Modelowanie danych hodowlanych

Transkrypt

1 Modelowanie danych hodowlanych

2 1. Wykład wstępny 2. Algebra macierzowa 3. Wykorzystanie różnych źródeł informacji w predykcji wartości hodowlanej 4. Kowariancja genetyczna pomiędzy spokrewnionymi osobnikami 5. Best Linear Unbiased Prediction (BLUP): model jednocechowy z pojedynczym efektem losowym 6. Best Linear Unbiased Prediction (BLUP): model wielocechowy 7. Metody redukcji wymiarów modeli wielocechowych BLUP 8. Analiza danych powtarzalnych w czasie 9. Wykorzystanie markerów genetycznych w predykcji wartości hodowlanej 10. Predykcja genomowej wartości hodowlanej 11. Analiza przeżycia 12. Estymacja parametrów genetycznych 13. Rozwiązywanie układu równań liniowych 14. Spotkanie z osobą praktycznie zaangażowaną w prowadzenie rutynowej oceny wartości hodowlanej bydła 15. Podsumowanie tematyki przedmiotu. Dyskusja.

3 1. Po co notacja macierzowa? 2. Macierz definicja 3. Szczególne przypadki macierzy 4. Operacje na macierzach

4 Po co notacja macierzowa?

5 Zastosowanie macierzy w opisie danych hodowlanych Analiza danych hodowlanych wymaga terminologii macierzowej do: Definiowania modeli statystycznych Opisu metodyki estymacji parametrów modeli Opisu metodyki estymacji komponentów wariancji

6 Zastosowanie macierzy w opisie danych hodowlanych Wielowymiarowa struktura danych np. struktura spokrewnienia

7 Zastosowanie macierzy w opisie danych hodowlanych Wielowymiarowa struktura danych np. struktura fenotypów Numeracja osobników o Nr krajowy (14b): PL o Nr międzynarodowy (19b): HOLPOLF o HOLAUTM ? o HOLBELM ?

8 Zastosowanie macierzy w opisie danych hodowlanych Country codes used in animal IDs

9 Macierz definicja

10 Definicja macierzy Macierz jednowymiarowa = wektor a = Macierz dwuwymiarowa M = a = a T = Macierze wielowymiarowe M = m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23

11 Definicja macierzy M = M = m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 m ij element macierzy wymiary macierzy (liczba wierszy i kolumn) M 2x3

12 Szczególne przypadki macierzy

13 Szczególne przypadki macierzy Macierz kwadratowa (square matrix) M 3x3 = m ii elementy przekątnej (diagonal) m ij elementy poza-przekątną (off-diagonal) Copyright 2017, Joanna Szyda

14 Szczególne przypadki macierzy Macierz kwadratowa (square matrix) Np. macierz spokrewnień addytywnie poligenicznych (additive genetic relationship matrix) A =

15 Szczególne przypadki macierzy Macierz diagonalna (diagonal matrix) M 3x3 = Macierz kwadratowa z poza-przekątnymi = 0

16 Szczególne przypadki macierzy Macierz diagonalna (diagonal matrix) Np. kowariancji macierz efektów błędu (residual) M 3x3 = 1 EDC EDC EDC 3 σ e 2 Copyright 2017, Joanna Szyda

17 Szczególne przypadki macierzy Macierz jednostkowa (identity matrix) I 3x3 = Macierz diagonalna z przekątnymi = 1

18 Szczególne przypadki macierzy Macierz jednostkowa (identity matrix) Np. macierz kowariancji efektów błędu M 3x3 = σ e 2 Copyright 2017, Joanna Szyda

19 Szczególne przypadki macierzy Macierz trójkątna (triangular matrix) L 3x3 = Lower triangular U 3x3 = Upper triangular Macierz z elementami ponad/pod przekątną = 0

20 Szczególne przypadki macierzy Macierz trójkątna (triangular matrix) Dekompozycja Choleskiego M=TT Np. dekompozycja macierzy spokrewnień A A=TDT T= Copyright 2017, Joanna Szyda

21 Szczególne przypadki macierzy Macierz symetryczna (symmetric matrix) M 3x3 = Macierz kwadratowa z m ij = m ji

22 Szczególne przypadki macierzy Macierz symetryczna (symmetric matrix) Np. macierz spokrewnień addytywnie poligenicznych (additive genetic relationship matrix) A =

23 Szczególne przypadki macierzy Macierz rzadka M = Macierz gęsta M = Copyright 2017, Joanna Szyda

24 Operacje na macierzach

25 Operacje na macierzach Transpozycja (transpose) M = M T = m ij = m ji Copyright 2017, Joanna Szyda

26 Operacje na macierzach Dodawanie / odejmowanie M = N = W = M + N = Macierze o identycznych wymiarach w ij =m ij +n ij

27 Operacje na macierzach Mnożenie M 3x3 = W 3x2 = N 3x2 = MN NM IM = MI = M Mb = m ij b

28 Operacje na macierzach Iloczyn Kroneckera (Kronecker / direct product) G M = g 11M g 21 M G = G M = M = g 12 M g 22 M

29 Operacje na macierzach Odwrotność (inverse) M -1 M -1 M = I = M M -1 (MN) -1 = M -1 N -1 Tylko macierze kwadratowe są odwracalne Odwracanie macierzy diagonalnej M = M 1 =

30 Operacje na macierzach Odwrotność (inverse) Macierze kwadratowe są odwracalne jeżeli wyznacznik (determinant) 0 Wyznacznik = 0 macierz osobliwa (singular), nieodwracalna Odwracanie macierzy 2x2 M = m 11 m 12 m 21 m 22 M 1 = 1 m 22 m 12 m 11 m 22 m 12 m 21 m 21 m 11 Copyright 2017, Joanna Szyda

31 Operacje na macierzach Równanie liniowe w formie macierzowej y = Ab b = A -1 y

32 Operacje na macierzach Rząd macierzy (matrix rank) Liczba liniowo niezależnych wierszy / kolumn r(m) r(m) = liczba wierszy / kolumn macierz pełnego rzędu (full rank) r(m) < liczba wierszy / kolumn macierz niepełnego rzędu wyznacznik = 0 macierz nie jest odwracalna

33 Operacje na macierzach Rząd macierzy (matrix rank) r(m)=2 M =

34 Operacje na macierzach Uogólniona odwrotność (generalised inverse) M MM M = M Dla danej macierzy M istnieje kilka M Uzyskanie macierzy odwrotnej: Wyznaczyć submacierz B pełnego rzędu Wyzerować wszystkie elementy macierzy M Odwrócić macierz B Uzupełnić korespondujące elementy M przez B -1

35 Operacje na macierzach Uogólniona odwrotność (generalised inverse) M = B = M = B 1 = M =

36 1. Po co notacja macierzowa? 2. Macierz definicja 3. Szczególne przypadki macierzy 4. Operacje na macierzach