Michł Nowkiewic 05.03.2007 Motl, wstęg Möbius i dwunstościn. Celem dni jest wprowdenie do progrmowni w OpenGL or poknie różnch metod konstruowni mcier prekstłceń dl obiektów trójwmirowej scen. Do opercji n wektorch i mcierch posłuż bibliotek utorstw Dnte Tregli II i Mrk A. DeLour, pochodąc płt dołąconej do Perełek progrmowni gier. Dodtkowo wkorstne ostną tkie funkcjonlności OpenGL jk: bufor sblonu, płscn obcięci, teksturownie, miesnie ddtwne. Treść dni: "Wdłuż wstęgi Möbius (utworonej możliwie młej licb trójkątów), umiesconej w centrum świt, i stcnie do niej porus się motl, mchjąc skrdłmi. Motl modelown jest pr pomoc dwóch prostokątów odpowidjącch skrdłom, mchnie skrdłmi poleg n minie kąt rowrci międ nimi. Kmer sprmetrown jest pre współrędne sfercne, dw kąt i promień, którch kżdą możn nieleżnie modfikowć. Kmer, wstęg i motl njdują się wewnątr dużego dwunstościnu foremnego (pięciokątne ścin). Scen odbij się w kżdej jego ścin (wkorstć bufor sblonu lub płscn obcięci do ogrniceni obsru rsowni odbitej geometrii; nie pretwrć ścin tłu kmer; tlko odbici jednokrotne). Scen oświetlon jest pr pomoc trech świteł punktowch: ielonego, niebieskiego i żółtego, romiesconch w różnch punktch (br niku świtł). Odbit geometri powinn bć odpowiednio oświetlon pre odbite wersje tch źródeł świtł. W miejscu kżdego źródł świtł rsowć repreentując je bilbord (dotc również odbitch źródeł świtł). Bilbord musą bć reliowne popre ustwienie mcier prekstłceni dl kwdrtu jednostkowego w płscźnie XY. Ndć różne kolor lustrom, użwjąc miesni lf pr rsowniu ich powierchni, po nrsowniu odbić (kolor mją pomóc w orientcji w prestreni)."
1. Wstępne informcje n temt mcier prekstłceń 3D Korstjąc OpenGL wrto pmiętć, że wektor prekwne do OpenGL prekstłcne są pre ustlone mciere według schemtu: t v v = Mv t v = v t w 0 0 0 1 vw W DirectX prjęto inną repreentcję prekstłceń wektorów pre mcier: 0 v = vm w = v v v Z powżsego wnik, że jeżeli punkt m ostć prekstłcon kolejno pre mciere M 1, M 2,, M n, to w OpenGL łożenie tch prekstłceń będie określone pomocą mcier M = M n M 2 M 1, w DirectX pomocą M = M1 M 2 M n. W pmięci mciere prechowwne są w tki sposób, że po sobie nstępują kolejne wektor kolumnowe. Wrto też pmiętć, że o ile OpenGL wse użw prwoskrętnego ukłdu współrędnch, o tle w DirectX cęsto jest to ukłd lewoskrętn, w ogólności w prpdku DirectX leż to od korstni wbrnego estwu funkcji bibliotecnch. Pr prekstłcniu punktów prjmuje się, że cwrt współrędn wektor jest równ 1, pr prekstłcniu wektorów (kierunków) prjmuje się, że cwrt współrędn wektor jest równ 0. Mimo to, jeśli mcier prekstłceni nie repreentuje prekstłceni podobieństw, to kierunki nie ostną poprwnie obrócone. Do poprwnego prekstłceni smego kierunku wektor, be min jego długości, powinno się użwć trnspocji 1 odwrotności mcier ( M ) T. N tą smą mcier możn ptreć n dw sposob: ) Jko opis trnsformcji obiektu w scenie 3D b) Jko opis konwersji współrędnch punktu jednego ukłdu współrędnch [Frme] do innego Prjmijm, że pewien obiekt trójwmirow definiown jest pr pomoc współrędnch wrżonch w jego loklnm ukłdie współrędnch i pocątkowo ten ukłd współrędnch pokrw się ukłdem współrędnch świt (scen). Jeśli dn jest trnsformcj tego obiekt pr pomoc mcier A (nowe współrędne punktów w scenie powstją e strch pre pomnożenie ich pre tą mcier), to mcier A jest jednoceśnie prekstłceniem współrędnch loklnego ukłdu współrędnch obiektu w nowm położeniu do ukłdu współrędnch świt. v w t t t 0 0 1
