22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Transkrypt

1 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 1. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH.1. DEFINICJE Rzdzał. dtyczy fgur płaskch równmernym rzkładze masy (ρ cnst). Rzważane fgury reprezentują zazwyczaj przekrje prętów. Dlateg zamast kreślena fgura płaska stsuje sę równeż kreślene przekrój. Defncje pszczególnych parametrów gemetrycznych fgur płaskch wymagają wprwadzena prstkątneg układu s współrzędnych x, y (rys..1). Ple przekrju Mmenty statyczne przekrju: względem s x względem s y Mmenty bezwładnśc: względem s x względem s y dśrdkwy (dewacyjny) Rys..1 Rys.. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. d> 0 [m ]. (.1) Sx yd [ m 3 ], Sy 3 xd [ m ]. y d> 0 [ m ], Jy x d> 0 [ m ], y x d [ m ]. (.a) (.b) (.3a) (.3b) (.3c) Z pdanych wyżej wzrów defncyjnych wynka, że mmenty statyczne merzymy w jednstkach długśc d ptęg trzecej (np. [m 3 ], [cm 3 ]). Mgą ne przyjmwać wartśc ddatne lub ujemne. Mmenty bezwładnśc merzymy w jednstkach długśc d ptęg czwartej (np. [m ], [cm ]). Oswe mmenty bezwładnśc przyberają zawsze wartśc ddatne są pewną marą rzprszena pla fgury względem danej s. Im rzprszene jest wększe, tym swy mment bezwładnśc jest wększy. Mment dewacyjny mże być zarówn ddatn, jak ujemny, a jeg wartść bezwzględna jest marą asyme- lma Mater

2 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH tr fgury względem przyjęteg układu współrzędnych. Łatw zauważyć, że jeśl chć jedna z s układu jest są symetr fgury, t mment dewacyjny względem teg układu jest równy zeru (pr. rys..). Wynka t stąd, że lczyny xyd w dpwadających sbe punktach wzajemne sę znszą... OSIE ŚRODKOWE, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI Oś śrdkwa t taka ś, względem której mment statyczny jest równy zeru. Śrdek cężkśc (SC) t punkt przecęca s śrdkwych. Rys..3 Rys.. Jeśl se x0 y0 są sam śrdkwym, t (a) Sx y d y yc d 0 0 ( ) 0, (b) Sy x d x xc d 0 0 ( ) 0. P rzpsanu zależnśc (a) (b) trzymujemy: Sx yd yc d Sx yc 0, 0 Sy xd xc d Sy xc 0, 0 skąd wyznaczamy współrzędne śrdka cężkśc xc yc: S y S xc, y x c. (.) Jeśl znamy płżene śrdka cężkśc ple fgury, t mmenty statyczne tej fgury względem s x, y leżących w dległścach xc yc blczamy wprst z równań (.): Sx yc, Sy xc. Jeśl fgura składa sę z n częśc znanych plach raz współrzędnych śrdków cężkśc x y ( 1,,..., n), t (pr. rys..): n n n n Sx Sx y Sy Sy x ;. (.5) ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

3 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 3 n n x y Sy S x c 1 ; y x n c 1. n (.6) MOMENTY BEZWŁDNOŚCI PRZY PRZESUNIĘCIU I OBROCIE UKŁDU OSI WSPÓŁRZĘDNYCH. KIERUNKI I WRTOŚCI GŁÓWNE Załżymy, że znamy wartśc mmentów bezwładnśc J x', J y', J x'y' dnesne d układu s x' y'. Dknajmy przesunęca równległeg układu s z płżena x', y' d nweg płżena x, y. Pytamy teraz, jake wartśc przyjmą mmenty bezwładnśc J x, J y, J xy dnesne d układu s x, y, jeśl współrzędne przesunęca względneg bu układów wynszą x p y p (rys..5). Przesunęce układów psują równana: (a) x x' + xp, y y' + yp. P pdstawenu tych zależnśc d wzrów defncyjnych (.3) trzymujemy: (b) y d y + yp d y d + yp y d + yp d (' ) ' ', Jy x d (' x + xp) d x' d + xp x' d + xpd, y xyd (' x+ xp)(' y+ yp) d xyd '' + xp yd ' + yp xd ' + xpyp d. Rys..5 Rys..6 Prawe strny równań (b) mżna przedstawć za pmcą parametrów gemetrycznych fgury zwązanych z układem x', y' wykrzystując wzry (.1), (.) (.3): ' + yp Sx' + yp, (c) Jy Jy' + xp Sy' + xp, y y + xpsx + yp Sy + xp yp ' ' ' '. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

