oliczeniu co njwyżej rz zmieni zwrtość kżd ej komórki tśmy. Czy prolem L(M) = jest rozstrzyglny dl deterministycznych jednotśmowych mszyn Turing M typu write-once? Odpowiedź uzsdnić. Odpowiedź. Prolem nie jest (cłkowicie) rozstrzyglny. Pokżemy rozwiąznie dl definicji write-once, w której zmin litery lnk n inną też liczy się jko zpis. (Trochę łtwiej zdnie jest rozwiązć dl większej klsy mszyn, gdzie zmin litery lnk n inną się nie liczy.) Do prolemu z zdni zredukujemy prolem Post, który nie jest cłkowicie rozstrzyglny. Przypomnijmy, że prolem Post rzmi tk: Dne: ziór pr słow P. Pytnie: czy istnieje skończony ciąg pr (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) P, yć może z powtórzenimi, tki że x 1 x n = y 1 y n Równowżne sformułownie pytni rzmi, czy niepusty jest język, oznczmy go przez L P, który zwier słow postci #x 1 $y 1 #x 2 $y 2 # #x n $y n, (zkłdmy, że specjlne sertory # i $ nie występują w słowch ze zioru P ) tkie, że spełnione są nstępujące wrunki () i (): () dl kżdego i {1,..., n}, pr (x i, y i ) nleży do P. () x 1 x n = y 1 y n. Pokżemy, że n podstwie zioru P możn w skończonym czsie oliczyć mszynę Turing, nzwijmy ją M P, któr rozpoznje język L P i jest writeonce. A więc gdyyśmy umieli rozstrzygć niepustość język dl mszyn write-once, to yśmy tkże umieli rozstrzygć prolem Post. Mszyn M P njpierw sprwdz wrunek () nie pisząc nic tśmie, potem sprwdz wrunek () pisząc n tśmie w sposó write-once. Wrunek () jest językiem regulrnym, opisnym wyrżeniem regulrnym ( #x$y). (x,y) P Możn więc wrunek ten rozpoznwć deterministycznym utomtem skończonym, który jest szczególnym przypdkiem mszyny Turing nie piszącej n tśmie. Po sprwdzeniu wrunku (), mszyn M P wrc n początek tśmy i sprwdz wrunek () w sposó opisny poniżej. 6

7 Ay sprwdzić wrunek (), mszyn M P postępuje w sposó nstępujący. Ide jest tk, że litery nie ędące seprtormi są stopniowo zstępowne Mszyn, ędąc n początku tśmy, szuk głowicą (od lewej do prwej) pierwszej litery pochodzącej ze słow typu x ( więc litery któr nie jest seprtorem, le jej njliższy z lewej seprtor to # nie $), któr jeszcze nie zostł zstąpion Znlzłwszy tką literę, mszyn zpmiętuje ją w stnie i zstępuje ją (tutj występuje jednokrotny zpis). Nstępnie głowic mszyny wrc n początek tśmy i szuk (znowu od lewej do prwej) pierwszej litery pochodzącej ze słow typu y ( więc litery któr nie jest seprtorem, le jej njliższy z lewej seprtor to $ nie #) i zstępuje o ile jest tk sm jk liter zpmiętn w stnie (w przeciwnym przypdku mszyn ntychmist odrzuc). Nstępnie mszyn powtrz proces, ż nie doprowdzi do sytucji, w której n tśmie są wyłącznie # i $, wówczs kceptuje. 7