Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Automatyka zastosowania, metody i narzędzia, perspektywy Synteza systemów sterowania z wykorzystaniem regulatorów PID Materiały pomocnicze do zajęć laboratoryjnych 1 Opracowanie: Robert Piotrowski, dr inż. Bartosz Puchalski, mgr inż. Michał Grochowski, dr inż.

2 Wstęp Regulatory PID są powszechnie wykorzystywane praktycznie w każdej gałęzi przemysłu. Stanowią one podstawowe wyposażenie cyfrowych urządzeń automatyki, np. sterowników programowalnych. Regulatory PID przypomnienie wiadomości Podstawową strukturę jednowymiarowego układu regulacji pokazano na rysunku 1. z y zad + e Regulator m Urządzenie wykonawcze Obiekt sterowania y Urządzenie pomiarowe Rys. 1. Podstawowa struktura układu regulacji gdzie: y wielkość regulowana (sterowana), y zad wielkość zadana, m wielkość regulująca (sterująca), z wielkość zakłócająca, e uchyb (błąd) regulacji. Wśród licznych metod sterowania, podstawowymi regulatorami używanymi w praktyce przemysłowej są regulatory PID. Ich działanie oparte jest o przetwarzanie sygnału uchybu regulacji e z wykorzystaniem trzech elementarnych operacji: wzmocnienia część proporcjonalna P regulatora, całkowania część całkująca I regulatora oraz różniczkowania część różniczkująca D regulatora. Ze względu na wykorzystanie poszczególnych składowych w sygnale generowanym przez regulator, praktyczne zastosowanie znalazły następujące rodzaje regulatorów: P, PI, PD i PID. Szczegółową charakterystykę tych regulatorów można znaleźć np. w pracach [2,3]. W dalszej części opracowania przedstawiony zostanie regulator PID. 2

3 Wielkość nastawiająca m a). Idealny regulator proporcjonalno całkująco różniczkujący PID Sygnał wyjściowy z idealnego regulatora PID jest postaci: gdzie: k p współczynnik wzmocnienia, i stała czasowa całkowania, d stała czasowa różniczkowania m t k e t e t t 1 d e p d (1) i d t k p, i i d to tzw. nastawy regulatora. ransmitancja operatorowa idealnego regulatora PID ma postać: 1 G r s k p 1 s d (2) s i Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe idealnego regulatora PID przedstawiono na rysunkach 2-4. E (s) G r (s) = k p (1+1/s i +s d ) M (s) Y (s) k p α tg α = k p / i Czas t Rys. 2. Charakterystyka skokowa idealnego regulatora PID Im(ω) k p ω Re(ω) Rys. 3. Charakterystyka amplitudowo fazowa idealnego regulatora PID (charakterystyka Nyquist a) 3

4 a). L (ω) [db] 2 db/dek + 2 db/dek 2 log k p b). φ (ω) [rad] 1/ i 1/ d log ω [rad/s] π/2 π/2 1 1 / i d log ω [rad/s] Rys. 4. Charakterystyki logarytmiczne idealnego regulatora PID (charakterystyki Bode a): a). modułu, b). fazy W praktyce nie jest możliwe uzyskanie różniczkowania w pełnym zakresie częstotliwości. W związku z tym możliwe do zrealizowania regulatory mają inercję ograniczającą częstotliwościowo efekt różniczkowania i tym samym otrzymujemy: rzeczywisty regulator PD i rzeczywisty regulator PID. b). Rzeczywisty regulator proporcjonalno całkująco różniczkujący PID Sygnał wyjściowy z rzeczywistego regulatora PID jest postaci: m t k p e t e 1 i t t d e (3) ransmitancja operatorowa rzeczywistego regulatora PID ma postać: 1 s d G r s k p 1 (4) s i s 1 Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe rzeczywistego regulatora PID przedstawiono na rysunkach

5 Wielkość nastawiająca m G r (s) = k p (1+1/s i +s d /(s+1)) M (s) k p (1+ d /) tg α = k p / i Y (s) k p α Czas t Rys. 5. Charakterystyka skokowa rzeczywistego regulatora PID Im(ω) ω kp k p(1+ d /) Re(ω) Rys. 6. Charakterystyka amplitudowo fazowa rzeczywistego regulatora PID (charakterystyka Nyquist a) a). L (ω) [db] 2 log k p (1+ d /) 2 log k p b). φ (ω) [rad] 1/ i 1/ d 1/τ log ω [rad/s] π/2 π/2 1 / 1 log ω [rad/s] Rys. 7. Charakterystyki logarytmiczne rzeczywistego regulatora PID (charakterystyki Bode a): a). modułu, b). fazy i d 2 Dobór nastaw regulatora PID W praktyce musimy wybrać rodzaj regulatora i określić jego nastawy. Metody doboru nastaw regulatora PID dzielą się na dwie grupy: metody inżynierskie, metody z wykorzystaniem optymalizacji. 5

6 1. Inżynierskie metody doboru nastaw regulatora PID Wśród wielu inżynierskich metod doboru nastaw można wymienić np. pierwszą i drugą metodę Zieglera Nicholsa, metodę Passena, metodę Cohena-Coona, metodę Åströma-Hägglunda (przekaźnikowa), metodę Hassena i Offereissena. Ich szczegółowy opis można znaleźć np. w pracach [1,7]. W dalszej części opracowania zostaną przedstawione dwie z nich. a). Pierwsza metoda Zieglera Nicholsa Ogólnie obiekty regulacji mogą być podzielone na statyczne i astatyczne. ransmitancję obiektów statycznych można aproksymować transmitancją operatorową postaci: K G s e s 1 s (5) natomiast transmitancję obiektów astatycznych można aproksymować transmitancją operatorową postaci: ' K s K s G s e e (6) s s gdzie: K zastępczy współczynnik proporcjonalności obiektu, zastępcza stała czasowa obiektu, zastępcze opóźnienie obiektu. Parametry K, i wyznacza się na podstawie odpowiedzi obiektu na wymuszenie skokowe (rysunek 8). a). y(t) K*u b). y(t) K*u α = arctg K*u t α dla K = 1 t Rys. 8. Wyznaczenie parametrów K, i : a). obiektu statycznego, b). obiektu astatycznego 6

7 Badania Zieglera i Nicholsa pokazały, że odpowiedź skokowa większości układów sterowania ma kształt zbliżony do tych z rysunku 8. Można ją otrzymać z danych eksperymentalnych lub dynamicznej symulacji obiektu. Ziegler i Nichols symulacyjnie badali różne obiekty regulacji i stroili parametry regulatorów, aż do uzyskania odpowiedzi przejściowych zanikających do 25% poprzedniej wartości w jednym okresie. ym sposobem uzyskali oni konkretne K wartości nastaw w zależności od rodzaju regulatora ( a ): Dla regulatora P: 1 k p a, Dla regulatora PI: k,9 p a, i 3, Dla regulatora PID: k 1,2 p a, i 2, d,5. Pierwsza metoda Zieglera Nicholsa daje dobre rezultaty, gdy spełniony jest następujący warunek:,15,6 (7) b). Druga metoda Zieglera Nicholsa Jest to najbardziej znana, eksperymentalna metoda wyboru regulatora i jego nastaw. Sposób postępowania jest następujący: Zakłada się, że dany jest obiekt regulacji, którego opis matematyczny nie musi być znany. Do obiektu regulacji dołącza się regulator. Wyłącza się całkujące i różniczkujące działanie regulatora (tzn. nastawia się maksymalną wartość stałej czasowej całkowania i i minimalną wartość stałej czasowej różniczkowania d ) i np. dla jednostkowego wymuszenia skokowego, stopniowo zwiększa się współczynnik wzmocnienia k p regulatora, dochodząc do granicy stabilności. 7

8 W stanie oscylacji nietłumionych mierzy się ich okres osc. Następnie, otwierając układ regulacji, mierzy się wartość współczynnika wzmocnienia, przy którym te oscylacje występują. Otrzymaną wartość Wartość tę przyjmuje się jako docelową. kr k kr k dzieli się przez 2 uzyskując tym samym k,5k. Przy określonym rodzaju wymuszenia dokonuje się rejestracji wielkości wyjściowej obiektu w celu zastosowania przyjętego wskaźnika jakości. Gdy przebieg wyjściowy nie spełnia stawianych wymagań, wówczas w celu jego poprawy dokonuje się przełączenia regulatora z P na PI lub PID. W zależności od rodzaju regulatora należy przyjąć: Dla regulatora P: k,5k, p osc Dla regulatora PI: k p,45k kr, i, 1,2 osc Dla regulatora PID: k,6k,,5,. 8 p kr kr i osc d p kr Druga metoda Zieglera Nicholsa oparta jest na wykorzystaniu tylko dwóch parametrów: osc i k kr, charakteryzujących granicę stabilności danego układu regulacji. Nie jest to zatem metoda bardzo dokładna, ale prosta i zapewniająca stabilną pracę zamkniętego układu regulacji. Zastosowanie tej metody wymaga doprowadzenia układu regulacji do nietłumionych oscylacji, ale nie ma potrzeby identyfikacji dynamiki obiektu regulacji. Metoda ta zapewnia dobre tłumienie zakłóceń, ale daje mały zapas fazy i duże przeregulowanie dla skokowych zmian wartości zadanej. 2. Metody doboru nastaw regulatora PID z wykorzystaniem optymalizacji W metodach doboru nastaw wykorzystujących optymalizację niezbędne jest zastosowanie jednoznacznej oceny doboru nastaw, czyli zaproponować funkcję celu. Do jej budowy wykorzystuje się rozmaite kryteria całkowe. Uwzględnia się w nich rozmaite wielkości, np. uchyb regulacji, czas regulacji, szybkość zmian uchybu regulacji. Przykładowe kryteria: 8

9 całki uchybu: t I e dt (8) całki kwadratu uchybu (ang. Integral of Square of the Error ISE): całki uchybu i czasu: t 2 I e dt (9) t I te dt (1) całki modułu z uchybu (ang. Integral of the Absolute value of the Error IAE): t I e dt (11) całki modułu z uchybu i czasu (ang. Integral of the ime and weighted Absolute Error IAE): t I t e dt (12) całki sumy kwadratu uchybu i kwadratu pochodnej uchybu z wagą: 2 I e t a et dt (13) całki modułu różnicy uchybu dynamicznego i statycznego: t I e est dt (14) modułu całki różnicy uchybu dynamicznego i statycznego: t I [ e est ] dt (15) całki kwadratu różnicy uchybu dynamicznego i statycznego: t 2 I [ e est ] dt (16) 9

10 Najbardziej popularnymi kryteriami całkowymi są: ISE, IAE oraz IAE. Ich krótka charakterystyka została zawarta poniżej [5]: Wykorzystanie kryterium IAE owocuje otrzymaniem dobrze tłumionego układu regulacji, dla układów drugiego rzędu współczynnik tłumienia jest bliski,7 prawie jak dla kryterium IAE. Wykorzystanie kryterium ISE daje współczynnik tłumienia na poziomie,5. Kryterium ISE nie jest wrażliwe na zmienność parametrów, w przeciwieństwie do kryterium IAE. Aby ograniczyć duże błędy regulacji (wartości > 1), kryterium ISE jest lepsze od kryterium IAE, gdyż uchyb e jest w tym kryterium podniesiony do kwadratu (im większe błędy regulacji tym większa wartość wskaźnika ISE). Aby ograniczyć małe błędy regulacji (wartości < 1), kryterium IAE jest lepsze od ISE (analogicznie do punktu powyżej). Aby ograniczyć błędy regulacji, które trwają przez długi okres czasu, kryterium IAE jest najlepszym kryterium, gdyż współczynnik t zwiększa wartość długo utrzymujących się małych błędów regulacji (np. uchyb w stanie ustalonym). W ogólności wynikiem działania tego kryterium są małe oscylacje oraz małe przeregulowania. Dla prostych liniowych obiektów sterowania możliwe jest analityczne wyznaczenie nastaw regulatorów PID z kryteriów całkowych [4]. W innych przypadkach konieczne jest wykorzystanie metod numerycznych i profesjonalnych inżynierskich środowisk programistycznych. Ciekawą analizę wybranych metod doboru nastaw regulatorów PID w sterowaniu suwnicą 3D przedstawiono w pracy [6]. Wieloobszarowy (ang. multiregional) regulator PID Nie jest możliwe efektywne sterowanie obiektem nieliniowym (silnie) w pełnym zakresie zmian jego punktu pracy, przy pomocy jednego uniwersalnego liniowego prawa sterowania (czyli jednych nastaw regulatora PID). W związku z tym konieczne jest stosowanie różnych nastaw regulatorów w zależności od aktualnego punktu pracy. Aby zidentyfikować liczbę i zakres takich obszarów należy przeanalizować charakterystykę statyczną obiektu. Na podstawie analizy należy dokonać 1

11 aproksymacji charakterystyki modelami liniowymi (zlinearyzować nieliniowy model w różnych - charakterystycznych, punktach pracy). Następnie dla tak utworzonych modeli liniowych należy dobrać odpowiednie nastawy "lokalnych" regulatorów PID. Powstałe regulatory mogą być przełączane w zależności od punktu pracy w sposób twardy (sygnał sterujący oddziaływający na obiekt pochodzi z jednego, wybranego lokalnego regulatora) lub w sposób miękki (sygnał sterujący oddziaływający na obiekt jest generowany na bazie dwóch lub więcej lokalnych regulatorów - wyjścia z regulatorów są ważone algebraicznie lub w sposób rozmyty). Najczęściej lepszym rozwiązaniem jest miękkie przełączanie regulatorów (rysunek 9). PID 1 PID 2 z y zad + e m Urządzenie wykonawcze Obiekt sterowania y PID n Urządzenie pomiarowe Rys. 9. Struktura układu regulacji wieloobszarowej przy użyciu klejonych w sposób rozmyty lokalnych regulatorów PID. Bibliografia 1. Åström K.J., Hägglund. (1995). PID Controllers: heory, Design and uning. 2 nd Edition. Instrument Society of America, North Carolina. 2. Brzózka J. (22). Regulatory cyfrowe w automatyce. Wydawnictwo MIKOM, Warszawa. 3. Brzózka J. (24). Regulatory i układy automatyki. Wydawnictwo MIKOM, Warszawa. 11

12 4. Byrski W. (27). Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo Dydaktyczne Akademii Górniczo Hutniczej w Krakowie, Kraków. 5. Corriou J.-P. (24). Process Control: theory and applications. Springer- Verlag, London. 6. Dziendziel., Gruk M. (214). Wybrane metody doboru nastaw regulatora PID w sterowaniu suwnicą 3D. Praca dyplomowa, Politechnika Gdańska, Wydział Elektrotechniki i Automatyki. 7. Holejko D., Kościelny W.J. (212). Automatyka procesów ciągłych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa. 12