Drgana układu welu stpnu swbd
Drgana własne
Zasada d laberta Zasada d leberta: w dnesenu d knstrukcj, znajdującej sę pd wpłwe sł zennch w czase, żna stswać zasad statk pd warunke, że uwzględn sę sł bezwładnśc.
Drgana własne układ welu stpnach swbd rak sł wuszającej drgana Przeeszczena pszczególnch as równają sę sue przeeszczeń d pszczególnch sł bezwładnśc: n gdze: & j j a dla belk pwżej j j j j & & lub & && & & && & 4 &&
Drgana własne układ welu stpnach swbd Rzwązane równana różnczkweg a frę: sn( t) czl && sn( t) gdze częstść drgań własnch & & & && && & & & && ( t) sn( t) sn( t) sn( t) sn ( t) sn( t) sn( t) sn( t) sn ( t) sn( t) sn( t) sn( t) sn 5
Równane ruchu układu klku stpnach swbd rak sł wuszającej drgana ( t) sn( t) sn( t) sn( t) ( t ) sn ( t ) sn ( t ) sn ( t ) ( t) sn( t) sn( t) sn( t) sn sn sn P przekształcenach układ równań przbera frę: 0 0 0 6
Wznaczane częstśc drgań własnch Układ równań psując ruch: 0 0 0 0 lub 0 7
Wznaczane częstśc drgań własnch Układ równań psując ruch: 0 gdze: newad są częstść drgań własnch [rad/s], apltud drgań as na t stpnu swbd a znane są as na t stpnu swbd, j przeeszczena na kerunku wwłane słą jednstkwch, dzałającą na kerunku j 8
Wznaczane częstśc drgań własnch Rzwązane układu równań : 0 lub 0 T jest ne prawdą czl t us bć równe zer 9
Wznaczane częstśc drgań własnch Częstśc są rzwązane równana jake pwstane p plczenu wznacznka: P pdzelenu klun przez ten wznacznk wgląda tak: 0 0 0
Wznaczane apltud drgań własnch pltud drgań własnch ne żna plczć, natast żna plczć stsunek apltud. Układ równań: 0 0 0 0 0 0 Dzel przez czl trzuje:
Wznaczane apltud drgań własnch 0 0 Układ równań, psując apltud drgań własnch Z pwższeg układu równań wbera dwa równana wznacza: 0, Uwaga: Najczęścej w pwższ układze równań za wstawa sę pzstawa sę znaczena stsunku apltud d apltud jak
Fr drgań własnch Na pdstawe apltud rsuje fr drgań własnch: a,, a a a a a a a,, a a a a a a,, a a a a
Ortgnalnść drgań własnch pltud drgań własnch spełnają warunek rtgnalnśc czl: n j k gdze as skupne, j apltuda drgań as prz częstśc j, k apltuda drgań as prz częstśc k. j perwsz ndeks znacza kerunek drgana, a drug częstść drgań własnch, dla której apltuda (stsunek d apltud j ) zstała wznaczna. Ortgnalnść sprawdza dla dwóch fr drgań własnch. 4 0
Ortgnalnść drgań własnch pltud drgań własnch pwnn spełnać warunk rtgnalnśc czl: dla 0 dla 0 dla 0 5
Metd szacwana perwszej częstśc drgań własnch W przpadku układu jedn stpnu częstść drgań własnch wns: Metda Dunkerle a (lub Gegera): D n lub D Zależnść pędz blczn wartśca D < 6
Metd szacwana perwszej częstśc drgań własnch - Metda Ralegh a Płżene równwag z aksalną prędkścą energą knetczną Funkcje psujące zan prędkśc ruchu as w czase Płżene aksalneg wchlena prędkścą równą zer aksalna energą ptencjalną & cst & cst & cst a, są apltuda prędkśc, wstępując w płżenu równwag. Funkcje psujące przeeszczena as w czase a, są apltuda przeeszczeń. sn t snt snt 7
Metd szacwana perwszej częstśc drgań własnch - Metda Ralegh a Energa knetczna n E k ax ( ) Energa ptencjalna n E p ax P Z zasad zachwana energ a E E k ax p ax n n ( ) P n P n n n P drgana.exe 8
Metd szacwana perwszej częstśc drgań własnch - Metda Ralegh a n n P P P P gdze: P sł, np. cężar as, dzałające na kerunkach stpn swbd, apltud przeeszczeń, wznaczne jak przeeszczena wwłane sła P czl P g g P P g ( ) g ( ) g v ( ) g P P P g P P P g P P P g n n g g > n n v g 9
Metd szacwana perwszej częstśc drgań własnch Metda Dunkerle a (lub Gegera): D n lub D Metda Ralegha R n n lub Zależnść pędz blczn wartśca < < R D R gdze: 0
Rswane fr drgań własnch Pdstawwe zasad: - perwsza fra (dla perwszej najnższej częstśc) jest najprstsz dkształcene, każde wższa częstść wąże sę z bardzej skplkwan kształte drgań, - pręt ne że sę wdłużać czl węzeł że pruszać sę tlk p ln prstpadłej d pręta, - kąt pędz pręta w węźle p brce węzła pzstają take sae, - kąt w drganach ne są blkwane pdpra.
