Józef Borowsi Metody iterpolacji widma i metoda LIDFT w estymacji parametrów sygału wieloczęstotliwościowego Oficya Wydawicza Politechii Wrocławsiej Wrocław 0
ecezeci yszard MAKOWSKI Tomasz ZIELIŃSKI Opracowaie redacyje Alia KACZAK Koreta Agata KACZAK Projet oładi Marci ZAWADZKI Wszelie prawa zastrzeżoe. Żada część iiejszej siążi, zarówo w całości, ja i we fragmetach, ie może być reproduowaa w sposób eletroiczy, fotograficzy i iy bez zgody wydawcy i właściciela praw autorsich. Copyright by Oficya Wydawicza Politechii Wrocławsiej, Wrocław 0 Oficya Wydawicza Politechii Wrocławsiej Wybrzeże Wyspiańsiego 7, 50-370 Wrocław http://www.oficya.pwr.wroc.pl e-mail: oficwyd@pwr.wroc.pl ISBN 978-83-7493-595- Druaria Oficyy Wydawiczej Politechii Wrocławsiej. Zam. r 477/0.
Drogim odzicom Mamie Logiie i Tacie Ludwiowi z wyrazami głęboiej wdzięczości
Spis treści Wyaz wybraych ozaczeń i termiów... 7 Wprowadzeie... 0. Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego... 0.. Model sygału, dysretoczasowa i dysreta trasformata Fouriera... 0.. eumeracja próbe....3. Podstawowe właściwości oie czasowych... 3.4. Oa czasowe z bazą osiusową... 33.5. Oa czasowe I lasy ife a Viceta... 38.6. Estymacja widma DFT i DtFT sygału załócoego szumem... 4.7. Metoda uzupełiaia zerami... 44. Metody iterpolacji widma... 48.. Wprowadzeie... 48.. Estymacja parametrów sygału wieloczęstotliwościowego załócoego szumem... 50.3. Iterpolacja fucjami uiwersalymi... 59.4. Iterpolacja dla oa prostoątego... 60.5. Iterpolacja dla oie z bazą osiusową... 6.6. Metoda MWIDFT... 64.6.. Wprowadzeie... 64.6.. Metoda 3-putowej iterpolacji MWIDFT... 65.6.3. Metoda 5-putowej i 7-putowej iterpolacji MWIDFT... 67.6.4. Metoda (J + )-putowej i (L + 3)-putowej iterpolacji MWIDFT... 69 3. Metoda liiowej iterpolacji DFT... 73 3.. Założeia metody liiowej iterpolacji DFT (LIDFT)... 73 3.. Liearyzacja widma sygału oraz algorytm LIDFT... 74 3.3. Przezaczoe dla metody LIDFT parametrycze oo czasowe... 78 3.4. Uzupełiaie zerami w metodzie LIDFT... 84 4. Metoda LIDFT jao iterpolacja z zastosowaiem pary oie czasowych... 9 4.. Wprowadzeie... 9 4.. Iterpretacja aprosymacji widma oa czasowego fucjami liiowymi... 93 4.3. Alteratywa aprosymacja widma oa czasowego fucjami liiowymi... 98
6 4.4. Zmiejszeie ieciągłości aprosymacji widma oa czasowego fucjami liiowymi... 0 4.5. Aprosymacja oręgu jedostowego wieloątem metodą ajmiejszych wadratów... 09 4.6. Alteratywa aprosymacja oręgu jedostowego wieloątem... 6 4.7. Miimalizacja błędów aprosymacji oręgu jedostowego i dobór parametrów aprosymacji... 0 4.7.. Wprowadzeie... 0 4.7.. Miimalizacja części rzeczywistej błędu aprosymacji... 0 4.7.3. Miimalizacja części urojoej błędu aprosymacji... 3 4.7.4. Miimalizacja różicy argumetów... 7 4.7.5. Zares ajorzystiejszych wartości parametrów aprosymacji... 3 4.8. Liiowe rówaie macierzowe metody LIDFT... 34 4.9. Iterpretacja liiowego rówaia macierzowego metody LIDFT... 37 4.0. Metoda LIDFT jao metoda iterpolacji widma z zastosowaiem pary oie czasowych... 39 4.. Przyład zastosowaia metody LIDFT w estymacji sygału wieloczęstotliwościowego... 4 4.. Błędy systematycze metody LIDFT dla sygału złozoego z wielu oscylacji... 48 4.3. Błędy systematycze metody LIDFT dla sygału złożoego z dwóch oscylacji... 5 4.4. Błędy metody LIDFT dla sygału załócoego szumem... 60 4.5. Dodate: wybrae zależości matematycze do rozdziału 4... 70 Podsumowaie... 73 Literatura... 76 Streszczeie w j. agielsim... 86
Wyaz wybraych ozaczeń i termiów Defiicja sygału wieloczęstotliwościowego sygał wieloczęstotliwościowy sygał będący sumą iezależych oscylacji siusoidalych oscylacja siusoidala sładowa sygału o postaci A si( t ) m m m j t m m oscylacja zespoloa sładowa sygału o postaci B e oscylacja oscylacja (w srócie): siusoidala lub zespoloa w zależości od otestu A m, m, f, m m amplituda, pulsacja, częstotliwość i faza m-tej oscylacji siusoidalej sygału wieloczęstotliwościowego ( m,..., K) B m, m, f m amplituda zespoloa, pulsacja i częstotliwość m-tej oscylacji zespoloej sygału wieloczęstotliwościowego ( m,..., P) K liczba sładowych siusoidalych sygału P liczba sładowych oscylacji zespoloych sygału yt () ciągły sygał wieloczęstotliwościowy Próbowaie, oo czasowe i uzupełiaie próbami zerowymi f s, T częstotliwość próbowaia i ores próbowaia: fs / T y próbi sygału mierzoego w (lub h, g ) dysrete wartości oa czasowego wt () ciągła fucja oa czasowego N liczba próbe y uzysaych w procesie próbowaia 0,..., N umeracja aturala wielości y, w
8 N /,..., N / umeracja symetrycza (względem 0 ) wielości y, w m częstotliwość uormowaa oscylacji w bi: m m f NT M liczba wszystich próbe po uzupełieiu N próbe y próbami zerowymi rotość uzupełiaia zerami: M/ N x przesalowaa wartość : x / N lub x / M Widmo sygału f częstotliwość w Hz częstotliwość uormowaa w bi: f NT F( ), F dysretoczasowa trasformata Fouriera (DtFT) dla częstotliwości uormowaej W ( ) dysretoczasowa trasformata Fouriera (DtFT) oa F( ), F, F i czasowego w w fucji (widmo oa) dysreta trasformata Fouriera (DFT) sygału j / N W N współczyi obrotu DFT: WN e B, (lub B i, i ) parametry sładowej oscylacji położoej w widmie w otoczeiu -tej (lub i-tej) wartości obliczoego DFT; w zależości od metody spełioy jest jede z waruów rówań: (.), (3.8), (3.9), (4.90) (4.9), (4.60) bi jedosta częstotliwości uormowaej: f NT w bi db/oct. decybele a otawę: jedosta oreślająca asymptotycze achyleie amplitudowej charaterystyi widmowej Uiwersala otacja matematycza j e{ z }, Im{ z } max ab, z, max ab, z Ex, E[ x ], E( x ), var x, var[ x ], x x x jedosta urojoa: j część rzeczywista i część zespoloa wyrażeia z wartość masymala wyrażeia z względem a, b wartość oczeiwaa zmieej losowej x wariacja zmieej losowej x odchyleie stadardowe zmieej losowej x
9 C x ograiczeie Craméra ao dla odchyleia stadardowego zmieej losowej x 0 C B, 0 C, 0 C, 0 C ograiczeie Craméra ao odchyleia stadardowego estymatorów amplitudy, pulsacji, częstotliwości i fazy dla przypadu jedej oscylacji zespoloej C ograiczeie Craméra ao odchyleia stadardowego estymatora częstotliwości dla przypadu sygału złożoego z dwóch oscylacji zespoloych p( x ) fucja gęstości prawdopodobieństwa jedowymiarowej zmieej losowej x p( x ) łącza gęstość prawdopodobieństwa wielowymiarowej zmieej losowej x N(, ) rozład ormaly o wartości oczeiwaej i wa- riacji ŷ estymator (przybliżeie) wartości y y błąd bezwzględy estymatora ŷ : y yˆ y y błąd względy estymatora ŷ : y y/ y ( yˆ y)/ y błąd determiistyczy błąd wyzaczoy w modelowaiu determiistyczym błąd losowy błąd wyzaczoy w modelowaiu statystyczym a, A wetor, macierz I macierz jedostowa 0 macierz o wszystich elemetach rówych 0
