DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 2017/2018 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ I

Transkrypt

1 DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 07/08 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ I. N ile trójkątów prostokątnyh d się roziąć prostokąt?. Czy liz 3 77 jest wymiern? 3. N płszzyźnie dnyh jest 6 odinków. Udowodnij, że d się spośród nih wyrć trzy, wśród któryh żdne dw nie mją punktów wspólnyh, lu trzy, wśród któryh kżde dw mją punkty wspólne.. W zsie pierwszej wojny świtowej w poliżu pewnego zmku tozył się itw. Jeden z poisków roził stojąą u wejśi sttuę ryerz z piką w ręką. Stło się to osttniego dni miesią. Ilozyn numeru dni, w którym to się zdrzyło, numeru miesią, wyrżonej w pełnyh stoph długośi piki, połowy wyrżonego w pełnyh lth wieku dowódy terii strzeljąej do zmku, połowy wyrżonego w pełnyh lth zsu, jki stł sttu, równ się W którym roku postwiono sttuę? 5. Udowodnij, że jeśli jest lizą przystą niepodzielną przez, to jej kwdrt pomniejszony o dzieli się przez Dl jkih liz pierwszyh p d się znleźć dwie kolejne lizy łkowite, któryh sum jest podzieln przez p? 7. Widomo, że wielomin x +x+ o współzynnikh łkowityh m dw pierwistki i że -5 jest jednym z nih. Czy drugi pierwistek tego wielominu musi yć lizą łkowitą? 8. Czy możn zudowć tki sześiokąt, żey z żdnyh trzeh jego oków nie możn yło zudowć trójkąt? 9. To jest pewien wyrz zpisny lfetem Morse, le komputer zjdł wszystkie znki seprująe litery:. N ile sposoów możn przezytć ten npis (niezleżnie od tego, zy przezytny wyrz m sens)? 0. Czy zdrz się tk, żey n zegrze, którego oie wskzówki są identyzne, w iągu godzin jedno położenie wskzówek odpowidło dwóm różnym godzinom?

2 EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 07/08 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ I SZKICE ROZWIĄZAŃ. Przekątn rozin prostokąt n trójkąty prostokątne. W kżdym z nih wysokość opuszzon n przeiwprostokątną dzieli go znowu n trójkąty prostokątne, wię opuszzją tkie wysokośi otrzymujemy w kżdym kroku o jeden trójkąt prostokątny więej. Możliwy jest wię podził n dowolną (>) lizę trójkątów. 3. Liz 3 77 jest pierwistkiem równni x Gdyy ył to pierwistek wymierny, to yły łkowity i dzieliły wyrz wolny. W grę whodzą wię lizy, 7,, 77. Łtwo sprwdzić, że żdn z tyh liz w trzeiej potędze nie jest równ 77. Możn też przeprowdzić dowód wykorzystująy podzielność i powołć się w nim n twierdzenie o jednoznznym rozkłdzie lizy n zynniki pierwsze. 3. Wyierzmy dowolny spośród dnyh odinków. Wówzs z pozostłyh pięiu odinków n pewno d się wyrć tkie trzy, że żden z nih nie m punktów wspólnyh z wyrnym n pozątku, lo tkie trzy, że kżdy z nih m z nim punkt wspólny. Złóżmy, że tez zdni nie jest spełnion. Wówzs w pierwszym z wymienionyh przypdków pewne dw z dornyh trzeh odinków nie mją punktów wspólnyh, o prowdzi do sprzeznośi, poniewż wrz z odinkiem wyrnym jko pierwszy tworzą tką trójkę, której żdne dw odinki nie mją punktów wspólnyh, ntomist jeśli zhodzi drug sytuj, to dw spośród dornyh odinków mją punkt wspólny, zyli wrz z pierwszym są trójką, której kżde dw odinki mją punkt wspólny.. Z treśi zdni wynik, że występująe w niej niewidome to dzielniki lizy Rozkłd tej lizy n zynniki pierwsze m 5 zynników: 7 9 0, kżdy z nih musi wię odpowidć jednej dnej z zdni. Spośród możliwyh osttnih dni miesią mmy tu tylko 9, wię itw mił miejse 9 lutego. W trkie I w. św. jedynym rokiem przestępnym ył 96. Z nlizy pozostłyh dnyh wynik, że sttu stoi już 0 lt, zyli postwiono ją w 7 r. 5. Przedstwmy dną lizę jko ilozyn: ( ) () ( )( ). Poniewż ( ), o jego zynniki są większe od, wię jest lizą złożoną. 6. Poz dwójką lizy pierwsze są nieprzyste. Kżd liz nieprzyst jest sumą kolejnyh liz nturlnyh: k+=k+(k+), ztem wrunki zdni spełniją wszystkie lizy pierwsze z wyjątkiem. 7. Tk. Wynik to ntyhmist ze wzorów Viète. Uzniowie mogą też przeprowdzić odpowiednie rhunki. 8. Tk. Jego oki mogą mieć np. długośi:,,, 7, i 0. Nleży sprwdzić, że z żdnyh trzeh oków nie powstje trójkąt, i uzsdnić, że z podnyh odinków możn utworzyć sześiokąt. 9. Npis skłd się z 9 znków. Osttni liter może yć zkodown ) jednym, ) dwom, ) trzem lu d) zterem znkmi. W przypdku ) powstje pytnie, n ile sposoów przezytć npis z 8 znków, w przypdku ) z 7, w ) z 6 i w d) z 5. Oznzmy przez T i lizę sposoów przezytni npisu złożonego z i znków. T 9 T8 T7 T6 T5. Anlogiznie T 8 T7 T6 T5 T, T 7 T6 T5 T T3 itd. ( T ) Ostteznie otrzymujemy: T 9 = Złóżmy, że jest tk o godzinie h i m minut. Wówzs kąt między wskzówką godzinową godziną wynosi (w stopnih) 30h+m/, ntomist kąt między minutową 6m. Gdyy ten ukłd wskzówek wystąpił też o m' 30h' 6m godzinie h minut m, mieliyśmy. Biorą h=, h =, otrzymmy ukłd równń n m i m, którego m 6m' 30h rozwiązniem jest pr liz mieszząyh się w przedzile <0,60), wię opisn w zdniu sytuj może mieć miejse.

