METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH
Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss
Cłkowie umeryze - ide d Y Cłkę moż przyliżyć sumą d S i i i X i i i
Kwdrtury Newto-Cotes Kwdrtur Newto Cotes leży do metod z ustloymi węzłmi, poleg tym, że ukj jest iterpolow wielomiem p. Lgrge gdzie: 0... Wówzs łk z ukji może yć przyliż łką z ukji iterpolująej -tego stopi
5 Wzór trpezów Zkłdmy = zyli 0 d 0 Szukmy współzyików 0 i 0 Zkłdmy, że prost, któr przyliż ukję przehodzi przez pukty, i,. Czyli: 0 0 0
6 Wzór trpezów d d pole trpezu Y X
7 Wzór trpezów Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy metody trpezów zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej g. true reltive error
8 Wzór trpezów 0000 t 000 l 9. 8t 0000 00t 8 0 000 l 000 l 0000 0000 008 0000 0000 000 8 s 0 s 9.88 9.80 77.7 90.67 m/ m/ s s 0 8 77.7 90.67 868 m
9 Wzór trpezów Wrtość dokłd 0 8 0000 000 l 9.8t dt 0000 00t 06 m Błąd względy: 06 868 t 00 7.959% 06
0 Złożoy wzór trpezów Błąd, jk pokzuje poprzedi przykłd, jest zyt duży. Moż zpropoowć podził przedziłu łkowi segmetów, kżdy o długośi h. Y h dl = X d h d h h h d h d h h d
d ih i h h h h h h d d... d d d... h h h h h ] [... h h Złożoy wzór trpezów
Przykłd : Złożoy wzór trpezów Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy metody trpezów zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t przyjmują = Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error
Złożoy wzór trpezów i ih 0 = = 8 s = 0 s h s 8 0 8 8 i ih 0 8 9 0 77. 7 8. 75 90. 67 66 m
Złożoy wzór trpezów wrtość dokłd wyosi: 0 8 000 0000 l 9. 8t 0000 00t dt 06 m Błąd względy to: 06 66 t 00.85 % 06
5 Złożoy wzór trpezów Δ E t t % % 868-807 7.96 --- 66-05.85 5. 5-9. 0.865.09-5.5 0.655 0.59 5 09 -.0 0.98 0.669 6 08 -.9 0.070 0.0908 7 078-6.8 0.5 0.058 8 07 -.9 0.65 0.0560
6 Aliz łędu dl wzoru trpezów Błąd ezwzględy metody z pojedyzym segmetem E t ", gdzie jest puktem w, Błąd w metodzie złożoej wielosegmetowej jest sumą łędów dl kżdego segmetu. Błąd pojedyzego segmetu wyosi: h E ", h " h
7 Aliz łędu dl wzoru trpezów Podoie: E i ih i h " i, i h i ih h " i dl : h E ", h h "
8 Aliz łędu dl wzoru trpezów Cłkowity łąd w metodzie złożoej jest sumą łędów pojedyzyh segmetów: i E t E i " h i " i i Wyrżeie i " jest przyliżoą średią wrtośią drugiej pohodej w przedzile E t i i
9 Aliz łędu dl wzoru trpezów Poiższ tli dl łki 0 8 000 0000 l 9. 8t 0000 00t dt w ukji lizy segmetów. Widć, że gdy liz segmetów jest podwj, łąd E t zmiejsz się w przyliżeiu zterokrotie. Vlue E t t % % 66-05.85 5. -5.5 0.655 0.59 8 07 -.9 0.65 0.0560 6 065 -. 0.09 0.000
0 Cłkowie metodą Romerg Metod Romerg jest rozszerzeiem metody trpezów i dje lepsze przyliżeie łki poprzez zsdizą redukję łędu true error
