REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ. T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia

Transkrypt

1 REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ Y o (s) - E(s) B(s) /T I s K p U(s) Z(s) G o (s) Y(s) T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p współczynnik wzmocnienia T D s N(s) Regulator PID idealny = + + = + + Regulator PID rzeczywisty = + + = + α + + α +

2 REGULATOR PI = () () = + = gdzie: = jest zerem [db] 20 log = wskaźnikiem wzmocnienia regulatora log Odpowiedź skokowa = + [ ] log 2

3 REGULATOR PD [db] 20 log = + = α + 20 log gdzie: = α + α jest zerem, log = jest biegunem, = + α jest wskaźnikiem wzmocnienia [ ] 90 ( + ) regulatora rzeczywistego PD. 0 ( + ) Odpowiedź skokowa = + Odpowiedź prędkościowa = + log 3

4 REGULATOR PID = + + = + α + + α + = =, =, =, =, = 2, = 2 + gdzie = 4 przy czym = 4 ; ( + ) Odpowiedź skokowa = + + 4

5 Zasady budowy regulatorów e k w T(s) = () () = + () () u Regulator P W celu budowy regulatora typu P (proporcjonalnego) należy w pętli sprzężenia zwrotnego użyć element o transmitancji = = () () = () przy czym = Regulator PI + = + =, = przy czym = Regulator PD + = + =, = 5

6 Inne struktury regulatora PID Połączenie równoległe PI +PD Połączenie szeregowe PI i PD e (s) G PI u e G PI (s) (s) G PD u G PD (s) = +, = + = = + + = + + = + + = +, =, = = +, =, = + 6

7 e k w u e k w u G ( ) G 2 ( s) s G 2( s ) = = = +, = = = = + + = + + przy czym = +, = +, = + = G ( s) +, = + = = + + = () = + + = + + przy czym = +, = +, = + 7

8 Ogólne zasady doboru typu regulatora Z(s) Y o (s) - E(s) B(s) /T I s K p U(s) G o (s) Y(s) T D s N(s) Przewidywane działanie układu ze względu na typ regulatora:. Zmiana uchybu statycznego (przy wymuszeniu skokowym), zmiana przeregulowania i czasu regulacji - zalecany regulator typu P 2. Skrócenie czasu regulacji, zmiana uchybu statycznego, zmiana przeregulowania - zalecany regulator typu PD 3. Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, zmiana przeregulowania, wydłużenie czasu regulacji - zalecany regulator typu PI 4. Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, zmiana przeregulowania, zmiana lub skrócenie czasu regulacji - zalecany regulator typu PID. 8

9 Dobór nastaw regulatorów PID W celu uzyskania jak najlepszej jakości pracy układu regulacji z regulatorem o trzech nastawach (K p, T I, T D ), udział poszczególnych członów regulatora (PID) winien być odpowiednio dobrze dobrany. Jeżeli znany jest dokładny model obiektu, wówczas dobór odpowiednich nastaw może być dokonany droga symulacji cyfrowych lub metodami analitycznymi. Modele obiektów przemysłowych są zwykle nieznane, a zwłaszcza zmieniają się ich parametry techniczne. Wówczas regulatory muszą być strojone metodami empirycznymi. W przemyśle szeroko są stosowane metody eksperymentalnego strojenia regulatorów oparte na identyfikacji parametrów odpowiedzi układu (Ziegler i Nichols, 942r.). Identyfikacja parametrów odpowiedzi na granicy stabilności układu regulacji 2. Identyfikacja parametrów charakterystyki skokowej układu otwartego Celem obu metod jest uzyskanie odpowiedzi układu z tłumieniem oscylacji (dwóch kolejnych przeregulowań) w stosunku m 3 /m = /4. = +, = + t 9

