LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

Podobne dokumenty
LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenia r.

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Lista 1 - Funkcje elementarne

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna MAEW101

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Analiza Matematyczna MAEW101

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

Elementy logiki (4 godz.)

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Indukcja matematyczna

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA I

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30

1. Równania i nierówności liniowe

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

ANALIZA MATEMATYCZNA I

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Pochodna i jej zastosowania

III. Funkcje rzeczywiste

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

Literatura podstawowa

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Transkrypt:

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów. Dla kursu MAT 644 listą uzupełniającą jest lista mgr. J. Pietraszki. Zadania z egzaminów na ocenę celującą z lat poprzednich można znaleźć na stronie Wydziału Matematyki: www.pwr.edu.pl. LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia i wykonywane przekształcenia mają sens. 0.. Przypomnieć kolejność wykonywania działań w wyrażeniach bez nawiasów oraz w wyrażeniach z nawiasami. Obliczyć wartość wyrażenia: 4 + 6 : 8. Wstawić nawiasy tak, aby wartość otrzymanego wyrażenia była równa., b), c) 0. 0.. Uzupełnić i zapamiętać wzory skróconego mnożenia : a + b) =, b) a + b) =, c) a + b)a b) =, d) a + b)a ab + b ) =. Czy można w powyższych wyrażeniach zastąpić b przez b? Co otrzymamy? Uprościć wyrażenia wymierne: a 6ab + b 6a 6b, b) 9 + 6 +, c) a + 8 9 a 4, d) + +, e) + 4 +, f) + 4y + y, g) + + +. 9 9y 4 + 4 + 4 0.. Zapisać wyrażenia w prostszej postaci podając wykorzystywane prawa działań na potęgach n + n+ 4 n, b) ) n+ 8) n, c) n 0.4. Wykonać działania. Wynik zapisać w najprostszej postaci. c) b ay + a 8 9 + a by + b, b) a b + 7 n, d) 9 n+ + n+ ab a b 6 4 ) ), d) b a a + ab + b, 4 4. 0.5. W podanych wyrażeniach usunąć niewymierność z mianownika a b b a a. d) 4 + +, b) n n +, c), n + 5n + 4 4n + a b a b, e) + +, f) n n + n +.

LISTA. na 4 ćwiczenia) Powtórzenie i uzupełnienie wiadomości o funkcjach.. Zdanie logiczne. Forma zdaniowa. Kwantyfikatory. Dla zdań, będących zdaniami logicznymi, podać ich wartość logiczną. 6 4, b) 7 < 0, c) 7 < 0, d) R 7 < 0, e) R {0, } + = +, f) R R y R y = 0... Negacja. Równoważność. Prawa de Morgana dla koniunkcji i alternatywy. Zapisać przy użyciu spójników logicznych i, lub rozwiązanie równania nierówności). Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne spełniają podany warunek. + )y ) = 0, b) + )y ) 0, c) + )y ) > 0, d) 4y < 0, e) a + b a b = 0, f) a + a b + > 0,.. Implikacja. Twierdzenie. Prawo kontrapozycji. A) Prawdziwe jest twierdzenie: Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez, to jest podzielna przez. a + b g) a + b 0, h) a + b 0. a b Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. Na podstawie powyższego twierdzenia podać: warunek wystarczający podzielności przez. Dlaczego nie jest to warunek konieczny? b) warunek konieczny podzielności przez. Dlaczego nie jest to warunek wystarczający? c) Liczba naturalna nie jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? d) Liczba naturalna jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? e) Liczba naturalna nie jest podzielna przez. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o podzielności tej liczby przez? f) Sformułować warunek konieczny i wystarczający podzielności przez. B) Niech, y R. Prawdziwa jest implikacja: Wskazać założenie oraz tezę twierdzenia. > 0 i y > 0) = y > 0). Wiadomo, że α > i β >. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu α ) β + )? A o znaku iloczynu α β? Podać przykłady. b) Wiadomo, że ab > 0. Czy twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczby a? Podać przykłady. c) Wiadomo, że uv 0. Jaki wniosek o liczbach u i v pozwala wyciagnąć twierdzenie?

