O zachęcaniu i zniechęcaniu do matematyki

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O zachęcaniu i zniechęcaniu do matematyki"

Krzysztof Przybysz
6 lat temu
Przeglądów:

1 Zdzisłw Pogod Instytut Mtemtyki UJ Ul.Łojsiewiz Kków e-mil: zdzislw.ogod@uj.edu.l O zhęniu i zniehęniu do mtemtyki Uzą mtemtyki stmy się do niej zhęić. Tudno soie wyozić nuzyiel mtemtyki, któy elowo zniehęły uzniów do swojego zedmiotu. Dlzego wię dzieje się tk, Ŝe wielu uzniów oz tyh, któzy juŝ mją nukę szkolną z soą twiedzi, Ŝe włśnie w szkole zniehęili się do mtemtyki? Polem jest owŝny i zyzyn wiele. Zwóimy tu uwgę n jeden z sektów. Czy nm się oś odo zy nie, zy oś luimy lu nie jest odzuiem dzo osoistym i względnym. Jkiś utwó muzyzny, wiesz, owieść, zy film w iewszej hwili moŝe nm się zuełnie nie odoć, lez óźniej moŝemy uznć, Ŝe jest to dzieło inteesująe, nwet fsynująe. Ozywiśie moŝe teŝ yć odwotnie. ZleŜy to od wielu zynników: sosou ezentji, smoozui w dnym momenie, nstoju, kontekstu, w jkim stykmy się z dziełem. Podonie jest z olemmi mtemtyznymi. Jeśli zdnieolem zostnie zedstwione w iekwy sosó z uzsdnieniem, to jest duŝ szns, Ŝe i ns zinteesuje. Szns n ziekwienie z ewnośią wzośnie, gdy w ełni zozumiemy ozwiąznie, oznmy zstosowni Jeśli jednk olem ukzny ędzie eznmiętnie, ondto jego ozwiąznie ędzie zwiłe, ozywiste dl ozwiązująego dl ns nie, to istnieją młe sznse, Ŝe ns wiągnie, Ŝe się nim zfsynujemy. Zdz się, Ŝe zły doó zdń tudnyh, ond siły uzni, moŝe go zniehęić nwet do njostszyh olemów. Dostją zdnie z góy moŝe złoŝyć, Ŝe jest ond jego siły i nwet nie ędzie óowł go ozwiązywć, hoć tk nwdę moŝe to yć zdnie tyowe, wymgjąe niewielkiego wysiłku, węz stnddowe. Pzyzwyzjony jednk do tego, Ŝe nuzyiel iągle zskkuje go zdnimi z sztńskim omysłem, uzn, iŝ i tk nie d soie dy z olemem. Pzyjzyjmy się kilku zykłdom. Zdnie. Rozwiązć ównnie 0 Zdnie wygląd n tyowe z temtu ozwiązywnie ównń wyŝszyh stoni oz ozkłd wielominu n zynniki. Jednk óy ozwiązni go stnddowymi metodmi nie zynoszą efektu. śden z dzielników wyzu wolnego nie jest iewistkiem ównni. Pozostje wię metod oś dodć i odjąć. MoŜn ostąić tk:

2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Jeśli jkoś udło nm się wść n omysł, jk wykonć ten ozkłd, to tez mmy zed soą ównnie 0 I tym zem nie dziłją swdzone metody. Wyz wolny tki sm jk ozednio nie ozwl n znlezienie iewistków łkowityh. TkŜe óy ozkłdu n zynniki są ezowone. Tudno zkłdć, Ŝe znne są wzoy Cdn. Tze wię wykozystć jkiś omysł. Njiew zstosujmy odstwienie ozwljąe ozyć się złonu w dugiej otędze. Tkim odstwieniem jest y Pozwl to ozednie ównnie zstąić nstęująym y y Tez stosujemy kolejne odstwienie z z y o dje z z stąd z z i tez z z

3 wją tez do zmiennej dostniemy ostteznie Pozostłe ozwiązni otzymmy z tójminy kwdtowego, któy ojwił się w ozkłdzie n zynniki. Ozywiśie są to Tu nie owinno yć olemów. oz Tkie zdnie i jego ozwiąznie moŝe uzni zezić i łkowiie zniehęić do innyh zdń zdeydownie ostszyh, gdzie nie tze stosowć Ŝ tk wyszuknyh hwytów. Wltją je między stnddowe zdni moŝemy wielu uzniów skuteznie zniehęić do mtemtyki. Jest to niewątliwie olem w stylu olimijskim i uzniowie zygotowni n nietyowe olemy i odowiednio tenowni, mogą odzić soie z zdniem, yć moŝe nwet ez większego tudu. NleŜy tu wyźnie zznzyć, Ŝe nie hodzi o kytykę odonyh zdń. Mtemtyy w swojej y zęsto sotykją się z tkimi elementnymi olemmi i muszą soie z nimi dzić. Tze jednk dzo uwŝć, kiedy i komu moŝn zoonowć zdnie tego tyu. Pzyjzyjmy się innemu zdniu Zdnie Lizę 9 moŝn n dw sosoy zedstwić w osti, gdzie, N Znleźć lizę ntulną, któą moŝn zedstwić w tkiej osti n tzy sosoy. Z temtu zdni wynik, Ŝe oszukiwn liz owinn istnieć. Tylko jk ją znleźć. Wiele olemów z teoii liz ozwiązuje się z omoą óŝnego odzju sztuzek i nienlnyh omysłów. Tk to wygląd dl osó, któe nie mją n o dzień do zynieni z odonymi zdnimi. Njiew zuwŝmy zleŝność