10 Granica stabilności Metoda oparta jest o eksperymentalne wyznaczenie parametrów granicy stabilności, czyli pulsacji przecięcia fazy (okresu drgań nie gasnących T g oraz zapasu wzmocnienia (wzmocnienia krytycznego) K g. Przestawiając regulator na strojenie ręczne ustawiamy układ w jego normalnym punkcie pracy. 2. Ustawiamy regulator na działanie proporcjonalne (t.j. T I =maximum, T D = 0). 3. Nastawiamy niewielką wartość wzmocnienia K p członu proporcjonalnego. 4. Ustawiamy regulator na działanie automatyczne i rejestrujemy odpowiedź skokową układu. 5. Zwiększamy wzmocnienie K p aż do uzyskania wartości K g, t.j., tej, przy której układ uzyskuje drgania niegasnące granica stabilności 6. Określamy okres tych drgań granicznych T g. 7. Wartości tak wyznaczonych parametrów do wstawiamy do tablicy nastaw Ziegler-Nicholsa. yo () e u () y 0

11 Zalecane nastawy regulatora zgodnie wg. Zieglera-Nicholsa Metoda w oparciu o parametry granicy stabilności = = 0,5 = + = 0,45 = 0,85 = + + = 0,6 = 0,5 = 0,25 Metoda w oparciu o parametry odpowiedzi skokowej układu otwartego = = = + = 0,9 = + + =,2 = 3,3 = 2 = 0,5

12 Metoda w oparciu o parametry odpowiedzi skokowej układu otwartego Metoda zakłada model dynamiki obiektu jako inercyjny z dominującą stałą czasową T oraz opóźnieniem transportowym = +. Przestawiając regulator na strojenie ręczne ustawiamy układ w jego normalnym punkcie pracy (układ otwarty) 2. Podaj niewielkie wymuszenie skokowe na wejście układu (obiektu). 3. Znajdź odcinek na krzywej odpowiedzi o maksymalnym nachyleniu R (punkt przegięcia) i wykreśl styczną w tym punkcie. 4. Określ opóźnienie = 5. Znając tak wyznaczone parametry R i L korzystamy z odpowiedniej tabeli nastaw regulatora (poprzednia strona) () h() P h h() h h( ) () = h( ) 2

13 = + + Próba skoku =, ,5 = 0,6 + Granica stabilności = 0,6 + 0,5 + 0, = 0,075 = 0,6 = wskaźniki wzmocnienia regulatora = 0,075, = zera regulatora, = 4 = 2, = 2 3

14 Wybrane metody analityczne ) Metoda Zieglera-Nicholsa, służąca do syntezy regulatora liniowego suboptymalnego, w sensie tej metody, oparta na zapasie stabilności układu regulacji. 2) Metoda kompensacji (skreślania) dominujących biegunów układu otwartego za pomocą odpowiednio dobranych zer regulatora liniowego wraz z metodą linii pierwiastkowych. Zakłada się tu, że kompensacji podlegają bieguny stabilne układu otwartego oraz, że ich lokalizacja podlega niewielkim wahaniom, zależnie od warunków pracy układu. 4

15 Procedura wyznaczania parametrów regulatora PID metodą Zeiglera - Nicholsa Stosując metodę regulator połączony kaskadowo z obiektem ustawia się na działanie P przy =. Korzystając z twierdzenia Nyquista o stabilności układu zamkniętego można obliczyć wartość graniczną wzmocnienia regulatora =, przy której układ znajdzie się na granicy stabilności oraz wartość okresu drgań granicznych = 2. Procedura ta sprowadza się zatem do wyznaczenia wartości pulsacji z równania Im () = 0 i następnie podstawienia jej do wzoru = ( ). Mając wartości i należy wyznaczyć nastawy regulatorów zgodnie z tabelą na str. 2. 5

16 Przykład. Dany jest URA złożony z obiektu regulacji opisanego transmitancją operatorową = i szeregowego regulatora idealnego o transmitancji operatorowej = + + Należy wyznaczyć nastawy regulatora stosując metodę Zieglera-Nicholsa. Rozwiązanie Podstawiając = uzyskuje się postać transmitancji widmowej układu otwartego = przy czym = = , = =

