w.solnik, z.zaja Regulatory I W ukłaach regulacji, czyli ukłaach sterowania z pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego, urzązenie sterujące nazywane jest regulatorem. Za pierwszy regulator przemysłowy uważa się regulator kulowy, ośrokowy ( centrifugal governor, flyball regulator ) o ziałaniu, w który James Watt wyposażył w roku 1774 maszynę parową. atent uzyskał w 1788 roku chociaż regulatory tego typu stosowane były w młynach wiatrowych o regulacji nacisku kamieni młyńskich już o XVII wieku. Teoria regulacji rozwijała się z opóźnieniem w stosunku o praktyki. Za twórcę teorii regulacji uważany jest James C. Mawell, który opublikował w The roceeings of the Royal Society ( nr 100 z roku 1868) artykuł On Governors. Zaproponował w nim wykorzystanie moelowania matematycznego o opisu mięzy innymi regulatora Watta. Linearyzując ukła regulacji, opracował kryteria stabilności la ukłaów z obiektem inercyjnym o trzeciego rzęu włącznie (pierwiastki równania charakterystycznego ukłau muszą posiaać ujemne części rzeczywiste). raca Mawella nie przyciągnęła uwagi, gyż koncentrowała się na minimalizacji uchybu regulacji (wykorzystując tzw. astatyczny regulator Watta). Nie otyczyła aktualnej wówczas tematyki regulacji w maszynach parowych, tzn. wpływu nieliniowości ( tarcie tachometru). roblemem tym zajął się w 1877 roku I.A. Vyschnegrasky w pracy O regulatorach bezpośreniego ziałania. W tym samym roku Ewar Rouht opracował na prośbę Mawella kryteria stabilności (jeżeli jeen ze współczynników wielomianu charakterystycznego ukłau jest ujemny lub zerowy to ukła jest niestabilny) oraz praktyczną tablicę, która pozwalała określić maksymalne wzmocnienie regulatora, przy którym ukła jest na granicy stabilności (w publikacji A treatise on the stability of given state of motion ). Zasługi Mawella la teorii regulacji ocenił w swoich pracach z 1948 roku Norbert Wiener. Kilka ważniejszych at w historii rozwoju regulatorów (wg informacji internetowej): 1922 teoretyczne postawy regulatora I N. Minorski irectional stability of automatically steere boies (J. Am. Soc. Naval Eng.), 1933 firma Taylor Instrument Co. wprowaza pierwszy pneumatyczny regulator z nastawia nym współczynnikiem wzmocnienia (Fulscope moel 56R), 1934 pneumatyczny regulator I (moel 40) firma Foboro, 1940 pneumatyczny regulator I firma Taylor (Fulscope moel 100), 1942 uże śroki na rozwój automatyki w ramach The Manhattan roject, 1942, 1943 metoy oboru nastaw regulatora I John G. Ziegler, Nathaniel B. Nichols z fir my Taylor, 1951 lampowy regulator elektroniczny serii Autronic firma Swartwout Co., 1959 regulator półprzewonikowy firma Bailey Meter Co., 1964 regulator cyfrowy firma Taylor, 1975 mikroprocesorowy regulator 200 Micon koncern owell Sygnał wyjściowy regulatora powstaje w wyniku określenia ochyłki regulacji, a następnie opowieniego przekształcenia ynamicznego. W regulatorach o wyjściu ciągłym wielkość wyjściowa jest ciągłą funkcją wielkości wejściowej. Skrót I pochozi o ziałania proporcjonalnocałkoworóżniczkowego regulatora polegającego na tym, że przyrost wielkości wejściowej (ochyłki regulacji ) powouje zmiany wielkości wyjściowej bęące sumą: sygnału proporcjonalnego o ochyłki regulacji (roportional), całki ochyłki regulacji (Integral) oraz pochonej, czyli sygnału proporcjonalnego o szybkość zmian ochyłki (ifferential). Wszystkie skłaowe opowiezi regulatora sumowane są ze współczynnikami wagowymi. Współczynniki te nazywa się nastawami regulatora. Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 1
