Porówaie dwu populacji Porówaie dwóch rozkładów ormalych Założeia:. X ~ N( m, σ ), X ~ N( m, σ ), σ σ. parametry rozkładów ie ą zae. X, X ą iezależe. Ocea różicy między średimi m m m m x x (,...) H 0 : m m a { x x ) t( α, + ) ; ( x x ) + t( α, + ) } ( r r P α t α,v t α, + ) ( W5 -
e ( ) + ( ) + r e ( + var X + + ) varx, H 0 : m m a (H : m m a) t emp x x r a H 0 : m m 0 (H : m m 0) x x temp r Jeżeli zajdzie ierówość t emp t( α, + ), to hipotezę H 0 ależy odrzucić a korzyść hipotezy alteratywej H. Natomiat, gdy prawdziwa będzie ierówość przeciwa, tz. t emp < t( α, + ), to ie mamy podtaw do odrzuceia hipotezy H 0. W5 -
Przykład: Badao średie ocey ze wzytkich wykładaych przedmiotów, po pierwzym emetrze tudiów, tudetów dwóch wydziałów SGGW. Dla loowo wybraych oób uzykao wyiki: x i 3,,73 3,7 3,44 3,87 4,55 3,94 - x i,47,4 3,07,57 3, 3,39 3,8 3,55 Czy moża twierdzić, a podtawie tych daych, że średie dla obu porówywaych wydziałów ą jedakowe (ie różią ię itotie)? Zakładamy, że rozkłady dwu badaych, iezależych populacji ą ormale o rówych wariacjach. Dla dwu prób otrzymujemy atępujące parametry: 7, 8, x x 3.55, 3.05, W5-3 0.378 0.73
Spoób I: Połużymy ię przedziałem ufości dla różicy między iezaymi średimi m i m. { x x ) t( α, + ) ; ( x x ) + t( α, + ) } ( r r P α Dla azych daych t(0.05;3).6, zaś błąd różicy średich r 0,93. Stąd m m ( 0.37;.3) P 0.95 Poieważ wyzaczoy przedział ufości zawiera zero, możemy uzać, że różica między średimi oceami w porówywaych wydziałach ie różi ię itotie (średie ocey ą rówe). Jet to wioek o pewości 0.95, iaczej przedział o ufości 95%. W5-4
Spoób II: Formułujemy odpowiedią hipotezę tatytyczą i tetujemy ją: H 0 : m m 0 (H : m m 0) t emp x x 3.55 3.05 0.93 r.706 Poieważ t emp <.6, to a poziomie itotości 5% ie ma podtaw do odrzuceia hipotezy o tym, że średie populacyje ą takie ame. W dalzych potępowaiach możemy zakładać, że średie ocey aalizowaych wydziałów ie różią ię (oberwowae średie z prób ie różią ię itotie). Aaliza porówawcza dwu średich populacyjych w przypadku zależych populacji przebiega zupełie iaczej (tzw. tety ieparametrycze). W5-5
Ocea ilorazu dwóch odchyleń tadardowych (wariacji): σ /σ Weryfikacja hipotezy zerowej o rówości dwu średich populacyjych wymaga pełieia założeia, że badae cechy (populacje) mają rozkłady ormale o takiej amej wariacji. Sprawdzeie tego założeia oparte jet o rozkład Fihera-Sedecora. Założeia:. X ~ N( m, σ ), X N( m, σ ~. wartości parametrów ie ą zae 3. X, X ą iezależe. Formułujemy przypuzczeie o rówości wariacji: H 0 σ, H : : σ σ > σ (wybór jedotroej hipotezy alteratywej jet koekwecją kotrukcji tablic tatytyczych) ), W5-6
Fukcja tetowa ma potać: F emp przy czym wartość ilorazu wariacji próbkowych powia być ułamkiem iewłaściwym, to zaczy ie miejza od jedości (więkza wariacja do liczika ozacza to, że próba to próba o więkzej wariacji). Z tablic rozkładu F Fihera-Sedecora odczytujemy wartość F α, u, v i jeśli F emp > F α, u, v, to hipotezę zerową odrzucamy. W przeciwym razie ie ma podtaw do odrzuceia tetowaego przypuzczeia. Stopie wobody liczymy według zaych formuł: u, a v. W5-7