.4. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów. Zapisać w równoważnej postaci zdania: =, b) = ), 4 R <0 c) n + < M, d) ) n n > n 0 ) = M R n N n ɛ>0 n 0 N n N n + 5 < ɛ..5. Wyznaczyć dziedziny naturalne funkcji.zbadać, która z nich jest parzysta, która nieparzysta, a która nie ma żadnej z tych własności. f) = + 9, b) f) = 6, c) f) =, d) f) = 8..6. Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji liniowej narysowć wykres podanej funkcji. Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) = 4, b) f) = 4, c) f) = + 4 + 4, d) f) = { + dla dla >..7. Przekształcając wykres funkcji y = a naszkicować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) = 4 + 5, b) f) = +, c) f) = 4 4, d) f) = sgn )..8. Przekształcając wykres funkcji y = a lub y = a naszkicować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu zbiór wartości. f) =, b) f) = +, c) f) = ), d) f) = + 4 + + 4 + 4..9. Napisać wzory określające funkcje złożone f g, g f, f f, g g dla podanych funkcji f i g. Naszkicować wykresy funkcji y = fg)) oraz y = gf)). f) =, g) =, b) f) =, g) = 4, c) f) =, g) = +, d) f) =, g) = sgn..0. Zaproponować przedstawienie funkcji złożonych w postaci g h. Czy jest tylko jedna para funkcji g, h takich, że f = g h? f) = + 6, b) f) = 4 +, c) f) = 4 +.

.. Obliczyć log, log 0,0, log log 8, log 5 + 0,5 log 64, log tg π 6, ln e, log, log 5 6, ) log, e ln 0, e ln 0, log log 8... Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne, y) spełniają podany warunek log y = log + log, b) log 0,5 y = log 0,5 + ), c) log y = log + log 0,5... Naszkicować wykresy funkcji f) =, ) b) f) = c) f) = + e, d) f) = e, e) f) = log ), f) f) = log0,5, g) f) = ln, h) f) = ln..4. Rozwiązać równania i nierówności ) ) 5 ) 5 =, 4 b) 4 + 4 = 5 +, c) 5 <, d) log =, e) log + ) log <, f) ln + ln..5. Wyprowadzić wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f. Naszkicować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f) i y = f ). f) = log + ), b) f) =, c) f) =, d) f) = + dla, e) f) = + dla, f) f) =, g) f) = /..6. Wykorzystując okresowość funkcji i koło trygonometryczne obliczyć wartości wyrażeń cos π + sin 4 π, b) sin π + sin π, 6 4 9 c) cos π + cos 6 π, d) sin 9 ) 4 π + cos ) 4 π, e) sin 7 7 π + cos π, f) tg0 π + ctg9 π..7. Udowodnić tożsamości. Określić ich dziedziny. cos = + tg, b) sin = tg + tg, c) cos = tg + tg, d) sin = tg + tg, e) + tg + tg + tg = sin + cos, f) sin 4 + cos 4 = 0,5 sin. cos

.8. Krzywą daną równaniem y = a sinb + c) + d dla ustalonych parametrów a 0, b 0, c, d nazywamy sinusoidą. Uzasadnić, że każda z poniższych krzywych jest sinusoidą i naszkicować ją. y = sin cos, b) y = sin + cos ), c) y = cos..9. Naszkicować wykres funkcji y = f). Odczytać z wykresu okres podstawowy oraz zbiór wartości funkcji. f) = cos + π ), b) f) = sin + sin, c) f) = tg, d) f) = ctgπ)..0. Rozwiązać równania i nierówności. cos = 0, b) sin + π ) =, c) tg =, d) sin + π ) 0, 4 e) cos > 0, f) ctg <... Obliczyć wartości wyrażeń w = arcsin arccos + arctg, jeśli arcctg = π 6 ; b) w = arcsin ) + arccos + arctg, jeśli arccos = π ; c) tg arccos ) ; d) sin arcsin 5 + arcsin 8 ). 7.. Rozwiązać równania wykorzystując funkcje cyklometryczne tg = 5, b) sin =, c) sin = 4, d) cos + π ) = 5, e) cos = 4. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.

