Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C

Transkrypt

1 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż nierówność: (x ) Rozwiąznie 4 x x x x Obliczmy pierwistki trójminu kwdrtowego x x. ( ) 4,, x, x. Możemy również obliczyć pierwistki trójminu kwdrtowego x x, rozkłdjąc go n czynniki liniowe x x x x x x( x ) ( x ) ( x )( x ) x lub x x lub x Szkicujemy wykres trójminu kwdrtowego y x x, z którego odczytujemy zbiór rozwiązń nierówności x ( ; ; ) Schemt ocenini Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy lub pod pierwistki trójminu kwdrtowego: x, x i n tym zkończy lub błędnie pod zbiór rozwiązń nierówności,

2 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini rozłoży trójmin kwdrtowy n czynniki liniowe, np. ( x )( x ) i n tym zkończy lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, popełni błąd rchunkowy przy obliczniu wyróżnik lub pierwistków trójminu kwdrtowego (le otrzym dw różne pierwistki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdjący otrzymuje... p. gdy pod zbiór rozwiązń nierówności: x ( ; ; ) lub ( ; ; ) lub ( x lub x ), pod zbiór rozwiązń w postci grficznej z poprwnie zznczonymi końcmi przedziłów. Zdnie 7. (-) Przedził (; jest mksymlnym zbiorem, w którym funkcj f ( x) x bx jest rosnąc. Wyzncz njwiększą wrtość tej funkcji. Rozwiąznie Przedził (; jest mksymlnym zbiorem, w którym funkcj f jest rosnąc, więc rgument x jest pierwszą współrzędną wierzchołk W ( p, q) prboli będącej wykresem tej funkcji. (I sposób rozwiązni) stąd: f ( x) x x. b 4 Njwiększą wrtością funkcji jest y MAX f (). p, b, f (), więc b, f ( ) 8 Njwiększ wrtość funkcji możn obliczyć również korzystjąc z odpowiednich wzorów: y MAX q, gdzie q 4

3 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini 4 ( ) ( ) 448 q 4( ) 8 Odpowiedź: Njwiększą wrtością funkcji jest y. Rozwiąznie (II sposób rozwiązni) Zpisujemy wzór funkcji w postci knonicznej f ( x) ( x ) q, f ( x) ( x x 9) q f ( x) x x 8 q Ztem: 8 q q MAX Odpowiedź: Njwiększą wrtością funkcji jest y. MAX Schemt ocenini (I sposób rozwiązni) Zdjący otrzymuje... p. gdy wskże wrtość pierwszej współrzędnej wierzchołk p orz obliczy wrtość współczynnik b i n tym zkończy lub dlej popełni błędy, popełni błąd rchunkowy przy obliczniu współczynnik b i konsekwentnie do obliczonej wrtości b obliczy njwiększą wrtość funkcji. Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy njwiększ wrtość funkcji y. MAX (II sposób rozwiązni) Zdjący otrzymuje... p. gdy zpisze trójmin kwdrtowy w postci f ( x) ( x ) q i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy njwiększ wrtość funkcji y. MAX

4 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Zdnie 8 (dowód geometryczny) W trójkąt ABC wpisno okrąg o środku S, który jest styczny do boków trójkąt w punktch D, E i F (tk jk n rysunku). Uzsdnij, że. Dowód Odcinki SD, SE, SF są prostopdłe do boków trójkąt. (I sposób rozwiązni) DS ES, ztem trójkąt DES jest równormienny, stąd EDS. Odcinek AS zwier się w dwusiecznej kąt BAC, więc SAF. Zuwżmy, że kąt wypukły DSF m mirę: DSF (9 9 ) 8, kąt wypukły ESF m mirę: ESF, (kąt środkowy oprty n tym smym łuku co kąt wpisny EDF ), kąt wypukły ESD m mirę: ESD 8, DSF ESF ESD, 8 8,, więc, co nleżło uzsdnić.

5 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini (II sposób rozwiązni) DS ES, ztem trójkąt DES jest równormienny, stąd EDS. Odcinek AS zwier się w dwusiecznej kąt BAC, więc SAF. Trójkąt DFA jest równormienny ( AD AF ), więc odcinek AG jest wysokością trójkąt DFA, stąd SGD 9. Trójkąt ASD jest podobny do trójkąt DSG, gdyż są trójkąty prostokątne, w których kąty ostre DSG i ASD mją równe miry. Wynik stąd, że SDG SAD. EDF SDG EDS, więc, co nleżło uzsdnić. (III sposób rozwiązni) DS ES, ztem trójkąt DES jest równormienny, stąd EDS. Odcinek AS zwier się w dwusiecznej kąt BAC, więc SAF. 8 Trójkąt DFA jest równormienny ( FA DA ), więc FDA DFA 9 SDA 9, więc SDF 9 FDA SDF 9 (9 ). EDF FDS SDE, więc, co nleżło uzsdnić.

6 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Schemt punktowni (I sposób rozwiązni) Zdjący otrzymuje... p. gdy uzsdni, że EDS i n tym zkończy lub dlej popełni błędy, gdy zpisze, że DSF 8 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy, zpisze, że ESF orz DAF i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy uzsdni, że. (II i III sposób rozwiązni) Zdjący otrzymuje... p. gdy uzsdni, że EDS lub FDS i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy uzsdni, że. Zdnie 9. (-) Udowodnij, że nierówność ( x y) ( x y xy) jest spełnion dl dowolnych liczb rzeczywistych x i y. Rozwiąznie (I sposób) Przeksztłcmy nierówność w sposób równowżny: ( x y) ( x y xy) x xy y x y xy ( x x y x y x ) ( y y 9) ( x ) ( y ) Lew stron tej nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych (kwdrt kżdej liczby rzeczywistej jest nieujemny), więc to dowodzi, że nierówność ( x y) ( x y xy) jest spełnion dl dowolnych liczb rzeczywistych x i y. To kończy dowód. (II sposób) Przeksztłcmy nierówność w sposób równowżny: ( x y) ( x y xy)

7 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini x xy y x y xy x x y y Potrktujmy tę nierówność jko zwykłą nierówność kwdrtową z niewidomą x. Aby nierówność t był spełnion przez wszystkie liczby rzeczywiste wyróżnik trójminu musi być niedodtni, tzn:. ( ) 4 4y 4 ( y 4y 4 4y 4( y y 9) 4( y ) 4( y ) y ) 4y dl dowolnych y R, więc nierówność x x y y jest spełnion przez wszystkie liczby rzeczywiste x i y. To kończy dowód. Schemt ocenini (I sposób rozwiązni) Zdjący otrzymuje... p. gdy doprowdzi nierówność do postci ( x ) ( y ), Zdjący otrzymuje... p. gdy przeprowdzi pełny dowód. (II sposób rozwiązni) Zdjący otrzymuje... p. gdy doprowdzi nierówność do postci x x y y i prwidłowo wyznczy wyróżnik trójminu kwdrtowego 4y 4y, gdy doprowdzi nierówność do postci y y x x i prwidłowo wyznczy wyróżnik trójminu kwdrtowego 4x 8x 4. Zdjący otrzymuje... p. gdy przeprowdzi pełny dowód.

8 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Zdnie. (-) W pudełku znjduje się siedem kul ponumerownych od do 7. Losujemy kolejno dwie kule, bez zwrcni, zpisując wyniki w liczbę dwucyfrową. Pierwsz wylosown liczb jest cyfrą jedności, drug cyfrą dziesiątek. Jkie jest prwdopodobieństwo, że wylosown liczb jest podzieln przez lub przez 5. Rozwiąznie (I sposób) Zdrzenimi elementrnymi są wszystkie liczby nturlne dwucyfrowe o różnych cyfrch ze zbioru {,,, 4,5,,7} 7 4 Oznczmy przez A zdrzenie polegjące n wylosowniu liczby, któr jest podzieln przez lub przez 5. A,5,,4,5,7,5,,4,45,5,54,57,,5,7,75 A 7 Obliczmy prwdopodobieństwo korzystjąc z definicji klsycznej prwdopodobieństw (II sposób) P ( A) A P ( A) Oznczmy przez A zdrzenie polegjące n wylosowniu liczby, któr jest podzieln przez lub przez 5. Zbiór zdrzeń elementrnych możn zilustrowć tbelą 7 n 7 i zznczyć zdrzeni elementrne sprzyjjące zdrzeniu A X X X X X X X 7 Łtwo zuwżyć, że 4 i A 7, więc P ( A) A 4

9 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini (III sposób) Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich głęzi, które prowdzą do sytucji sprzyjjących zdrzeniu A (polegjącemu n tym, że otrzymn liczb będzie podzieln przez lub przez 5). Prwdopodobieństwo zdrzeni A jest równe 7 P ( A) Schemt ocenini Zdjący otrzymuje... p. gdy zpisze liczbę wszystkich zdrzeń elementrnych 7, gdy wypisze wszystkie zdrzeni elementrne sprzyjjące zdrzeniu A, gdy zpisze liczbę zdrzeń elementrnych sprzyjjących zdrzeniu A : A 7, nrysuje drzewo ilustrujące przebieg doświdczeni (n rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne głęzie). Zdjący otrzymuje... p. Uwg. gdy wyznczy prwdopodobieństwo zdrzeni 7 P ( A). 4. jeżeli zdjący pod prwdopodobieństwo zdrzeni A większe od, to z cłe zdnie otrzymuje p,. jeżeli zdjący pominie jedno zdrzenie sprzyjjące zdrzeniu A lub pominie jedną istotną głąź 8 drzew i otrzym P ( A), to otrzymuje z cłe rozwiąznie p. 4

10 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Zdnie. (-) Grnistosłup prwidłowy czworokątny, w którym krwędź boczn jest dw rzy dłuższ od krwędzi podstwy, przecięto płszczyzną zwierjącą przekątną podstwy BD i punkt P, który jest środkiem krwędzi bocznej CC ' (rysunek obok). Oblicz stosunek objętości brył, n jkie płszczyzn t podzielił ten grnistosłup. Rozwiąznie Wprowdźmy oznczeni: - krwędź podstwy grnistosłup, h wysokość grnistosłup. Zuwżmy, że CP. h, Wprowdźmy oznczeni: V - objętość grnistosłup, V - objętość ostrosłup DBCP, V - objętość bryły, któr powstł po odcięciu ostrosłup DBCP od grnistosłup ABCDA ' B' C' D'. Zpiszmy objętości V : V h, więc V Podstwą ostrosłup BCDP jest trójkąt BCD, więc odcinek CP o długości, ztem Zpiszmy objętość V : Obliczmy stosunek objętości brył: P BCD V, V, V V V V V, V V V V, wysokością ostrosłup jest

11 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Schemt ocenini Zdjący otrzymuje... p. gdy zpisze, że V i V, zpisze, że V h i V h, zpisze, że V V. Zdjący otrzymuje... p. V gdy obliczy stosunek objętości V lub V V Zdnie. (-4) Liczby: x, 8, x 58, w podnej kolejności, są odpowiednio dziesiątym, jedenstym i czternstym wyrzem nieskończonego ciągu rytmetycznego ( n ). Wyzncz sumę wszystkich dodtnich wyrzów tego ciągu. Rozwiąznie Niech ( n ) będzie nieskończonym ciągiem rytmetycznym o różnicy r, w którym x, 8, 4 x 58 Z treści zdni i definicji ciągu rytmetycznego wynik, że Po rozwiązniu powyższego ukłdu otrymujemy: Wiedząc, że 8 otrzymujemy: r r 4. r 8 (x ) r x 588 x 8 r () r 8 ( ) 8 n n ( n ) ( ) n n n

12 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Wyznczmy wszystkie wyrzy ciągu ( n ), które są dodtnie. n n n 5 Są to więc wyrzy,,,..., 5. Sum wszystkich tych wyrzów jest więc równ S 5 S 5 5 ( 5) Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjący r 8 (x ) zpisze ukłd, np.: i n tym zkończy lub dlej popełni błędy, r x 588 x 58 8 zpisze równnie pozwljące wyznczyć x, np.: 8 (x ). Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zdjący wyznczy r orz x 8 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zdjący obliczy wyrz i zpisze wrunek pozwljący wyznczyć liczbę wszystkich dodtnich wyrzów ciągu n, np.: n, rozwiąże zdnie do końc, le z błędem rchunkowym. Rozwiąznie pełne... 4p. Zdjący wyznczy sumę wszystkich dodtnich wyrzów ciągu : S 55 n 5 Zdnie. (-4) Trójkąt ABC jest prostokątny, gdzie ABC 9. Punkt A (, ), B (, 4), punkt C leży n prostej k o równniu y x 8. Wyzncz współrzędne punktu C orz pole tego trójkąt. Rozwiąznie (I sposób) Wyznczmy współczynnik kierunkowy prostej AB. yb ya xb xa 4 ( ) ( )

13 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Trójkąt ABC jest prostokątny, więc prost BC (oznczon n rysunku literą l ) jest prostopdł do prostej AB. Oznczmy przez współczynnik kierunkowy prostej l, ztem Wyznczmy równnie prostej l. l : y x b 4 b b 7 l : y x 7 Wyznczmy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostej l i k. y x 7 y x 8 x 5 y C (5, ) Obliczmy długości odcinków AB orz BC. Obliczmy pole trójkąt Rozwiąznie (II sposób) ABC. AB ( ( )) (4 ( AB 5 AB 5 5 BC (5 ) ( BC ( P ABC P ABC BC ) 4) AB BC 5 P ABC Punkt C leży n prostej k o równniu y x 8, więc istnieje tk liczb m R, że C ( m, m 8). Trójkąt ABC jest prostokątny, więc AB BC AC )) ( ( )) (4 ( )) ( m ) (m 8 4) ( m ) (m 8 ) 5 m m 9 4m 48m 44 m m 5 4m 4 4m 8m 49

14 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Obliczmy długości odcinków AB orz BC. Obliczmy pole trójkąt ABC. C (5, ) AB ( ( )) (4 ( AB 5 AB 5 5 BC (5 ) ( BC ( P ABC P ABC BC ) 4) AB BC 5 P ABC )) Schemt ocenini (I sposób) Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjący wyznczy współczynnik kierunkowy prostej AB ( ). Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zdjący wyznczy równnie prostej l : y x 7. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zdjący wyznczy współrzędne punktu C (5, ). Rozwiąznie pełne... 4p. Zdjący wyznczy pole trójkąt ABC ( P ). ABC Schemt ocenini (II sposób) Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjący zpisze, że punkt C leżący n prostej y x 8 m współrzędne np.: ( m, m 8), gdzie mr orz AB BC AC. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zdjący zpisze równnie ( ( )) (4 ( )) ( ) (m 8 4) ( m ) (m 8 ) m. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zdjący wyznczy współrzędne punktu C (5, ). Rozwiąznie pełne... 4p. Zdjący wyznczy pole trójkąt ABC ( P ). ABC

15 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Zdnie 4. (-5) Pole czworokąt ABCD przedstwionego n rysunku wynosi 8. Wyzncz obwód tego czworokąt, jeśli AB BC x, i ADC. BAD 75 Rozwiąznie Zuwżmy, że odcinek AC dzieli czworokąt ABCD n dw trójkąty prostokątne: trójkąt ABC, w którym i BCA 45, trójkąt ADC, w którym i ADC. ABC 9, ACD 9, BAC 45 DAC Wyznczmy długość odcink AC w zleżności od x: sin 45 BC AC x AC, więc AC x Wyznczmy długość odcink DC w zleżności od x: DC tg AC DC x, więc DC x Wyznczmy pole trójkąt ABC w zleżności od x: P ABC AB BC PABC x Wyznczmy pole trójkąt ACD w zleżności od x: P ACD P ACD AC CD x x PACD x

16 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Wyznczmy pole czworokąt ABCD w zleżności od x: Wyznczmy wrtość x: P ABCD P ABCD P ABC x P ACD x P ABCD x x 8 x 8 x x, więc x. Wyznczmy wszystkie długości boków czworokąt ABCD. Wyznczmy obwód czworokąt ABCD. AB BC, DC DC sin AD AD AD 4 Obw ABCD Obw ABCD 4 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjący podzieli czworokąt n dw trójkąty prostokątne i zpisze miry kątów w tych trójkątch, zpisze pole trójkąt ABC w zleżności od x: PABC x, zpisze długość odcink AC w zleżności od x: AC x.

17 Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zdjący zpisze długość odcink: AC x orz zpisze pole trójkąt ABC : zpisze długości odcinków AC i DC : AC x, x DC. PABC x, Pokonnie zsdniczych trudności zdni... p. Zdjący zpisze równnie pozwljące obliczyć wrtość x, np.: 8 x zpisze pol trójkątów w zleżności od x: PACD x i PABC x orz zpisze długość odcink AD x. Rozwiąznie prwie pełne... 4p. Zdjący wyznczy wrtość x orz zpisze, że AD x. Rozwiąznie pełne... 5p. Zdjący obliczy obwód czworokąt: Obw. Uwg. ABCD. Jeżeli zdjący popełni błąd rchunkowy przy obliczeniu długości x i konsekwentnie do wyznczonej błędnej wtości doprowdzi rozwiąznie do końc, to otrzymuje z cłe rozwiąznie 4p.. Jeżeli zdjący nie oblicz wrtości liczbowej x i zpisze, że obwód czworokąt wynosi x x, to otrzymuje z cłe rozwiąznie p. Obw ABCD