4 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH Jeśl układ s x', y' jest układem s śrdkwych ( x' x 0, y' y 0, xp xc, yp yc), t wzry (c) znaczne sę uprszczą. Dla s śrdkwych mmenty statyczne Sx' Sx 0 Sy S ' y 0, a równana (c) przyjmą pstać: + y 0 c, Jy Jy0 + xc, y 0y0 + xc yc. (.7) Są t tzw. wzry Stenera, bardz użyteczne w blczenach. Rzważymy teraz, jak zmenają sę mmenty bezwładnśc przy brce układu s współrzędnych. Przyjmemy, że znane są wartśc J x, J y, J xy w układze s x, y. Pszukujemy J x', J y', J x'y' w układze s x', y' brócnym kąt ϕ względem układu x y (rys..6). Współrzędne punktów bu układów są pwązane wzram transfrmacyjnym: x' xcsϕ + ysn ϕ, (d) y' xsnϕ + ycs ϕ. W celu wyprwadzena pszukwanych zależnśc skrzystamy ze wzru na zamanę zmennych w całce pdwójnej: f ( x', y') d' f x'( x, y), y'( x, y) J d, (e) [ ] gdze jakban J x' x y' x x' y y' y csϕ snϕ 1. snϕ csϕ P pdstawenu wzrów transfrmacyjnych (d) d wzrów defncyjnych trzymujemy: (f) ' y' d' ( x snϕ + y cs ϕ) d ' sn ϕx d snϕcsϕ xyd+ cs ϕ y d, J y' x' d' ( x csϕ + y sn ϕ) d ' cs ϕx d+ snϕcsϕ xyd+ sn ϕ y d, y'' x' y' d' ( xcsϕ + ysn ϕ)( xsnϕ + ycs ϕ) d ' snϕcsϕx d + snϕcs ϕ y d + (cs ϕ sn ϕxyd. Prawe strny równań (f) mżna wyrazć za pmcą mmentów bezwładnśc zwązanych z układem s x, y. Wygdne też będze wprwadzć funkcję trygnmetryczne kąta ϕ: 1 1 sn ϕ ( 1 cs ϕ); cs ϕ ( 1+ cs ϕ); snϕcsϕ sn ϕ. Ostateczne pszukwane wzry transfrmacyjne dla mmentów bezwładnśc przy brce układu przyjmują pstać: ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

5 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 5 + Jy Jy ' + csϕ y sn ϕ, + Jy Jy J y' csϕ + y sn ϕ, Jy y ' ' sn ϕ + y cs ϕ. (.8) Rzut ka na wzry (.8) pzwala stwerdzć, że p brce układu suma swych mmentów bezwładnśc ne ulega zmane. Suma ta kreśla tzw. begunwy mment bezwładnśc J b. Mment ten jest węc nezmennkem: Jb ( x + y ) d + Jy ' + Jy' cnst. (.9) Szczegółwa analza wzru (.8) prwadz d wnsku, że nezmennkem jest równeż wyrażene: I3 Jy y ' Jy' ' y' cnst. (.10) W punkce.1 zwróclśmy uwagę na t, że jeśl jedna z s układu jest są symetr fgury, t mment dewacyjny w tym układze jest równy zeru. Pwstaje pytane, czy dla dwlneg nesymetryczneg przekrju jest równeż tak układ s, w którym znka mment dewacyjny. Wymagane, by J x'y' 0, stswne d wzru (.8) 3, nakłada na kąt ϕ ϕ 0 warunek: Jy (g) snϕ0 + y cs ϕ 0 0, skąd y tgϕ 0. (.11) Jy Zwróćmy uwagę, że d dentyczneg warunku z warunkem (g) dchdzmy, pszukując ekstremalnych wartśc swych mmentów bezwładnśc jak funkcj kąta ϕ: djy' dj J J x x y ' snϕ + y cs ϕ 0. dϕ dϕ Z pwyższych rzważań wnskujemy, że jest pewen wyróżnny układ s współrzędnych, kreślny kątem ϕ 0, dla któreg swe mmenty bezwładnśc sągają wartśc ekstremalne, a mment dewacyjny znka. Tak układ s nazywamy układem głównych s bezwładnśc (I, II), a mmenty swe w tym układze głównym mmentam bezwładnśc. Wartśc głównych mmentów bezwładnśc blczamy p wstawenu kąta ϕ 0 z równana (.11) d równań (.8) 1 (.8) : + Jy Jy Jmax J + + y, I... (.1) + Jy Jy Jmn JII + y. Płżene s I zwązanej z mmentem J I kreśla sę następując: jeśl J x > J y, t ϕ 0 jest kątem pmędzy są x a są I, jeśl J x < J y, t ϕ 0 jest kątem pmędzy są y a są I. Najczęścej blczena wyknujemy w układze s śrdkwych x 0, y 0. Wówczas se I II nazywamy głównym śrdkwym sam bezwładnśc, a mmenty J I J II głównym śrdkwym mmentam bezwładnśc. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

6 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 6 Uważny czytelnk stwerdz uderzającą analgę mędzy wzram (.8) (.11) a zależnścam występującym w analze płaskeg stanu naprężena (p. 1.8). Jeśl we wzrach (.8) przyjmemy, że: σx, Jy σy, y τxy, ' σx', Jy' σy', ' y' τx' y', t trzymamy zależnśc dentyczne z wzram transfrmacyjnym (1.33) dla płaskeg stanu naprężena. nalga ta wynka stąd, że mmenty bezwładnśc twrzą płask tensr drugeg rzędu. Wyjaśnene tensrweg charakteru mmentów bezwładnśc zameszczn w p... Wbec pwyższeg kł Mhra, mówne szczegółw w rzdzale 1. (p. 1.8), jest równeż lustracją grafczną wzrów transfrmacyjnych (.8). Dla jasnśc trzeba też ddać, że knstrukcję kła wyknuje sę, przyjmując że J yx J xy! Cekawstką jest, że Mhr w 1887 rku bmyślł knstrukcję kła właśne dla mmentów bezwładnśc... PRMETRY GEOMETRYCZNE PRZEKROJU JKO WIELKOŚCI TENSOROWE Mmenty statyczne nazywają sę częst mmentam perwszeg rzędu (stpna), a mmenty bezwładnśc mmentam rzędu rzędu (stpna). Określena te wynkają z ptęg, w których występują współrzędne x, y we wzrach (.) (.3). Ple przekrju mżna by nazwać mmentem rzędu zer. Nadmenamy tym neprzypadkw, gdyż ple przekrju, mmenty statyczne mmenty bezwładnśc mają własnśc tensrów dpwedn rzędu zerweg, perwszeg drugeg. Ple przekrju jest skalarem, mmenty statyczne S x S y są współrzędnym wektra, a mmenty bezwładnśc J x, J y, J xy współrzędnym tensra dwuwymarweg. Dla ptwerdzena pwyższych uwag wyprwadzmy prawa transfrmacj mmentów statycznych mmentów bezwładnśc dla brtu układu współrzędnych. Przyjmemy najperw następujące znaczena: x1 x, x y; x1' x', x' y'; (a) M1 Sy, M Sx; B11 Jy, B, B1 B1 y Wówczas wzry defncyjne (.) (.3) mżna zapsać następując: (b) Mα xαd, (c) Bαβ xα xβd,( αβ, 1, ), a wzry transfrmacyjne współrzędnych punktów w knwencj sumacyjnej kreślają znane zależnśc (pr. rzdz. 1.): (d) xγ' xα aαγ' lub (e) xδ' xβ aβδ' ( α, β 1, ; γ ', δ ' 1', '). W układze s brócnych, stswne d defncj (b) (c) raz wzrów (d) (e), mżemy napsać: Mγ' xγ' d' xα aαγ' d aαγ' xαd, ' Bγ ' δ ' xγ ' xδ ' d' xα aαγ ' xβaβδ ' d aαγ ' aβδ ' xα xβd, ' skąd Mγ' Mα aαγ', (f) Bγ ' δ ' Bαβ aαγ ' aβδ '. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

7 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 7 Wzry (f) defnują transfrmację wektra tensra przy brce układu współrzędnych w przestrzen dwuwymarwej, c wykazuje, że rzeczywśce mmenty statyczne są współrzędnym wektra, a mmenty bezwładnśc współrzędnym tensra. Pdbne jest w przestrzen trójwymarwej, gdze mmenty bezwładnśc twrzą dzewęć współrzędnych tensra symetryczneg, zdefnwanych następując (Karaśkewcz []): (g) Bj B j xk xk dv j x x j dv j δ ; (, 13,, ). V V Tensr bezwładnśc fgury płaskej jest reprezentwany przez macerz: (h) J J y y J J. yx x Z pstac tej wnskujemy, że nezmennk tensra bezwładnśc są psane wzram (pr. równeż wzry (.9) (.10)): () I1 I Jb + Jy ' + Jy' JI + JII cnst > 0, (j) Jy y I3 Jy y Jy' ' ' y' JI JII cnst > 0. Jyx.5. WSKZÓWKI PRKTYCZNE nalga mędzy mmentam bezwładnśc a płaskm stanem naprężena ne jest jednak pełna. Isttna różnca plega na tym, że swe mmenty bezwładnśc są zawsze ddatne, pdczas gdy naprężena nrmalne mgą być równeż ujemne. Oklcznść ta nakłada pewne warunk na wartść mmentów bezwładnśc. Pneważ I3 JI JII > 0, węc zgdne ze wzrem (j) w p.. mus zachdzć nerównść: Jy y > 0, skąd (a) y < Jy. Z nerównśc ( x y) x + y xy > 0 wynka dalej, że + Jy y > 0, skąd + Jy (b) J xy <. Ze wzru (a) wynka, że wartść bezwzględna mmentu dewacyjneg mus być mnejsza d średnej gemetrycznej swych mmentów bezwładnśc. Ze wzru (b) wynka natmast, że mment dewacyjny mus być mnejszy d średnej arytmetycznej swych mmentów bezwładnśc. Pneważ średna gemetryczna ngdy ne jest wększa d średnej arytmetycznej, zatem mardajna jest nerównść (a), którą mżna zapsać następując: Jy < y < Jy. (.13) Nerównść (.13) dwdz, że dwlna trójka lczb ne twrzy tensra bezwładnśc. Nerównść ta słuszna równeż dla dwlneg, neśrdkweg układu współrzędnych jest właścwe jedynym spsbem kntrl lścwej blcznych wartśc J x, J y, J xy. Gdy krzysta sę z gtwych wzrów lub tablc należy ustalć właścwy znak mmentu dewacyjneg. Najczęścej zdarza sę t w przekrjach trójkątnych lub kątwnkach. O znaku J xy decyduje płżene ramn kątwnka (lub trójkąta). Rzróżnamy tu przypadk przedstawne na rys..7. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

8 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 8 Rys..7 W tablcy IV pdan parametry gemetryczne najczęścej sptykanych fgur płaskch. Tablca IV.6. PRZYKŁD LICZBOWY Dany jest przekrój złżny, przedstawny na rys..8. Oblczyć: a) płżene śrdka cężkśc, b) mmenty bezwładnśc względem s śrdkwych x0, y0, c) kerunk śrdkwych s głównych, d) główne śrdkwe mmenty bezwładnśc, e) mmenty bezwładnśc względem s śrdkwych x0', y0', brócnych względem s x0, y0 kąt ϕ 0. Oblczena zlustrwać kłem Mhra. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

9 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 9 Rys..8 Rzwązane Przekrój składa sę z czterech elementów. Dla kształtwnków walcwanych (elementy 1, 3 ) dczytan z tablc: Element 1. L , cm, ey 1, 96 cm, ex 3, 93 cm, tgϕ0 0, 36, Jmn 57, 7 cm, 79 cm, Jy 99, 6 cm. Element 3. L , 5 cm, ey ex, 7 cm, Jmn 59, 9 cm, Jmax 30 cm, Jy 15 cm. Element.[ 00 3, cm, e, 01cm, 1910 cm, Jy 18 cm. Zasadncze blczena dnesn d pmcnczeg układu współrzędnych x, y (pr. rys..8). a) Oblczene współrzędnych śrdka cężkśc całeg przekrju Oblczene wyknamy według wzrów (.6): x y (a) xc, yc. Współrzędne x 1, y 1 blczamy ze wzrów na brót układu: (b) ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. x1 x' 1cs ϕ + y' 1sn ϕ, y1 x'sn 1 ϕ + y'cs 1 ϕ, gdze ϕ α arctg( 0 / 15) 5313, jest kątem brtu układu x', y' względem układu x, y (kerunek brtu układu x', y' przy przejścu d układu x, y jest zgdny z ruchem wskazówek zegara stąd znak mnus). Oblczene pzstałych wartśc x, y ne wymaga kmentarzy. lma Mater

10 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 10 Element 1 snϕ sn( 53, 13 ) 0, 80; csϕ cs( 53, 13 ) 0, 60, x' 1 8 1, 96 6, 0 cm, y' 1 3, , 0, 93 cm, x1 6, 0 0, 60 +, 93 ( 0, 80) 0, 3 cm, y1 6, 0 ( 0, 80) +, 93 0, 60 7, 70 cm. Element x 750, cm, y 10, 00 cm. Element 3 x3 15, 00 +, , 00, 7, 6 cm, y3 0, 00, 7 17, 6 cm. Element 3 x 15, 00 +, , 00 +, 01 9, 01cm, y 10, 00 cm. Tablca V Sumwana występujące we wzrach (a) wyknan w tablcy V. Współrzędne śrdka cężkśc całej 3 3 fgury ( 116, 9 cm, Sy 1679, 0 cm, Sx 139, 1cm ): 1679, 0 139, 1 xc 1, 36 cm, yc 10, 60 cm. 116, 9 116, 9 Zwróćmy uwagę na t, że śrdek cężkśc całeg przekrju mus leżeć w brębe welbku utwrzneg przez płączene śrdków cężkśc fgur składwych. W naszym zadanu wymagane t jest spełnne (pr. rys..8). b) Oblczene mmentów bezwładnśc względem s śrdkwych x0, y0 Współrzędne śrdków cężkśc w układze s śrdkwych dla pszczególnych fgur składwych blczamy ze wzrów: xc x xc, (c) yc y yc. Mmenty bezwładnśc względem s śrdkwych wyznaczamy na pdstawe wzrów Stenera: ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