LISTA na ćwiczenia) Ciągi liczbowe.. Uzasadnić, że podane ciągi są monotoniczne i ograniczone. a n = e) e n = n n +, b) b n = n n +, c) c n = n!) n)!, d) d π n = sin n +, n + ), f) f n+ n = n + 8 n +, g) g n = + + + +. n.. Korzystając z odpowiedniej definicji granicy ciagu liczbowego, uzasadnić, że n lim n n + =, n + b) lim n n n + 4 = +, c) lim n n +... Uzasadnić, podając odpowiednie przykłady, że poniższe wyrażenia są nieoznaczone 0 0,, 0,,, 0, 0 0..4. Obliczyć granice ciągów liczbowych. a n = n n + 4, b) b n = n + n 8, c) c n = n + n n + 5 n + n +, d) d n = n + ) 8 n 4 + 7) 6, e) e n = n + n + 7 n + 5 + 4n, f) f n = 8n+ + n n+ + n + 4, g) g n = + + + + n n, h) h n = n + 8 n +, i) i n = n + 4n + n +, j) j n = n + n +, k) k n = 9 n + 4 n + 9 n +, l) l n = n 0 n n 9 +, ) n + 4 n+ n m) m n = 7 n 5 n + 9 n+5 ) n + + 4, n) m n =, o) o n =, n + n + ) n + n ) 4n + n+6 n + n ) n p) p n =, r) r n =, s) s n =. n + 5 n 5 n + n.5. Dla danego ciągu a n ) dobrać ciąg b n ) postaci b n = n p lub b n = α n tak, aby ciągi a n ) i b n ) a n były tego samego rzędu. Mówimy, że ciągi a n ), b n ) są tego samego rzędu, jeśli n lim = k, b n dla pewnej liczby dodatniej k.) a n = d) a n = n + 4n +, b) a n = n n + 7, c) a n = n + 9 n +, n +, e) a n n = n 4 n + 5, f) a 4 n+ n n = 5 n+ +. n Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 07, rozdział.

LISTA na ćwiczenia) Granice funkcji. Asymptoty. Funkcje ciągłe.. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki f0) =, b) g0) = 4, c) lim h) =, lim lim f) = +, lim lim g) = 0, lim f) =, lim 0 g) = +, lim h) nie istnieje, lim 0 f) =, lim g) = 0, lim + h) h0), lim f) = π; + g) + nie istnieje; h) = +, h) < 0... Obliczyć granice lim + +, b) lim + e) lim, f) lim + 8, c) lim 4, e, g) lim + + +, 8 d) lim 4, h) lim 0 + + +, sin π i) lim 0, j) lim 0 sin, k) lim +.. Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją lim 0,5 4, b) lim 0 /, tg tg, l) lim π c) lim, d) lim sgnsin ). 0 π cos sin 6..4. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o trzech funkcjach, o iloczynie funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera, o dwóch funkcjach) wyznaczyć granice lim cos, b) lim 0 + sin + sin, c) lim + + cos,.5. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki + sin d) lim. 0 + prosta = jest asymptotą pionową obustronną funkcji f, y = jest asymptotą poziomą w, y = + jest asymptotą ukośną w + ; b) prosta = jest asymptotą pionową lewostronną funkcji g i nie jest asymptotą pionową prawostronną, funkcja g nie ma asymptoty w, g) = ; lim + c) prosta = 0 jest asymptotą pionową obustronną funkcji h, lim h) nie istnieje, 0 lim [h) + ] = 0, lim [h) + ] = 0. +

.6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f. Naszkicować hipotetyczny wykres. f) = 8 + 4, b) f) = 6, c) f) = 8, d) f) = e e, e) f) =, f) f) = cos π..7. Czy można dobrać parametry a, b R tak, aby podana funkcja była ciągła na R. Wykonać rysunek. f) = { + dla < 0 a dla 0, b) f) = { arctg dla a + b dla >, 4 c) f) = dla a dla =, d) f) = + dla a dla = b dla =..8. Uzasadnić, korzystając z twierdzenia Darbou, że równanie ma rozwiązanie we wskazanym przedziale. W przykładach, b), c) uzasadnić jednoznaczność rozwiązania. Podać graficzną interpretację równania. sin =, 0, π ); b) e = ),, ; c) = ln, 0, + ); d) 0 sinπ) = +,, )..9. Uzasadnić, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i wyznaczyć je nie korzystajac z kalkulatora) z błędem nie większym niż 0,5. + 6 =, b) + + + = 0, c) = 4 +. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 07, rozdział i.

