MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

Podobne dokumenty
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

I. Podzielność liczb całkowitych

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Parametryzacja rozwiązań układu równań

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Chemia Teoretyczna I (6).

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

1 Pochodne wyższych rzędów

1. Granica funkcji w punkcie

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

3. Funkcje elementarne

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Podprzestrzenie macierzowe

Definicja interpolacji

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

LXX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego 3 września 5 października 2018 r.

Podprzestrzenie macierzowe

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

I Wielkopolska Liga Matematyczna. a n + b n = c m

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

I Wielkopolska Liga Matematyczna

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach

Geometrycznie o liczbach

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Transkrypt:

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07

Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji 3 5. Pełe rozwiązaia zadań: 5. Logika w praktyce 8 5. Liczby i działaia 40 5.3 Rówaia i układy rówań 6 5.4 Własości fukcji 95 6. Dodatek teoretyczy: 6. Trójmia kwadratowy 5 6. Idukcja matematycza 6.3 Obliczaie sum 7 6.4 Kogruecje 8 6.5 Rówaia diofatycze 3 6.6 Małe twierdzeie Fermata 35 6.7 Twierdzeie Bézouta 37

Wstęp Zbiór zadań, który prezetujemy czytelikowi ie jest typowym zbiorem dla kokretej klasy w liceum. Jest to książka przezaczoa dla dociekliwego uczia bez względu, do której klasy uczęszcza. Po książkę powiie sięgąć rówież auczyciel matematyki, któremu zależy a tym, aby lekcje ie były mootoe a przedmiot wciągął słuchacza. Do rozwiązaia większości zadań ie trzeba perfekcyjego opaowaia teorii, zresztą ie teorię zadaia mają sprawdzić. Potrzeby jest tu pewie spryt, otwarty umysł i coś, co a późiejszym etapie auki azywa się kulturą matematyczą. Niezbęda teoria, której ie ma w programie auczaia, zostaie wyłożoa przy okazji. Do rozwiązań propoujemy zajrzeć dopiero po zakończoych sukcesem lub ie, próbach własych. Oczywiście wszystkie zadaia są w zbiorze rozwiązae. Zadaia posiadają róży stopień trudości. Są tu zadaia zupełie proste, jak rówież całkiem skomplikowae, poziomu olimpiad matematyczych czy egzamiów. Zrezygowao z ozaczaia zadań trudiejszych gwiazdkami i celowo przemieszao je z zadaiami łatwiejszymi. Wychodzimy z założeia, że wszystko co ułoży człowiek, iy człowiek potrafi rozwiązać i w świetle tej prawdy wszystkie zadaia wydają się łatwe. Autor dołożył wszelkich starań, żeby pokazać rozwiązaia komplete i w miarę proste. Jeżeli czytelik odajdzie iy sposób, być może bardziej elegacki i zechce się im podzielić z autorem, zyska ogromą wdzięczość korzystających z kolejych wydań tej książki. Do takiego współzawodictwa bardzo zachęcamy, wszelkie uwagi prosimy kierować a adres: ksiazki07@gmail.com Mariusz Kawecki 3

4. Własości fukcji. Zadaie 30 Rozwiązać rówaie: Ustalmy dziedzię rówaia (*), 5 4x 50 x. Ozaczmy prawą stroę rów- 4 aia (*) przez y, mamy wtedy: 4x 5 x x (*) 4x 5 y y x x y y ( ) 4 5 Jeżeli teraz potraktujemy lewą stroę rówaia (*) jak fukcję y f( x), to prawa stroa będzie fukcją odwrotą do iej x f ( y). Przy zamiaie zmieych y a x wykresy fukcjo staą się symetrycze 5 względem prostej y x, czyli jeżeli się przetą to w tych samych puktach, w których prosta y x przecia każdy z tych wykresów. Rówaie (*) jest więc rówoważe rówaiu: x x x lub 4x 5 x (**) x f ( y) mają te sam wy- 5 Należy pamiętać, że fukcja y f( x) i fukcja do iej odwrota kres. 95

Wybieramy do rozwiązaia prostsze: x x x x x x 0 Obie liczby ależą do dziedziy, ale tylko x spełia rówaie (*). To, że bardziej skomplikowae rówaie da się zastąpić prostszym, rówoważym widoczy jest po sporządzeiu wykresów fukcji. Widać też dlaczego zawsze sprawdzamy rozwiązaie. Zadaie 3 Rozwiązać rówaie: 4x 3 x x (*) 3 Wyzaczamy dziedzię 4x30 x. Ozaczamy prawą stroę rówaie (*) 4 przez y: 4x 3 y (y) 4x3 x y y Po obu stroach rówaia mamy fukcje wzajemie odwrote. W miejsce prawej stroy (*) podstawiamy x: x x x x 0 x Brak rozwiązaia staje się widoczy po sporządzeiu rysuku: Zadaie 3 Dla a 0, rozwiązać rówaie: 4 x ax a a x (*) 6 6 96

Ozaczmy prawą stroę rówaia (*) przez y: ( ) 6 6 6 y a a x y a a x x y ay Co ozacza, że prawa stroa rówaia (*) jest fukcją odwrotą do fukcji będącej po lewej stroie rówaia. Samo rówaie jest postaci f ( x) f ( x) gdzie: f( x) x ax 6 Jest to fukcja kwadratowa, jedozacza od wierzchołka paraboli czyli od puktu Aa, a. Szukamy puktów wspólych z prostą y x 6. x ax x x (a) x 0 6 6 3 3 (a) a a 0 a,, 4 4 4 Zbiór, w którym zawarty jest parametr zawiera się w zbiorze dla którego istieją rozwiązaia. 3 3 (a) a a (a) a a x, x Należy dokoać sprawdzeia ale bezpośredie podstawieie wyliczoych wartości do rówaia (*) byłoby kłopotliwe. Zauważmy, że wykres aszej fukcji f ( x ) jest parabolą z ramioami skierowaymi do góry. Fukcja f ( x ) i fukcja odwrota f ( x) przetą się w dwóch puktach, jeżeli wierzchołek paraboli będzie powyżej lub a prostej y x. Dla puktu wierzchołkowego ma więc być spełioa ierówość: y x. Podstawiając współrzęde wierzchołka A otrzymujemy: 6 6 a a a a 5, a 5 5 5 5, a, a, 4 4 4 4 4 4 0 Poieważ, jak łatwo sprawdzić 5 5 0,, 4 4 4 obie wartości są poprawe. Zadaie 33 Rozłożyć wielomia a czyiki: W x x x 0 5 ( ) 97

Zauważmy, że: 5 5 3 3 5 0 5 x ( x ) ( x )( x x ) 5 3 5 3 9 6 3 0 5 x ( x ) ( x )( x x x x ) W( x) x x 5 5 4 3 x x ( x)( x x x x) 9 6 3 9 6 3 ( x )( x x )( x x x x ) ( x x )( x x x x ) 4 3 4 3 ( x)( x x x x) ( x x x x) Bezpośredio dzieląc obliczamy: 9 6 3 4 3 8 7 5 4 3 ( x x x x ):( x x x x ) x x x x x x 0 9 8 x x x x x 0 8 6 3 x x x x x 0 9 8 7 x x x x x x 9 7 6 3 x x x 8 5 3 9 8 7 6 5 x x x x x x x x 8 7 6 5 4 x x x x x 7 6 4 3 x x x x 7 6 5 4 3 x x x x x x 5 5 4 3 x x x x x 4 3 x x x x 4 3 x x x x Ostateczie: 8 7 5 4 3 W( x) ( x x)( x x x x x x ) Zadaie 34 Rozłożyć a czyiki wielomia trzech zmieych: 3 3 3 Qxyz (,, ) ( x y) ( yz) ( z x) Zauważmy, że wielomia przyjmuje wartość 0 dla x y, y z, z x co ozacza, że wielomia Qxyz (,, ) traktoway jako wielomia jedej zmieej z dwoma parametrami dzieli się przez każdą z różic: x y, yz, z x zatem dzieli się przez ich iloczy: ( x y)( yz)( z x). Mamy więc: Q x y z x y y z z x x y y z z x 3 3 3 (,, ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) Podosząc do trzecich potęg po stroie lewej i wymażając po stroie prawej, porządkując i porówując współczyiki ustalamy, że 3, stad: 98

Q x y z x y y z z x x y y z z x 3 3 3 (,, ) ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) Zadaie 35 Udowodić, że iloczy czterech kolejych liczb zwiększoy o jest pełym kwadratem. Mamy wykazać, że: ( )( )( 3) k. Spróbujemy zaleźć wielomia Qx, ( ) który będzie spełiał waruek: xx ( )( x)( x3) Qx ( ) ale ( )( )( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) xx x x Q x Qx Qx Qx xx ( )( x)( x3) xx ( 3) ( x)( x) ( x 3 x)( x 3x ) W takim razie: ( 3 )( 3 ) ( ) ( ) ( ) 3 x x x x Q x Q x Q x x x ( )( )( 3) 3 Zadaie 36 Udowodić, że wielomia o współczyikach całkowitych: W( x) a x a x... a x a 0 Przyjmujący dla x 0 i x wartości ieparzyste, ie ma pierwiastków całkowitych. Zgodie z warukami zadaia mamy: W(0) a m 0, 0 W() a a... a a k Jeżeli x l, to wartość: W( l) a ( l) a ( l)... a ( l) a A a 0 0 ze względu a a 0 jest ieparzysta. Jeżeli x l, to: W( ) a (l) a (l)... a (l) a B( a a... a a ) 0 0 ze względu a a a... a a0 jest rówież ieparzysta. Dla każdego argumetu wartość wielomiau jest ieparzysta, co jest sprzecze z warukami zadaia. 99

Zadaie 37 Ile rozwiązań ma rówaie: si x x (*) 50 Szukamy tu puktów wspólych krzywej f ( x) six oraz prostej gx ( ) x. Rysu- 50 ek poiżej przedstawia fragmet wykresu obu liii. Ze względu a ieparzystość obu fukcji, to jest symetrię ich wykresów względem początku układu współrzędych, po stroie dodatiej osi OX będzie tyle samo rozwiązań rówaia co po stroie ujemej. Do tych rozwiązań ależy dodać trywiale rozwiązaie dla x 0. Zauważmy, że a każdym odciku ( ), prosta gxw ( ) dwóch puktach przetie siusoidę f ( x ) przy czym astąpi to w pierwszej części rozważaego odcika, tam gdzie siusoida jest powyżej osi OX. Zauważmy poadto, że powyżej puktów o rzędych ie może być puktów wspólych z siusoidą. Prosta gxprzechodzi ( ) przez pukt o rzędej dla odciętej 50. Wyika stąd, że pukt (50,) jest "ostatim" puktem, który mógłby być wspóly dla siusoidy i rozpatrywaej prostej. Dzieląc [50 : ] 8 ustalimy ile górych części siusoidy "mieści się" w odciku 0,50. W każdej części są dwa pukty wspóle, co daje 6 puktów wraz z rozwiązaiem trywialym dla x 0. Do tego ależy dodać 6 rozwiązań po ujemej stroie osi. Wszystkich rozwiązań rówaia jest 3. Zadaie 38 Dla jakiej całkowitej liczby a wyrażeie ( x a)( x0) da się zapisać w postaci wyrażeia ( x b)( x c) z całkowitymi współczyikami b, c. Zaleźć te współczyiki. Pytamy dla jakich liczb a, b, c wielomia Px ( ) ( xa)( x0) ( xb)( x c). Obliczając wartość wielomiau dla x b lub x c wyzaczymy a. P( c) ( ca)( c0) ( cb)( cc) ( ca)( c0) 00