Celem dwiczenia jest poznanie budowy i właściwości czwórników liniowych, a mianowicie : układu różniczkującego i całkującego.

Transkrypt

1 1 DWICZENIE 2 PRZENOSZENIE IMPULSÓW PRZEZ CZWÓRNIKI LINIOWE 2.1. Cel dwiczenia Celem dwiczenia jest poznanie budowy i właściwości czwórników liniowych, a mianowicie : układu różniczkującego i całkującego Wprowadzenie Potocznie pod pojęciem impulsu rozumie się sygnał elektryczny szybko pojawiający się i szybko znikający. Każdy impuls można opisad podając szereg parametrów, przede wszystkim czasowych. Wprowadzimy następujące pojęcia : a) czas narastania czoła impulsu t n - jest to czas, w którym chwilowa wartośd wielkości elektrycznej tworzącej impuls (t) zmienia się od 0.1 do 0.9 wartości maksymalnej, b) czas opadania impulsu t 0 - czas, w którym chwilowa wartośd wielkości (t) maleje od 0.9 do 0.1 amplitudy, c) czas trwania impulsu t i - określony jako przedział czasu, w którym chwilowa wartośd wielkości elektrycznej (t) jest większa od 0.1 A (A - amplituda). W pewnych przypadkach, gdy grzbiet impulsu jest opadający i można wydzielid wyraźnie kształt grzbietu i spadek impulsu, czas opadania impulsu t 0 definiujemy jako czas, w którym chwilowa wartośd (t) zmaleje od 0.9 do 0.1 A MIN. Podobnie definiujemy czas narastania korzystając z wartości A MAX. Dla tego typu impulsu można wprowadzid pojęcie zwisu Jeżeli ciąg impulsów ma charakter periodyczny, to dla takiego ciągu określamy : okres powtarzania (repetycja) impulsów T, częstotliwośd powtarzania f = 1/T i współczynnik wypełnienia impulsu określamy jako = T 1 /T. Wszystkie opisane wyżej pojęcia przedstawia Rys.2.1.

2 2 Rys.2.1. a) ilustracja do definicji czasu narastania, opadania i trwania impulsu b) impuls z wyraźnym skosem grzbietu c) ilustracja okresu powtarzania impulsu Rozwój teorii układów impulsowych wymagał stworzenia analitycznych opisów poszczególnych impulsów, a także ich ciągów. Ograniczymy się tu jedynie do przedstawienia analitycznego dwóch impulsów: impulsu typu skok jednostkowy i impulsu prostokątnego. Impuls typu skoku jednostkowego (Rys.5.1) opisuje funkcja Heaviside`a H (t) Jeżeli skok następuje w chwili t 0, to funkcja Heaviside`a wyraża się następującym wzorem

3 3 Rys.2.2. Skok jednostkowy : a) dla t = 0, b) dla t = t 0 Funkcja prostokątna o jednostkowej szerokości i jednostkowej wysokości, o środku w punkcie 0, jest określona następująco (Rys.2.3) Rys.2.3. Impuls prostokątny : a) o jednostkowej podstawie, jednostkowej wysokości i środku w początku układu, b) o jednostkowej amplitudzie, szerokości t 1 i przesunięty względem początku układu o t 0 Jeżeli funkcja prostokątna ma szerokośd t 1 i jest przesunięta o odcinek t 0 względem funkcji (t), to zapisujemy ją następująco : Łatwo więc można zauważyd, że funkcję prostokątną można przedstawid jako różnicę dwóch funkcji Heaviside`a przesuniętych względem siebie o szerokośd funkcji prostokątnej. Technika kształtowania impulsów zajmuje się stroną fizyczną i matematyczną zjawisk polegających na istnieniu różnicy między przebiegami impulsowymi w obwodzie a działającymi na obwód, wyjaśniając te zjawiska ilościowo i jakościowo. Układy i operacje

4 4 kształtowania impulsów w układach i obwodach elektrycznych spotykane w praktyce są złożone. Dla rozwiązania ich należy je sprowadzid do układów i operacji prostych. Rozróżniamy kształtowanie liniowe, tj. kształtowanie przez obwód liniowy i kształtowanie nieliniowe, np. przez lampę bądź tranzystor jako element nieliniowy. W niniejszym dwiczeniu rozpatrzone zostaną proste obwody liniowe (czwórniki liniowe) złożone z elementów R i C, do których zaliczają się obwody różniczkujące i całkujące. Podstawową cechą, która opisuje właściwości czwórnika (Rys.2.4) jest jego transmitancja operatorowa K (s). gdzie U1 (s), U2 (s ) są transformatami Laplace`a napięd - wejściowego U1(t) i wyjściowego U2(t). W ogólnym przypadku możemy mówid o sygnale wejściowym lub wyjściowym mając na myśli prąd lub napięcie. Sygnał wejściowy często nosi nazwę wymuszenia, a sygnał wyjściowy - odpowiedzi czwórnika na określone wymuszenie. Podstawowym pojęciem w technice impulsowej jest pojęcie tzw. stałej czasowej przebiegu wykładniczego. Stała czasowa określa czas liczony od pewnej chwili początkowej do chwili osiągnięcia przez przebieg poziomu różniącego się e-krotnie (e = 2.718) od poziomu początkowego. Rys.2.4. Czwórnik o transmitancji K(s) U k ł a d r ó ż n i c z k u j ą c y Przedstawiono na Rys.2.5 czwórnik RC nazywany jest układem różniczkującym. Może on służyd do sprzęgania ze sobą układów, gdyż separuje składową stałą.