POWTÓRKA P.. Naszkicować wykresy funkcji. f) = 4, b) f) =, c) f) = 4 + 7, d) f) =, e) f) =, f) f) = log ), g) f) = + tg, h) f) = cos + π ), i) f) = sin sin, j) f) = ctg ctg, k) f) = π arctg, l) f) = π + arcsin. P.. Wyznaczyć dziedzinę funkcji. f) = + + + 4, b) f) =, c) f) = ln sin, 4 d) f) = 5 log ), e) f) =, f) f) = ln 6 ), g) f) = ctg 4, h) f) = e, i) f) = arcsin ln. π 6arctg P.. Rozwiązać równania i nierówności. ) < + ), b) 4 5 4, c) 8, d) e =, e) >, f) ln <, g) sin + π ) 0, h) cos =, i) tg =. 4 5 P.4. Uzasadnić tożsamość trygonometryczną i podać jej dziedzinę. cos tg + ctg) = sin, b) tg ctg = cos sin, c) sin cos = ctg. P.5. Napisać wzory określające funkcje złożone f g, g f oraz naszkicować ich wykresy. f) = 4, g) =, b) f) = e, g) = +, c) f) = log 0,5, g) = +, d) f) = cos, g) = 0,5, e) f) = sin + π ), g) =, f) f) =, g) =. 4

P.6. Wyprowadzić wzór funkcji odwrotnej do funkcji f. Naszkicować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f) i y = f ). f) = 4, b) f) = +, c) f) = +, d) f) = ln + ), e) f) = + dla, f) f) = + dla. P.7. Uzasadnić, że ciąg a n ) jest monotoniczny od pewnego miejsca) i ograniczony a n = n + n + 4, d) a n = cos b) a n = n + 4 n 5 n, c) a n = n n + )!, π 4n + 7, e) a n = n + 4 n, f) a n = n. P.8. Obliczyć granice ciągów liczbowych: a n = 5n + 4 4n + 5, b) a n = n+ + 6 n 5 4 n n, c) a n = 4n + n 4 n + 4, d) a n = 7 n+4 9 n+7, e) a n = g) a n = + n + + + + n, f) a n = n n + n + 9, n n ) n+ ) + n n, h) a n n =, i) a n = + n n + j) a n = π n e n, k) a n = ) n + 5 5n, n + arctgn + ) + arcctgn, l) a n = ln4n + 5) lnn + ). P.9. Naszkicować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki lim f) =, lim 0 + f) = +, lim f) = +, f jest funkcją nieparzystą; + b) prosta y = jest asymptotą poziomą w, prosta = 0 jest asymptotą pionową obustronną, lim g) nie istnieje, g jest funkcją parzystą; c) lim [h) + ] = 0, lim h nie jest ciągła w punkcie 0 = 0. h) =, lim h) =, lim + h) =, +

P.0. Obliczyć granice funkcji: lim, b) lim 9 + 9 e) i) lim + lim + +, f) lim 4 + sin + π, sin j) lim π π,, c) lim + +, g) lim 4 + k) lim 0 5, d) lim, 9 9 9, h) lim 4 + + ), sin 5 sin 5, l) lim 0 tg4 +. P.. Zbadać, czy istnieją granice: sinπ) lim, b) lim e +, 0 c) lim 0 arcctg, d) lim e ln. P.. Wyznaczyć asymptoty funkcji: f) = e) f) =, b) f) = +, c) f) =, d) f) = 4, 4, f) f) = ln sin, g) f) =, h) f) = +. + ln P.. Czy można dobrać parametry a, b R tak, aby funkcja f była ciągła na R? Obliczyć odpowiednie granice i narysować wykres funkcji f. + dla < f) = b dla = + a + dla >, b) f) = { a + b dla < arctg dla, P.4. Korzystając z twierdzenia Darbou uzasadnić, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie na wskazanym przedziale. Przedstawić graficzną interpretację równania. 4 =, 0,5, ); b) ln =, 0,5, ); c) =,, 0,5); d) = 4,, ). Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04, M.Gewert, Z.Skoczylas, Wstęp do analizy i algebry. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 07.