Przykład: Sprawdźmy założeie o rówości wariacji dla wcześiejzego przykładu dotyczącego porówaia średich oce a dwóch wydziałach SGGW. Otrzymaliśmy atępujące parametry dla prób: 7, 0.378 8, Formułujemy hipotezę zerową: H i tetujemy ją 0 σ, H : 0.73 : σ σ > σ F emp 0.378 0.73.385 Poieważ F α, u, v F 0.05, 6, 7 3.866, to a poziomie itotości 5% ie mamy podtaw do odrzuceia hipotezy zerowej o rówości wariacji w tych populacjach. Ozacza to, że założeie o rówości wariacji badaych populacji jet pełioe. W5-8
Porówaie dwóch rozkładów dwupuktowych Założeia:. X ~ D( p), X ~ D( p),. X, X ą iezależe. Ocea różicy między parametrami (p p ) p p ˆ p pˆ H 0 : p p a ( ˆ ˆ ˆ( ˆ)( )) p p ± u p p + α / H : p p a k gdzie: ˆ, ˆ k + k k p p pˆ, + zazwyczaj itereuje a rówość frakcji, H 0 : p p 0 (tz. H 0 : p p ) i H : p p 0 (tz. H 0 : p p ) W5-9
H 0 : p p (H : p p ) z emp pˆ pˆ( pˆ pˆ)( + ) Jeśli z emp u -α/ (t α, ) to a poziomie itotości α hipotezę H 0 ależy odrzucić a korzyść H. W przeciwym przypadku ( z emp < u -α/ ) ie mamy podtaw do odrzuceia hipotezy H 0. Przykład: Zweryfikujmy a poziomie α 0,05 przypuzczeie, że wkaźiki wypoażeia tudetów dwu uczeli w komputery mobile ą porówywale, jeśli dla uczeli I w loowej próbie 800 tudetów fakt poiadaia komputera zadeklarowało 350 oób. Dla uczeli II odpowiedie wyiki były atępujące: 000 i 400. W5-0
pˆ pˆ pˆ k k k + k + 350 800 400 000 0.4375 0.4 350+ 400 800 0.47 Spoób I: ( ˆ ˆ ˆ( ˆ)( ) ) p p ± u p p + α / a poziomie ufości α (,4375 0,4,96 0,47 0,583 ( )) ± + 0 800 000 p ( 0,0375±,96 0,03) ( 0.008; 0.083) P 0, 95 p Badae wkaźiki obu uczeli ie różią ię itotie. Zaufaie do tego wioku jet a poziomie 0.95. W5 -
Spoób II: H 0 : p p (H : p p ) z emp 0,4375 0,4 0,47( 0,47)( 800 + 000 ),603 Poieważ t α,,96 (czyli z emp < t α, ), to a poziomie itotości 5% ie mamy podtaw do odrzuceia badaej hipotezy (H 0 ) o tym, że frakcje tudetów wypoażoych w komputery mobile ą takie ame. W5 -
Przykłady dla hipotez jedotroych Podejrzewamy, że a kutek upadku mazya B odmierza dawkę miej precyzyjie iż mazya A (precyzja > miarą zróżicowaia jet wariacja). Zatem chcemy porówać wariacje w populacjach populacji dawek odmierzoych mazyą A i populacji dawek odmierzoych mazyą B. Jaki jet problem merytoryczy? Czy zróżicowaie (wariacja) dawek odmierzaych mazyą B jet więkze Itereuje a, czy populacja B ma więkzą wariację iż populacja A. Jaką tawiamy hipotezę? H0: wariacja wielkości dawek odmierzaych mazyą A jet taka ama jak wariacja dawek odmierzaych mazyą B H 0 :σ A σ B (zakładamy fakt rówości wariacji, i patrzymy, czy oberwacje ie przeczą temu założeiu) Jaka jet hipoteza alteratywa? H 0 :σ A <σ B W5-3
Opoy owzej geeracji mają (wg produceta) zmiejzoą ścieralość (moża a ich przejechać dłużzą traę). Problem merytoryczy: Czy przecięta (średia) odległość możliwa do przejechaia a opoach owzej geeracji jet więkza Hipoteza zerowa (tatytycza) H0: średia odległość możliwa do przejechaia a opoach I geeracji jet taka ama jak dla opo II geeracji H 0 :µ I µ II Hipoteza alteratywa H: średia odległość możliwa do przejechaia a opoach I geeracji jet miejza iż dla opo II geeracji H 0 :µ I <µ II W5-4