Drgana własne - przkład Dane: 500000N 00kg 4 Stpne dnaczne 4
Drgana własne - przkład 4 Stan Stan jednstkwe dla pszczególnch stpn dnacznch przeeszczena d sł jednstkwch.486 0.0447 0.067 Stan 0.490.485 0.47 Stan 4 4
Drgana własne - przkład Przeeszczena d sł jednstkwch.486 0.067.485 0.0447 0.490 0.47 500000N 00kg 4 4 0 0 0.47 0.490 0.0447 0.490.485 0.067 0.0447 0.067.486
Drgana własne - przkład 0 0.47 0.490 0.0447 0.490.485 0.067 0.0447 0.067.486 5 0 0.47 0.490 0.0447 0.490.485 0.067 0.0447 0.067.486 Lub p przenżenu wrazów przez
Drgana własne - przkład 500000N 00kg P wknanu pdstawena X trzuje 4.486 X 0.067 0.0447 0.067 X.485 0.490 0.0447 0.490 0.47 X 0 N s X 096 kg rad N s kg rad N s kg rad 4. X. 4806 X 0. 809 X 500000 00 4.096 rad 0.8 s rad s 500000 00.4806 rad.55 s rad s 500000 00 0.809 rad 45.076 s rad s 6
Wznaczane apltud fr drgań własnch - przkład Wznaczene apltud drgań 0 0 0 0.067 0.0447 0.490.486.485 0.47 P pdstawenu danch dla 0 0 0.485 ( 0.067 ) ( 0.0447 ).486 0.067 0.490 0.0447 0.490 0.47 7
Wznaczane apltud fr drgań własnch - przkład Dla 0.8rad/s X 4.096, załżene (.486 X) ( 0.067 ) ( 0.0447 ) 0.067 (.485 X) 0.490 0.0447 0.490 ( 0.47 X ) 0 0 0 X -.09, -.705 8
Wznaczane apltud fr drgań własnch - przkład Dla.55rad/s X.4806 załżene (.486 X ) ( 0.067 ) ( 0.0447 ) 0.067 (.485 X ) 0.490 0.0447 0.490 ( 0.47 X ) 0 0 0 X 0.0, -0.049 9
Wznaczane apltud fr drgań własnch - przkład Dla 45.076rad/s X 0.809, załżene (.486 X ) ( 0.067 ) ( 0.0447 ) 0.067 (.485 X ) 0.490 0.0447 0.490 ( 0.47 X ) 0 0 0 X -0.88, 9.95 0
Sprawdzene rtgnalnśc drgań, -.09, -.705 0 0 0, 0.0, -0.049 (.09) 0.0 (.705) ( 0.049) 0. 005 ( 0.88) ( 0.049) 9.95 0. 0.0 009 (.09) ( 0.88) (.705) 9.95 0. 00-0.88, -0.88, 9.95
Szacwane częstśc drgań własnch 4 Dane: 500000N 00kg 0.067.486 0.0447.485 0.490 0.47.486 0.067 0.0447. 99 0.067.485 0.490 4. 764 0.0447 0.490 0.47. 677
Szacwane częstśc drgań własnch 4 Dane: 500000N 456 rad 6. D (.486.485 0.47) 6.95 00kg s (.99 0 4.764.677 ). s ( (.99 ) 0 ( 4.764 ) (.677 ) ) rad R 56 rad D < 0. 8 < R s 500000N 0.067.486 0.0447.485 0.490 0.47. 99 4. 764. 677 00kg
Drgana wuszne 4
Zasada d laberta SS sn(pt) Zasada d leberta: w dnesenu d knstrukcj, znajdującej sę pd wpłwe sł zennch w czase, żna stswać zasad statk pd warunke, że uwzględn sę sł bezwładnśc. Dtcz t zarówn blczana przeeszczeń jak sł wewnętrznch. D wznaczena ekstrealnch sł wewnętrznch ptrzebne są apltud sł bezwładnśc. 5
Drgana wuszne układu welu stpnach swbd SS sn(pt) Przeeszczena pszczególnch as równają sę sue przeeszczeń d pszczególnch sł bezwładnśc sł wuszającej : n gdze: k kerunek przłżena sł wuszającej j ( t ) j& j ( t) ( ) ks t j j ( t) j 6
Drgana wuszne układu welu stpnach swbd SS sn(pt) ( t) ( ) ks t j j ( t) n j Dla belk pwżej Rzwązane a frę && p sn pt czl ( ) p sn( pt) sn( pt) ks ks ks sn gdze - apltuda sł bezwładnśc ( pt) 7
Drgana wuszne układu welu stpnach swbd SS sn(pt) ( t) ( ) ks t j j ( t) p n j Dla belk pwżej sn( pt) k S sn( pt) p sn( pt) p sn( pt) p sn( pt) sn( pt) sn( pt) S sn( pt) p sn( pt) p sn( pt) p sn( pt) sn( pt) k ( pt) S sn( pt) p sn( pt) p sn( pt) p sn( pt) sn( pt) sn k Rzwązane a frę sn( pt) czl && p sn( pt) p sn( pt) sn( pt) gdze - apltuda sł bezwładnśc 8
Drgana wuszne układu welu stpnach swbd SS sn(pt) ( t) ( ) ks t j j ( t) p n j lub z apltuda sł bezwładnśc p ( pt) S sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn k p ( pt) S sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn k p ( pt) S sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn( pt) sn k 9
Drgana wuszne układu welu stpnach swbd SS sn(pt) S k n j Układ równań, psując apltud drgań wusznch, a frę: ( ) p p p ks 0 ( ) p p p ks 0 ( p p p ) 0 S k gdze newad są apltud drgań wusznch, znane są as na t stpnu swbd, j przeeszczena na kerunku wwłane słą jednstkwch, dzałającą na kerunku j, p częsttlwść wuszena [rad/s] j 40 j
Drgana wuszne układu welu stpnach swbd Układ równań, psując apltud sł bezwładnśc: 0 k S p 0 k p S 0 k p S gdze newad są apltud sł bezwładnśc, znane są as na t stpnu swbd, j przeeszczena na kerunku wwłane słą jednstkwch, dzałającą na kerunku j, p częsttlwść wuszena [rad/s] 4
Ekstrealne sł wewnętrzne, wwłane drgana wuszn SS sn(pt) D wznaczena sł wewnętrznch wkrzstuje wkres 4 D wznaczena sł wewnętrznch wkrzstuje wkres d sł jednstkwch krzsta z zasad superpzcj czl: gdze: j - apltud sł bezwładnśc, S - apltuda sł wuszającej, N j, T j, M j - sł wewnętrzne d bcążeń jednstkwch. ± ± ± ± j j j k k N N S N N N N S N ± ± ± ± j j j k k T N S T T T T S T ± ± ± ± j j j k k M M S M M M M S M
Wznaczene apltud sł bezwładnśc - przkład 4 P sn(πnt) Dane: 500000N 00kg, P 0kN, n0hz 0.067 0.0447 0.490.486.485 0.47 Sła dzała na kerunku 4 4
Wznaczene apltud sł bezwładnśc - przkład p p p S k S k S k 0 0 0 Dane: 500000N 00kg, P 0kN, n0hz k 0.067 0.0447 0.490.486.485 0.47 500000N.486 0.067 0.0447 0.0447 0 0 ( 0 / ) kn π s 500000N 0.067.485 0.490 0.490 0 0 ( 0 / ) kn π s 500000N 0.0447 0.490 0.47 0.47 0 0 ( 0 / ) kn π s 44
Wznaczene apltud sł bezwładnśc - przkład 500000N.486 0.067 0.0447 0.0447 0 0 ( 0 / ) kn π s 500000N 0.067.485 0.490 0.490 0 0 ( 0 / ) kn π s 500000N 0.0447 0.490 0.47 0.47 0 0 ( 0 / ) kn π s pltud sł bezwładnśc, wznaczne z pwższeg układu, wnszą: -0.6kN,.69kN, -0.45 45
Wznaczene sł wewnętrznch d wuszena Zasada d leberta: w dnesenu d knstrukcj, znajdującej sę pd wpłwe sł zennch w czase, żna stswać zasad statk pd warunke, że uwzględn sę sł bezwładnśc. Warant I Warant II P P 4 4-0.6kN,.69kN, -0.45, P 0kN 46
Wznaczene sł wewnętrznch d wuszena Zasada d leberta: w dnesenu d knstrukcj, znajdującej sę pd wpłwe sł zennch w czase, żna stswać zasad statk pd warunke, że uwzględn sę sł bezwładnśc. Warant III Warant IV P P 4 4-0.6kN,.69kN, -0.45, P 0kN 47
Wznaczene sł wewnętrznch d wuszena warant I D wznaczena sł wewnętrznch wkrzstuje wkres d sł jednstkwch krzsta z zasad superpzcj czl: N S N T S T M S N N N T T T M M M M -0.6kN,.69kN, -0.45, P 0kN P Kerunk ddatne 48
Wznaczene sł wewnętrznch d wuszena warant II D wznaczena sł wewnętrznch wkrzstuje wkres d sł jednstkwch krzsta z zasad superpzcj czl: N SN T ST M S N N N T T T M M M M -0.6kN,.69kN, -0.45, P 0kN P Kerunk ddatne 49
Wznaczene sł wewnętrznch d wuszena warant III D wznaczena sł wewnętrznch wkrzstuje wkres d sł jednstkwch krzsta z zasad superpzcj czl: N S N T S T M S N N N T T T M M M M -0.6kN,.69kN, -0.45, P 0kN P Kerunk ddatne 50
Wznaczene sł wewnętrznch d wuszena warant IV D wznaczena sł wewnętrznch wkrzstuje wkres d sł jednstkwch krzsta z zasad superpzcj czl: N SN T ST M S N N N T T T M M M M -0.6kN,.69kN, -0.45, P 0kN P Kerunk ddatne 5
Sł wewnętrzne dla stanu 0.405-0.454 - - N [/] 4 0.4 0.490 0.0894 0.0596 0.0447-0.45 - - 0.05 0.895 T [/] 0.9089 0.098 M [/] 5
Sł wewnętrzne dla stanu 0.049-0.465 - - - N [/] 4 0.078 0.8 0.0596 0.5 0.980 0.0745 0.55 - - 0.895 0.7997 T [/] 0.098 0.849 M [/] 5
Sł wewnętrzne dla stanu 0.0099 0.00 - - N [/] 0.097 4 0.689 0.5497 0.0 0.5 0.599-0.05 0.5745-0.455 T [/] 0.099 0.066 M [/] 54
Sł nralne warant I N 0kN N kn N 0.6kN N.69kN N 0. 45 P 0.49 0.506 - - NI [kn] 0.405-0.454-0.0099 0.00 - - - 0.049-0.465 - N [/] - - N [/] N [/] 55
Sł tnące warant I T 0kN T kn T 0.6kN T.69kN T 0. 45 P Wkres sł tnącch w warance I d wznaczena ze wzru pwżej - T [/] - - - 0.05 0.078 0.8 - - 0.05 0.5745-0.455 T [/] T [/] 56
Ment zgnające warant I M 0kN M kn M 0.6kN M.69kN M 0. 45 P 0.097 0.689 0.0 0.599 0.5 0.4 0.490 0.0894 0.099 0.0447 0.0596 0.980 0.0596 0.5 0.066 0.0745 M [/] 0.9089 0.895 M [/] 0.098 0.098 0.895 0.55 0.849 0.7997 M [/] Wkres entów zgnającch w warance I d wznaczena ze wzru pwżej 57
Knec 58