KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH

Transkrypt

1 KRYTERIA ALEBRAICZNE STABILNOŚCI UKŁADÓW LINIOWYCH Zadie 1 Problem: Zbadać stabilność układu zamkniętego przedstawionego na schemacie według kryterium Hurwitza. 1 (s) (s) Rys 1. Schemat układu regulacji otwartego ma postać : otwartego powstała z wymnożenia trsmitcji w bloczkach o () s s( 4 + s)( s zamkniętego ma postać: o () s z () s () 1 + o () s zamkniętego ma postać () ponieważ jest to układ ze z () s s( 4 + s)( s + sztywnym sprzężeniem zwrotnym Równie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać: s(4+s)(s+1)+ (4s+s )(s+1)+ 8s +4s+s 3 +s + s 3 +9s +4s+ (4) Współczynniki wielomiu : a, a 1 4, a 9, a 3 Liczymy stabilność układu: 1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomiu dodatnie. W równiu (4) wszystkie )warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera. Stopień wielomiu n3 Zgodnie z tabelą wyznacznik Hurwitza ma postać: 1 a a3 n 3 1 a a1 a a n a

2 ( ) ( ) > () Podwyznacznik drugiego rzędu: a a _1 4 > (7) a a1 4 Podwyznacznik pierwszego rzędu: 1 a 9> (8) Drugi warunek Hurwitza jest spełniony, a zatem układ zamknięty jest stabilny. Wyznacznik powstał przez wydzielenie podwyznacznika z Zadie Problem: Zbadać stabilność układu regulacji przedstawionego na schemacie stosując kryterium Hurwitza. Sprawdzić stabilność układu otwartego i zamkniętego. 1 (s) (s) Rys.1.Schemat układu regulacji Trsmitcje poszczególnych elementów: 5 1() s s + 4 () s 5 s + () otwartego: () s s + 4 5s + ( )( ) otwartego powstała po wymnożeniu trsmitcji w bloczkach czyli wzorów i ()

3 Równie charakterystyczne dla układu otwartego: (s+4)(5s+) (4) 5s +s+8 Współczynniki wielomiu: a 5, a 1, a 8 Równie (4) powstaje poprzez przyrównie miownika trsmitcji do zera Liczymy stabilność układu otwartego: 1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomiu dodatnie. W równiu (4) wszystkie )warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera. Stopień wielomiu n Zgodnie z tabelą wyznacznik n i ma postać: Określamy wyznacznik Hurwitza i jego podwyznacznik () 1 a1 a 5 17 > 3 8 a Podwyznacznik pierwszego stopnia: a n a () > Drugi warunek Hurwitza jest spełniony ponieważ wyznaczniki i () są dodatnie, a zatem układ otwarty jest stabilny. Badamy układ zamknięty: zamkniętego wynosi: 1() s () s () s z () s (7) 1 Po podstawieniu wzorów i () do wzoru (7) i wymnożeniu otrzymujemy: 5s z () s (8) 5s + s + 8 Równie charakterystyczne dla układu zamkniętego ma postać: zamkniętego ma wzór (7) ponieważ układ jest ze sprzężeniem zwrotnym 5s +s+8 (9) Współczynniki wielomiu: a 5,a 1,a 8 Liczymy stabilność układu zamkniętego: 1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomiu dodatnie. W równiu (9) wszystkie )warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera. Stopień wielomiu n

4 Zgodnie z tabelą wyznaczników obliczamy wyznacznik Hurwitza i jego podwyznacznik 1 : Podwyznacznik pierwszego stopnia: a n a > Wyznacznik drugiego stopnia: 1 a1 a 3 a > 5 8 (11) Podwyznacznik pierwszego stopnia powstał z wydzielenia z wyznacznika Hurwitza : 5 8 Drugi warunek Hurwitza jest spełniony. Wszystkie wyznaczniki, (11) są większe od zera więc układ zamknięty także jest stabilny. Zadie 3 Problem: Układ regulacji składa się z obiektu regulacji opisego równiem różniczkowym: dy T o + y k x dt oraz, regulatora opisego równiem różniczkowym: dx de T 1 + x T dt dt y zad (t) + e(t) R OR - Rys.1. Schemat blokowy układu Zbadać stabilność układu zamkniętego. De: T o [s], T 1 [s], T 1 [s], k 5, k 3, przyjmując zerowe warunki początkowe. Wyznaczamy trsmitcje operatorową obiektu: dy + y 5 x dt s Y ( s) + Y ( s) 5 Trsformatę operatorowa obiektu można wyznaczyć przez wyznaczenie trsformaty Laplace a. (s) Y ( s)

5 (s) Y ( s) 5 s Wyznaczamy trsmitcje operatorową regulatora: dx de + x 1 dt dt s X (s) +X(s) 1 E(s) 1s H(s) E( s) s Trsmitcja operatorowa układu otwartego: 5 1s o (s) (s) H(s) s s 5s o (s) (s (s () Trsformatę operatorowa regulatora można wyznaczyć przez wyznaczenie trsformaty Laplace a. Trsformatę operatorową układu otwartego powstała z wymnożenia (s) (s) * H(s) Wyznaczamy równie charakterystyczne układu: 5s 1+ (4) (s (s Równie charakterystyczne to można obliczyć stosując wzór : 1+ o (s) (s+1)(s+1) + 5s 4s + s + s s 4s + 7s 54 s 1 1,785 s, 15 Aby wyznaczyć równie charakterystyczne układu należy przyrównać do zera miownik i wyliczyć pierwiastki. Obliczamy oraz pierwiastki s 1,s na podstawie wzorów b 4 a c b ± s 1, W tym przypadku widać bezpośrednio, że układ zamknięty jest stabilny, ponieważ a oba pierwiastki istnieją i mają wartości rzeczywiste mniejsze od zera s 1, <.