3 DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 07/08 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ II. Dl jkih łkowityh k wyrżenie k k m wrtość łkowitą?. Wieszją firnkę w pierwszym kroku przyzepimy jej końe, w kżdym nstępnym dodjemy żki dokłdnie pośrodku między już dozepionymi. N ilu żkh ędzie zzepion firnk po n krokh? 3. Udowodnij, że (W minownikh występują ilozyny kolejnyh liz pierwszyh.). N L Międzynrodowej Konferenji Pleontropologiznej w Ustrzykh Dolnyh kżdy spośród przyyłyh Szwedów zwrł znjomość z n Etiopzykmi, kżdy Etiopzyk zpoznł się z n Szwedmi. Udowodnij, że wśród uzestników konferenji Szwedów i Etiopzyków yło tyle smo. 5. Czworokąt ABCD jest wpisny w okrąg o średniy d i AC BD. Udowodnij, że AB CD d. 6. Wyierzmy 07-elementowy ziór liz pierwszyh {p, p,..., p 07 }. Oliz lizę 3 07 dzielników lizy p p p3... p Znjdź wszystkie osie symetrii figury złożonej z dwóh prostyh w przestrzeni. 8. Pewne miesiąe w roku rozpozynją się tym smym dniem tygodni. Które? 9. Znjdź wszystkie funkje nieprzyste f spełnijąe wrunek f ( x 3) f (3 x) dl kżdego x rzezywistego. 0. Sześin jednostkowy przeięto płszzyzną zwierjąą przekątną pewnej śiny i nhyloną do niej pod kątem. Oliz pole otrzymnego przekroju.