2. Mciere potrebne do definicji scen. Do nrsowni scen prdtne będą metod konstruowni nstępującch mcier, które powolą wrić współrędne dnch punktów w dowolnm interesującm ukłdie współrędnch: mcier prekstłceni współrędnch ukłdu świt do ukłdu kmer (mtview) mcier prekstłceni współrędnch loklnego ukłdu kżdej ścin dwunstościn do ukłdu świt (mtdodechedron[i]) mcier prekstłceni współrędnch ukłdu świt odbitego w dnm lustre do orginlnego ukłdu świt (mtmirror[i]) mcier prekstłceni współrędnch ukłdu stcnego do wstęgi Möbius w punkcie ( u, v), gdie u = 0. 5, v [ 0;1 ) do ukłdu świt (mtmoebius(flot v)) mcier prekstłceni współrędnch loklnego ukłdu bilbordu cepionego w punkcie p do ukłdu świt (mtbillbord(vector3 p)) mcier prekstłceni loklnego ukłdu kwdrtu repreentującego lewe lub prwe skrdło motl, do ukłdu współrędnch motl (mtwingl, mtwingr)
3. Konstrukcj dwunstościnu foremnego Ścin dwunstościnu foremnego są pięciokątmi. Do jego budowni posłużm się sitką trójkątów pięciokąt foremnego, definiownego w loklnm ukłdie współrędnm w sposób pokn n ilustrcji poniżej. Wierchołki njdują się n okręgu jednostkowm w płscźnie XY, cepionm w środku ukłdu. Prjmijm preciwną do ruchu wskówek egr kolejność wierchołków dl trójkątów wróconch prodem i utwórm jeden wchlr trójkątów dl pięciokąt. Nstępnie skonstruujem dwnście mcier prekstłceń, którch kżd umieści pięciokąt w miejscu jednej e ścin dwunstościnu foremnego tk, żeb predni stron pięciokąt wrócon bł do wewnątr. Mciere te prddą się nie tlko do nrsowni smej brł n ekrnie, le również pr rsowniu odbici lustrnego w dnej ścinie do konstrukcji mcier odbici. Z tego powodu njlepiej policć je i pmiętć w tblic. Do konstrukcji mcier prd się njomość pewnch fktów dotcącch kątów i odległości w dwunstościnie foremnm. Poniżej miescone są wrtości dl prpdku, gd okrąg opisn n kżdej e ścin jest jednostkow. Więcej informcji o dwunstościnie foremnm możn nleźć pod tmi dresmi: http://en.wikipedi.org/wiki/dodechedron, http://mthworld.wolfrm.com/dodechedron.html.
Promień okręgu wpisnego w ścinę bocną: 3 1 dodechedron_r = + 5 8 8 Odległość międ dwom równoległmi ścinmi: dodechedron_h = 1 + 2*dodechedr on _ r Kąt dwuścienn: dodechedron_ = rccos 55 Niech prekstłcenie dnego pięciokąt n dolną ścinę dwunstościnu będie nstępstwem dwóch kroków: 1. 2. Prekstłcenie dnego pięciokąt n jedną pięciu ścin bocnch dolnej połow jest nieco brdiej łożone i możn je predstwić jko łożenie nstępującch seściu kroków: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Górną połówkę dwunstościnu łtwo uskć dolnej obrcjąc ją o 180 stopni wokół osi Z: Podsumowując, możem policć mcier prekstłceni ukłdu loklnego wiąnego pięciokątem dowolnej ścin do ukłdu świt, pr pomoc tkiego kodu, korstjącego biblioteki mtlib: mtdodechedron[i] = * * ( (i%6==5)? : * * ) * * ;
