Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz an an2 anj a nm j-ta kolunmna a, a, a, a - nazywamy elementami macierzy A 2 34 nm Rodzaje macierzy ) Macierz kwadratowa n m a a2 an a2 a22 a2n A an an2 ann główna przekątna 2) Macierz trójkątna dolna a 0 0 a2 a22 0 A an an2 ann
3) Macierz trójkątna górna a a2 an 0 a22 a2n A 0 0 ann 4) Macierz diagonalna a 0 0 0 a22 0 A 0 0 ann 5) Macierz jednostkowa 0 0 0 0 I n 0 0 6) Macierz symetryczna przykład 2 3 2 0 -, 3 7) Macierz antysymetryczna przykład 0 2 0-2 0 efinicja (równość macierzy) Macierze A i B są równe, gdy mają takie same wymiary oraz a i m oraz j n b dla każdego efinicja (suma i różnica macierzy) Niech A a, B b Sumę (różnicę) macierzy A i B nazywamy, macierz C c, której elementy są określone wzorem c a b dla i m oraz j n Piszemy C A B 2
efinicja (iloczyn macierzy przez liczbę) Niech A a Iloczynem macierzy A przez liczbę nazywamy macierz B b, której elementy są określone wzorem b a dla i m oraz j n Piszemy B A efinicja (iloczyn macierzy) Niech A a, B b nxk Iloczyn macierzy A i B nazywamy macierz B b, której elementy określone są wzorem c ai b j ai 2 b2 j ain bnj dla i m oraz j k Piszemy C A B Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy macierzy B Fakt (własności iloczynu macierzy) A, B, C nxk : ( A B) C AC BC 2 A, Bnxk, C nxk : A( B C) AB AC 3 A, B : A( B) ( A) B ( AB) nxk 4 A, Bnxk, C kxl : ( AB) C A( BC) A : A In Im A A 5 Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne! efinicja (macierz transponowana) Niech A a Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B b, której elementy są określone wzorem b aji, gdzie i n oraz j m nxm Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez A 3
Fakt (własności transpozycji macierzy) ( A B) A B 2 ( A ) A oraz ( A) A 3 ( A B) B A efinicja (wyznacznik macierz) Wyznacznik macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy przypisuje liczbę det A Funkcja ta określona jest wzorem indukcyjnym: A a () jeżeli A ma stopień (wymiar) n, A x to det A a (2) jeżeli ma stopień n, A to 2 n 2 2 n n det A ( ) a det A ( ) a det A ( ) a det A, gdzie A oznacza macierz stopnia n- otrzymaną z macierzy A poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Wyznacznik macierzy A oznaczamy także przez det a lub A także: det 2 n 2 22 2n n n2 nn lub 2 n 2 22 2n n n2 nn REGUŁA OBLICZANIA WYZNACZNIKA SOPNIA RUGIEGO a b a d b c c d REGUŁA SARRUSA OBLICZANIA WYZNACZNIKÓW SOPNIA RZECIEGO 4
2 3 2 22 23 22 33 2 23 3 2 32 3 3 32 33 3 22 3 2 2 33 23 32 Stopień ten nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni efinicja (dopełnienie algebraiczne) Niech A a, n 2 i j liczbę ( ) det A wierdzenie (rozwinięcie Laplace a wyznacznika) opełnieniem algebraicznym elementu a macierzy A nazywamy Niech A a, n 2 oraz niech liczby i oraz j, gdzie i, j n będą ustalone Wtedy ) det A ai i ai 2 i 2 ain in rozwinięcie Laplace a wyznacznika względem i-tego wiersza A a a a rozwinięcie Laplace a wyznacznika 2) det j j 2 j 2 j nj nj względem j-tej kolumny Fakt (własności wyznaczników) Wyznacznik macierzy kwadratowej: ) mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0 2) zmieni znak jeśli przestawimy między sobą dwie kolumny (dwa wiersze) 3) mającej dwie jednakowe kolumny (dwa jednakowe wiersze) jest równy 0 4) a c a a in in c a c a a n nj nn n nj nn, jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy 5) nie zmieni się, jeśli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy sumę odpowiadających im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomnożonych przez dowolne liczby 6) i jej transpozycji są równe, czyli det A det A 5
efinicja (macierz odwrotna) Niech A a Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A, która spełnia warunek n efinicja (macierz osobliwa i nieosobliwa) A A A A I n, gdzie I n jest macierzą jednostkową stopnia Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy det A 0 W przeciwnym wypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa wierdzenie (o macierzy odwrotnej) Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa Jeżeli A A a jest nieosobliwa, to det A n n nn, gdzie oznacza macierz dopełnienia algebraicznego elementu a Macierz Zatem A A oznaczamy symbolem det A Fakt (własności macierzy odwrotnej) A i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych ) A A det det det A 2) A A 3) A A 4) A B B A 5) A A n 6) A A n 6
Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej Niech A będzie macierzą nieosobliwą Aby znaleźć macierz odwrotną do macierzy A postępujemy w następujący sposób Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkową I tego samego stopnia Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy blokowej A I będziemy wykonywać następujące operacje elementarne: przestawiać między sobą dwa dowolne wiersze wi wj 2 dowolny wiersz mnożyć przez stałą różną od zera cw i 3 do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnożonych przez dowolne liczby wi c wj A I operacje elementarne na wierszach I A 7