Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna. Wykład V.

2 Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3

3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich Na poziomie istotności α konstrujemy hipotezę roboczą H 0 : µ 1 = µ 2 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 µ 2 (lub H 1 : µ < µ 0, H 1 : µ > µ 0 ).

4 Cechy X 1 i X 2 mają rozkłady normalne N ( µ 1, σ 2 1) i N ( µ2, σ 2 2), gdzie znane są ochylenia standardowe σ 1 i σ 2. Statystyka U = X 1 X 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ( ma rozkład( normalny )] [ N (0, ( 1). Zbiór ) ) krytyczny, u 1 α 2 u 1 α 2,. Jeżeli u ( ) ( ) 1 α 2 < U < u 1 α 2 to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, co nie oznacza że hipoteza H 0 jest prawdziwa (na podstawie jednej próby przy przyjętym ryzyku błędu α stwierdzamy tylko że wyniki tej próby nie przeczą hipotezie H 0 ). Jeżeli natomiast U (, u ( )] [ ( ) ) 1 α 2 u 1 α 2, to hipotezę roboczą H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 < µ 2 zbiór krytyczny określamy jako (, u (1 α)], w przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 > µ 2 zbiór krytyczny określamy jako (u (1 α), ].

5 Cechy X 1 i X 2 mają rozkłady normalne N ( ( µ 1, σ1) 2 i N µ2, σ2) 2, gdzie nieznane są ochylenia standardowe σ 1 i σ 2, natomiast możemy założyć σ 1 =σ 2 Statystyka t = X 1 X 2 n 1+n 2 n 1 Ŝ1 2+n2Ŝ2 2 n 1n 2 n 1+n 2 2 ma rozklad t-studenta o n 1 + n 2 2 stopniach swobody, gdzie X 1 = 1 n 1 X i1, X2 = 1 n 2 n 1 n 2 Ŝ 2 1 = i=1 n 1 1 n 1 1 i=1 i=1 X i2 ( Xi1 X 1 ) 2, Ŝ 2 2 = 1 n 2 1 n 2 i=1 ( Xi2 X 2 ) 2 Zbiór krytyczny (, t ] [t, ), gdzie t = t ( 1 α 2, n 1 + n 2 2 ) jest kwantylem rzędu 1 α 2 rozkładu t-studenta o n 1 + n 2 2 stopniach swobody.

6 Jeżeli t < t < t to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast t (, t ] [t, ) to hipotezę roboczą odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 < µ 2 zbiór krytyczny określamy jako (, t (1 α, n 1 + n 2 2)], w przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 > µ 2 zbiór krytyczny określamy jako (t (1 α, n 1 + n 2 2), ]

7 Cechy X 1 i X 2 mają dowolne rozkłady o nieznanych wartościach średnich µ 1,µ 2 i nieznanych odchyleniach standardowych σ 1 i σ 2. Dla dużych prób n i n statystyka U = X 1 X 2 S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 ma asymptotyczny rozkład N (0, 1) Jeżeli u ( ) ( ) 1 α 2 < U < u 1 α 2 to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast U (, u ( )] [ ( ) ) 1 α 2 u 1 α 2, to hipotezę roboczą odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 < µ 2 zbiór krytyczny określamy jako (, u (1 α)], w przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ 1 > µ 2 zbiór krytyczny określamy jako (u (1 α), ].

8 Jeżeli obserwację cech X 1 i X 2 prowadzimy jednocześnie, to na podstawie próby (x i1, x i2 ) dla i = 1, 2,..., n (liczebności prób cech X 1 i X 2 są jednakowe) definiujemy ciąg różnic z i = x i1 x i2. Wartości ciągu {z i } 1 i n traktujemy jako wartości cechy Z o rozkładzie normalnym N ( µ, σ 2) i nieznanym odchyleniu stantardowym σ. Statystyka t = Z µ 0 n 1 S ma rozklad t-studenta o n 1 stopniach swobody, gdzie Z = 1 n S 2 = 1 n n z i, i=1 n ( zi Z ) 2. i=1

9 Zbiór krytyczny (, t ] [t, ), gdzie t = t ( 1 α 2, n 1) jest kwantylem rzędu 1 α 2 rozkładu t-studenta o n 1 stopniach swobody. Jeżeli t < t < t to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast t (, t ] [t, ) to hipotezę roboczą odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ < µ 0 zbiór krytyczny określamy jako (, t (1 α, n 1)], w przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : µ > µ 0 zbiór krytyczny określamy jako (t (1 α, n 1), )

10 Weryfikacja hipotezy o równości wariancji w dwóch populacjach Cechy X 1 i X 2 mają rozkłady normalne N ( µ 1, σ 2 1) i N ( µ2, σ 2 2), gdzie nieznane są ochylenia standardowe σ 1 i σ 2 Na poziomie istotności α konstrujemy hipotezę roboczą wobec hipotezy alternatywnej Statystyka H 0 : σ 1 = σ 2 H 1 : σ 1 σ 2 F = Ŝ2 1 Ŝ 2 2 ma rozkład Fishera Snedecora o n 1 1 i n 2 1 stopniach swobody. Wyznaczamy kwantyle rzędu α 2 i 1 α 2 postaci f α (n 2 1 1, n 2 1) i f 1 α (n 2 1 1, n 2 1) odpowiednio.

11 Jeżeli f α (n 2 1 1, n 2 1) < F < f 1 α (n 2 1 1, n 2 1) to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast F (, f α (n 2 1 1, n 2 1) ] [ f 1 α (n 2 1 1, n 2 1), ) to hipotezę roboczą H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. W przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : σ 1 < σ 2 zbiór krytyczny określamy jako (, f α (n 1 1, n 2 1)), w przypadku hipotezy alternatywnej H 1 : σ 1 > σ 2 zbiór krytyczny określamy jako [ f1 α 2 (n 1 1, n 2 1), )

12 Weryfikacja hipotezy o równości wariancji w wielu populacjach Na poziomie istotności α konstrujemy hipotezę roboczą H 0 : σ 1 = σ 2 =... = σ k (wariancje/odchylenia standardowe są równe), wobec hipotezy alternatywnej H 1 : nie wszystkie wariancje/odchylenia standardowe są równe Test Bartletta Zakładamy: niezależność prób, liczba populacji k > 2, liczności pób dla każdej populacji co najmniej 5. Niech wielkość n i oznacza liczebność i tej próby, Ŝ 2 i = 1 n i 1 n i j=1 ( Xji X j ) 2 oznacza estymator nieobciążony wariancji dla i tej próby.

13 oraz c = 1 + n = n n k, S 2 = 1 k (n j 1) n k j 1 3 (k 1) j=1 k 1 n j 1 1 n k dla dowolnego i = 1,..., k. Jeżeli liczności próbek są jednakowe (n 1 =... = n k ), to przyjmujemy c = 1 + j=1 1 3 (n k)

14 Statystyka χ 2 = c ( (n k) ln S 2 ) k (n i 1) ln Ŝ2 i, ma asymptotyczny rozkład chi-kwadrat o k 1 stopniach swobody. Dla rozkładu chi-kwadrat wyznaczamy kwantyl rzędu 1 α o k 1 stopniach swobody oraz oznaczamy χ 2 1 α (k 1). Jeżeli χ 2 < χ 2 1 α (k 1) to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast χ 2 χ 2 1 α (k 1) to hipotezę roboczą H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. i=1

15 Test Hartleya Zakładamy: niezależność prób, liczba populacji 2 k 12 oraz liczności prób dla każdej z populacji są jednakowe (n 5). Statystyka testowa max (Ŝ2 1, Ŝ2 2,..., Ŝ2 k F max = ). min (Ŝ2 1, Ŝ2 2,..., Ŝ2 k ) Z tablic dla testu Harleya odczytujemy wartość krytyczną f 1 α (k, n 1) kwantyl rzędu 1 α dla liczby populacji k i (n 1) stopniach swobody. Jeżeli F max < f 1 α (k, n 1) to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast F max f 1 α (k, n 1) to hipotezę roboczą H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1.

16 Table Critical values for the Hartley test (right-sided) Level of significance = 0.01 k n * * * * * * *The third-digit figures for n - 1 = 3 are uncertain. Level of significance = 0.05 k n Kanji, Gopal K. 100 Statistical Tests. London : SAGE Publication Ltd.,

17 Test Cochrana Zakładamy: niezależność prób, liczba populacji k 3 oraz liczności prób dla każdej z populacji są jednakowe (n 4). Statystyka testowa ) max (Ŝ2 1, Ŝ2 2,..., Ŝ2 k G = Ŝ1 2 + Ŝ Ŝ2 k Z tablic dla testu Cochrana odczytujemy wartość krytyczną g 1 α (k, n 1) kwantyl rzędu 1 α dla liczby populacji k i (n 1) stopniach swobody. Jeżeli G < g 1 α (k, n 1) to na poziomie istotności α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy roboczej H 0, jeżeli natomiast G g 1 α (k, n 1) to hipotezę roboczą H 0 odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej H 1.

18

19 Funkcje w R test równości wartości średnich w dwóch populacjach > t.test(x,y) test równości wariancji w dwóch populacjach > var.test(x,y) test równości wariancji w wielu populacjach > bartlett.test(data,nazwy)