1. Wstęp. Pojęcie grafu przepływowego. Niech pewien system liniowy będzie opisany układem liniowych równań algebraicznych

Transkrypt

1 Owody i Ukłdy Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy Mteriły Pomonize. Wstęp. Pojęie grfu przepływowego. Nie pewien system liniowy ędzie opisny ukłdem liniowy równń lgerizny x + x x + x gdzie: x, x - zmienne reprezentująe wielkośi występująe w ukłdzie Przepiszmy ukłd (.) w zmienionej posti x ( + ) x+ x + x0 x+ x + x0 x x + + x + x x + x + x 0 0 gdzie: x 0 - prmetr, który może yć uwżny jko wielkość wejśiow ukłdu, przy zym: x, x (.) 0 0 Możn zuwżyć, że kżdej z niewidomy, x zostło przypisne jedno równnie, w którym wielkość t stnowi kominję liniową wszystki niewidomy orz prmetru x 0. ) Ukłd równń w posti (.) możn zorzowć grfiznie z pomoą tzw. grfu przepływowego (ys..). W ujęiu tym kżdej wielkośi x (niewidomej) przyporządkowny zostje węzeł 0 x (wierzołek) grfu, ntomist operje między wielkośimi symolizowne są z pomoą zorientowny głęzi (krwędzi) rozpięty między węzłem pozątkowym i końowym. ys.. Wrtość wielkośi przyporządkownej do wierzołk stnowiąego węzeł końowy kilku głęzi, równ jest sumie ilozynów trnsmitnji orz wrtośi wielkośi odpowidjąy węzłom pozątkowym ty głęzi. Powyższe stwierdzenie określ jednoześnie jedną z możliwy metod tworzeni grfu przepływowego, jko geometryznej reprezentji równń opisująy system liniowy. Struktur grfu odzwieriedl ztem jedynie związki między sygnłmi i nie nleży utożsmić jej ze strukturą relnie istniejąy połązeń, między poszzególnymi elementmi ukłdu. Modelownie równń opisująy ukłd w posti grfu przepływowego nie jest elem smym w soie. Stnowi ono podstwę do dlszej nlizy zleżnośi między wielkośimi ukłdu, w szzególnośi między wielkośimi wejśiowymi i wyjśiowymi. Możemy ztem stwierdzić, że metod t njpełniej sprwdz się dl tzw. ukłdów trnsmisyjny, rozptrywny w konwenji wejśie-wyjśie, w który jednym z główny zdń nlizy jest wyznznie trnsmitnji. Przyjmują, że wielkośiom wejśiowym i wyjśiowym ukłdu, zostły przyporządkowne określone wierzołki grfu, to w elu wyznzeni trnsmitnji dokonć nleży redukji inny węzłów grfu orz wyeliminowć wszystkie połązeni między węzłmi wyjśiowymi. W ten sposó głęziom łąząym pozostłe po redukji węzły, ędą ezpośrednio przypisne poszukiwne trnsmitnje. v.. (.) (.) ) Ozywiste jest, że przejśie od ukłdu (.) do (.) nie jest jednoznzne. - -

2 Owody i Ukłdy Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy v.. Mteriły Pomonize. Podstwowe określeni. Zsdy redukji grfów. Grfem przepływowym nzywmy skońzony, spójny ziór wierzołków (węzłów) połązony zorientownymi krwędzimi (głęzimi). Głąź grfu reprezentuje operję (trnsmitnje) między wielkośimi. Węzeł grfu reprezentuje wielkość lu sygnł o wrtośi równej sumie sygnłów przekzywny przez głęzie, który dny węzeł jest węzłem końowym. ozróżnimy nstępująe rodzje węzłów: ) Węzeł, który nie jest węzłem końowym żdnej z głęzi nzywmy węzłem źródłowym, odgryw on rolę poudzeni lu sygnłu wejśiowego; ) Węzeł, który nie jest węzłem pozątkowym żdnej z głęzi nzywmy węzłem odiorzym, odpowid on sygnłom wyjśiowym ukłdu. ) Węzły nie ędąe węzłmi źródłowymi ni odiorzymi nzywmy węzłmi pośrednimi. Kżdemu węzłowi pośredniemu możn przyporządkowć wielkość wyjśiową. W tym elu nleży utworzyć dodtkowy węzeł połązony z dnym węzłem odpowiednio zorientowną głęzią o trnsmitnji równej. W teli. zestwiono podstwowe sposoy eliminji węzłów pośredni orz pętli włsny węzłów. W kżdym przypdku oowiązuje zsd, że wszelki przeksztłenie grfu nie może zmienić trnsmitnji śieżek między pozostłymi po redukji wierzołkmi grfu. x. Połązenie szeregowe x x, x x x x. x + x Połązenie równoległe.. 5. x x x x x 5 x x+ x x 5 x + x + + x Tel. x x x + x x 5 x5 + x + Eliminj pętli włsnej: - x x x 5 x5 x+ x + x - -