LISTA 4 na ćwiczenia) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 4.. Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne jednostronne oraz pochodna podanej funkcji we wskazanym punkcie. Naszkicować wykres funkcji. y) = 4, 0 = ; b) f) = sin, 0 = 0; { c) g) = dla sgn, 0 = 0; d) h) = ) dla >, 0 =. 4.. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji f) = α i reguł różniczkowania, obliczyć pochodną funkcji: y = 4 + 4 +, b) y = 5 4 + +, c) y = 4 5 + 7 + ; d) y = 8 9 ) + 6 + 4. 4.. Korzystając z wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu, obliczyć pochodną funkcji: y = e cos, b) y = ln, c) y = sin, d) y = tg arctg, e) y = + +, f) y =, g) y = ln, sin + cos h) y = sin cos. 4.4. Obliczyć pochodną funkcji: y = ln), b) y = 5 ), c) y = sin π ), d) y = arctg 4, e) y = + +, f) y = sin, g) y = cos π ), h) y = cos π. 6 4.5. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y = f) w punkcie 0, f 0 )). Sporządzić rysunek. f) = sin, 0 = 0; b) f) = ctg, 0 =,5π; c) f) = ln ), f 0 ) = 0. 4.6. Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji y = f), która ma podaną własność. f) = ln, styczna jest równoległa do prostej 5 + 5y = 0; b) f) = +, styczna jest prostopadła do prostej y = 0; c) f) =, styczna jest pozioma; + d) f) =, styczna tworzy kąt π z dodatnim kierunkiem osi OX.

4.7. Korzystajac z rózniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia: 4,0, b) ln 0,99, c),0 8,0, d) tg 44.,99 4.8. W wyniku pomiaru długości krawędzi czworościanu foremnego otrzymano,00 ± 0,0 m. Z jakim błędem bezwzględnym i względnym zostaną obliczone: wysokość, pole powierzchni i objętość tego czworościanu? 4.9. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć granice: ln sin π lim )) ln ln + ) ), b) lim, c) lim 0 ctg, d) lim + ln ), e) lim 0 + ln, f) lim π π ) tg. 4.0. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: f) = arctg, b) f) = ln + ), c) f) = arctg, d) f) = ln 4 ). 4.. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji. Naszkicować ich wykresy. y) = 4 4, b) y) = +, c) f) = e, d) g) = ln. 4.. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale: f) =, [0, 5], b) f) = arctg, [0, ], c) f) = sin + sin, [ 0, π ]. 4.. Wyznaczyć dwie liczby dodatnie, których suma jest równa 0, a iloczyn kwadratu pierwszej i trzeciej potęgi drugiej ma wartość największą. b) Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni całkowitej ma największą objętość. c) Firma spedycyjna przyjmuje zlecenie przewozu prostopadłościennych paczek, dla których suma wysokości i obwodu podstawy jest nie większa niż 08 cm. Znaleźć wymiary paczki o kwadratowej podstawie i największej objętości, która może być przesłana za pośrednictwem tej firmy. d) Przez punkt P =, ) poprowadzić prostą tak, aby wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych tworzyła trójkąt o najmniejszym polu. 4.4. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji: + f) =, b) g) = + ) e, c) h) = ln, d) h) = sin sin. Podobne zadania z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 07, rozdział 4, 5, 6.

LISTA 5. na 4 ćwiczenia) Całka nieoznaczona i oznaczona 5.. Korzystając z definicji i wzorów na pochodne podstawowych funkcji odgadnąć funkcje pierwotne F funkcji f: f) =, b) f) = +, c) f) = sin + π ), d) f) = e 4. 5.. Obliczyć całki: 4 + d, d) 4 d, e) g) ctg d, ) ) ) b) d, c) + + d, d, f) h) sin cos d, i) cos cos sin d, 4 sin + π ) ) 6 cos + d. 4 5.. Obliczyć całki stosując odpowiednie podstawienie 4 + d, b) 4 d, c) ) 5 d, ln e) d, f) e d, g) sin cos d, d) h) sin cos d, 4 + 4 + 5 d. 5.4. Obliczyć całki, korzystając z tego, że + d, b) f ) f) + d, c) d = ln f) + C. ln d, d) e e + d. 5.5. Obliczyć całki, stosując wzór na całkowanie przez części e d, b) cos d, c) sin + π ) d, d) ln + ) d, e) ln d, f) ln d, g) arcctg d, h) e sin d. 5.6. Zapisać sumę całkową dla podanej całki oznaczonej. Zastosować równomierny podział przedziału całkowania. Wykorzystać wartość funkcji podcałkowej w prawych końcach podprzedziałów. Korzystając z definicji obliczyć całki z przykładów, b). 0 d, b) d, c) π 0 sin d, d) 0 + d.