4 EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 07/08 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ II SZKICE ROZWIĄZAŃ. k k k 3, wię szukmy tkih k, żey k+ dzieliło 3. Ztem k+ może yć równe 3, 3, lu.. =, w kżdym nstępnym kroku żek jest rzy tyle o poprzednio minus, zyli n = n Zmieńmy minowniki w podnej sumie n kolejne potęgi dwójki. Zmienion sum jest wówzs mniejsz od oryginlnej, przy zym wynosi, o dowodzi podnej w zdniu nierównośi.. Przedstwmy Szwedów i Etiopzyków jko punkty płszzyzny, łązą z kżdym Szwedem tyh Etiopzyków, któryh poznł podzs konferenji. Jeśli Szwedów jest k, to połązeń ędzie kn. Z drugiej strony kżdy Etiopzyk jest połązony z n Szwedmi, musi ih wię yć również k. 5. Nieh CE ędzie średnią dnego okręgu. Kąt CDE jest oprty n półokręgu, wię z twierdzeni Pitgors mmy CD DE d. Pokżemy terz, że DE=AB, o zkońzy dowód. AE AC (kąt oprty n półokręgu), wię ( AC BD ) AE i BD to dwie równoległe ięiwy, zyli ih wspóln symetrln jest osią symetrii zworokąt ABDE, o dje DE=AB. 6. Kżdy z tyh dzielników jest ilozynem pewnyh potęg liz p i, konkretnie dl lizy p i możemy mieć i njwyżej podzielność przez p i. Wszystkih tkih ilozynów jest wię (kżd liz p i może yć też wzięt w zerowej potędze). 7. Kiedy oie proste leżą n jednej płszzyźnie, możliwe są dwie sytuje: nieskońzenie wiele osi przy prostyh równoległyh (równoległ do nih i wszystkie prostopdłe) orz trzy osie w przeiwnym przypdku (dwie zwierjąe dwusiezne utworzonyh kątów i jedn do nih prostopdł). Jeśli proste są skośne, to istnieje płszzyzn równoległ do jednej z tyh prostyh zwierją drugą z nih. Wówzs rzuty osi symetrii n tę płszzyznę muszą yć osimi lu środkmi symetrii figury ędąej rzutem tyh dwu prostyh, zyli podonie jk wyżej są trzy możliwośi. Kżd z tyh symetrii n płszzyźnie odpowid jednej osi symetrii w przestrzeni (dwie leżąe w płszzyźnie równoległej i wspóln prostopdł), o możn łtwo wykzć geometryznie. 8. W kżdym roku istnieją dwie tkie pry miesięy: mrze i listopd orz kwieień i lipie. W roku nieprzestępnym dohodzi pr styzeń-pździernik, pr mrze-listopd przeksztł się w tridę lutymrze-listopd. Dzieje się tk dltego, że różni pomiędzy pierwszymi dnimi tyh miesięy jest lizą podzielną przez Weźmy dowolne y rzezywiste. Mmy f ( y) f (( y 3) 3) f (3 ( y 3)) f ( y), zyli szukn funkj musi yć przyst. Istnieje tylko jedn funkj określon n lizh rzezywistyh, któr jest przyst i nieprzyst stle równ 0. Funkj t spełni ozywiśie wrunki zdni. 0. Postwmy sześin n tej śinie. Jeśli rtg, przekrojem jest trójkąt równormienny, którego podstwą jest przekątn podstwy sześinu, przeiwległy wierzhołek leży n jednej z pionowyh krwędzi n wysokośi tg twierdzeni Pitgors wynoszą trpez o wysokośi sin. Jego pole możn wię wylizyć np. ze wzoru Heron, o długośi rmion z tg. Dl ( rtg, przekrojem jest równormienny. Jego doln podstw jest przekątną dolnej śiny sześinu, górn zrzutown n tę śinę d odinek równoległy do dolnej leżąy od niej w odległośi tg. Z podoieństw trójkątów powstłyh w ten sposó n tej śinie mmy: x tg, gdzie x jest długośią górnej podstwy trpezu. Olizmy ztem x, dzięki zemu możn już znleźć szukne pole.

5 DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 07/08 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ III. Czy sum dwóh kolejnyh liz nturlnyh i sum ih kwdrtów to zwsze lizy względnie pierwsze?. Dl jkih p i p funkj f określon n lizh rzezywistyh wzorem f x) x p x m mksimum loklne? ( p 3. Pomlowny sześin rozięto n pewną lizę mniejszyh kostek. Okzło się, że wśród nih jest tyle smo niepomlownyh, o z pomlowną jedną śiną, le trzy rzy więej niż z pomlownymi dwiem śinmi. N ile zęśi rozięto ten sześin?. A jest ziorem dziesięiu liz nturlnyh. Udowodnij, że w A istnieją ztery lizy, któryh sum dzieli się przez. d 5. Wykż, że dl dowolnyh liz rzezywistyh,, i d. d 6. N jką njwiększą lizę zęśi prost może roziąć wielokąt o 08 wierzhołkh? 7. Brygdzie kosirzy poleono skosić dwie łąki. Powierzhni jednej z nih ył dw rzy większ od drugiej. Pół dni ł rygd kosił większą łąkę, w drugiej połowie tego dni podzielił się n dwie równe grupy. Pierwsz w dlszym iągu kosił większą łąkę i do koń dni skosił ją łkowiie, drug grup poszł kosić mniejszą łąkę, le nie skosił jej do koń. Reszt młej łąki zostł skoszon przez jednego kosirz przez ły nstępny dzień pry. Ilu kosirzy lizył t rygd? 8. Jkie lizy trzyyfrowe mją tę włsność, że po zkryiu środkowej yfry wzrstją dziewięiokrotnie? 9. Wykż, że jeśli i są tkimi lizmi nturlnymi, że ++ dzieli się przez +, to dl kżdego n nturlnego n + n dzieli się przez (+) n. 0. Sklejmy śinmi trójkątnymi zworośin foremny o krwędzi i ostrosłup zworokątny, którego wszystkie krwędzie mją długość. Ile śin, wierzhołków i krwędzi m otrzymny wielośin?

6 EDYCJA XVII ROK SZKOLNY 07/08 LICEA RUNDA ELIMINACYJNA MECZ III SZKICE ROZWIĄZAŃ. Tk. Sum kolejnyh dwóh liz nturlnyh s = n+n+= n+. Sum ih kwdrtów s =n +n+. Ale s (s ) =. Gdyy istnił wspólny dzielnik ou sum, to dzieliły on też lizę s (s ). Tym dzielnikiem może wię yć tylko.. f ( x) ( x p)( x p ), wię wykres f powstje z pewnej proli przez odiie jej zęśi spod osi X nd nią. Mksimum loklne wystąpi wię wtedy, gdy wierzhołek proli leżł pod osią, o m miejse wtedy i tylko wtedy, gdy p p. 3. Złóżmy, że sześin podzielono n k 3 kostek. Wówzs kostek z pomlowną jedną śiną jest 6(k ), niepomlownyh (k ) 3, skąd mmy od rzu k=8. Wówzs kostek z dwiem pomlownymi śinkmi jest (k ) = 7, zyli rzezywiśie jest ih 3 rzy mniej niż niepomlownyh (6).. Gdyy w A yły ztery lizy djąe przy dzieleniu przez tę smą resztę, to tez ozywiśie y zhodził. Podonie jeśli w A znleźliyśmy dwie lizy djąe resztę i dwie djąe resztę 3 lu dwie podzielne przez i dwie djąe resztę. Gdyy nie zhodził żdn z wymienionyh sytuji, mieliyśmy njwyżej ztery lizy djąe przy dzieleniu przez resztę lu 3 i njwyżej ztery lizy djąe resztę 0 lu, m ih yć , skąd. Anlogiznie d d orz, o wrz z poprzednimi nierównośimi dje już tezę zdni. 6. Prost rozetnie 08-kąt n njwięej zęśi, jeśli wierzhołki umieśimy jk n rysunku. Prost przein wówzs kżdy z oków, rozięie dje 00 zęśi. 7. Nieh ędzie lizenośią rygdy. N większą łąkę potrze yło osoodni pry, n mniejszą. Mmy wię, skąd =8. 8. Dowoln liz trzyyfrow to Mmy wię równnie: 00+0+= 9(0+), zyli 0(+) 8=0. Liz 8 musi wię yć pełną dziesiątką, skąd to 5 lu 0. w pierwszym przypdku + =, drugi jest niemożliwy. Szukne lizy to: 35, 5, 35 i ( ), wię dne zdni implikują podzielność przez +. Anlogiznie (+), n n n wię ( ) ( ). 0. Do pirmidy ABCDS doklejmy n zwish trójkąty równoozne ASS A i BSS B. Punkty S A i S B zlepią się wtedy i tylko wtedy, gdy leżą n zęśi wspólnej płszzyzn zwierjąyh śiny ASD i BSC. Pozostł dziur m równ oki. Wielośin opisny w zdniu m wię dwie śiny w ksztłie równoległooków, jedną kwdrtową i dwie trójkątne.