Ekstrpolj Rihrdso Błąd E t true error w -segmetowym wzorze trpezów wyosi E t C gdzie C jest współzyikiem proporjolośi Stąd: Et TV wrtość dokłd true vlue wrtość przyliżo p. wylizo ze wzoru trpezów pproimte vlue
Ekstrpolj Rihrdso Moż pokzć, że C TV gdy segmet zostje zmiejszoy o połowę Ze wzorów: C TV C TV otrzymujemy: TV
Ekstrpolj Rihrdso Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy ekstrpolji Rihrdso zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Przyjąć =
Tel wyików ze złożoego wzoru trpezów do =8 segmetów Δ E t t % % 868-807 7.96 --- 66-05.85 5. 5-9. 0.865.09-5.5 0.655 0.59 5 09 -.0 0.98 0.669 6 08 -.9 0.070 0.0908 7 078-6.8 0.5 0.058 8 07 -.9 0.65 0.0560
5 Ekstrpolj Rihrdso 66m m TV dl = TV 66 06m
6 Ekstrpolj Rihrdso Wrtość dokłd to: 0 8 000 0000 l 9. 8t 0000 00t dt 06 m Stąd Et 06 06 m
7 Ekstrpolj Rihrdso Błąd względy 06 06 t 00 0.0090% 06 Porówie wyików z metodą złożoą trpezów. 8 Δ m wzór trpezów 868 66 07 % Δ m t t % wzór trpezów 7.96.85 0.655 0.65 ekstrpolj Rihrdso -- 065 06 06 ekstrpolj Rihrdso -- 0.066 0.0090 0.0000
8 Metod Romerg Cłkowie metodą Romerg stosuje te sm wzór o ekstrpolj Rihrdso. Jedkże, metod Romerg jest to lgorytm rekureyjy. Przypomijmy: TV Moż zpisć R Wrtość dokłd TV jest zstąpio przez wyik łkowi metodą Rihrdso Zk jest zstąpioy przez zk rówośi. R
9 Metod Romerg Estymow wrtość dokłd wyosi: TV Ch gdzie Ch jest wrtośią łędu przyliżei Nstęp wrtość łki podwjją lizę segmetów wyosi: R Estymow wrtość dokłd wyosi terz: TV R R 5 R R R R R
0 Metod Romerg Ogóle wyrżeie w metodzie Romerg k, j k k, j k, j, j, k k Wskźik k reprezetuje rząd ekstrpolji k= odpowid wrtośiom uzyskym ze wzoru trpezów k= odpowid wrtośiom uzyskym z łędem Oh Wskźik j reprezetuje dokłdość; j+ dje łkę wyzzoą dokłdiej iż j
Metod Romerg Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy wzoru Romerg zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Przyjąć =,,, 8
Tel wyików ze złożoego wzoru trpezów do =8 segmetów Δ E t t % % 868-807 7.96 --- 66-05.85 5. 5-9. 0.865.09-5.5 0.655 0.59 5 09 -.0 0.98 0.669 6 08 -.9 0.070 0.0908 7 078-6.8 0.5 0.058 8 07 -.9 0.65 0.0560
Metod Romerg N podstwie teli odzytujemy: 868 66,,, 07, W pierwszym przyliżeiu:,,,, 66 66 868
Metod Romerg Podoie,,,, 06, 66, 07,, 07 06,
5 Metod Romerg W drugim przyliżeiu, Podoie,,,, 06 06 06 06,, 5, 06 065 5, 5, 06 06 5
6 Metod Romerg Dl trzeiego rzędu,,,, 6, 06 06 06 6 06m
7 Metod Romerg Rząd Rząd Rząd -segmet -segmet -segmet 8-segmet 868 6 07 065 06 06 06 06 06 Poprwioe wrtośi łki metodą Romerg
8 Metod Simpso Metod trpezów ył oprt przyliżeiu ukji podłkowej wielomiem stopi pierwszego. W metodzie Simpso wykorzystuje się wielomiy stopi drugiego, jest to tzw. metod prol. d d gdzie: 0
9 Metod Simpso Rówie proli dl puktów:,,,,, Y 0 0 X 0
0 Metod Simpso Wyzzoe współzyiki ukji to: 0
Metod Simpso d d 0 0 0 Wówzs:
Metod Simpso d 6 h Co dje: h d wzór prol
Metod Simpso w wersji złożoej... d 6 0 0... 6... 0 -... d d d 0 d d......... 6 6 h i i...,,, i
Metod Simpso... h d 6 0... h 6... h 6 6 h
5 Metod Simpso d...... h 0 }]...... 0 eve i i i odd i i i h 0 eve i i i odd i i i
6 Metod Simpso liz łędu Wrtośi przyliżoe przykłdu stosują regułę / Simpso z wielom segmetmi Wrtość przyliżo E t Є t 6 8 0 065.7 06.6 06.0 06.5 06..8 0.0 0.06 0.0 0.00 0.096% 0.007% 0.0005% 0.000% 0.0000%
7 Metod Simpso liz łędu Błąd dl jedego segmetu 5 E t, 880 Błąd w metodzie wielosegmetowej E 0 880 5 5 h 90, 0 E 880 5 5 h 90, E i i i 880 5 i 5 h 90 i, i i i
8 Metod Simpso liz łędu Cłkowity łąd i i E t E i i 5 h 5 i 90 i 5 i E t 90 5 i i 90 90 5 i średi wrtość pohodej
9 Metod Guss Cłkę metodą kwdrtury Guss przedstwi wzór: d stłe współzyiki Pukty i, w któryh określmy wrtość ukji podłkowej ie są ustloe jk poprzedio grih przedziłu zyli i, le są priori dowolie rozmieszzoe w przedzile <,>.
50 Metod Guss. 0 d d 0 0 0 Niewidome,,, zjduje się zkłdją, że ukj podłkow spełi wruek:
5 Metod Guss 0 0 d 0 d d d 0 0 z jedej stroy z drugiej stroy
5 Metod Guss 0 0
5 Metod Guss Rozwiązują ukłd rówń: otrzymujemy dl metody dwupuktowej:
5 Metod Guss d W dwu-puktowej metodzie Guss, łk ukji wyrż się wzorem:....... d Uogóliją dl puktów:
55 Metod Guss W -puktowej metodzie Guss, współzyiki i orz rgumety i są stelryzowe dl łek w grih od - do g d i i g i współzyiki rgumety ukji =.000000000 =.000000000 = 0.555555556 = 0.888888889 = 0.555555556 = 0.78585 = 0.65555 = 0.65555 = 0.78585 = -0.5775069 = 0.5775069 = -0.77596669 = 0.000000000 = 0.77596669 = -0.866 = -0.9980 = 0.9980 = 0.866
56 Metod Guss współzyiki rgumety ukji 5 = 0.696885 = 0.7868670 = 0.568888889 = 0.7868670 5 = 0.696885 6 = 0.79 = 0.607657 = 0.67995 = 0.67995 5 = 0.607657 6 = 0.79 = -0.9067986 = -0.58690 = 0.000000000 = 0.58690 5 = 0.9067986 = -0.9695 = -0.660986 = -0.869860 = 0.869860 5 = 0.660986 6 = 0.9695
57 Metod Guss Jeżeli de są w tlih dl Grie łkowi g d d? to jk olizmy, leży zmieić, Nieh mt Dl, t Dl t, Wyik stąd, że: m
58 Metod Guss Stąd: t d dt Osttezie: d t dt
59 Metod Guss Przykłd 5: Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t 0000 00t Przy pomoy dwu-puktowej metody Guss zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t - t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error
60 Metod Guss Njpierw zmieimy grie łkowi z [8,0] [-,] 0 t dt 0 8 0 8 0 8 8 d 9 d Nstępie odzytujemy z tli dl =. 000000000 0. 5775069. 000000000 0. 5775069
6 Metod Guss Korzystmy ze wzoru kwdrtury Guss 9 d 9 9 0. 57750 9 0. 57750 9. 695 5. 5085 96. 87 708. 8 058. m
6 Metod Guss Skorzystliśmy z tego, że:. 695 0000 000l 0000 00. 695 9. 8. 695 96.87 5. 5085 0000 000l 0000 00 5. 5085 9. 8 5. 5085 708.8
6 Metod Guss Błąd ezwzględy true error E t E t 06..9000 058. m Błąd względy, t 06. 058. t 00% 06. 0.06%