4 ) d d ) d ) d ) d d ) d d ) Swdzmy ją ezośednim hunkiem. Tez zdefiniujmy funkję f, y) y y Oisną owyŝej zleŝność moŝemy zisć wykozystują f f, ) f, d) f d, d d ) Pwdą jest teŝ, Ŝe f, y) f y, ), zyli f, ) f, d) f, ) f d, ) f d, d) Pzehodzą n lizy moŝn zuwŝyć, Ŝe f,) f,) f,9) f,6) tkŝe f,9) f,) f,) f,) i jeszze f,6) f,) f,0) f 8,7) Pondto f,) 7, f,), f,) 9. Tk wię liz jest szukną lizą gdyŝ f,0) f 8,7) f,) f,) 79 Dokłdniejsze zyjzenie się ozwiązniu ozwl n stwiedzenie, Ŝe dl dowolnej lizy ntulnej n istnieje tk liz, któą moŝn zedstwić w osti n n óŝnyh sosoów. Ten olem ównieŝ hy nie ndje się, jko zhęt dl uzniów niezdeydownyh lu setyznie nstwionyh do mtemtyki. MoŜe utwiedzić ih w zekonniu, Ŝe mtemtyk sowdz się zede wszystkim do tików i zskkująyh omysłów. Dl zygotowująyh się do olimidy lu innyh konkusów moŝe to yć jednk iekwy

5 zykłd wykozystni ewnej tehniki. Wszystko zleŝy komu hemy zoonowć zdnie. Nuzyiel musi ostęowć dzo ostoŝnie zy dooze olemów. MoŜe tez zenlizujmy zykłd geometyzny. Zdnie Udowodnić, Ŝe zy tdyyjnyh oznzenih dl tójkąt nieówność 6 gdzie. ABC wdziw jest Rozwiąznie wygląd nstęująo: oz zyli ) I jeszze jedno zdnie Zdnie W tójkąie ABC nieh unkty A, B i C ędą unktmi styznośi okęgu wisnego do odowiednih oków. Oznzmy jeszze B C, A C oz A B. Pzy owyŝszyh oznzenih udowodnić, Ŝe wdziw jest nieówność: 8 Bez ognizni ogólnośi moŝemy zyjąć, Ŝe. Nieh O oznz śodek okęgu wisnego, wtedy moŝemy jeszze wowdzić oznzeni

6 6,, OC A A OB OC B ZuwŜmy, Ŝe zy tdyyjnyh oznzenih któw wewnętznyh w tójkąie zhodzą zleŝnośi π oz Odinki BO AO, i CO są ostodłe odowiednio do, A C C B i B A. Mmy ntyhmist,, zyli oz konsekwentnie Wykozystują tez nieówność Czeyszew moŝemy zisć szownie ) os os os Wykozystują wzó Heon i oznzją ole tójkąt ABC zez S mmy zleŝnośi 6 ) ) ) S zyli S gdzie, jk ozednio jest ołową owodu tójkąt.

7 ZuwŜmy jeszze, Ŝe funkj dn wzoem 0, π ), ztem z nieównośi Jensen dostniemy kolejne szownie f ) jest wyukł n zedzile os os os os os π os 6 Ostteznie wię os os os 8 o dje szukną nieówność. Widć, Ŝe w zdniu jest to hunek zysto lgeizny, wię geometyzność tegoŝ zdni jest ozon. Pondto jest to znów tyowe zdnie-ćwizenie dl uzestników konkusów, o sm nieówność n iewszy zut ok nie m iekwej inteetji geometyznej. Lizymy, Ŝey wyszło. W zdniu zwtym wykozystujemy o wd ewne włsnośi tójkąt, le odstwowe omysły związne są z lgeiznymi nieównośimi. Tkie zdnie zej nie zhęi zeiętnego uzni do mtemtyki tym dziej do geometii. Będzie utwiedzło w zekonniu, Ŝe zdni mtemtyzne wymgją nientulnyh sztuzek, n któe tudno wść. PowyŜsze zykłdy okzują, Ŝe tze dzo uwŝć, zy dooze zdń. MoŜn, mimo doyh hęi, uzyskć efekt dleki od ozekiwnego. Zmist zinteesowni moŝn niestety skuteznie zniehęić. Pzyjzyjmy się ewnemu twiedzeniu, któym inteesowł się Eule Zdnie W ABC z wiezhołków A, B i C owdzimy oste zeinjąe zeiwległe oki odowiednio w unkth A, B i C i osidjąe unkt wsólny O. Udowodnić, Ŝe OC OA OB CC AA BB 7