Wprowadzeie Obece przetwarzaie daych zarówo w systemach pomiarowych, austyczych, wizyjych, teleomuiacyjych, ja i wielu iych dziedziach techii odbywa się z użyciem cyfrowego przetwarzaia sygałów (DSP Digital Sigal Processig). Przetwarzaie jest poprzedzoe owersją sygału aalogowego a sygał cyfrowy. Wyia to z fatu, że przeważająca więszość sygałów otaczającej as rzeczywistości geerowaa i opisaa jest w sposób aalogowy, ja p. zmiaa temperatury, ciśieia, apięcia, atężeia prądu, pola itp. Najistotiejsze jest to, że człowie będący odbiorcą iformacji z otaczającej go rzeczywistości odbiera je w sposób aalogowy, bo ta sostruowae są jego zmysły (wzrou, słuchu, dotyu, węchu, smau). W długim procesie podporządowaia otaczającej go rzeczywistości stworzył owy wirtualy świat cyfrowy. W te sposób przyzwyczaił się do słuchaia muzyi zapisaej w sposób cyfrowy, oglądaia świata obrazów zapisaych w postaci cyfrowej i odtwarzaia iesończoej gamy wrażeń smaowych i zapachowych wytwarzaych w sposób cyfrowy ( iteligety os i sma ), co podytowae było oieczością elimiacji wszystich iedogodości, jaie sygał aalogowy powoduje w techice przetwarzaia i podczas pomiaru. W tym procesie iteracji człowiea ze stworzoym światem cyfrowym omuiuje się o za pomocą coraz to dosoalszych tworów ludziego umysłu dotyczących przetwarzaia aalogowo-cyfrowego i cyfrowoaalogowego. To w świecie wirtualej cyfry człowie przełamuje swoje ograiczeia dotyczące szybości reacji jego zmysłów i ich czułości oraz szybości i doładości przetwarzaia iformacji. W tej przestrzei realizowae są rówież tezy iiejszej pracy, ie jesteśmy bowiem w staie za pomocą swoich zmysłów dooywać precyzyjej separacji i aalizy ałożoych a siebie sygałów siusoidalych. Niemiej waża jest oieczość automatyzacji taiej aalizy. Stąd też zares i treść iiejszej pracy wompoowuje się w coraz bardziej rozbudoway świat cyfrowy stworzoy przez człowiea, aby sprawiej i łatwiej się z im otatować. Przetwarzaie zaś w sposób cyfrowy zmieości (w fucji czasu, odległości lub iej wielości fizyczej) zmierzoego (przetworiiem aalogowo-cyfrowym) sygału pozwala a uzysaie szczegółowych iformacji o obiecie będącym źródłem tego sygału i ma luczowe zaczeie w badaiach podstawowych w różych dzie-
Wprowadzeie dziach aui, w diagostyce (medyczej, urządzeń techiczych, progozowaiu pogody czy atastrof aturalych), w automatyce i robotyce, teleomuiacji itd. Istote jest rówież to, że wiele zjawis w otaczającym as świecie ma charater oscylacji wyrażoych w postaci fucji siusoidalej są to oscylacje mechaicze, austycze, eletrycze i ie, ja p. opisujące ruch wahadła, pojedyczy to muzyczy, drgaia uładu rezoasowego. Cechą otaczającego as świata jest więc wyjątowe wyróżieie fucji siusoidalej, tóra jest rozwiązaiem odpowiediego rówaia różiczowego opisującego podstawowe oscylacje mechaicze, austycze i ie. W pratyce ajczęściej występują drgaia złożoe, tóre są wyiiem złożeia się wielu oscylacji o charaterze siusoidalym. Właściwości zjawis zachodzących w przyrodzie spowodowały, że sygał będący sumą siusoid jest jedym z ajważiejszych rodzajów sygałów fizyczych i eletroiczych, arzędzie matematycze go opisujące trasformata Fouriera ważym arzędziem aalizy taich sygałów, a estymacja parametrów taiego sygału jest zagadieiem mającym luczowe zaczeie w wielu dziedziach życia. I choć obece apliacje DSP orzystają iejedorotie z coraz owszych trasformacji matematyczych, to zalety trasformaty Fouriera pozostają dalej atuale, a jej rozwiięcia umożliwiają uwzględieie dodatowych zjawis, ja p. iestacjoarości sygału (p. wyorzystujące tzw. rótooresową trasformatę Fouriera). Wymagaia dotyczące doładości estymacji taich sygałów stale zwięszają się, co powoduje, że oiecze jest dosoaleie dotychczasowych metod estymacji. Niiejsza praca dotyczy zwięszeia doładości estymacji parametrów taiego właśie sygału złożoego (często oreślaego w literaturze azwą wieloczęstotliwościowy ) i defiiowaego w sposób możliwie ajszerszy (ie ależy utożsamiać go z sygałem oresowym, tóry jest tylo szczególym jego przypadiem). Sygałem wieloczęstotliwościowym (multifrequecy sigal) oreśla się w iiejszej pracy sygał złożoy z sumy wielu sładowych siusoidalych, z tórych ażda charateryzuje się, w sposób iezależy od pozostałych, trzema parametrami: częstotliwością, amplitudą i fazą. Szczególym przypadiem jest p. sygał oresowy, w tórym częstotliwości olejych harmoiczych są całowitą wielorotością częstotliwości podstawowej sygału. Jeśli do taiego sygału (p. sygału trójątego) dodaa zostaie siusoida o częstotliwości iebędącej całowitą wielorotością sygału oresowego, to oprócz jego harmoiczych (harmoics) pojawi się w widmie tzw. sładowa iterharmoicza (iterharmoic) lub subharmoicza (subharmoic). Może być też ta, że sygał ie zawiera żadego sygału oresowego, a jedyie sumę wielu siusoid o dowolych częstotliwościach, geerowaych przez iezależe źródła sygału. Tai właśie ajogóliej zdefiioway sygał azywamy w iiejszej pracy sygałem wieloczęstotliwościowym i obejmuje o rówież szczególe przypadi, ja p. sygały oresowe. Potrzeba oreślaia parametrów sładowych siusoidalych sygału wieloczęstotliwościowego występuje w wielu dziedziach techii [08, 3] w przetwarzaiu
Wprowadzeie sygałów dźwięowych mowy i muzyi (austya, przetwarzaie mowy), radarowych i soarowych (meteorologia, oceaografia), eletryczych (badaie jaości eergii eletryczej), drgań mechaiczych (mechaia, sejsmologia), biomedyczych, optyczych (przetwarzaie obrazów), radiowych (radioastroomia) itp. Oczywiście ie zawsze sygały taie modeluje się sygałem wieloczęstotliwościowym [, 6, 0, 4, 7,, 4 44, 64, 73, 99, 34, 55, 8, 90 9], ale tai model zajduje swoje istote i szeroie zastosowaie. Z oczywistych względów oiecze jest rówież założeie, że użyteczy sygał wieloczęstotliwościowy może być sażoy załóceiami (szumem), ja to jest zawsze w pratyczych zastosowaiach, a przetwarzaie sygału odbywa się za pomocą jego cyfrowego przetwarzaia po uprzedim spróbowaiu w systemie z przetworiiem aalogowo-cyfrowym (A/C) []. Istieje wiele metod wyzaczaia (estymacji) parametrów sładowych oscylacji (czyli parametrów siusoid: częstotliwości, amplitudy i fazy) [08, 3, 5]. Jedą z ich jest metoda wyzaczeia widma za pomocą trasformaty Fouriera [0, 9, 35 38, 79, 9, 9] ajczęściej szybim algorytmem FFT (Fast Fourier Trasform), tóra musi być często uzupełioa o dodatowe przetwarzaie uzysaego widma, aby uzysać wymagaą w wielu zastosowaiach doładość estymacji. Jedą z ważych metod tego dodatowego przetwarzaia w dziedziie częstotliwości są metody iterpolacji widma [ 7,,, 8 39, 47 6, 64, 67 7, 78, 80, 85, 88 90, 9, 95, 98, 99, 0, 03, 07, 0, 5 8, 0, 4, 7, 8, 30, 34, 39, 4, 4, 44 48, 50, 5, 55, 56, 60, 6, 63, 65, 73, 77, 87 89]. Należy a wstępie wyjaśić, dlaczego widmo taiego sygału uzysae za pomocą trasformaty Fouriera jest istotie zieształcoe, co jest powodem stosowaia metod iterpolacyjych. Putem wyjścia są wzory defiiujące szereg i trasformatę Fouriera (rys. a, b). Sończoy czas pomiaru (oo czasowe) powoduje przejście do ciągłej trasformaty Fouriera z ograiczeiem graic całowaia (rys. d), próbowaie sygału powoduje przejście do dysretoczasowej trasformaty Fouriera (DtFT Discretetime Fourier Trasform) (rys. f), a obliczeie próbe w ściśle oreśloych putach DtFT powoduje przejście do dysretej trasformaty Fouriera (DFT Discrete Fourier Trasform) (rys. h). Wymieioe modyfiacje wyjściowych zależości są ieuiioe: oo czasowe wyia z oieczości sończoego czasu pomiaru, próbowaie sygału z oieczości zastosowaia przetworia A/C i próbowaie umerycze widma DtFT z oieczości zaończeia obliczeń w sończoym czasie. Operacje te zieształcają widmo sygału. ozpatrzmy p. widmo sygału siusoidalego o amplitudzie jedostowej i zerowej fazie. Słada się oo z dwóch prążów (jede dla częstotliwości dodatiej i sprzężoy do iego dla częstotliwości ujemej), poieważ siusoida jest sumą dwóch sprzężoych ze sobą oscylacji zespoloych zdefiiowaych przez wzór Eulera wiążący fucję siusoidalą z zespoloą fucją wyładiczą (rys. c).