17 Rozwiązując równanie = = 0 otrzymujemy wartość pulsacji drgań niegasnących granicznych. Zapas wzmocnienia układu wynosi = = 3 2 =,225 = = 2,5. 9 Otrzymaliśmy: = 2,5, = 2 = 5,3 s. Nastawy regulatora wynoszą: = 0,6 = 7,5, = 0,5 = 2,6, = 0,25 = 0,64 a jego transmitancja będzie miała postać = + + = 7,5 + 2,6 + 0,64. Odpowiedzi skokowe jednostkowe układu regulacji przed korekcją 7

18 () = L + s i po korekcji z zastosowaniem regulatora () = L + s pokazane są na rysunku obok. Zastosowany tutaj regulator z wprowadził astatyzm do układu i przez to likwidację uchybu położeniowego Odbyło to się kosztem znacznego wzrostu przeregulowania i zwiększenia czasu regulacji. Na ten wzrost wartości owych wskaźników miała wpływ zastosowana tutaj metoda doboru nastaw regulatora Rys. Porównanie odpowiedzi skokowych jednostkowych układu bez regulatora i z regulatorem PID t 8

19 Przykład 2. Dany jest układ regulacji automatycznej z obiektem opisanym transmitancją = i regulatorem PID o transmitancji wskazanej w przykładzie. Wyznaczyć nastawy regulatora metodą Zieglera-Nicholsa. Rozwiązanie Transmitancja układu zamkniętego z regulatorem o działaniu proporcjonalnym = ma postać = + = Stosując kryterium Hurwitza do równania charakterystycznego = 0 otrzymujemy obszar stabilności układu 0 < <,2. 9

20 Wartość graniczną wzmocnienia, wynoszącą =,2, wstawiamy do równania charakterystycznego układu zamkniętego i po podstawieniu = otrzymujemy = 6 +,2 + 5 = 0. Przyrównując część rzeczywistą lub urojoną do zera znajdujemy wartość pulsacji granicznej = 5 = 0,447 rad s i stąd okres drgań niegasnących wynosi = 2 = 2 3,4 0,447 4 s. Optymalne w sensie metody Zieglera-Nicholsa nastawy regulatora wynoszą: = 0,6 = 0,72, = 0,5 = 7 s, = 0,25 =,75 s, a jego transmitancja będzie miała postać = + + = 0, ,75. 20

21 2 = 62% % = 39, Jak widać, zastosowana tutaj metoda doboru nastaw regulatora pozwoliła znacznie skrócić czas regulacji, zwiększyła się tłumienność odpowiedzi przy mniejszej pulsacji drgań. Niewiele natomiast zmniejszyła się wartość przeregulowania, pozostając na dość wysokim poziomie 62%. Chwila wystąpienia przeregulowania i czas narastania pozostały w zasadzie takie same, jak w układzie bez regulatora. Rys. Porównanie odpowiedzi skokowych jednostkowych układu bez regulatora i z regulatorem PID. 2

22 Metoda Evansa linii pierwiastkowych Linie pierwiastkowe jest to miejsce geometryczne położeń pierwiastków (m.g.p.) równania charakterystycznego (a) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej układu zamkniętego, otrzymane przy uzmiennianiu współczynnika wzmocnienia układu otwartego. Dla schematu blokowego układu regulacji przedstawianego na rysunku obok równanie charakterystyczne układu zamkniętego jest równoważne równaniu () Rys. Schemat blokowy układu regulacji stosowany przy korzystaniu z metody linii pierwiastkowych + = + = 0 czyli = = (a) Na tej podstawie możliwe położenie pierwiastków układu zamkniętego jest określone przez warunek argumentu arg =, gdzie nieparzyste dla > 0 (b) oraz warunek modułu = (c) 22

23 W przypadku analizy układu regulacji dla określenia kształtu linii pierwiastkowej korzysta się warunku argumentu (b), z warunku modułu (c), korzysta się zaś dla określenia położenia pierwiastków na linii pierwiastkowej przy konkretnych wartościach wzmocnienia K. W przypadku natomiast syntezy (projektowania) układu regulacji, mając z góry narzucone, oczekiwane położenia pierwiastków układu, wyznacza się niezbędną wartość wzmocnienia K w układzie otwartym, tak aby była spełniona tożsamość (a). Mając na uwadze łatwy dostęp do komputerów oraz szerokiej gamy procedur matematycznych w tym pakietów dedykowanych dla celów automatyki, linie pierwiastkowe można określić bezpośrednio z definicji (a). W prostym przypadku układu otwartego o zerach i biegunach rzeczywistych transmitancja układu dana jest zwykle jako ułamek w postaci = = =0 =0 + +, < + = (d) stosowanej przy analizie i syntezie układów metodami częstotliwościowymi. Otóż w zastosowaniach metody linii pierwiastkowych dogodnie jest stosować nieco odmienną postać transmitancji, a mianowicie = =0 =0 w której k jest wskaźnikiem wzmocnienia dany wzorem, (e) 23

24 = =0 =0, =, = są zerami i biegunami transmitancji układu otwartego, ) punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych odpowiadają wartościom granicznym wzmocnienia =, które mogą być także wyznaczone przy użyciu kryterium stabilności Hurwitza lub Nyquista 2) wartość bezwzględna K dla dowolnego punktu należącego do linii pierwiastkowej wynika z warunku modułu (c), czyli = = =0 =0 =0 + + =0, (g) Miejsca geometryczne położeń pierwiastków bieguny układu regulacji - mają ścisły związek z własnościami dynamicznymi zamkniętego układu regulacji. Im bliżej osi liczb urojonych przebiegają linie pierwiastkowe, tym mniejsze jest tłumienie układu. Stan przejściowy, nieustalony, trwa dłużej. Z położenia biegunów układu zamkniętego można określić takie wielkości charakteryzujące zachowanie się układu, jak: - względny współczynnik tłumienia, - częstotliwość drgań 24

25 własnych, - częstotliwość drgań nietłumionych, graniczną wartość współczynnika wzmocnienia. Należy zwrócić uwagę, że wykres linii pierwiastkowej uzupełnia kryterium Nyquista. Sposób określenia tych wielkości ilustruje rysunek na następnej stronie. 25

26 Im{s} = + = cos = Re{s} Rys. Sposób wyznaczania parametrów charakteryzujących dynamikę układu zamkniętego, takich jak: względny współczynnik tłumienia, pulsację drgań nietłumionych i własnych na wykresie miejsc geometrycznych pierwiastków. 26

27 Przykład 3. Dla układu z przykładu 2 należy dokonać takiej korekcji nastaw regulatora, aby uzyskać znaczne skrócenie czasu regulacji. Im Linie pierwiastkowe układu automatycznej regulacji z przykładu 2 bez regulatora (linie czarne) i z regulatorem PID idealnym (linie niebieskie) pokazane są na rysunku obok. W celu skrócenia czasu regulacji należy zmienić położenie pary zer regulatora przesuwając je bliżej początku układu współrzędnych. Aktualna wartość zer wynosi =, , = 4 = 4 4 = 0,284 Niech położenie pary zer regulatora zostanie skorygowane o połowę, czyli o połowę zmniejszy się dystans do początku układu współrzędnych, =, 2 = 0, =,2 Re

28 Stałe czasowe regulatora po korekcji położeń jego zer przyjmą wartości = 2 = 4,05, = 2 = 3,5 Im 0.8 = = 0,72 + 4,05 + 3,5 0.2 lub (s) = 2,53 (s + 0,42) s Re -0.2 Na rysunku obok kolor zielony reprezentuje linie pierwiastkowe układu regulacji po korekcji położeń zer regulatora (układu). Zera układu są bliżej biegunów położonych w początku układu współrzędnych

29 () Odpowiedzi skokowe układu regulacji przed korekcją położeń zer regulatora (kolor niebieski) i po korekcji (kolor zielony)

30 Procedura wyznaczania parametrów regulatora PID metodą kompensacji (skreślania) biegunów dominujących poprzez odpowiedni dobór zer, regulatora = + + = + s + = gdzie: = i = są zerami regulatora, = wskaźnik wzmocnienia regulatora przy czym wartości współczynników pomocniczych i dla zadanego stosunku = 4 wyznacza się z zależności = 2, = 2 + i gdzie = 4 ;. Niech jedno z zer regulatora, np. przyjmie wartość jednego z biegunów dominujących obiektu. 2. Biorąc pod uwagę, że = przyjąć wartość 4 i obliczyć wartość czasu wyprze- dzenia =, przy czym =, i gdzie = 4 3. Sprawdzić czy drugie zero regulatora = (przy czym = bliską wartości drugiego bieguna dominującego obiektu. ) uzyskało wartość 30

31 4. Jeżeli nie, należy przyjąć inną wartość i powtórzyć obliczenia jak w pkt. 2 i 3. Jeżeli wartość zera będzie bardzo bliska lub równa wartości bieguna obiektu obliczyć wartość czasu zdwojenia = regulatora. 5. Na podstawie dopuszczalnej wartości przeregulowania w odpowiedzi skokowej układu regulacji należy określić dopuszczalną wartość wzmocnienia regulatora. 3

32 Przykład 4. Dany jest układ regulacji z kaskadowo połączonymi obiektem opisanym transmitancją operatorową =, gdzie wskaźnik wzmocnienia oraz bieguny wynoszą i regulatorem = 2, = 0,25 s, = s, = 4 s. = = + + =. gdzie: = i = są zerami, = jest wskaźnikiem wzmocnienia regulatora idealnego PID, przy czym wartości współczynników pomocniczych i, dla zadanej wartości współczynnika proporcjonalności = 4 są wyznaczane ze wzorów = 2, = 2 + i gdzie = 4. 32

33 Stosując metodę kompensacji dominujących biegunów układu otwartego oraz metodę linii pierwiastkowych dobrać nastawy regulatora przyjmując stopień oscylacyjności =. Rozwiązanie Dominujący biegun obiektu = 0,25 skompensujemy dominującym zerem regulatora, czyli = = 0,25 W układzie wystąpi pełna kompensacja- skreślenie - bieguna. W efekcie tego zabiegu pozostanie w układzie kolejny biegun dominujący =. Ten zaś może być skompensowany pozostałym zerem regulatora = Aby osiągnąć wartość zera jak najbliższą wartości bieguna, przyjmujemy współczynnik proporcjonalności = = 6,2. Wtedy wyróżnik ma wartość = 4 = 6,2 2,2 = 3,69. a wartości współczynników pomocniczych wynoszą = 2 = 2 6,2 6, = 4,94, = 2 + = 2 6,2 6, =,25. 33

34 Mając wartości tych współczynników, na podstawie zależności = = 0.25, wyznaczamy nastawy czasów wyprzedzenia i zdwojenia regulatora = 0,25 = 0,8, = = 6,2 0,8 = 5,02 Dokładna wartość drugiego zera regulatora wyniesie = =,25 0,8 = 0,988 Jest ona bardzo bliska wartości bieguna obiektu. Wobec tego transmitancję układu otwartego po korekcji całkowo-różniczkowej możemy zapisać w postaci = = gdzie wskaźnik wzmocnienia układu określony jest związkiem = = = 0,8 2 =, , Wartość nastawy członu proporcjonalnego regulatora określimy na podstawie przebiegu linii pierwiastkowych przedstawionych na rysunku pokazanym na następnej stronie. 34

35 = 0,707 = 8 = 4, Im = 8 b) Re a) Łatwo tu spostrzec, że wobec wymagania = współrzędne biegunów dominujących układu zamkniętego wyniosą, = 2,0 ± 2,0 Poszukiwaną wartość współczynnika wzmocnienia członu proporcjonalnego regulatora wyznaczamy z warunku modułu = = = ,62 + 4,62 = 4,94 35

36 Transmitancja układu otwartego po korekcji proporcjonalno-całkowo-różniczkowej ma postać = = = 2 0,25 + = 4.3% b) a) 0.4 Rys. Odpowiedzi skokowe jednostkowe układu automatycznej regulacji: a)bez regulatora, b) z regulatorem PID idealnym 0.2 % = s ) t 36