Translacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej

Transkrypt

1 Trnslcj jko opercj symetrii Wykłd trzeci W obrębie figur nieskończonych przesunięcie (trnslcję) możn trktowć jko opercję symetrii Jest tk np. w szlkch ornmentcyjnych (bordiurch) i siecich krysztłów polimerów Symetri sieci trnslcyjnej W przypdku idelnej sieci krysztłu mmy do czynieni z obiektem nieskończonym Oprócz symetrii punktowej mmy powtrznie się tego smego motywu przy przejściu z jednej komórki elementrnej do drugiej, co odpowid przesunięciu w przestrzeni czyli trnslcji. Czsmi jko komórkę elementrną wybiermy wielościn zwierjący węzły nie tylko w nrożnikch, le pośrodku ścin lub w środku wielościnu. Tkie komórki elementrne nzywmy komórkmi centrownymi. Wybór komórki elementrnej wg A. Brvis, połow XIX wieku wybiermy komórkę njprostszą njmniejszą o njwyższej symetrii Komórki prymitywne: węzły jedynie n nrożch centrowne: węzły również n ścinch lub w środku komórki Sieci Brvis Centrowne sieci Brvis Prymitywn P bz (0, 0, 0) objętość równ objętości jednego węzł Wewnętrznie centrown I (niem. Innercentrierte) bz (0,0,0) i ( ½, ½, ½) V I = 2 V P, Z = 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, 0 0,, 0,, 0 Dwustronnie centrown C bz (0, 0, 0), (½, ½, 0) V C = 2 V P, Z = 2 (lub odpowiednio A czy B) Ściennie centrown F (ng. fce-centered) bz (0,0,0), (½, ½, 0) (½, 0, ½) i (0, ½, ½) V F = 4 V P, Z = 4

2 Centrowne sieci Brvis Typy dozwolonych centrowń w poszczególnych ukłdch krystlogrficznych Romboedryczn R bz (0, 0, 0) wsp. romboedryczne, Z= bz (0,0,0), (2/, /, /) i (/, 2/, 2/) V H = V R, Z = współrzędne heksgonlne x Rzut z góry n trzy przyległe komórki z 2/,/,/ x /, 2/, 2/ x 2 x 2 Ukłd trójskośny jednoskośny rombowy tetrgonlny heksgonlny regulrny Typ centrowni P P, C P, C, A, B, I, F P, I P, R P, I, F Przejście między siecimi Brvis Przejście od komórki C do P w ukłdzie tetrgonlnym C P W ukłdzie regulrnym nie występują centrowni typu A, B, C, gdyż nruszłyby symetrię Grupy przestrzenne symetrii Połączenie trnslcji ze znnymi nm już opercjmi symetrii grup punktowych prowdzi do pojęci grup przestrzennych symetrii. Powstją nowe opercje symetrii. Płszczyzn symetrii + trnslcj do płszczyzny= płszczyzn poślizgu (ng. glide plne) Oś obrotu + trnslcj wzdłuż osi = oś śrubow (ng. screw xis) Reprezentcje mcierzowe Opercję symetrii z trnslcją możn zpisć jko kod symetrii symmcode lub jko mcierz trójwymirową + dodnie wektor trnslcji r = Ar + t lbo łącznie jko mnożenie przez mcierz czterowymirową r = Br. Przykłd: opercj obrotu śrubowego 4 : symmcode: (-y, x, z+/4). x' x x' 0 0x 0 y' y y' 0 0 y 0 z' 0 0 z z' 0 0 z Możn to wykorzystć do generowni opercji złożonych Płszczyzny poślizgu Trnslcj występuje zwsze równolegle do płszczyzny symetrii. Kierunek poślizgu podje symbol płszczyzny (, b, c, n, d), położenie płszczyzny wynik z miejsc w symbolu grupy m 2

3 Rodzje płszczyzn poślizgu Oznczeni płszczyzn Płszczyzny poślizgu prostopdłe do osi Z Płszczyzn b Symbol międzynrodowy m do płszczyzny rysunku Symbol grficzny do płszczyzny rysunku Płszczyzn b Płszczyzn n Płszczyzn d przesunięcie wynosi /4 (+b) b c n d /8 /8 Przykłd dziłni płszczyzny c Płszczyzn c w strukturze PPh Osie śrubowe Osie śrubowe powstją w wyniku sprzężeni osi symetrii z trnslcją. Przesunięcie wynosi ułmek stłej sieciowej o minowniku równym krotności osi. Ö Przykłd obecności osi śrubowej w strukturze Osie trzykrotne Oś 2 w strukturze PPh Osie śrubowe oznczmy poprzez liczbę z indeksem dolnym. Oś jest prwoskrętn oś 2 jest lewoskrętn Ü c à á 2

4 Osie czterokrotne Osie sześciokrotne Oś 4 â Oś 4 jest prw å Oś 4 2 jest neutrln ä Oś 4 jest lew ã Trnslcj wynosi odpowiednio /4, 2/4 i /4 stłej sieciowej wzdłuż osi obrotu 4 ä 2 Występuje sześć możliwości: 6 zwykł ç, 6 prw é, 6 2 prw è, 6 neutrln ê 6 4 lew ë, 6 5 lew ì Osie sześciokrotne Grupy przestrzenne Schoenflies i Fiedorow XIX wiek kombincj trnslcji z 2 grupmi punktowymi dje 20 grup przestrzennych. Opisuje je symbol Hermnn- Muguin skłd się z symbolu typu centrowni i notcji grupy symetrii komórki, np. P2 /m, Fm#m, C2/c, Pmn, Imm2 Symbolik grup przestrzennych Pozycje kierunków symetrii w symbolice międzynrodowej tkie sme, jk dl symetrii punktowej Ukłd 2 Uwgi Jednoskośny b (lub, dokłdniej) b Rombowy X [00] Y [00] Z [00] Tetrgonlny Z X, Y X+Y pozycj- przekątn [00] [00] lub [0]* podstwy [00] Heksgonlny Z X, X2, X X-X2 pozycj - kierunek 0 [00] [00]* [!0]* od osi X Regulrny X,Y,Z X+Y+Z X+Y 2 - przekątn sześcinu, [00]* []* [0]* - przekątn podstwy * intnieją też inne (niewymienione tu) kierunki symetrycznie równowżne Przykłdy grup przestrzennych P2 /c (równowżny symbol P 2 /c ) ozncz sieć prymitywną, jednoskośną i wystepownie osi 2 w kierunku wektor sieciowego b orz prostopdłej do niej płszczyzny ślizgowej c. (4 opercje) Pmn ozncz grupę z ukłdu rombowego z płszczynmi m, n i prostopdłymi odpowiednio do wektorów sieciowych, b i c. (+ osie dwukrotne, w sumie 8 opercji symetrii) P4 2 2 ozncz grupę z ukłdu tetrgonlnego z osią śrubową 4 wzdłuż wektor c, oś 2 dziłjącą wzdłuż wektor (orz b) i oś 2 położoną wzdłuż przekątnej podstwy (kwdrtu) (8 opercji) Fm#c ozncz grupę z ukłdu regulrnego, typu F - centrowną n wszystkich ścinch, z płszczyzną m prostopdłą do wektor (b, c też), osią trójkrotną inwersyjną #po przekątnej sześcinu i płszczyzną ślizgową c prostopdłą do przekątnej podstwy sześcinu (grup zwier w sumie 92 opercje symetrii!) 4

5 Położenie punktów w komórce elementrnej Położenie szczególne punkt leży n płszczyźnie symetrii punkt leży n osi lub w środku symetrii Punkty te nie są powtrzne przez te opercje symetrii (punkty stłe) Położenie ogólne punkty, które są powtrzne (zwielokrotnine) przez wszystkie opercje symetrii Niezleżn część komórki elementrnej Dl odtworzeni zwrtości cłej komórki elementrnej konieczne jest wyznczenie tylko jej części, np. ½, ¼ cłkowitej liczby tomów (ng. symmetric unit). Cłą resztę otrzymmy po zstosowniu opercji występującej w dne grupie symetrii. W grupie P cł komórk stnowi jej część niezleżną. Podsumownie Dodnie trnslcji powoduje powstnie płszczyzn ślizgowych i osi śrubowych utworzenie z 2 grup punktowych 20 grup przestrzennych Trnslcj wzdłuż osi zwsze wynosi wielokrotność odwrotności krotności osi Symetrię w krysztle opisuje 20 grup przestrzennych Podsumownie Do opisu krysztłu wystrcz podnie grupy przestrzennej orz opis części niezleżnej komórki elementrnej Symetrię wszystkich grup przestrzennych znleźć możn w tblicch Interntionl Tbles for Crystllogrphy Elementy symetrii dl kżdej struktury pokzuje progrm Mercury 5