Wprowadzeie 3 ys.. Od defiicji przeształceia Fouriera (a, b) przez oleje jej modyfiacje (d, f) do wyzaczaej w pratyce trasformaty DFT (h) i widmo siusoidy (c) po olejych przeształceiach (e, g, i, j)
4 Wprowadzeie Zastosowaie oa czasowego powoduje rozmycie widma tzw. przecie widma (rys. e), zastosowaie próbowaia sygału powoduje, że widmo staje się oresowe, zmieiając tym samym ształt i wprowadzając w ażdym oresie widma jego powieleie (i możliwość zieształceia przez tzw. aliasig) (rys. g), a próbowaie umerycze widma DtFT powoduje, że widmo zae jest tylo dla wybraych wartości. Jeśli próbowaie jest sychroicze (oherete), to loale masimum DFT porywa się z loalym masimum DtFT (rys. i), a jeśli próbowaie jest iesychroicze (ieoherete), to loale masimum DFT ie porywa się z loalym masimum DtFT (rys. j). Sychroiczość próbowaia ozacza tutaj sychroiczość czasu pomiaru z oresem sładowej siusoidalej, tz. czas pomiaru jest wówczas całowitą wielorotością tego oresu. Sychroiczość dla ażdej sładowej sygału wieloczęstotliwościowego moża zapewić tylo dla wąsiej lasy sygałów wieloczęstotliwościowych, tj. dla sygałów oresowych (bez iterharmoiczych), gdy czas pomiaru jest całowitą wielorotością oresu sładowej podstawowej. Aby jeda w taim przypadu zacząco zmiimalizować zjawiso przecieu widma w obliczaym DtFT (DFT), sychroiczość ta musi być spełioa z dużą doładością (ooło 0 5 ) dla ażdej(!) harmoiczej ze względu a dużą stromość fucji opisującej sładową w widmie (rys. i, j) w putach, dla tórych przyjmuje oa wartość rówą zeru. Taie próbowaie sychroicze moża zapewić dla specjalych przypadów (p. gdy dyspouje się sygałem zegarowym sorelowaym z badaym obietem lub możliwy jest pomiar oresu lasyczymi metodami, a sygał jest stacjoary) poprzez odpowiedi dobór częstotliwości próbowaia i liczby wszystich próbe (w sposób sprzętowy, p. [76] z wyorzystaiem DPLL cyfrowej pętli PLL) lub poprzez iterpolację sygału w dziedziie czasu i poowe programowe repróbowaie sygału [45, 46, 76, 96, 6] w celu spełieia waruu sychroiczości (w ajprostszym przypadu moża uwzględić tylo część próbe [65, 55]). Jedaże dla sygału wieloczęstotliwościowego, zdefiiowaego a wstępie w zaczie szerszym zaczeiu, metody próbowaia sychroiczego ie są sutecze. Przedstawioe a rysuu trzy efety: przecie (leaage) widma spowodoway oem czasowym, lustrzae powieleie (możliwość aliasigu) oraz dysrety charater widma wyiowego DFT spowodoway umeryczym próbowaiem widma ciągłego DtFT, w różym stopiu utrudiają iterpretację widma i estymację parametrów sygału wieloczęstotliwościowego. Dlatego też stosuje się róże metody przeciwdziałające tym efetom. W celu zmiejszeia przecieu widma stosuje się oa czasowe ie iż prostoąte (lub dla wąsiej lasy sygałów próbowaie sychroicze), aby zapobiec zjawisu aliasigu stosuje się aalogowy filtr atyaliasigowy a wejściu przetworia A/C, gwaratujący spełieie waruów twierdzeia o próbowaiu i aby zwięszyć precyzję wyzaczaia loalego masimum DtFT stosuje się metody iterpolacji widma a bazie sąsiedich próbe DFT.