8 Wew ozoom nie jest to zdnie n zstosownie twiedzeni Cevy. Njośiej, z Euleem, uzsdni się to tk. Pzez unkt O owdzimy oste ównoległe do AC i BC i zeinjąe ok AB odowiednio w unkth X i Y. Ntulnie stąd ozywiśie AX XY YB AB AX AB XY AB Wystzy tez zuwŝyć odowiednie ooje YB AB AX OB oniewŝ tójkąty XOB i ABB są odone. AB BB Anlogiznie XY OC n odstwie odoieństw XOY i ABC AB CC i jeszze YB OA, o odone są tójkąty ABA i AYO AB AA Wto jednk dodć, Ŝe Eule uzyskł to ozwiąznie doieo z tzeim odejśiem. Piewsze dw ozwiązni yły znznie dziej skomlikowne. Fkt ten jest znny 8

9 ównieŝ jko twiedzenie Gegonne, któy oulikowł je w 88 oku. Eule swoją osttezną wesję zedstwił juŝ w 66 oku. ChoiŜ zezentowne ozumownie wymg omysłu, to jest dość ntulne z unktu widzeni geometii elementnej. Jest teŝ oste i tudno mu odmówić elegnji. N konie zjmijmy się wsomninym wześniej wzoem Heon. Ciekwe, Ŝe hoć wzó jest dość zwiły i w ktye szkolnej nieml nieuŝywny, to jest miętny nwet leiej niŝ inne niezędne wzoy n ole tójkąt. Njzęśiej wzó Heon wyowdzny jest z wykozystniem twiedzeni ousów i kilku sztuzek lgeiznyh: tk zeksztłmy zleŝnośi, Ŝey wyszło o tze. Inteesująe yłoy zedstwienie sosou ozumowni smego Heon. Nie znł on zeieŝ lgey i tygonometii. Pondto nie wiedził zeieŝ jką zleŝność m otzymć. Jego wynik jest nwdę niezwykły jk n tmte zsy zyomnijmy Heon Ŝył w I wieku nszej ey). Pzedstwimy ozumownie, któe ozwl wyowdzić wzó Heon ez jego wześniejszej znjomośi. Choć jest to ozumownie zejzyste i dzo logizne, oenie zdko jest ezentowne. Sttujemy od znnej zleŝnośi n ole tójkąt zy tdyyjnyh oznzenih) S Chemy wyznzyć omień okęgu wisnego w tójkąt z omoą oków tego tójkąt. W tym elu do oku AC doiszmy okąg i oznzmy zydtne unkty zgodnie z ysunkiem Podzielmy dlsze ozumownie n kilk etów. Et. ZuwŜmy, Ŝe AD, BD i CD Jest to ost konsekwenj twiedzeni o odinkh styznyh. Bowiem AD DB BD D C CF F A 9

10 N odstwie wsomninego twiedzeni AD AF, DB BD, CD CF zyli AD DB CD stąd AD DB CD ) Pozostłe ównośi dowodzimy odonie. Et. Udowodnimy, Ŝe CF FA Znów wykozystmy twiedzenie o odinkh styznyh i sttujemy od ównośi i tez BM BM MA AD DB M C CD D B Ponownie wykozystujemy twiedzenie o odinkh styznyh AF AF DB CF CF CD i dlej AF AF FF) CF F F) CF skąd ozywiśie CF AF Et. ZuwŜmy, Ŝe tójkąty ADO oz MAO są odone. Jest tk zezywiśie, gdyŝ o tójkąty są ostokątne oz odinki AO i AO są ostodłe jko dwusiezne odowiednih kątów związnyh z tójkątem. Et. Tez moŝemy juŝ wylizyć. ZuwŜmy njiew, Ŝe z ozednih ozwŝń MA, AD oz DB. Wykozystują odoieństwo tójkątów z etu moŝemy znotowć ooje z odoieństw tójkątów DBO i MBO 0

11 gdzie MO jest omieniem okęgu doisnego do oku AC. Z iewszej ooji wyznzmy z dugiej ) ) ostteznie wię skąd o odstwieniu do wzou ) ) ) S dostniemy wzó Heon. Ntulnie owyŝszy zykłd nie ndje się n zdnie dl uzniów. Jest to jednk zykłd łdnego ozumowni z zkesu geometii elementnej. Chy wto je zyominć zy ndzjąyh się okzjh. Zdolni, zinteesowni mtemtyką uzniowie mogą doenić uok tego ozumowni tym dziej, Ŝe oszzególne ety są dzo oste i mogą yć smodzielnie dowodzone od kieunkiem nuzyiel. N tym końzymy zegląd zykłdów, któe sme w soie są inteesująe i mogą yć nwet insiująe. Jednk oonowne jko zdni uzniom niezygotownym, z zskozeni, mogą stć się owodem niehęi do mtemtyki i fustji uzniów.

Podobne dokumenty

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec