Parada nierówności. Marcin Fryz. 15 czerwca a + b 2. ab 2. a + b + c. 3 abc. (2)

Transkrypt

1 Prd nierównośi Mrin Fryz 5 zerw 0 Rozgrzewk Udowodnić, że dl dowolnyh nieujemnyh liz,,, d zhodzą:, () () Dowód Pierwszą nierówność w () możemy podnieść równowżnie do kwdrtu i zstosowć wzór skróonego mnożeni: Co oznz, że jest prwdziw ( ) 0 Kolejn nierówność jest łtwiejsz zwinięie jest ntyhmistowe: ( ) 0 Sprwne oko dostrzeże ez prolemu, że podstwiją w niej nowe zmienne :=, :=, otrzymmy osttnią nierówność, woe zego również i on jest prwdziw Nierówność () jest już nieo trudniejsz wymg pewnego spostrzeżeni i mgiznej tożsmośi Njpierw jednk ustlmy nowe zmienne: = x, = y, = z, x, y, z 0, dzięki zemu pierwistek trzeiego stopni zniknie i dostniemy przyjemniejszą postć: x y z xyz Wróćmy terz do wspomninyh wześniej spostrzeżeń Zuwżmy przede wszystkim, że prwdziw jest tożsmość: Pondto zhodzi nierówność: x y z = (x y z)(x y z xy yz zx) xyz

2 x y z xy yz zx Korzystją z tyh fktów, możemy przejść do dowodu: ( (x y) (y z) (z x) ) 0 x y z xyz = (x y z)(x y z xy yz zx) Pierwszy nwis jest nieujemny, poniewż jest sumą trzeh liz nieujemnyh Drugi nwis, jk wześniej wykzliśmy, również jest nieujemny Ilozyn dwóh liz nieujemnyh też jest nieujemny, wię nsz dowód zostł zkońzony, tym smym nsz rozgrzewk doiegł koń Zpiszmy woe tego pewne uogólnienie: Nierówność między średnimi Dl dodtnih liz,,, n zhodzą nstępująe nierównośi: n n n n Dowód Udowodnijmy njpierw nierówność Cuhy ego-shwrz: Dl dowolnyh nieujemnyh liz,,,,, n, n zhodzi: n n n n ( n)( n) ( n n ) () Dowód sprowdz się do prostego zstosowni zsdy indukji zupełnej Dl n = mmy równość, zyli tez dził W kroku indukyjnym ustlmy: n = A, n = B, n n = C, n =, n = Mmy udowodnić: (A )(B ) (C ) AB A B C C Korzystją z złożeni indukyjnego i nierównośi między średnimi dl dwóh liz (o udowodniliśmy już wześniej), możemy zpisć zleżnośi: AB C orz A B AB C Sumują je stronmi, dostjemy tezę Przyjmijmy terz w () = = = n =, podzielmy stronmi przez n, nstępnie spierwistkujmy Otrzymliśmy nierówność pomiędzy średnią kwdrtową i rytmetyzną By udowodnić nierówność między średnią rytmetyzną i geometryzną, podnieśmy ją stronmi do potęgi n i zlogrytmujmy Przyjmie on postć: ( ) n ln ln ln n n ln n Jest to prwdą n moy nierównośi Jensen dl funkji wklęsłej f(x) = ln x, o końzy dowód Zmieńmy ponownie zmienne, minowiie podstwmy i := i dl kżdego i =,,, n Po przeksztłenih dostniemy nierówność pomiędzy średnią geometryzną i hrmonizną

3 Ćwizenie Udowodnić, że jeśli,, > 0, to: Rozwiąznie Nierówność t, zwn nierównośią Nesitt, jest dość populrn Głównym tego powodem jest fkt, że dowieść jej możn nwet n dwdzieśi istotnie różnyh sposoów! Przedstwię trzy z nih Ustlmy zmienne pomonize: x =, y =, z = Wówzs: = xz y, = xy z, = yz x i po prostyh przeksztłenih dostjemy: ( x y y x) ( y z z y ) ( z x x ) 6 z Stosują do kżdego nwisu nierówność między średnią rytmetyzną i geometryzną, otrzymujemy tezę Jest to njrdziej znny dowód Okzuje się jednk, że w przypdku tej nierównośi dził prktyznie kżd metod Dltego wrto ją znć, o łtwo n niej ćwizyć Pokżę terz inne rozwiązni Zpiszmy lemt, który ntyhmist zkońzy dowód: Możemy wię wykonć tkie szownie: Ale przeież: ( 9 9 ( ) 0 ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) = ) Wię dowód zostł zkońzony jeszze szyiej Osttni dowód wykorzystuje inny, lez równie efektowny, lemt: Mnożą przez minowniki, dostjemy równowżnie: 5 Ale z nierównośi o średnih możemy zpisć: 5 = 5 i podonie: 5 Sumują te nierównośi stronmi, dostjemy żądny lemt Możemy woe tego szowć: = Dowód zostł wię zkońzony

4 Kilk przydtnyh podstwień Złóżmy, że mmy udowodnić nierówność: przy złożeniu: =, gdzie lizy,, są dodtnie Wówzs sprw jest dość prost wystrzy zpisć nierówność między średnimi: i korzystją z: =, otrzymujemy to, o hemy Jednk nie zwsze jest to tkie proste Jko przykłd może posłużyć nierówność: Udowodnić, że dl nieujemnyh liz,, spełniąjyh zleżność =, zhodzi: ( ) ( ) ( ) Rozwiąznie W tkih sytujh njzęśiej szukmy podstwieni, które sprwi, że pozędziemy się niewygodnego złożeni Łtwo się domyślić, że jeśli mmy = to istnieją tkie lizy dodtnie x, y, z, że = x y, = y z, = z x By udowodnić, że tkie lizy istnieją, wystrzy podć ih przykłd Łtwo widć, że x =, y =, z = istotnie spełniją to złożenie Podstwmy wię nowe zmienne do nszej nierównośi Po przeksztłenih dostniemy: x(x y)(x z) y(y x)(y z) z(z x)(z y) 0 () Nierówność t jest symetryzn ze względu n zmienne x, y, z, wię możemy złożyć x y z Przeksztłćmy ją nieo: x(x y)(x z) y(y x)(y z) z(z x)(z y) = (x y) (x y z) z(z x)(z y) Poniewż odpowiednie skłdniki sumy po prwej stronie są nieujemne, nierówność zhodzi, to końzy dowód Przyjrzyjmy się terz innym zdniom: Nieh dodtnie lizy x, y, z spełniją zleżność: xy yz zx xyz = Udowodnić, że wówzs: x y z (x y z) Rozwiąznie Możemy ozywiśie wylizyć z złożeni z i otrzymć nierówność dwóh zmiennyh, którą, yć może, ud nm się rozwiązć Nie ędzie to jednk ni sprytne, ni wygodne Poptrzmy n złożenie ono njrdziej odstrsz, wię wrto z nim oś zroić Po hwili refleksji możemy zpisć je w posti: xy yz zx xyz = x x y y z z = Wprowdźmy zmienne: = x x, = y y, = z z Mmy wówzs = Lizą x, y, z z tk otrzymnyh równośi, dostjemy: x =, le zgodnie z złożeniem = mmy: =, zyli x = = i podonie: y =, z = Znleźliśmy wię podstwienie n tk rdzo nieprzyjemnie wyglądjąą równość! Wróćmy wię do nierównośi, wykorzystują nsze odkryie: ( )

5 Tez wynik z łtwyh do udowodnieni nierównośi:,, Trudno oprzeć się wrżeniu, że te ułmki rdzo przypominją nierówność Nesitt Przypomijmy ją Mmy udowodnić, że: Nieh ztem: = x, = y, = z Z wzesniejszyh rozwżń wiemy, że tkie lizy x, y, z spełniją równość: xy yz zx xyz = Wystrzy wię udowodnić: x y z Przypuśćmy nie wprost, że tk nie jest, zyli x y z < Korzystją z nierównośi xy ( ) yz zx (xyz), dostjemy zleżność xy yz zx < Pondto z xyz < xyz mmy xyz < Dodją otrzymne nierównośi stronmi, wnioskujemy, że xy yz zx xyz <, o stoi w sprzeznośi z złożeniem Dowód zostł wię zkońzony Nieh lizy dodtnie x, y, z ędą tkie, że: xy yz zx xyz = Udowodnić, że: x y z xy yz zx Rozwiąznie Kolejne dziwne złożenie Jesteśmy jednk ogtsi o doświdzeni z poprzedniego zdni, wię możemy pokusić się o zpisnie złożeni w innej posti: xy yz zx xyz = x y y z z x z y z = I woe poprzedniego zdni wnioskujemy, że istnieją tkie lizy dodtnie,,, które spełniją zleżnośi: x =, y =, z = Nierówność x y z xy yz zx jest wię równowżn nierównośi: Po wyzyszzeniu minowników otrzymujemy: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Czyli tk nprwdę: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0, to jest nierówność () - udowodniliśmy ją wześniej! Udowodnij, że jeśli,, są dowolnymi lizmi rzezywistymi różnymi od zer, to zhodzi nierówność: ( ) ( ) ( ) ( ) 5

6 Rozwiąznie Skłdniki posti dość mono rzują się w ozy, wię możemy podejrzewć, że podstwienie = x, = y, = z, doprowdzi ns do rozwiązni Istotnie, jest to njlepsz drog do sukesu Po hwili zuwżmy, że nowe zmienne spełniją zleżność: x y z = xyz Udowodnić mmy nierówność: x y z xyz Lew stron nierównośi jest nieujemn, wię wystrzy rozwżyć sytuję, gdy xyz < 0 Pondto nierówność jest symetryzn ze względu n zmienne x, y, z, wię możemy jeszze złożyć, że x, y > 0 > z = xy xy Ponownie podstwmy nowe zmienne: s = x y, p = xy Nsz nierówność sprowdz się do posti: p p p(p ) s p s Złóżmy, że p jest ustlone Wówzs lew stron nierównośi jest funkją rosnąą ze względu n zmienną s Zuwżmy jednk, że z nierównośi o średnih zhodzi s = xy xy = p Wystrzy wię udowodnić nierówność: p p (p ) p Czyli innymi słowy polizyć kres dolny funkji zdnej równniem: f(t) = t t (t) Łtwo widć, t że f (t) = t t 7t Pondto możemy złożyć, że t > 0, o gdyy yło inzej, to wrją t (t) do pierwotnyh oznzeń, otrzymliyśmy sytuję: = =, dl której nierówność stje się trywiln Przyrównują pohodną do zer, możemy stwierdzić, że f (t) = 0 t t 7t = 0 (t )(t )(t ) = 0 Złożyliśmy jednk, że t > 0, wię wnioskujemy, że t = Rysują wężyk widzimy, że istotnie dl t = przyjmowne jest minimum i jest to minimum glolne Pozostje polizyć wrtość funkji dl tego rgumentu Rzezywiśie, mmy: f( ) = ( ) ( ) ( ) = Co końzy rozwiąznie zdni 5 Nieh,, ędą tkimi lizmi dodtnimi, że = Udowodnić, że: Rozwiąznie Nierówność t m n elu pokznie, że nie zwsze trze stosowć podstwieni, y osiągnąć sukes Pokżę w tym elu dw różne dowody W pierwszym z nih pomnóżmy prwą stronę nierównośi przez = Do udowodnieni dostjemy: 6

7 Zpisują terz trzy nierównośi między średnimi, otrzymujemy: = 6 I podonie: 6, 6 Sumują te nierównośi stronmi i dzielą przez 6, otrzymujemy tezę Inny dowód opier się n wykorzystniu lemtu: ln Którego dowód pozostwim jko proste ćwizenie n wykorzystnie pierwszej pohodnej Korzystją z lemtu, możemy zpisć: ln ln ln Ale przeież ln ln ln = ln = ln = 0, wię logrytmy znikją i dowód zostje zkońzony Do domu Udowodnić, że jeśli,, > 0 orz =, to: 8 i Udowodnić, że jeśli,, > 0, to: Udowodnić, że jeśli,, > 0 orz =, to: 9 ( ) i Udowodnić, że jeśli,, > 0 orz = ( ), to: 5 Udowodnić, że jeśli,, > 0, to: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Czy nierówność pozostnie prwdziw, gdy stł zostnie zmienion przez? 7