Wprowadzeie 5 Oo czasowe, ie iż prostoąte, powoduje, że amplitudy boczych gasących fragmetów widma, tzw. listów boczych (sidelobes) (widoczych a rys. i, j) maleją, zmiejszając ich wpływ a widmo sąsiedich sładowych, a poszerza się cetrala część widma sładowej oscylacji, tzw. liste główy (mailobe), co zmiejsza rozdzielczość częstotliwościową aalizy (gdyż poszerzoy liste główy może zieształcić widmo sąsiediej sładowej, jeśli będzie oa dostateczie bliso). Im więsze jest tłumieie listów boczych, tym bardziej poszerza się liste główy i tym bardziej wzmaciay jest szum w widmie DtFT (DFT). Koieczy jest więc ompromis podczas doboru oa czasowego (między polepszeiem pewych parametrów i pogorszeiem iych) i wyorzystaie w tym celu dodatowych iformacji o systemie pomiarowym, sygale mierzoym i poziomie załóceń [9, 5 7, 74, 9, 94,, 9, 33, 49, 54, 6, 86]. Przecie widma, pochodzący od sładowej sprzężoej (wyiającej z wzoru Eulera) oraz od iych sładowych siusoidalych, oreślay jest jao log-rage leaage w odróżieiu od rozmycia lista główego short-rage leaage. Podczas estymacji parametrów widma daej sładowej ajczęściej stosuje się taie oo czasowe, aby stłumić przecie log-rage do pomijalego poziomu, a ształt przecieu short-rage wyorzystuje się do oreśleia loalego masimum DtFT. Masimum to wyzacza z olei parametry aalizowaej sładowej siusoidalej, z doładością ograiczoą przez log-rage leaage, szumy w widmie i doładość stosowaych przybliżeń iterpolacyjych. Ta rozumiaa iterpolacja widma DFT jest więc dalszym przetwarzaiem widma (obliczoego ajczęściej za pomocą jedego z algorytmów FFT) i ajczęściej podczas aalizy daej oscylacji sładowej uwzględia się iewielą (w stosuu do całego widma) liczbę próbe widma DFT. Pierwsze opisae w literaturze wzory iterpolacyje [, 9, 5] poprawiały zacząco wyii estymacji parametrów sładowych oscylacji przy założeiu brau iterferecji sąsiedich sładowych (log-rage leaage) osztem stosuowo iewielich aładów obliczeiowych, co w połączeiu ze stosowaiem algorytmu FFT czyiło całe przetwarzaie szybim, choć miej doładym od iych metod estymacji parametrów sygału (w dziedziie czasu bądź częstotliwości). Z czasem metody iterpolacji stały się doładiejsze, uwzględiając rówież przecie widma od iych sładowych oscylacji [5, 8, 70], ale osztem bardziej złożoych wzorów, a tym samym zwięszeia liczby oieczych obliczeń. Te aturaly tred (więsza doładość osztem więszej liczby obliczeń) jest reompesoway zaczącym zwięszeiem możliwości obliczeiowych współczesych arzędzi cyfrowego przetwarzaia sygałów, ja p. procesorów sygałowych czy techi omputerowych w ogólości. Próbowaie widma ciągłego DtFT w lasyczy sposób prowadzi do dysretego przeształceia Fouriera (DFT), tóre jest operacją bezstratą (jeśli pomiąć sończoą doładość przeprowadzaych obliczeń), tz. obliczając odwrote dysrete przeształceie Fouriera (IDFT) moża otrzymać pierwote próbi sygału w dziedziie
6 Wprowadzeie czasu. Przeształceie DFT daje w wyiu tyle samo próbe widma zespoloego, ile jest próbe sygału poddaych trasformacie, a więc z roiem bi a osi częstotliwości uormowaej (względem odwrotości czasu pomiaru). Doładiejsze obliczeie widma, a więc z roiem miejszym iż bi, bez dodatowych założeń o sygale, umożliwiają metody ieparametryczej iterpolacji widma [77, 93, 94], z tórych ajważiejsze to: metoda iterpolacji przez dodaie próbe zerowych a ońcu sygału i obliczeie DFT ta uzupełioych daych, czyli tzw. metoda uzupełiaia zerami (zero paddig), iterpolacja przez decymację, trasformata chirp-z, trasformata WDFT (warped DFT, frequecy warpig). Jedyie dwie pierwsze z tych metod są w pełi odwracale (rówież metoda przez decymację przy dodatowych waruach dotyczących ograiczeia pasma sygału), a poadto różią się oe dyamią uzysaego widma. Żada z tych metod ie zmiejsza jeda problemów wyiających z przecieu widma, a jedyie może staowić swego rodzaju lupę powięszającą wyzaczającą (z różą doładością i w różym zaresie częstotliwości) próbi ciągłej DtFT z sygału pomożoego przez oo czasowe. Podreślmy wyraźie te fat w oteście jedej z ajważiejszych właściwości prezetowaej w rozdz. 3 i 4 metody liiowej iterpolacji DFT (LIDFT) polegającej a tym, że oprócz fucji odpowiedio rozumiaej lupy powięszającej reduuje oa wpływ przecieu widma a wyii estymacji w stosuu do wymieioych metod. Metoda uzupełiaia zerami jest stosuowo wymagająca co do aładów obliczeiowych, tóre moża jeda zmiejszyć, elimiując admiarowe operacje związae z przetwarzaiem próbe zerowych (pruig FFT) [84, 86, 00, 47, 64, 69, 7]. Pruig FFT umożliwia rówież wyzaczaie tylo wybraych części widma DFT. Uzupełiaie zerami w obliczaiu DFT jest często stosowae przede wszystim w aparaturze pomiarowej (oscylosopy cyfrowe, aalizatory widma) w celu uzysaia efetu lupy powięszającej dla obliczaego widma, a taże w celu zapewieia waruu dotyczącego liczby próbe sygału dla trasformaty FFT, gdy liczba próbe otrzymaych z przetworia A/C ie spełia tego waruu. Metoda uzupełiaia zerami ie zalazła jeda szerszego uzaia w dotychczasowych metodach precyzyjej estymacji parametrów sygału wieloczęstotliwościowego ze względu a to, że przy zwięszoych wymagaiach obliczeiowych zmiejsza oa jedyie błąd spowodoway dysretym charaterem widma DFT, ie zmiejszając błędu spowodowaego efetem przecieu widma od iych sładowych (log-rage). Przedstawioa w rozdz. 3, 4 iiejszej pracy metoda liiowej iterpolacji dysretego przeształceia Fouriera (LIDFT) uwzględia w swojej rozszerzoej wersji metodę uzupełiaia zerami w sposób umożliwiający zmiejszeie błędów estymacji spowodowaych zarówo przez dysrety charater DFT, ja i przez przecie log-rage, a współczese arzędzia cyfrowego przetwarzaia sygałów, p. procesory sygałowe [4, 75, 5], oraz stosowaie szybiego algorytmu FFT (w tym jego wersji pruig) częściowo reompesują zwięszoe wymagaia obliczeiowe.
Wprowadzeie 7 Widmo DtFT (DFT) jest w pratyczych sytuacjach załócoe szumem zawartym w sygale mierzoym, załóceiami wprowadzaymi przez filtr atyaliasigowy i przetwori A/C i błędami obliczeń spowodowaymi zastosowaiem arytmetyi stało- lub zmieoprzeciowej o sończoej precyzji. Całość załóceń sygału mierzoego modeluje się w ajprostszy sposób, załadając, że jest to losowe załóceie addytywe o rozładzie ormalym o zerowej wartości średiej, założoej wartości wariacji i rówomierym rozładzie mocy w widmie (szum biały). Taie podejście, stosowae przez różych autorów do ocey właściwości statystyczych różych metod (czyli ich odporości a szum załócający), pozwala a porówaie różych metod między sobą, a taże porówaie z potecjalie ajlepszą metodą, tóra jest możliwa do uzysaia dla założoych parametrów pomiaru, wyiającą z twierdzeia (ograiczeia) Craméra ao. Bardziej dołade aalizy załóceń woszoych przez sam pomiar dotyczą: doładości stosowaej arytmetyi [4], filtrów atyaliasigowych [80, 8], ale przede wszystim zagadień związaych z przetworiiem A/C, taich ja: rozład i moc szumu watowaia [7], drżeie oresu próbowaia (timig jitter) [4, 70, 85], ieliiowość przetwarzaia [09]. W przypadu gdy szum watowaia jest domiującym załóceiem w widmie DtFT (DFT), wówczas doładość stosowaego przetworia A/C może być czyiiem pierwszoplaowym w doborze stosowaego oa czasowego. W rozdziale pierwszym iiejszej pracy zawarto formale defiicje sygału, parametrów próbowaia, trasformaty DtFT i DFT. Zamieszczoo w im rówież zagadieia związae z oami czasowymi w zaresie oieczym do późiejszego opisu metod iterpolacyjych, ze szczególym uwzględieiem oie I lasy ife a Viceta, tóre pełią ważą rolę w metodach iterpolacji widma. Wyjaśioo też w im podstawowe zagadieia związae z wpływem szumu a widmo sygału i przedstawioo szerzej metodę uzupełiaia zerami, ze względu a rolę, tórą pełi oa w omówioej późiej metodzie liiowej iterpolacji dysretego przeształceia Fouriera (LIDFT). Srótowe omówieie dostępych obecie metod iterpolacji widma zawarto w rozdziale drugim, a w rozdziale trzecim zawarto omówieie dotychczasowego rozwoju metody LIDFT [48 6]. Główym wyiiem iiejszej pracy jest przedstawioe w rozdziale czwartym uogólieie dotychczas opracowaej przez autora metody LIDFT do postaci, tóra zacząco zwięsza jej efetywość i doładość. Przyładowe udoumetowae zastosowaia lub aalizy dotyczące możliwości apliacji opisaych w pracy metod iterpolacji DFT: badaie rozchodzeia się dźwięu w atmosferze [64], pomiar częstotliwości oresowych sygałów złożoych (p. zmodulowaych), dla tórych pomiar metodami lasyczymi (p. przez wyrywaie zbocza arastającego) zawodzi [5], pomiar drgań mechaiczych [56],
8 Wprowadzeie pomiar mocy sygału i wartości suteczej [9, 3, 7, 8], pomiar różicy fazy i wzmocieia dla systemów dwuaałowych (tj. dwóch sygałów o tej samej częstotliwości) [6], obliczaie początowych parametrów dla doładiejszych iteracyjych metod ieliiowych w celu zapewieia ich zbieżości i zmiejszeia liczby iteracji [3, 44], pomiar parametrów sygału austyczego w uładzie dwóch, bliso siebie położoych, mirofoów [63], pomiary podstawowe w fizyce, p. watowych oscylacji adprzewodiów [07] czy oscylacji betatroowych wiąze cząste elemetarych wielich eergii [7, 89, 90, 73], pomiar częstotliwości załóceia w systemie jego reducji [98], badaie parametrów przetworiów A/C [7, 9, 39, 4], separacja iterharmoiczych i sygału oresowego z sygału będącego ich sumą [88], estymacja parametrów sygału zmodulowaego PSK [99], pomiar grubości warstwy szła z wyorzystaiem wiązi laserowej [95]. Niiejsza praca dotyczy wybraej grupy metod estymacji parametrów sygału wieloczęstotliwościowego, jaą są metody iterpolacji widma DFT, do tórych ależy rówież metoda LIDFT. Warto jeda wspomieć o iych metodach estymacji parametrów taiego sygału [08, 3, 5, 58, 9], tóre moża podzielić a ila grup: metodę Proy ego i jej modyfiacje, metody modelowaia trasmitacyjego (A Autoregressive, MA Movig Average, AMA połączeie A i MA) i metody deompozycji macierzowych, tzw. metody podprzestrzei (Pisarei, MUSIC Multiple Sigal Classificatio, EV Eigevector, MN Miimum Norm, ESPIT Estimatio of Sigal Parameters via otatioal Ivariace Techiques, PC Pricipal Compoet i i.). Podae grupy metod różią się ujęciem matematyczym. W metodzie Proy ego dopasowuje się próbi sygału do zespoloego modelu espoecjalego, w metodach trasmitacyjych modeluje się trasmitację uładu liiowego odpowiadającą widmu sygału, a metody podprzestrzei bazują a właściwościach macierzy autoorelacji sygału. Pomimo wymieioej różicy w ujęciu matematyczym, podae grupy metod są często prezetowae wspólie [08, 5, 58, 9], gdyż szczegółowa aaliza matematycza poazuje duże podobieństwo dla części z tych metod. Przyładowo w [08] stwierdza się, że metoda Proy ego i metoda owariacyja jest idetycza; w [58], że metoda PC (Pricipal Compoet) jest rozszerzoą wersją metody Proy ego ajmiejszych wadratów, a w [9], że metoda Proy ego ależy do grupy modelowaia trasmitacyjego. W podstawowej metodzie Proy ego liczba estymowaych siusoid jest rówa połowie liczby próbe sygału, co jest podstawową wadą tej metody. Wady tej pozbawioe są owsze wersje metody Proy ego [5]: ajmiejszych wadratów, ajmiejszych wadratów z wstępą filtracją, z wstępym filtrem adaptacyjym i z zastosowaiem deompozy-
Wprowadzeie 9 cji macierzy według wartości osobliwych (SVD Sigular Value Decompositio). Wszystie oe mają dwie istote wady: miimalizoway błąd średiowadratowy ie porywa się z błędem średiowadratowym defiiowaym w estymacji optymalej ML (Maximum Lielihood) oraz wyzaczeie częstotliwości sładowych sygału wymaga zajdowaia zer wielomiau wysoiego rzędu dla dużej liczby sładowych w sygale. W metodach podprzestrzei estymowae częstotliwości sładowych oscylacji oblicza się a podstawie odpowiediego estymatora częstotliwościowego, a estymator te bazuje a aalizie wartości własych macierzy autoorelacji. Częstotliwości sładowych oscylacji oblicza się w ich poprzez wyzaczeie loalych masimów estymatora. Dla ietórych z tych metod, m.i. metody Pisarei, moża rówież wyzaczyć częstotliwości podobie ja w metodzie Proy ego, tj. obliczając zera odpowiediego wielomiau. W metodach opartych a właściwościach macierzy autoorelacji ie ma możliwości estymacji fazy sładowych sygału wieloczęstotliwościowego. Porówaie metod iterpolacji widma i pozostałych metod parametryczej aalizy sygału wieloczęstotliwościowego wsazuje a róży zares ich zastosowaia [56]. Metody iterpolacji widma DFT są metodami szybimi (wyii uzysiwae są ajczęściej szybim algorytmem FFT uzupełioym o obliczeia wzorami iterpolacyjymi), ale z powodu przecieu widma uzysiwae są miejsze doładości, a podstawowym ograiczeiem jest fat, że miimala odległość między sładowymi w widmie jest ajczęściej wielorotie więsza od rozdzielczości Fouriera (czyli bi a osi częstotliwości uormowaej). ozszerzoe wersje metody Proy ego i metody bazujące a właściwościach macierzy autoorelacji są doładiejsze, ale wymagają więszych aładów obliczeiowych. Poadto metody te umożliwiają estymację sładowych sygału, dla tórych miimala odległość między sładowymi jest wielorotie miejsza iż w metodach iterpolacji widma, a ietóre z ich (m.i. MUSIC, ESPIT) są metodami o dużej rozdzielczości z miimalą odległością między sładowymi zacząco miejszą iż rozdzielczość Fouriera ( bi) [74 76]. Pragę serdeczie podzięować ierowiowi Katedry Metrologii Eletroiczej i Fotoiczej Politechii Wrocławsiej Pau prof. dr. hab. iż. Jauszowi Mroczce za cee uwagi oraz życzliwe i wytrwałe zachęcaie i mobilizowaie do apisaia iiejszej pracy. Autor
. Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego.. Model sygału, dysretoczasowa i dysreta trasformata Fouriera Załadamy, że celem pomiaru jest estymacja parametrów oraz m sygału yt () opisaego zależością: A m, f, π m m f m K yt () Amsi( mtm) (.) m tj. będącego sumą sończoej liczby oscylacji siusoidalych, z tórych ażda charateryzuje się amplitudą A m, częstotliwością f (pulsacją m m ) i fazą m. ówaie (.) moża zapisać w postaci: P t y() t B z (.) m j m gdzie: Bm ( Am/) e j m, zm e *, P K, BPm Bm, * zpm zm. Wsute spróbowaia sygału yt () z częstotliwością próbowaia f / T ( t t T, 0,..., N ) otrzymuje się N próbe sygału y, a (.) przyjmuje wówczas postać: P P jπ fmt jπ m/ N ( ) m m m m y y t T B e B e m m (.3) gdzie m f m NT (w jedostach bi) uormowaa częstotliwość, a B m zespoloa amplituda m-tej oscylacji zespoloej Be jπ m / N m. Dysretoczasową trasformatę Fouriera (DtFT) dla próbe sygału y pomożoych przez próbi oa czasowego w defiiuje się zależością: s
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego N F F( ) y w e (.4) 0 jπ / N f NT (w jedost- z tórej wyzacza się widmo dla częstotliwości uormowaej ach bi). DtFT może być wyrażoa przez zależość: P m gdzie W ( ) DtFT zastosowaego oa czasowego F( ) BmW( m) (.5) N 0 jπ / N w : W( ) w e (.6) Zależość (.5) ozacza, że widmo dysretoczasowej trasformaty Fouriera jest sumą rozmytych sładowych (o ształcie fucji W ( ) zależej od użytego oa czasowego) umieszczoych a osi częstotliwości uormowaej w putach odpowiadających częstotliwościom oscylacji zespoloych m i pomożoych przez amplitudy tych oscylacji B m zgodie z modelem sygału z (.3). Poieważ zmiea we wzorze (.4) jest ciągła (jedyie czas jest dysrety stąd azwa dysretoczasowa trasformata Fouriera), w pratyce oiecze jest obliczaie F( ) dla sończoego zbioru wartości, a podstawie tórych wyzacza się parametry B m oraz m sygału wieloczęstotliwościowego za pomocą metod iterpolacji widma. Szczególym tego przypadiem jest wyzaczeie dysretej trasformaty Fouriera (DFT), czyli wyzaczeie F( ) ze wzoru (.4) dla całowitych wartości 0,..., N : N F F( ) y w e 0 jπ / N, 0,..., N (.7) Widmo to jest ajczęściej obliczae jedym z algorytmów FFT, z tórych ajbardziej zay jest algorytm typu radix-, dla tórego liczba próbe poddawaych trasformacie Fouriera jest rówa całowitej potędze liczby ( N r ). Ozaczoo -tą wartość ta obliczoego widma (z próbe y w tworzących N-elemetowy zbiór { yw} yw,, y w ) jao FFT { yw } : N 0 0 N N N N jπ / N yw N ywe, 0,..., N 0 FFT { } (.8)
ozdział jπ / N Ze względu a oresowość fucji e (z oresem N ) obliczoe wartości F wyzaczają widmo dla wartości całowitych in: F in F. Trasformata DFT zdefiiowaa przez (.7) ie jest jedyą możliwością obliczaia próbe widma DtFT. Najczęściej stosuje się: DFT według wzoru (.7) uzysuje się N próbe widma DtFT z zaresu 0,..., N [bi] (co odpowiada zaresowi f 0,..., f ( N ) / N [Hz]), a więc N próbe doładie jedego oresu DtFT w celu ich obliczeia ajczęściej jest stosoway algorytm szybiej trasformaty Fouriera (FFT), tóry jest szybim sposobem liczeia DFT [63, 8, 9, 9, 9]. Algorytm Goertzela stosoway, gdy zachodzi potrzeba obliczeia tylo jedej wartości DtFT dla dowolego rzeczywistego (moża rówież go stosować do obliczeia ilu lub więcej putów widma przez odpowiedie powieleie tego algorytmu) [75, 5, 35, 9, 9]. Techia uzupełiaia zerami (rozdz..7) [9, 9]. Iterpolacja przez decymację, tóra staowi lupę powięszającą dla wybraego ciągłego pasma częstotliwości z obliczoymi wartościami widma rówomierie odległymi a osi częstotliwości [93]. Trasformata chirp-z (CZT, algorytm świergotowy) oblicza widmo dla putów z wycia spirali (z jedaowym odstępem ątowym) przybliżającego wycie oręgu jedostowego [8, 8, 35, 43, 57, 9, 9]. Trasformata WDFT (warped DFT) oblicza widmo dla putów ierówomierie rozmieszczoych a oręgu jedostowym, a socetrowaych w pobliżu wybraego putu tego oręgu, tóry jest zdefiioway przez parametr trasformaty (warpig parameter) [87,, 84], Pierwsza z tych metod jest podstawowym sposobem obliczaia widma sygału, a ażda z pozostałych może być tratowaa jao ieparametrycza metoda iterpolacji widma. Za przyład podao (rozdz..7) metodę uzupełiaia zerami. Jest oa rówież stosowaa w metodzie LIDFT (rozdz. 3, 4). s.. eumeracja próbe Jeżeli liczba próbe N jest parzysta, a próbi sygału y i próbi oa czasowego w ozaczymy idesami N /,..., N / (umeracja symetrycza), zamiast 0,..., N (umeracja aturala), to dla wielu oie defiiujące je rówaia są prostsze [94]. Prostsze jest rówież wyprowadzeie metody LIDFT [48 6], co zastosowao rówież w iiejszej pracy. Nie wprowadzoo osobych ozaczeń dla
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego 3 rozróżieia obu sposobów idesowaia czasu, poieważ wyia o jedozaczie z zaresu idesu przy zau sumowaia. Wówczas (.4) ma postać DtFT ja dla sygału przesuiętego w czasie o NT / ( N / próbe): N / F F( ) y w e (.9) N/ jπ / N a (.6) jest DtFT oa przesuiętego w czasie o NT / ( N / próbe) i ma postać: N / W( ) w e (.0) N/ jπ / N Wartości obliczae z (.4) i (.9) oraz (.6) i (.0) są związae zależościami: N/ N jπ / N jπ jπ / N ywe e ywe N/ 0 (.) N/ N jπ / N jπ jπ / N we e we N/ 0 (.) Aby uiąć możeia przez czyi y w,..., y w N/ N/ N/ N/ ciąg 0 N pierwszej i drugiej połowy próbe: jπ e, moża utworzyć z ciągu { z } { z,..., z } przez zamiaę miejscami { z } { z,..., z } { y w,..., y w, y w,..., y w } (.3) 0 N 0 0 N/ N/ N/ N/ Wówczas zamiast (.) zachodzi: N/ N jπ / N jπ / N ywe ze N/ 0 (.4) W te sposób moża obliczyć widmo zdefiiowae przez (.9), orzystając z jedego z algorytmów FFT i obliczając widmo z (.8) bez oieczości możeia przez jπ czyi e. Aalogicze przestawiaie próbe może być stosowae w metodzie uzupełiaia zerami w celu podobego uproszczeia obliczeń (rozdz..7)..3. Podstawowe właściwości oie czasowych Najważiejsze oa czasowe i ich właściwości, zaczyając od oa prostoątego, są astępujące:
4 ozdział Oo prostoąte dla umeracji aturalej zdefiiowae jest zależością: w, dla 0,..., N (.5) i rówież w dla umeracji symetryczej, a dla czasu ciągłego odpowiediiem (.5) jest: wt (), dla t [0, t'] (.6) Widmo DtFT oa otrzymujemy z zależości (.5) i (.6) oraz zależości a sumę szeregu geometryczego: N j π / π j π j π j π j N e e e e jπ / N jπ / N jπ / N jπ / N 0 e e e e W( ) e DN ( ) (.7) gdzie DN ( ) jest jądrem (fucją) Dirichleta N-putowej DFT (aliasowaą fucją sic) [9]: jπ ( N)/ N si(π ) DN ( ) e (.8) si(π / N ) Ciągła trasformata Fouriera dla oa prostoątego (.6) wyosi (dla ft ' ): t ' jπ ft (.9) 0 W( ft') e dt D( ) gdzie D( ) jest jądrem Dirichleta ciągłej trasformaty Fouriera w przedziale [0, t '] : jπ si(π ) D( ) t' e (.0) π Fucja DN ( ) jest fucją oresową z oresem N (oresem miaowia (.8)), a fucja D( ) jest fucją ieoresową. Widmo oa prostoątego przyjmuje wartość masymalą dla 0 oraz zeruje się dla całowitych wartości (różych od zera), poieważ: D N N dla 0 ( ) 0 dla,,... (.) t' dla 0 D ( ) 0 dla,,... (.)
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego 5 Dla oreśleia podobieństwa wzorów (.8) i (.0) moża wyorzystać astępujące wzory: π ( )/ si(π ) π si(π ) lim j N N e e j (.3) N Nsi(π / N) π e e si(π ) si(π ) e, dla N oraz N (.4) Nsi(π / N) π j π ( N )/ N j π si(π ) si(π ) e, dla N oraz N (.5) Nsi(π / N) π j π ( N )/ N j π ( N )/ N Zależości (.3), (.4) ozaczają, że w pratyczych sytuacjach ( N ) liste główy oa prostoątego wyzaczoego przez DtFT w iewielim tylo stopiu zależy od N, a jego ształt z dużą doładością moża przybliżyć fucją D( ), tj. fucją sic(π ). To przybliżeie polepsza się ze wzrostem liczby próbe N. W doładiejszych aalizach moża użyć przybliżeia iepełego (.5), ale doładiejszego. Widmo oa prostoątego defiiuje tzw. rozdzielczość Fouriera DtFT, azywaą też rozdzielczością ayleigha, tóra pierwotie została zdefiiowaa dla obrazów dyfracyjych w optyce. Mówi oa, że dwie sładowe widmowe są rozróżiale, jeśli w widmie masimum jedej wypada w miimum drugiej. Dla dwóch siusoid o jedaowej amplitudzie wyosi oa /( NT ), czyli rozdzielczość F Fouriera DtFT w jedostach częstotliwości uormowaej wyosi: bi (.6) F ozdzielczość bezwzględa F /( NT ), wyrażoa w Hz, polepsza się ze wzrostem czasu pomiaru rówego ( N ) T NT. W pratyce, jeśli ie stosuje się dodatowych obliczeń, rozróżialość dwóch sładowych oscylacji w widmie DtFT jest miej orzysta. Po pierwsze ze względu a stosowaie oa iego iż prostoąte (co poszerza liste główy), po drugie ze względu a to, że amplitudy sładowe ajczęściej różią się i to zacząco, i po trzecie rozdzielczość pogarsza się dla sygału załócoego szumem. Wielość ze wzoru (.6) ależy więc tratować jao orietacyją wartość odiesieia, a w szczegółowych aalizach moża sorzystać z wprowadzoej przez Harrisa [94] miimalej rozdzielczości BW (esolutio Badwidth), zdefiiowaej jao wartość 6dB, dla tórej amplituda lista główego stosowaego oa czasowego ma wartość o 6dB miejszą od wartości masymalej. Współczyi BW wyosi od, bi (dla oa prostoątego) do o.,6 dla typowych oie z [94].
6 ozdział Oo Haiga dla umeracji aturalej jest zdefiiowae zależością: w π π cos si, dla 0,..., N N N, (.7) a dla umeracji symetryczej wzorem: π π w cos cos N N, dla N /,..., N /, (.8) Moża prosto wyzaczyć ze wzorów (.6), (.7), (.8) oraz (.7), że widmo oa Haiga: W( ) 0,5 D ( ) 0,5[ D ( ) D ( )] (.9) N N N co ozacza, że trasformata tego oa jest sumą (z wagami 0,5 i 0,5) trzech odpowiedio przesuiętych a osi częstotliwości fucji Dirichleta (trasformat oa prostoątego), dając dwurotie poszerzoy liste główy i stłumioe listi bocze w stosuu do oa prostoątego. Poadto obwiedia listów boczych opada zacząco szybciej (8 db/oct) iż dla oa prostoątego (6 db/oct). Z fatu liiowości trasformaty Fouriera oraz wzoru (.9) wyia, że po obliczeiu DFT sygału (.) z zastosowaiem oa prostoątego (widmo F( )) moża uzysać widmo z zastosowaiem oa Haiga (widmo F H ( ) ), stosując wzór: H F( ) 0,5[ F ( ) 0,5( F ( ) F ( ))], (.30) tóry ozacza pratyczą implemetację odpowiediości możeia w dziedziie czasu dysretego ze splotem dysretym w dziedziie częstotliwości. Na podstawie (.8), (.4), (.9) oraz zależości: si(π( )) si(π )cos(π ) cos(π )si(π ) ( ) si(π ), (.3) dla 0,,,... otrzymuje się aalitycze przybliżeie widma oa Haiga [9]: N jπ si(π ) W( ) e π dla N oraz N (.3) Oo Haiga jest szczególie często stosowae w taiej, omercyjej aparaturze pomiarowej (oscylosopy, aalizatory widma, mierii jaości eergii), poieważ ma bardzo orzystą cechę obliczeiową, tóra wyia ze wzoru (.30). Polega oa a możliwości realizacji obliczeń wg tego wzoru a procesorze stałoprzeciowym, gdyż oprócz operacji dodawaia i odejmowaia występuje tylo możeie przez wartość 0,5, co uzysuje się przez przesuięcie liczby stałoprzeciowej zapisaej w odzie
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego 7 uzupełieia do dwóch o bit w prawo a to ozacza zmiejszeie osztów (tańszy procesor). Poadto oo Haiga, biorąc pod uwagę szeroość lista główego i parametry listów boczych, jest oem uiwersalym w wielu zastosowaiach, co predestyuje je do uiwersalej aparatury pomiarowej. Oo Haiga jest szczególym przypadiem oie z bazą osiusową (szerzej omówioych w rozdz..4) oraz szczególym przypadiem oie lasy I ife a Viceta (rozdz..5). Oo Haiga może być też tratowae, ze względu a postać p wzoru (.7) bądź (.8), jao przypade oie parametryczych si (π / N ), bądź p cos (π / N ) dla p [94]. Oo trójąte dla umeracji aturalej jest zdefiiowae przez: w /( N /) dla 0,.., N / wn dla N /,..., N (.33) oraz dla umeracji symetryczej przez: w /( N /) dla N /,..., N / (.34) Po podstawieiu (.33) do (.6) otrzymujemy [94]: jπ siπ / W( ) e N si π / N (.35) Oo trójąte jest przyładem oa o ieujemym widmie, a jego parametry pozwalają go zaliczyć do oie o uiwersalym zastosowaiu. Warue ieujemej trasformaty ozacza: N / jπ / N we 0 (.36) lub N/ N jπ jπ / N jπ 0 e w e e W( ) 0 (.37) Do iych oie o ieujemym widmie zalicza się [94]: oo parametrycze Poissoa, oo parametrycze Haiga Poissoa, oo de la Valle a Poissoa. Oo Hammiga jest oem zdefiiowaym zależością: w 0,54 0,46cos(π / N) dla 0,..., N 0,54 0,46cos(π / N) dla N /,..., N / (.38)
8 ozdział Oo Hammiga jest szczególym przypadiem oie z bazą osiusową (rozdz..4). w Oo Blacmaa jest oem zdefiiowaym zależością: 0, 4 0,50cos(π / N) 0,08cos(4π / N) dla 0,..., N (.39) 0,4 0,50cos(π / N) 0,08cos(4π / N) dla N /,..., N / Oo Blacmaa rówież jest jedym z oie z bazą osiusową (rozdz..4). Oo Kaisera jest optymalizowae dla miimalej szeroości lista główego dla daej masymalej eergii zawartej w listach boczych. Oo Kaisera jest oem parametryczym z parametrem : 0 0 w I ( /( N /)) I ( ), N /,..., N /, (.40) gdzie I 0 ( x ) jest fucją Bessela zerowego rzędu: ( x /) I0( x)! (.4) Oo Dolpha Czebyszewa (oo Czebyszewa, oo Dolpha) jest optymalizowae dla miimalej szeroości lista główego przy daej masymalej amplitudzie lista boczego. W tym sesie jest to oo optymale i adaje się dobrze do aalizy sładowych oscylacji leżących bliso siebie a osi częstotliwości. Oo to jest oem parametryczym z parametrem, tóry oreśla tłumieie masymalego lista boczego [6, 9]: N / w T( cos[ π /( N )])cos[π /( N )] N, N /,..., N / (.4) gdzie: cosh[(/ N)cosh (/ )] (.43) a T ( x ) jest wielomiaem Czebyszewa rzędu : cos( cos x) dla x T ( x) cosh( cosh x) dla x (.44)
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego 9 Postać czasowa (.4) oa Dolpha Czebyszewa jest rzado podawaa w literaturze, ze względu a trudości w pratyczym jej wyorzystaiu. Z tego względu stosowae są aprosymacje zależości (.4). Jedą z ich jest oo II lasy ife a Viceta. Oa II lasy ife a Viceta (II class ife Vicet widows, Taylor two parameter, bar widows) to jeda z aprosymacji oie optymalych Dolpha Czebyszewa zdefiiowaych przez (.4) i, podobie ja przedstawioe oo Haiga, Hammiga, Blacmaa, ależą oe do oie z bazą osiusową (szerzej opisaych w rozdz..4). Współczyii a h olejych fucji bazowych (osiusoidalych) są zdefiiowae dla oa rzędu H jao [5]: gdzie i są parametrami oa: a h H H ( h/ ) h (.45) ( /) h H ( H /) (.46) l[ ], cosh(π ) (.47) π Parametr jest fucją tłumieia pierwszych listów boczych, ale oleje listi bocze mogą mieć więszą amplitudę. Dlatego do ońcowej ocey właściwości tego oa oiecze są wyresy charaterystyi amplitudowej dla daego H [70, 5, 6]. Oa III lasy ife a Viceta (III class ife Vicet widows) to oa o parametrach pośredich pomiędzy parametrami oie ife a Viceta I i II lasy (rozdz..5). Podobie ja I i II lasa są to oa z bazą osiusową, a więc zdefiiowae przez współczyii olejych fucji bazowych (osiusoidalych). Oa te mają iezaczie węższy liste główy iż oa I lasy (co poprawia rozdzielczość częstotliwościową dla sładowych leżących bliso siebie) i iezaczie więsze tłumieie, iż oa II lasy, listów boczych w dużej odległości od lista główego (co jest orzyste przy aalizie sładowych odległych od siebie w widmie). Asymptotycze tłumieie listów boczych wyosi dla tych oie ( H ) db/oct. Tłumieie to jest zacząco więsze iż dla oie II lasy (6dB/oct) i iezaczie miejsze iż oie I lasy (( H )db/oct). Oa te są więc bardziej zbliżoe do oie I lasy iż II lasy [70].
30 ozdział Szczegółowe dae dotyczące wartości współczyiów oraz charaterysty widmowych oie ife a Viceta III lasy moża zaleźć w [, 70, 5, 6]. Najważiejsze parametry oie czasowych są astępujące [94]: Współczyi MLBW (Mai Lobe Bad Width) to pasmo, jaie zajmuje a dodatiej osi częstotliwości uormowaej liste główy charaterystyi amplitudowej oa czasowego: MLBW mi{ : W( ) 0} (.48) Oo prostoąte ma współczyi MLBW rówy, dla pozostałych oie jest o więszy. Szeroość lista główego oa czasowego jest ajczęściej przyjmowaa jao rówa MLBW, ale w pewych sytuacjach przyjmowaa jest jao MLBW. Jest to wówczas pasmo, jaie zajmuje liste główy łączie a dodatiej i ujemej osi częstotliwości uormowaej. Dla precyzyjego rozróżieia moża mówić o jedostroej i dwustroej szeroości lista główego, ale w pratyce w obu przypadach używa się ajczęściej termiu szeroość lista główego, a dołada iterpretacja wyia z otestu jego użycia. Masymala amplituda listów boczych oreśla tłumieie lista boczego o ajwięszej amplitudzie względem wartości masymalej lista główego. Bardzo często jest to pierwszy liste boczy, ale ie zawsze. Szybość opadaia listów boczych (ich wartości masymalych) oreślaa jest ajczęściej w db/oct i wyzacza asymptotycze achyleie amplitudy listów boczych dla waruu. Wraz z masymalą amplitudą listów boczych szybość ta jest ajważiejszym parametrem dotyczącym listów boczych. Współczyi NPSG (Normalized Pea Sigal Gai) jest day wzorem: N NPSG w N (.49) i wyzaczay jest ajczęściej, gdy oo spełia warue ormujący zdefiioway przez rówaie: max w (.50) Współczyi NPSG oreśla wartość, przez jaą trzeba podzielić widmo DtFT (DFT), aby wartość masymala charaterystyi amplitudowej w razie brau przecieu widma była taa sama ja w przypadu zastosowaia oa prostoątego. Wyia 0
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego 3 to bowiem z fatu, że a podstawie (.6) i (.49) zachodzi W(0) N NPSG. Jeśli w jest oem, tóre ie spełia waruu (.50), to moża je przeształcić do oa w, tóre te warue spełia, możąc przez odpowiedią stałą: w w /maxw (.5) Aby uzysae widmo DtFT (DFT) było już wysalowae z uwzględiaiem współczyia NPSG, moża w miejsce (.50) zastosować iy warue ormujący: N w N (.5) 0 a dla oa w iespełiającego tego waruu uzysuje się oo przez zastosowaie rówaia: N 0 w, tóre go spełia w Nw/ w (.53) Dla oa prostoątego NPSG i są spełioe jedocześie warui (.50) i (.5). Współczyi NNPG (Normalized Noise Power Gai) jest zdefiioway jao współczyi NPG (Noise Power Gai) [94] uormoway względem tej wartości dla oa prostoątego [67]: N NNPG w N (.54) Współczyi SL(0,5) (Scallopig Loss) oreśla względy spade amplitudy w odległości 0,5 bi od masimum lista główego: W (0,5) SL(0,5) (.55) W (0) Wartość współczyia SL(0,5) jest związaa z efetem zafalowaia (picet fece effect), tórego azwa wyia z wyresu ształtu lista główego oa czasowego w zaresie [ 0,5; 0,5] bi powtórzoego co bi (rys..) [9]. Zafalowaia te wyzaczają błąd estymacji amplitudy oscylacji w widmie, przy waruu brau iterferecji sładowych oscylacji między sobą, w fucji jej częstotliwości. Dla wartości całowitych -ta próba widma porywa się z loalym masimum DtFT i błąd spowodoway efetem zafalowaia jest zerowy, a dla wartości 0, 5 (dla całowitych) -ta próba widma jest odległa od loalego masimum DtFT o 0,5 bi 0
3 ozdział a) b) ys... Efet zafalowaia (picet fece effect) przyład dla oa: a) prostoątego, b) trójątego i błąd spowodoway efetem zafalowaia jest wówczas masymaly, a jego wartość względa jest zdefiiowaa przez (.55). Błąd te jest ajwięszy dla oa prostoątego i przy wyzaczaiu amplitudy wyosi o. 3,9 db (tj. 36%), a dla iych typowych oie czasowych z [94] zawiera się w przedziale [, db, 0,8 db] (tj. [ %, 9%]). Masymaly błąd przy wyzaczaiu częstotliwości wyosi 0,5 bi, a jego wartość ie zależy od stosowaego oa czasowego. Jedym z główych powodów stosowaia metod iterpolacji widma opisaych w iiejszej pracy, w tym rówież metody LIDFT, jest potrzeba zaczego zmiejszeia błędów spowodowaych właśie przez opisay efet zafalowaia połączoy z fatem wyzacza-
Obliczaie widma sygału wieloczęstotliwościowego 33 ia widma w dysretych putach (w ajmiej orzystej sytuacji w putach o wartościach miimalych rzywej z rys.., tj. dla wartości SL(0,5)). Współczyi ENBW (Equivalet Noise Bad Width) oa czasowego jest zdefiioway jao szeroość pasma idealego filtru doloprzepustowego (o prostoątym module trasmitacji), tóry filtruje z szumu białego taą samą część eergii ja dae oo czasowe. W odiesieiu do częstotliwości uormowaej szeroość ta wyosi [67]: NNPG ENBW [bi] (.56) (NPSG) a po uwzględieiu (.49), (.54), (.56) otrzymujemy [67]: N N ENBW N w w 0 0 (.57) Za pomocą współczyia ENBW moża wyzaczyć stosue sygał/szum, tórym charateryzuje się widmo dysretoczasowej trasformaty Fouriera z zastosowaiem daego oa czasowego. Oo czasowe ie iż prostoąte pogarsza właściwości statystycze uzysaego widma (rozdz..6). Odwrotość współczyia ENBW jest azywaa w [94] współczyiiem PG (Processig Gai). Współczyi PL (worst case Processig Loss) został wprowadzoy w [94] jao heurystycza miara łącząca oceę polepszeia, z zastosowaiem oa iego iż prostoąte, błędu systematyczego spowodowaego efetem zafalowaia i dysretym charaterem widma DFT (i zdefiiowaego przez (.55)) i jedoczesego pogorszeia błędu losowego spowodowaego wzmocieiem szumu w widmie DFT (i zdefiiowaego przez (.57)): PL ENBW (.58) SL (0,5) Poprawość tej miary, wprowadzoej w [94] w sposób ituicyjy, formalie udowodili Offelli i Petri [3, 3]..4. Oa czasowe z bazą osiusową Oa czasowe z bazą osiusową (cosie-class widows, cosie widows, cosie widow family) rzędu ( ) H są defiiowae przez współczyii jego rozwiięcia w sończoy osiusowy szereg Fouriera o H współczyiach: