FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy

Transkrypt

1 FUNKCJA WYMIERNA Poziom podstawowy Zadanie Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia: a+ a) + ; ( pkt.) a+ a a b) + + ; ( pkt.) + m m m c) :. ( pkt.) m m+ Zadanie ( pkt.) Oblicz wartość liczbową wyrażenia ( y)( y) ( y) ( y)( + y) ( + y) dla =, y=. Zadanie ( pkt.) + Funkcja f określona jest wzorem: f ( ) =. a) Określ dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji. b) Wyznacz miejsce zerowe funkcji f. c) Naszkicuj wykres funkcji f. d) Określ przedziały monotoniczności funkcji f. Zadanie ( pkt.) Na rysunku został przedstawiony wykres pewnej proporcjonalności odwrotnej f. a) Napisz wzór funkcji f. b) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość? c) Oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od? y

2 Zadanie ( pkt.) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, której wzór ma postać Wyznacz współczynniki: a, b, c, d. a+ b f ( ) =. c+ d y Zadanie Rozwiąż równania: a) =, ( pkt.) b) =. ( pkt.) + Zadanie 7 ( pkt.) Rozwiąż nierówność < rozwiązań tej nierówności. 7 i podaj najmniejszą liczbę naturalną należącą do zbioru Zadanie 8 ( pkt.) Pole prostokąta jest równe m. Napisz wzór funkcji wyrażającej zależność między długością i szerokością tego prostokąta. Sporządź jej wykres. Zadanie 9 ( pkt.) Chcemy sfotografować ropuchę z odległości =, 8 m. Ogniskowa soczewki w obiektywie naszego aparatu jest równa 9 cm. Jak daleko musi być odsunięta soczewka obiektywu od powierzchni filmu, jeśli chcemy otrzymać ostre zdjęcie? Do rozwiązania zadania skorzystaj ze wzoru + =, gdzie to odległość przedmiotu od środka soczewki, y odległość od y f środka soczewki do obrazu, a f ogniskowa soczewki. Zadanie ( pkt.) Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z miasta A. Po pewnym czasie pierwszy znajdował się km od tego miasta, a drugi km. Średnia prędkość drugiego samochodu była

3 o km/h mniejsza od prędkości pierwszego. Znajdź średnie prędkości z jakimi poruszały się samochody. Zadanie ( pkt.) Wiele wyrażeń wymiernych można przedstawić jako sumę ułamków zwanych prostymi. + Np. wyrażenie, gdzie R \{,} przedstawiamy w innej równoważnej postaci + w następujący sposób:. Rozkładamy mianownik na czynniki: + = ( + ). + A B. Zapisujemy ułamek w postaci: = +. (*) ( + ) +. Mnożymy obie strony przez ( +) i otrzymujemy + = A( + ) + B, a po uporządkowaniu otrzymujemy += ( A+ B) + A.. Przyrównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach w obu stronach otrzymanej A+ B= tożsamości i otrzymujemy układ równań z niewiadomymi A, B:. A=. Rozwiązanie układu: A =, B=.. Podstawiamy wyznaczone wartości stałych A, B do wyrażenia (*) i otrzymujemy: + = +. ( + ) + Postępując analogicznie rozłóż na ułamki proste wyrażenie wymierne. Zadanie ( pkt.) Sporządź wykres funkcji homograficznej należą punkty = (, ), B= (,) A. a+ b f ( ) =, wiedząc, że do wykresu tej funkcji Zadanie ( pkt.) Wykres funkcji f ( ) = przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi i o jedną jednostkę w dół wzdłuż osi y. a) Sporządź wykres tej funkcji. a+ b b) Podaj wzór tej funkcji w postaci g( ) =. c+ d c) Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji. Zadanie ( pkt.) Sprawdź, czy rozwiązania równania <. + + = należą do zbioru rozwiązań nierówności

4 Zadanie ( pkt.) Sporządź wykres funkcji: Poziom rozszerzony y =. Na podstawie wykresu odpowiedz: + a) Dla jakiego argumentu funkcja ta przyjmuje wartość? b) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od? Zadanie ( pkt.) n n+ Rozwiąż nierówność > n+ n+ Zadanie (7 pkt.) Rozwiąż nierówność:. Zadanie (8 pkt.) a) Sporządź wykres funkcji ( ) =, dla n N. f, gdzie R \{ }. b) Określ liczbę rozwiązań równania f ( ) = m w zależności od parametru m. c) Narysuj wykres funkcji y = g(m), podającej liczbę rozwiązań równania f ( ) = m w zależności od parametru m. Zadanie (8 pkt.) a b Funkcja f określona jest wzorem f ( ) =, gdzie ο ο ο ο 9 a = [ tg + ( sin )( + sin )] ctg +, b jest większym pierwiastkiem 8 równania =. Dla wyznaczonych wartości a i b sporządź wykres y= f. funkcji ( ) Zadanie ( pkt.) Dla jakiej wartości parametru m wartość ułamka R? m+ + + jest większa od dla każdego Zadanie 7 ( pkt.) Dla jakich a i b funkcje a b f ( ) = + + oraz + g ( ) = są równe? Zadanie 8 ( pkt.) Wyznacz największą wartość funkcji g( ) = dla R. +

5 Zadanie 9 ( pkt.) Gdy jest otwarty kran na ciepłą wodę, to napełnienie całej wanny trwa o 7 minut dłużej, niż gdy jest otwarty kran na zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte, to napełnienie pustej wanny odbywa się w czasie minut. Ile czasu potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy odkręcony jest tylko kran na zimną wodę? Zadanie (7 pkt.) Funkcja F( ) = dla argumentu przyjmuje wartość. Wyznacz: + a a) wartość parametru a, b) miejsca zerowe funkcji F, c) zbiór tych argumentów, dla których funkcja osiąga wartości nieujemne.

6 SCHEMAT PUNKTOWANIA - FUNKCJA WYMIERNA Poziom podstawowy Zadanie Etapy rozwiązania zadania L. pkt. a b c Określenie założeń: a i a Sprowadzenie wyrażeń do wspólnego mianownika. a Doprowadzenie wyrażenia do postaci:. a Określenie założeń: i Doprowadzenie wyrażeń w każdym nawiasie do najprostszej postaci. Wykonanie mnożenia dwóch ułamków i doprowadzenie do postaci:. Określenie założeń: m i m i m i m. Doprowadzenie liczników i mianowników do postaci iloczynowych. m+ Wykonanie określonego działania otrzymując wynik: m( m ) Doprowadzenie wyrażenia do najprostszej postaci z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia lub wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias: y Odp. + y Obliczenie wartości wyrażenia: Doprowadzenie funkcji do postaci: f ( ) = + Określenie dziedziny i zbioru wartości: D = R \{}, ZW = R \{ } Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji y= f () Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji: funkcja malejąca ;, ; + w każdym z przedziałów: ( ) ( ) Odczytanie współrzędnych punktu należącego do wykresu np. ( ;) Wyznaczenie wzoru funkcji korzystając z faktu, że a f ( ) = i f ( ) = a= f ( ) ( ). Odp. f ( ) = Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego równania. Odp: = Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniej nierówności: ; ; + Odp: ( ) ( ) Odczytanie współrzędnych punktu należącego do wykresu np. ( ; ) ( ; ) lub Odczytanie z wykresu równań asymptot i zapisanie wzoru funkcji w postaci a kanonicznej f ( ) =.

7 Zadanie Etapy rozwiązania zadania L. pkt. Obliczenie a i utworzenie wzoru funkcji w postaci kanonicznej f ( ) =. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i odczytanie wartości współczynników a, b, c, d. Odp. + 9 f ( ) =, a =, b= 9, c=, d = Sprowadzenie równania do równania kwadratowego i wyznaczenie pierwiastków trójmianu: =, = Podanie rozwiązań równania z uwzględnieniem dziedziny: = Podpunkt b) ma taką samą punktację i czynności: + Odp. =, = Określenie dziedziny nierówności: R \{ } Zapisanie nierówności w postaci równoważnej: < 7 Rozwiązanie nierówności. Odp: ( ;) ; +. ( pkt. za metodę i pkt. za poprawność obliczeń) Podanie najmniejszej liczby naturalnej należącej do zbioru rozwiązań tej nierówności: 7 Wprowadzenie oznaczeń: i y wymiary prostokąta, gdzie, y R+ Utworzenie wzoru funkcji korzystając ze wzoru na pole prostokąta: y= Sporządzenie wykresu tak otrzymanej funkcji. Ułożenie równania na podstawie podanego wzoru i danych z treści: + = (uwzględnienie zamiany jednostek) 8 y 9 Określenie dziedziny równania: R \{,} 8 Rozwiązanie równania: y= 9, 7 cm 9 Analiza treści zadania polegająca na wprowadzeniu oznaczeń np. v średnia prędkość pierwszego samochodu oraz v> s Ułożenie równania z zastosowaniem wzoru t = : = v v v Rozwiązanie równania: v = 8 km/h Obliczenie prędkości drugiego samochodu v = km/h. Za każdy prawidłowo przeprowadzony krok w postępowaniu po punkcie. Odp. = + + Określenie dziedziny funkcji: D= R \{ } b Z faktu, że f ( ) = otrzymanie związku = i obliczenie b: b=

8 Zadanie Etapy rozwiązania zadania L. pkt. a Z faktu, że f ( ) = otrzymanie związku = i obliczenie a: a= Doprowadzenie wzoru funkcji f ( ) = do postaci kanonicznej 8 f ( ) = Naszkicowanie wykresu funkcji y= f (). Naszkicowanie wykresu funkcji najpierw y= a potem y= g() jako odpowiednie przesunięcie. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej g( ) = + Doprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej g ( ) =. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji: = Określenie dziedziny równania: D= R \{ } i nierówności: D= R \{ } Rozwiązanie równania poprzez sprowadzenie do równania kwadratowego i wyznaczenie jego pierwiastków: =, = Rozwiązanie nierówności ( pkt. za metodę i pkt. za poprawność obliczeń). Odp.: ; Sprawdzenie, czy zbiór rozwiązań równania zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności i sformułowanie odpowiedzi. Odp. Zbiór rozwiązań równania nie zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności Podanie zbioru rozwiązań równania: { ; } Poziom rozszerzony Zadanie Etapy rozwiązania zadania L. pkt. Określenie dziedziny funkcji: D = R \{ }. dla Doprowadzenie funkcji do postaci: f ( ) = + + dla < + Doprowadzenie funkcji do postaci kanonicznej: + dla ( ) = + f dla < + Naszkicowanie wykresu funkcji f( ) = + dla +

9 Zadanie Etapy rozwiązania zadania L. pkt. Naszkicowanie wykresu funkcji : f ( ) = dla ( ; ) ( ;). + Odczytanie z wykresu, że funkcja ta przyjmuje wartość dla =. Odczytanie z wykresu, że funkcja ta przyjmuje wartości mniejsze od dla ( ; ) Określenie dziedziny nierówności: n N Zapisanie nierówności w postaci równoważnej: > ( n+ )( n+ ) Sprowadzenie nierówności do równoważnej jej postaci: > Sformułowanie odpowiedzi: n Określenie dziedziny nierówności: D= R \{}. Doprowadzenie nierówności do postaci: ponieważ >. Uwzględniając wartość bezwzględną doprowadzenie nierówności do postaci: dla > lub + dla <. Rozwiązanie otrzymanych nierówności Sformułowanie odpowiedzi uwzględniając dziedzinę: ( ; ) ( ; Sporządzenie wykresu y=. Sporządzenie wykresu y =. Sporządzenie wykresu y =. Odczytanie ze sporządzonego wykresu, że równanie m ;, nie ma rozwiązań dla ( ) ma dwa rozwiązania dla { } ; + ) ma cztery rozwiązania dla m ( ;) m, Zapisanie wzoru funkcji y= g(m) : ( ;) { } ; + ) m ( ;) f ( ) = m : dla m g ( m) = dla m i wykonanie wykresu y= g(m) dla Obliczenie wartości a (w tym pkt. za wzór redukcyjny i pkt. za wartości funkcji trygonometrycznych). Odp. a =. Wyznaczenie wartości b w wyniku rozwiązania równania metodą grupowania. Odp. b = 9. 9 Zapisanie wzoru funkcji: f ( ) = w postaci kanonicznej i sporządzenie jej wykresu

10 Zadanie Etapy rozwiązania zadania L. pkt Wykonanie wykresu funkcji: f ( ) = korzystając z własności y= f ( ) m+ Zapisanie nierówności > i określenie jej dziedziny: R + + Skoro + + > dla R, to nierówność przyjmuje najpierw postać m+ > ( + + ) a potem + ( m) + > Zapisanie warunku, że rozwiązaniem ostatniej nierówności są R, gdy <. Obliczenie = m m i rozwiązanie nierówności <. m ; wartość ułamka jest większa od. Odp.: Dla ( ) Określenie dziedzin funkcji f i g: = R \{,} D g Zapisanie funkcji f w postaci jednego ułamka: a b + ( a+ b ) + b a f ( ) = + + = + ( + )( ) Skoro we wzorach funkcji f i g mianowniki są takie same, to i postaci liczników muszą być sobie równe co prowadzi do ułożenia układu równań: a+ b = b a = Rozwiązanie układu równań i podanie odpowiedzi: dla a=, b= funkcje te są równe. Spostrzeżenie, że funkcja ta posiada wartość największą kiedy mianownik jest najmniejszy. Wyznaczenie najmniejszej wartości wyrażenia + : y w = = a Wyznaczenie największej wartości funkcji g: g Ma ( ) = Wprowadzenie oznaczeń: t czas w minutach potrzebny na napełnienie wanny zimną wodą, t + 7 to czas napełnienia wanny ciepłą wodą. Ułożenie równania + = i określenie jego dziedziny t (,+ ) t t + 7 Sprowadzenie do równania kwadratowego t 7t 8= i jego rozwiązanie: t =, t = Wybranie rozwiązania uwzględniając wszystkie warunki zadania i podanie odpowiedzi: minut potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy odkręcony jest tylko kran na zimną wodę D f, = R \{ ;} Wyznaczenie parametru a korzystając z faktu, że F ( ) =. Odp. a= Wyznaczenie dziedziny funkcji: R \{ 9} Wyznaczenie miejsc zerowych rozwiązując równanie ; ; metodą grupowania. Odp. { }

11 + 9 8 Utworzenie nierówności postaci 9 Odp. ( ; ; ( 9; + ) i jej rozwiązanie.