5.7. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną, wykonując odpowiedni rysunek. + ) d, b) π sin d, c) e d, d) π ctg d, e) e ln d. 0 0 π 4 e 5.8. Wyznaczyć średnią wartość funkcji f na przedziale [a, b]. Wykonać rysunek. f) = sin, [a, b] = [0, π]; b) f) =, [a, b] = [0, ]. 5.9. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek. y = +, y = + ; b) y = 4 +, y = ; c) y =, y =, y = ; d) y = ln + ), = 0, y = 0. 5.0. Napisać wzór na długość łuku wykresu funkcji różniczkowalnej i obliczyć długości podanych krzywych. Naszkicować je. y = [, 0, 4 ] ; b) y = 4 9, [, ]; c) y = ln sin, [ π, π ] ; d) y = ln, [, e]. 5.. Napisać wzór na objętość bryły obrotowej powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru ograniczonego wykresem ciągłej funkcji nieujemnej y = f), osią OX i prostymi = a, = b. Korzystając z tego wzoru obliczyć objętość: kuli o promienu R, b) stożka ściętego o promieniach podstaw r, R i wysokości H, c) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru T = {, y) R : 0 π } 4, 0 y tg, d) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru T = {, y) R : π π }, 0 y cos. 5.. Obliczyć całki funkcji wymiernych d) 8 d, + 6 + 8 d, b) e) + 4 4 d, c) + d, 4 + 5 4 4 + 0 d, f) + + + + d.

5.. Obliczyć całki funkcji trygonometrycznych e) sin 5 d, 5 cos d, e) b) sin cos d, π π sin sin d, c) f) π π cos sin d, d) sin cos 4 d, g) π π 4 + 5 sin d, sin d. Podobne zadania z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 07, rozdział 7, 8, 9.

P.. Obliczyć pochodne funkcji: f) = P.. POWTÓRKA arctg ln + ), b) f) = e sin sin, c) f) = cos ), d) f) = + + +. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f) = arctg ) w miejscach zerowych funkcji. Pod jakimi kątami wykres przecina oś OX? b) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = ln 0,5, która jest równoległa do osi OX. c) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = ln + e ), która jest równoległa do prostej l : y = 5. d) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f) = tg), π 4, π ), która 4 jest prostopadła do prostej l : + 5y = 0. e) Dla jakich wartości parametrów a, b parabola o równaniu y = + a + b jest styczna w punkcie, ) do prostej y =? Wykonać rysunek. P.. Wykorzystując różniczkę obliczyć, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość funkcji f) = + ) ln, gdy jej argument wzrośnie od wartości 0 = do wartości =,; b) g) = +, gdy jej argument zmieni się od wartości 0 = 4 do wartości =,99. P.4. Zbadać istnienie asymptoty cos o równaniu = 0 funkcji f) = sin 4, b) o równaniu = π ln + cos ) funkcji f) =, π c) poziomej w + funkcji f) = ) 6, d) o równaniu = 0 funkcji f) = sin. P.5. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale. f) = + e, [ 7, 0]; b) y) = + + + c) g) = cos + sin, [ 0, π, [, ]; ]; d) y) = + ), [, ]. P.6. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f. Naszkicować jej wykres. f) = ln + ), b) f) = ln 4, c) f) = e, d) f) = e ln.

P.7. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji. Naszkicować jej wykres. y) = ) ), b) f) = + ln ), c) f) = 4, d) f) =. P.8. W obszar ograniczony parabolą y = 6 i osią OX wpisano prostokąt tak, że jeden z jego boków leży na osi OX. Jakie wymiary ma prostokąt o największym polu? b) Metodami rachunku różniczkowego uzasadnić, że prostopadłościan o danej sumie długości krawędzi, kwadratowej podstawie i największej objętości jest sześcianem. c) Ile materiału stracimy wycinając z blachy w kształcie półkola o promieniu R prostokąt o największym polu? P.9. Obliczyć całki: cosπ + ) d, b) e ) d, c) ln d, d) g) sin tgln ) d, e) d, e + ln + ln d, f) + + + d, + h) + cos ) sin d, i) sin d. P.0. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną. Wykonać rysunek. e d, b) π sin cos d, c) e ln d, d) π tg d. 0 e 0 P.. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek. y =, y = + 4; b) y =, y = 5 + ) ; c) y =, y = ; d) y = 4 +, y = ; e) + y = 4, y = ; f) y = sin, y =, = π; g) y = ln + ), y =, = e; h) y = ln + ), y =, y =. Podobne zadania także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 07, M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04. Jolanta Sulkowska