Równanie regulatora o niezależnych nastawach (tzw. IINepenent, a także ieal parallel, noninteracting) ma postać: gzie: (t) T (t) = k p e(t) k I e(t) k = = k p e(t) 1 T I e(t) T e(t) uchyb regulacji równy różnicy mięzy wartością zaaną i wartością zmiennej procesowej, k p, k I, k współczynniki: wzmocnienia proporcjonalnego, całkowego i różniczkowego, T I czas całkowania [sek], T czas różniczkowania [sek], T stała czasowa inercji regulatora. la T=0 uzyskuje się iealny regulator I. W technice mikroprocesorowej inercja wprowazana bywa celowo, zaś w realizacjach analogowych regulatora była niemożliwa o uniknięcia. Transmitancja regulatora IIN: R(s) = k p 1 T I s T s 1Ts (1) (2) realizowana jest przez strukturę równoległą (rys.1a) a) o e I TI T b) o e I Ti T Rys. 1. Struktury regulatorów: a) równoległa (IIN), b) szeregoworównoległa IISA ( o wartość zaana, wartość zmiennej procesowej, sygnał wyjściowy regulatora) 100% = 2 p = 50% = 1 p = 100% = 0,5 p = 200% Skłaowa proporcjonalna : sygnał wyjściowy jest proporcjonalny o sygnału wejściowego, = k p e = e p 100% o 100% 50% 25% 25% 50% 100% Rys.2. Charakterystyki statyczne członu proporcjonalnego o różnych nastawach. p = 1 k p 100% k p współczynnik wzmocnienia proporcjonalnego (proportional gain) p zakres proporcjonalności (roportional Ban B)[%], wskazuje jaki zakres zmian sygnału wejściowego powouje zmianę sygnału wyjściowego w pełnym zakresie (100%). Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 2
Rys.3. Opowieź członu całkującego na skokową zmianę uchybu regulacji Skłaowa całkowa I : prękość zmian sygnału wyjściowego jest proporcjonalna o sygnału wejściowego (rys.3), I = k I e = e, T I = 1 e I T I Czas TI, po którym przyrost sygnału wyjściowego członu całkującego zrówna się z przyrostem sygnału wejściowego nazywa się stałą czasową całkowania lub czasem całkowania. Skłaowa : sygnał wyjściowy jest proporcjonalny o szybkości zmian sygnału wejściowego (rys.4). e = k = T e Rys.4. Opowieź członu różniczkującego na liniową zmianę uchybu regulacji T czas, po którym przyrost sygnału wejściowego narastającego liniowo zrówna się z przyrostem sygnału członu różniczkującego nazywany jest stałą czasową różniczkowania lub czasem różniczkowania. Wyłączając w równaniu (1) współczynnik wzmocnienia prze nawias otrzymuje się częściej wykorzystywane równanie regulatora o nastawach zależnych (tzw. IISA, stanarowy lub EENENT, ale także szeregowo równoległy a nawet ieal, parallel, noninteracting) w postaci: gzie: (t) = k p [e(t) 1 k p T I e(t) T k p ] = = k p [e(t) 1 T i e(t) T ] (3) k p współczynnik wzmocnienia proporcjonalnego (w równaniu I ISA oznaczany niekiey także k c ), T i = k p T I czas zwojenia [sek], T = T k p czas wyprzezenia [sek]. Skrót ISA pochozi o Ieal Stanar Algorithm. Na rys.5 przestawiono opowiezi regulatorów I na skokową zmianę sygnału wejściowego. Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 3
,e k p T'i T'I TI, T'i Ti "czas cofnięcia" 0 5 10 20 opowieź regulatora o nastawach zależnych z ustawionym czasem zwojenia T'i = 10 s, k p = 2 ( T'I = T'i / = 5 s) opowieź regulatora o nastawach niezależnych z ustawionym czasem całkowania T I = 10 sek, =2 lub ekwiwalentnego regulatora o nastawach zależnych z ustawionym czasem zwojenia Ti = TI = 20 s, k p = 2 t [s] Rys.5. Opowiezi regulatorów I na skokową zmianę sygnału wejściowego. I = k p e 1 T I e I IN (4) I = k p ( e 1 T i e) I ISA (5) T i = k p T I (6) ojęcie czas