Pomnóżm jesce kżdą mcier konwersji ukłdu współrędnch ukłdu loklnego i- tej ścin dwunstościnu do ukłdu świt (mtdodechedron[i]) pre mcier skli o współcnniku 2, żeb uskć n ekrnie nieco powięksenie brł. Zgodnie treścią dni, kżdą e ścin m bć wiąn inn kolor. Kolor definiowne są w dnm progrmie w tblic color_tble w sposób nstępując: unsigned chr color_tble[12][3] = { {253,198,137}, {255,247,153}, {196,223,155}, {162,211,156}, {130,202,156}, {122,204,200}, {109,207,246}, {125,167,216}, {131,147,202}, {135,129,189}, {161,134,190}, {244,154,193} };
4. Konstrukcj mcier odbici lustrnego dl kżdej e ścin dwunstościnu Interesuje ns mcier odbici lustrnego prekstłcjąc współrędne w ukłdie świt n współrędne po odbiciu również w ukłdie świt. Z kolei odbicie jest dne w trwiln sposób w ukłdie loklnm, wiąnm płscną lustr, pomocą skli o współcnnikch (1,1,-1). Dsponując prekstłceniem współrędnch ukłdu loklnego jednego dwunstu luster do ukłdu świt (mtdodechedron[i]) możem łtwo wrić mcier odbici: mtreflect[i] = * * 5. Konstrukcj wstęgi Möbius Wprowdźm dwie stłe, które będą określł wielkość i serokość wstęgi Möbius: const flot moebius_r = 1.0f; const flot moebius_w = 0.1f; Skorstjm nstępującej prmetrcnej definicji wstęgi: cos( t) * moebius_r + moebius _ w* s *cos(0.5t) ( ) ( moebius_r moebius _ w* s *cos(0.5t) ) P ( s, t) = = sin( t) * +, moebius _ w* s *sin(0.5t) t. Do sprmetrowni krwej n wstęde dl ustlonej 0 i tkiego prediłu użjem pr liceniu wierchołków i normlnch podcs tworeni sitki trójkątów dl wstęgi. Drugą połówkę powierchni uskm dl kżdego trójkąt dodjąc również drugi trójkąt preciwną stronę pierwsego. Ntomist podcs porusni się obiektu motl wdłuż gdie s [ 1;1 ], [ 0;4π ) wrtości prmetru s wstrc t kresu [,2π ) 0 poniewż tutj m ncenie nie tlko punkt n krwej, le tkże jeden dwóch wrotów wektor normlnego w prestreni stcnej do powierchni. wstęgi użjem t kresu [ ;4π ) Do policeni normlnej or do policeni prestreni stcnej potrebne będę również prmetrcje dwóch wektorów stcnch do powierchni pochodne cąstkowe powżsej prmetrcji: moebius _ r *sin( t) 0.5s *sin(0.5t) *cos( t) s *cos(0.5t) *sin( t) t Pt = t = moebius _ r *cos( t) 0.5s *sin(0.5t) *sin( t) + 0.5s *cos(0.5t) P s = t s s s = cos(0.5t) *cos( t) cos(0.5t) *sin( t) sin(0.5t) s *cos(0.5t) *cos( t) W tm prpdku, te dw wektor są prostopdłe dl ustlonch s i t. Po normliowniu i dodniu normliownego ilocnu wektorowego P s Pt powstnie ortonormln b prestreni stcnej. Znormliowne P t będiem nwć stcną, normliowne P s P t normlną, normliowne P s binormlną. Jeśli te tr wektor ( cwrtą współrędną równą ero) or wektor P ( cwrtą współrędną równą jeden) w tej kolejności pisem w kolumnch mcier, to otrmm mcier prekstłceni współrędnch
punktów prestreni stcnej do prestreni świt. Prd się on do umiescni motl w scenie. Geometrię wstęgi definiujem w postci jednego psk trójkątów. Wierchołki i normlne policm dl s { 1,1 } or dl dskretownch wrtości t po podile prediłu [ 0,2π ) n np. 128 kroków. Treb pmiętć o dodniu dl kżdego trójkąt jego preciwnej stron: odwróconą kolejnością wierchołków i odwróconmi normlnmi. Poniewż wstęg Möbius będie wświetln wielokrotnie, jej policenie wmg pewnej ilości obliceń, utwórm skompilowną listę wświetlni OpenGL, wierjącą instrukcje rsowni wstęgi. Treb będie użć w odpowiednich miejscch progrmu poleceń nstępującego bioru: GLuint moebius_list; moebius_list = glgenlists(1); glnewlist(moebius_list, GL_COMPILE); glendlist(); glclllist(moebius_list); gldeletelists(moebius_list, 1);
6. Rsownie odbić lustrnch Ide rsowni odbić w płskich lustrch poleg n tm, żeb nrsowć kopię cłej scen prekstłconej pr pomoc mcier odbici, jednoceśnie pewnijąc, żeb obsr rsowni bł ogrnicon n ekrnie do pikseli lustr. Rsując odbici lustrne treb pmiętć o kilku recch: Po odbiciu mieni się n preciwną orientcj trójkątów: jeśli w orginlnej scenie prednią stronę wncło ułożenie kolejnch wierchołków preciwnie do ruchu wskówek egr, to po odbiciu kolejne wierchołki dl tej smej stron trójkąt ułożone będą godnie ruchem wskówek egr. M to ncenie dl obcinni trójkątów wróconch tłem. Odbić nleż nie tlko geometrię, le również położeni i kierunki świteł. Odbit scen korst tego smego bufor głębokości, co orginln. Treb pewnić, żeb nrsownie jednej nich nie wpłwło n wniki testów głębokości podcs rsowni drugiej. W prpdku tego dni wstrc, żeb wsstkie odbici lustrne bł renderowne pred orginlną sceną. Dowoln obiekt odbitej scen njdie się dlej od obserwtor niż dowoln obiekt orginlnej, więc nieleżność kżdej tkiej pr scen jest pewnion. Z kolei dwie scen odbite w dwóch różnch lustrch modfikują i testują bufor głębokości tlko dl pikseli nleżącch do obrów tch luster n ekrnie, te bior pikseli są ocwiście rołącne. Poniżej predstwion ostnie sposób renderowni luster użciem bufor sblonu. Bufor sblonu prporądkowuje kżdemu pikselowi dodtkowe bit informcji. Ilość dodtkowch bitów n piksel określ się podcs inicjliowni kontekstu renderowni i wkle są to wrtości 0, 1, 4, lub 8 bitów. Sposób wkorstni bufor sblonu dn jest w postci: 1. wrtości referencjnej - ustlonej licb cłkowitej nieujemnej 2. sposobu modfikcji bufor sblon podcs rsowni pikseli n ekrnie w trech prpdkch 3. testu bufor sblonu Wkorstm 8-bitow bufor sblonu w sposób nstępując. N pocątku bufor ostnie wcscon wpełnion ermi. Algortm renderowni pojedńcego lustr użciem bufor sblonu będie wglądć tk: 1. Pięciokąt kżdej e ścin bocnch dwunstościnu ostnie nrsown pr włąconm pisie do bufor koloru i bufor głębokości, tlko po to, żeb podcs rsowni nleżącch do niego pikseli w bufore sblonu pisć nieerow i unikln indeks ścin. N tm etpie ustwion jest opercj modfikcji bufor sblonu, le nie m testu bufor sblonu. Po tm biegu piksele n ekrnie ostną n podstwie wrtości w bufore sblonu prporądkowne do odpowiednich luster. 2. Kżd dwunstu odbitch scen ostnie nrsown (pr włąconm pisie do bufor koloru i bufor głębokości) testem bufor sblonu równe indeksowi ścin. Po ustwieniu mcier świt w OpenGL n mcier odbici lustrnego treb kżdm rem ustwić prmetr (pocje i kierunki) świteł po to, żeb te pocje i kierunki ostł prekstłcone do odbitej prestreni pred policeniem oświetleni obiektów. 3. Pięciokąt kżdej e ścin bocnch dwunstościnu może ter ostć nrsown ponownie, tm rem normlnie: bufor głębokości i koloru są modfikowne, bufor
sblonu nie, brk testu sblonu. Możn użć miesni lf w celu uskni prerocstości. 4. Rsown jest orginln scen wnętre dwunstościnu foremnego. Również pred jej nrsowniem nleż wwołć ustwienie prmetrów świteł. 7. Motl Motl skłd się dwóch prostokątów. Wspóln krwędź prostokątów jest stcn do wstęgi Möbius. Punktem stcności jest jej środek. Ob prostokąt odchlone są od normlnej t t wstęgi o kąt ± α. Kąt dn jest jko funkcj od csu. Oncm: k =, gdie t do T T cs od pocątku smulcji, T to okres ruchu skrdeł. 80 * 2k, gd k 0.5 α = 160 80 * 2k, gd k > 0.5 Niech sitk dl kwdrtu będie definiown w nstępującm ukłdie współrędnch: Musim wncć mciere prekstłceń, które pretrnsformują wierchołki tego kwdrtu n wierchołki prostokątów skrdeł w ukłdie stcnm do wstęgi Möbius, nstępnie użć mcier prejści współrędnch ukłdu stcnego do wstęgi do ukłdu świt (budow tej mcier ostł już opisn w punkcie dotcącm konstruowni wstęgi). W prestreni stcnej do wstęgi motl wgląd tk:
Oto gotow efekt n ekrnie: 8. Bilbord Będiem repreentowć świtł w postci bilbordów. Bilbord to prostokąt, o środku cepionm w określonm punkcie scen, którego orientcj wse dopsowuje się do kmer. N bilbord nkłdn jest tekstur, wcj półprerocst. Nieleżnie od kierunku którego ptrm widim tą smą bitmpę, któr cepion jest wse w tm smm punkcie scen. Świtł będą repreentowne pre kwdrtowe bilbord. Z teksturę posłuż mp w d odcienich srości, gdie jsność będie równ m 0;1, gdie to bok mp, d to 0.5 odległość punktu mp od jej środk. Użjem miesni ddtwnego podcs rsowni bilbordów: kolor tekstur ostnie dodn do koloru tł rojśni je. Ustwim pondto sposób liceni koloru obiektu bilbordu jko ilocn koloru obiektu i koloru pobrnego tekstur: glteenvi(gl_texture_env, GL_TEXTURE_ENV_MODE, GL_MODULATE);. Możem ter kolorowć bilbord. Miesnie ddtwne w preciwieństwie do wkłej prerocstości nie wmg określonej kolejności rsowni obiektów prerocstch. Wmg jednk dwóch rec:. Nieprerocste element scen musą ostć nrsowne wceśniej. b. Obiekt e wkłą prerocstością musą bć rsowne po wsstkich obiektch miesniem ddtwnm, które cęściowo są pre nie słonięte, pred wsstkimi, które mogą je słnić. c. Zpis do bufor głębokości powinien bć włącon (le test bufor głębokości nie). Wobrźm sobie scenrius, w którm wrunek ten nie jest spełnion i rsowne są dw bilbord, pr cm drugi rsown bilbord jest cęściowo presłonięt pre pierws. Pierws bilbord ustwi wrtości w bufore głębokości dl cłego swojego prostokąt. W presłoniętej cęści drugiego bilbordu żden piksel nie prejdie testu bufor głębokości. Chcem, żeb bilbord bł reliowne popre nrsownie kwdrtu odpowiednio ustwioną mcierą rutowni. Wmg to pewnej uwgi. Prpuśćm, że mm dną mcier prekstłceni środk bilbordu do odpowiedniego punktu świt. Potrebujem ter mcier podobieństw, któr środek dnego kwdrtu premieści w ten sm sposób,
le jednoceśnie pewni, że boki kwdrtu będą mił określoną długość w ukłdie świt, or że będą one mił w ukłdie świt te sme kierunki co osie ukłdu ekrnu. Sukn mcier prejści ukłdu loklnego dnego kwdrtu do ukłdu świt jest łożeniem trech mcier: T*S*R. Mcier T, to mcier trnslcji o wektor będąc prekstłconą do ukłdu świt końcową pocją środk bilbordu. Mcier S, to jednorodne prekstłcenie skli o współcnniku równm połowie docelowej długości boku bilbordu. Mcier R pewni poprwną orientcję bilbordu w ukłdie świt. W ukłdie kmer błb to mcier jednostkow. W ukłdie świt będie to ilocn mcier trnslcji o wektor preciwn do położeni kmer w ukłdie świt or mcier odwrotnej do mcier V prejści ukłdu świt do ukłdu kmer. Położenie 0 1 0 kmer w ukłdie świt możn pisć jko: V *. 0 1