5 5 Rys.2.5. Schemat układu różniczkującego (układ różniczkuje gdy U2<<U1) Na wyjściu takiego układu uzyskuje się napięcie, którego kształt jest zbliżony do kształtu pochodnej napięcia doprowadzonego. Wynika stąd, że prąd płynący przez kondensator Jeżeli teraz szeregowo z kondensatorem włączony zostanie rezystor R o małej rezystancji tak, aby U1 Uc, to napięcie wyjściowe pobrane z tego rezystora będzie równe Układem różniczkowym nazywa się więc filtr górnoprzepustowy, dający na wyjściu sygnał o kształcie zbliżonym do kształtu przebiegu idealnego uzyskanego w wyniku matematycznego różniczkowania sygnału doprowadzonego do wejścia układu. Należy jednak podkreślid, że o ile w przypadku matematycznego różniczkowania przebiegów o idealnie stromych zboczach uzyskuje się pochodną nieskooczenie wielką, o tyle w praktyce przypadek taki występowad nie może i uzyskany przebieg różni się od idealnego zarówno amplitudą, jak i czasami trwania oraz narastania. Transmitancja układu z Rys.5.5 wyraża się następująco Najpierw znajdziemy odpowiedź układu na wymuszenie o charakterze skokowym U1H(t). Transformata napięcia wejściowego jest następująca stąd:

6 6 gdzie = RC - jest stałą czasową układu. Znając transformatę odwrotną otrzymamy Rys.2.6. Przebiegi czasowe napięd w układzie różniczkującym przy wymuszeniu skokowym Odpowiedź czwórnika u 2 ( t ) / U 1 jest funkcją wykładniczą exp Z równania 5.5 możemy odczytad sens stałej czasowej Po upływie czasu t = napięcie wyjściowe maleje e-krotnie w stosunku do amplitudy wymuszenia. Ponieważ funkcja więc teoretycznie mamy w układzie doczynienia zawsze z przebiegiem nieustalonym. Zachodzi zatem koniecznośd umownego ustalenia czasu, po którym przebieg (6) uważa się za ustalony. Umownie przyjmuje się 5, gdyż wtedy napięcie u2 maleje do wartości mniejszej od 1% amplitudy. trwania t i Znajdziemy teraz odpowiedź układu na pojedynczy impuls prostokątny o czasie

7 7 Ponieważ więc transformata Laplace`a napięcia u1(t) ma postad stąd Znajdując transformatę odwrotną otrzymujemy Wykreślne przedstawienie odpowiedzi u2(t) pokazano na Rys.2.7. Jeżeli czas t 1 jest znacznie większy od stałej czasowej, to odpowiedź układu ma taki, jak to przedstawiono na Rys.2.7c. I odwrotnie, gdy t 1 << to odpowiedź układu jest taka jak na Rys.2.7b. Omawiany układ różniczkowy może byd wykorzystany do otrzymywania krótkich impulsów, jeżeli jego stała czasowa jest dostatecznie mała. Układ pracuje w zadawalający sposób, dając na wyjściu impulsy o wymaganej małej szerokości, amplitudzie zbliżonej wartością do amplitudy impulsu różniczkowego i stromym czole, jeżeli impulsy wejściowe posiadają również ostre czoło.

8 8 Rys.2.7. Przebiegi czasowe napięd w układzie różniczkowym dla prostokątnego impulsu napięcia wejściowego (a), odpowiedź dla >>t i (b), odpowiedź dla <<t i (c) U k ł a d c a ł k u j ą c y Czwórnik, którego schemat przedstawiono na Rys.5.8 stanowi filtr dolnoprzepustowy. W technice impulsowej nosi on nazwę układu całkującego. Układ całkuje, gdy spełniony jest warunek u 2 <<u 1 Transmitancja układu wyraża się wzorem gdzie = RC - stała czasowa układu Rys.2.8. Schemat układu całkującego Odpowiedź układu na skokowe wymuszenie U1(s) = U1/s jest następująca

9 9 Czas narastania impulsu t n wyznaczyd można z równania W wyniku obliczenia otrzymujemy Rys.2.9. Przebiegi czasowe napięd w układzie całkującym przy wymuszeniu skokowym Przeanalizujmy teraz odpowiedź układu na wymuszenie typu pojedynczego impulsu prostokątnego. Transformata odpowiedzi wynosi Wyznaczając transformatę odwrotną otrzymujemy W zapisie konwencjonalnym napięcie uzyskane na wyjściu układu całkującego wyraża się jako Gdy C jest dostatecznie duże, tak że U 1 U R, wówczas

10 10 Uproszczenie to oznacza, że źródło napięcia wejściowego wraz z rezystancją R traktuje się w danym układzie jako generator prądu, dla którego wartośd i jest proporcjonalna do napięcia wejściowego oraz nie zależy od obciążenia U 2 na zaciskach wyjściowych generatora. Wtedy Przebieg prostokątny po scałkowaniu przedstawia się jako suma algebraiczna przebiegów wykładniczych, odpowiadających kolejnym odcinkom scałkowanych jednostkowych skoków dodatnich i ujemnych. Wpływ stałej czasowej na kształt napięcia scałkowanego przedstawia Rys Całkowanie staje się tym silniejsze, im stała czasowa staje się większa. Rys Wpływ stałej czasowej na kształt scałkowanego przebiegu prostokątnego a) t i <, b) t i =, c) t i >, 2.3. Badania Badanie czwórników liniowych polega na obserwacji ich odpowiedzi na wymuszenie prostokątne oraz pomiarze takich parametrów jak : amplitudy, zwisu, czasu trwania impulsów, czasu narastania i opadania impulsów oraz częstotliwości powtarzania (repetycji). Parametry te mierzy się w funkcji stałej czasowej badanych czwórnikówrc.