zwojenia ma sens tylko w regulatorach z ziałaniem proporcjonalnym jako że chozi tu o czas, po którym przyrost skłaowej całkowej zrównuje się z przyrostem skłaowej proporcjonalnej k p e. W momencie tym nastepuje powojenie wartości sygnału wyjściowego regulatora I. Spotyka się także inne określenia parametru czas zwojenia. W literaturze anglosaskiej nazywany też jest reset time, integral time i poawany w [sek] ([sek/repeat]) lub owrotność tego czasu k i (reset rate)[sek] 1 ([repeat/sek]). W niektórych regulatorach za postawową jenostkę czasu przyjmuje się minutę i należy wówczas przeliczyć opowienio nastawy prze wprowazeniem ich wartości o urzązenia. ojęcia reset i repeat mają tu ten sam sens co omówione powyżej zwojenie. Czas zwojenia w literaturze niemieckiej nazywany jest czasem cofnięcia T n (nachstellzeit ), ponieważ pokazuje o jaki czas należałoby cofnąć przebieg opowiezi I, by począwszy o momentu wymuszenia skokowego była równa opowiezi I. W literaturze technicznej nazywany też jest czasem izoromu (czyli równej rogi w omyśle: skłaowej I i skłaowej sygnału). Na rys.6 przestawiono opowiezi regulatorów na liniowo narastający sygnał wejściowy. T'.,e k t T' "czas wyprzezenia" 0 5 10 20 T T, T' k' t opowieź regulatora o nastawach niezależnych z ustawionym czasem różniczkowania T = 10 s, = 2 lub ekwiwalentnego regulatora o nastawach zależnych z ustawionym czasem wyprzezenia T= T/ = 5 s Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 4 t [s] opowieź regulatora o nastawach zależnych z ustawionym czasem wyprzezenia T' = 10 s, = 2 (T' = T' = 20 s) Rys.6. Opowiezi regulatorów na liniowo narastający sygnał wejściowy = k p e T e I IN (7)
e = k p ( e T ) I ISA (8) T = T k p (9) ojęcie czas wyprzezenia ma sens tylko w regulatorach z ziałaniem proporcjonalnym jako że chozi tu o czas, po którym przyrost skłaowej proporcjonalnej k p e zrównuje się z przyrostem skłaowej różniczkowej. Spotyka się także inne określenia parametru czas wyprzezenia. W literaturze anglosaskiej nazywany też jest erivative time, rate lub preact i poawany w [sek] lub czasami w [min]. Czas wyprzezenia w literaturze niemieckiej nazywany jest vorhaltzeit i oznaczany T v, ponieważ pokazuje o jaki czas regulator jest szybszy o regulatora. Regulatory mikroprocesorowe oferują często oatkowe algorytmy nieklasyczne, np. progresywny uwzglęniający także rugą pochoną czasową zmian ochyłki regulacji. rzyjmując określone wartości współczynników w równaniu regulatora I można otrzymać także regulator proporcjonalny (), proporcjonalnocałkujący (I), całkujący (I) lub proporcjonalnoróżniczkujący (). Oprócz struktury stanarowej, równoległej (ISA) stosowanej w większości regulatorów istnieją również jej omiany. o e I Ti T (s) = k p [T sx(s) (1 1 )E(s)] (10) T i s o e I Ti T (s) = k p [(1 T s)x(s) 1 T i s E(s)] (11) Rys.7. Struktury szeregoworównoległe regulatora I Wykorzystywane są, gy często występują zmiany wartości zaanej i reagowanie regulatora na te zmiany jest niepożąane. o uwagę brane są wtey tylko zmiany sygnału zmiennej procesowej. Trzecią wykorzystywaną strukturą regulatora I jest tzw. struktura szeregowa, z interakcją (interacting), analogowa (analog) lub klasyczna(classical). Wpływ każej skłaowej algorytmu I można przestawić na prostym przykłazie, gy uchyb regulacji zmienia się sinusoialnie, a wszystkie nastawy regulatora są równe jeen (rys. 8 ) Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 5
Rys. 8. Wpływ skłaowych,i i na sygnał wyjściowy regulatora I (k p = T i = T =1) Sygnał wyjściowy regulatora (t) = (t) I (t) (t), (12) uchyb regulacji: e(t) = sin t, (13) skłaowa proporcjonalna: (t) = e(t) = sin t, (14) skłaowa całkowa: korzystając ze wzoru NewtonaLeibnitza b f() = F(b) F(a), (15) a gzie F()C jest funkcją pierwotną la f() (f() jest pochoną funkcji F() C) t I (t) = sin t = [ cost C] t 0 0 = cost ( cos0) = cost 1, (16) zaś skłaowa różniczkowa (t) = = cos t. (17) Skłaowa proporcjonalna powtarza zmiany uchybu regulacji i zmienia znak w punkcie, gy uchyb równy jest zeru. Wykorzystanie wyłącznie skłaowej proporcjonalnej (regulator ) nie oprowaza o osiągnięcia wartości zaanej w stanie ustalonym. chyb w stanie ustalonym można zmniejszyć zwiększając współczynnik wzmocnienia regulatora, ale może to oprowazić o niestabilności ukłau regulacji. Skłaowa całkowa przez cały okres zmian uchybu (niezależnie o jego znaku) ma wartość oatnią. W punkcie przejścia uchybu przez zero (zmiana wartości z oatniej na ujemną) osiąga wartość maksymalną, a następnie zmniejsza swą wartość, choć uchyb zaczyna maleć znacznie wcześniej. Tym samym skłaowa całkowa wprowaza opóźnienie w reagowaniu sygnału wyjściowego regulatora na zmiany uchybu regulacji, co oznacza zwiększenie ryzyka niestabilności ukłau. Celem wprowazenia skłaowej całkowej jest eliminacja uchybu regulacji w stanie ustalonym opowiezi na zakłócenie skokowe. Skłaowa różniczkowa zmniejsza wartość sygnału wyjściowego regulatora z wyprzezeniem w stosunku o momentu zmiany znaku uchybu i tym samym wprowaza ziałanie stabilizujące. Mikroprocesorowa realizacja regulatorów wymaga yskretnych algorytmów realizacji równania regulatora. Otrzymuje się je yskretyzując czas z krokiem, zastępując pochone różnicami skończonymi, a całkę opowienim algorytmem wykorzystującym sumowanie. Sygnał wyjściowy regulatora I ISA (s) = k p (1 1 T i s T s) E(s), (18) może być obliczany na postawie algorytmu pozycyjnego, gy liczona jest każorazowo wartość sygnału w każej yskretnej chwili czasowej, lub algorytmu przyrostowego, gy liczone są jeynie zmiany w stosunku o poprzeniej chwili czasowej. Algorytm pozycyjny: całkowanie metoą Eulera (prostokątów) n = k p [ e n n e T j=1 j T n e n 1 ) i ], (19) całkowanie metoą trapezów Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 6
n = k p [ e n n 1 j e j1 ) T i 2 j=0 T n e n 1 ) ]. (20) Algorytm przyrostowy: całkowanie metoą Eulera (prostokątów) całkowanie metoą trapezów n n 1 = k p [ n e n 1 e T n T n 2e n 1 e n 2 ) ], (21) i n n 1 = k p [ n e n 1 2T n e n 1 ) T n 2e n 1 e n 2 ) ], (22) i Sygnał wyjściowy regulatora I IN (t) (t) = k p e(t) k i e(t) k. (23) = k p k i ( e(t)) k 2 e(t) (24) 2 (t) = k p k i e(t) k ( ) (25) Równanie to pozwala zbuować algorytm przyrostowy: Δ = k Δe p k Δ ie k (Δe ) (26) krok yskretyzacji czyli czas cyklu obliczeniowego, więc: = k p e k i e k ( e ) (27) rzyrost jest różnicą mięzy bieżącą wartością a wartością wyjścia w poprzenim cyklu: = n n 1 (28) la ochyłki : e = e n e n 1 (29) Ostatecznie wzór na bieżącą wartość sygnału wyjściowego: n = n 1 k p n e n 1 ) k i e n k n 2e n 1 e n 2 ) (30) ojeynczy klasyczny regulator I jest w wielu aplikacjach wystarczający o osiągnięcia celu regulacji. Jest także wykorzystywany o realizacji zaawansowanych algorytmów sterowania: w ukłaach kaskaowych, selekcyjnych, z preyktorem Smitha, ukłaach naążających za moelem MFC (Moel Following Controller), ukłaach sterowania preykcyjnego MC (Moel reictive Control) Sieci przemysłowe rofibus i MI w automatyce 7