3 Owody i Ukłdy Mteriły Pomonize Dodtkowe określeni Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy v.. Śieżką nzywmy ziór jednkowo zorientowny głęzi łąząy wyrne węzły grfu. Śieżk, podonie jk głąź, posid węzeł pozątkowy i końowy. Pętlą grfu nzywmy śieżkę, w której ten sm węzeł jest węzłem pozątkowym i końowym. Pętlą włsną wierzołk grfu nzywmy pętlę zwierjąą tylko jedną głąź. Przykłd. edukj grfu z jedną pętlą. ozwżmy eliminję węzł pośredniego w grfie przedstwionym n ys... Zwier on trzy węzły, w tym jeden węzeł pozątkowy i dw węzły pośrednie. Przyjmują węzeł jko węzeł końowy wyznzymy trnsmitnję określoną stosunkiem sygnłu do. ) ) ) d) x x - ys.. Przejśie od grfu ) do ) uwzględni niezmienność trnsmitnji pętli -x -. Powstłą w ten sposó pętlę włsną eliminujemy stosują zsdę z teli.. Przykłd. Eliminj kskdy pętli. W stosunku do przykłdu poprzedniego, eliminj pętli włsnej węzł musi uwzględnić tkże trnsmitnję śieżki (pętli) - -. Zgodnie z zsdą 5 (t..) trnsmitnje wszystki głęzi doodząy do węzł muszą yć podzielone przez - (ys.. d). ) Grf wyjśiowy ) edukj pętli -x - ) edukj węzł x x x d) edukj pętli włsnej węzł e) edukj pętli - - f) edukj węzł ys.. Po przeksztłeniu osttniego wyrżeni trnsmitnj wynosi (.) - -

4 Owody i Ukłdy Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy v.. Mteriły Pomonize. Wyznznie trnsmitnji ukłdów z pomoą grfów przepływowy. Przykłdy redukji grfów. Przykłd. Wykorzystują poznne zsdy redukji grfów wyznzymy jedną z możliwy trnsmitnji ukłdu opisnego równnimi (.). Wielkość wejśiową ędzie x 0, ntomist wyjśiową x. ) Grf wyjśiowy (por. ys..) ) edukj pętli włsnej węzł x x x x ) Eliminj pętli x - -x d) Eliminj węzł x x x 0 - x + - e) Eliminj połązeni równoległego f) Eliminj pętli włsnej węzł x + x 0 - x x 0 0 x + - Uwzględniją, że 0 + ys.. + ( ) ( ) ( ), otrzymujemy 0 stąd x 0 x0 x0 (.) - -

5 Owody i Ukłdy Mteriły Pomonize Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy Przykłd. Przykłd redukji grfu zwierjąego dwie pętle oprte o ten sm węzeł. v.. ) Grf wyjśiowy ) Eliminj pętli x - -x ) Eliminj pętli x - x x x x - d) Eliminj pętli - - orz węzł e) Eliminj pętli włsnej węzł Przykłd 5. ys.. ) Grf wyjśiowy ) Eliminj pętli włsnej g ) Eliminj węzł x x e x e g d d f f f f f - g - g d) Eliminj węzł e) f) Eliminj pętli włsnej p d + f e q x q - p e p q + e p d + f e e d ys.. e + + e g ( g) + e ( d+ fe) fe ( d)( g) f e d+ g (.)

6 Owody i Ukłdy Mteriły Pomonize Przykłd 6. Owód przedstwiony n ys.. opisny jest nstępująymi równnimi. I Y( U0 U) U Z( I I) (.) I Y( U U) U ZI n podstwie który tworzymy grf przepływowy (ys..5). Stosują metodę przeksztłni grfu, U wyznzymy trnsmitnję npięiową. Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy 0 U0 I Y I Y v.. U Z Z ys.. ) Grf wyjśiowy owodu ) edukj pętli U -I -U Y I Z U Y I Z Y I Z U Y I Z -Y Z -Y -Z -Y -Z -Y ) edukj węzł I orz pętli włsnej U d) edukj pętli I -U -I U Y I Z U Y I Z Y Z + Y -Y Z - Z Y -Y + Y Z e) edukj węzł U orz pętli włsnej I f) edukj pętli -I - Y Y - Y I Z - Y I Z - Y - Y Z g) edukj węzł I ) edukj pętli włsnej YZ U 0 0 Y U YZ Z 0 Y Z ys..5 Po uwzględnieniu wprowdzony podstwień trnsmitnj npięiow przyjmie postć U YY ZZ 0 (.) U + YZ + YZ + YZ 0-6 -

7 Owody i Ukłdy Mteriły Pomonize Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy Przykłd 7. Dl owodu przedstwionego n ys..6 nrysowć grf przepływowy nstępnie dokonć redukji węzłów odpowidjąy prądom płynąym przez rezystnje. i źr v.. ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) + ( s) ( s) ( s) sc ( s) ( s) ( s) + ( s) I I I L źr I I I źr I I U I I U L U I I L (.5) i L i L C i u i ozwiąznie: Grf wyjśiowy. - I I U -sc - - I I L + I I - I I U -sc - - I I + ys..6 U 5 - -sc + I I - I I L U -sc - + U sc+ + IL U + s + C + ys

8 Owody i Ukłdy Mteriły Pomonize Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy v.. N podstwie grfu (5) eliminują węzeł (6) wyznzmy trnsmitnję Iźr U (7) nstępnie eliminują węzeł U (6) otrzymujemy Iźr (7). 6 7 U + U Ls U (s) ( + ) Cs+ LC( ) L ( +) C s + s+ ( + LC( +) LC( +) ) + (s) s + C 7 I źr I + źr ( + ) Cs+ + LC ( ) L+ ( +) C ++ + s + s+ LC( +) LC( +) + + Cs+ + Ostteznie otrzymujemy: ys..8 Ls - U ( s ) I L+ ( +) źr s LC C ++ + s + LC( + ) s+ LC( + ) (.6) + Cs + + IL ( s) I źr ( s) (.7) LC L+ + C ++ + s + s+ LC( + ) LC( + ) Semt lokowy utworzony n podstwie grfu owodu (ys..6). (do nlizy po zpoznniu się z mteriłmi pomonizymi dotyząymi semtów lokowy) I U L U sc I I I Oprownie: Piotr uzewski tel. 065 I ys..9