11 (d) Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 11 ( ) ( ) + yc + y yc, Jy ( Jy xc) Jy ( x xc) , y y + xcyc y + x xc y y y ( ) ( ) ( ). Wyznaczene mmentów bezwładnśc pszczególnych fgur względem własnych s śrdkwych, równległych d s x0 y0, tzn., Jy, J 0 0 x0y, wymaga pewnych ddatkwych blczeń. 0 Element 1 Najperw trzeba ustalć mmenty bezwładnśc dla s x01 y01. Na pdstawe tablc trzymujemy: 79 cm, Jy 99, 6 cm. Mment dewacyjny J x 01 y 01 Jmn J II, jak tgϕ 0. Spsób 1. Pneważ JI + JII + Jy mżna wyznaczyć klkma spsbam, pneważ znamy zarówn 01' 01' węc : JI + Jy JII 79, , 6 57, 7 30, 9 cm. 01' 01' Ze wzru (.10) na blczene nezmennka I 3 trzymujemy: skąd, Jy J J J, x y I II 01' 01' 01' 01' ' y ' ' Jy ' JI JII 79 99, 6 30, 9 57, 7 96, 3 cm > 0, b w układze s x' 01, y' 01 kątwnk jest w płżenu ddatnm. Spsób. Ze wzru na blczene tgϕ 0 mamy ( ϕ 0 arctg( 0, 36) 7, 11 ): J 01' y01' 79 99, 6 01 ' y 01 ' tg ϕ 0, J x 01' y ' tg,, cm. Spsób 3. Ze wzru transfrmacyjneg na J xy, wyrażneg przez główne mmenty bezwładnśc JI JII, mamy: J J 30, 9 57, 7 01' y ' I II sn ϕ sn,, cm. D dalszych blczeń przyjmujemy, że J x 01' y ', cm. W celu blczena, Jy, J x01y01 wykrzystamy wzry transfrmacyjne na brót układu z płżena x' 01, y' 01 d płżena x01, y01 kąt α 53, , , 6 + cs( 5313, ) 965, sn( 5313, ) 56,8 cm, 01 J y , 8 11,8 cm, , 6 01y sn( 5313, ) + 965, cs( 5313, ) 113,1cm. 01 Element (blacha 50 mm 0 mm) Mmenty bezwładnśc względem s x0' y0' ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

12 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH , 0, 0 0, 50, 16 7 J 0 ', cm ; y 60 0 ', cm. 1 1 Pneważ se x' 0, y' 0 są głównym sam bezwładnśc, węc J x 0 ' y 0 0 '. Mmenty bezwładnśc względem s śrdkwych x0 y0 blczymy pdbne jak dla elementu 1: 16, , 16, 7 60, + cs( 5313, ) 1677, cm, 0 J y 16, , 167, 7 98, cm, 0 16, 7 60, 0 y sn( 5313, ) 10, cm. 0 Element 3 Mment dewacyjny J x 03 y 03 J 03 y 15 cm. 03 blczymy ze wzrów transfrmacyjnych wedząc, że główne se bezwładnśc są pchylne pd kątem 5 w stsunku d s x, y, a J I 30 cm J II 60 cm 30, 0 66, 0 J x 03 y sn( 5 ) 850, cm. 03 Element Ose x0 y0 są głównym sam bezwładnśc cewnka. Mamy węc: 1910 cm, Jy 18 cm, y Dalsze blczena według wzrów (d) zameszczn w tablcy. Mmenty bezwładnśc całeg przekrju względem s śrdkwych x0, y0wynszą węc: + ( y yc) 398, , 7 853, cm, 0 0 Jy Jy x x ( c) 1363, , , 6 cm, y y + x xc y y ( )( c) 103, , 8 780, 7 cm. Sprawdzene pprawnśc uzyskanych rezultatów jest w gólnśc nemżlwe. Jednak w celu wychwycena czywstych błędów wart zdać sę na ntucję raz sprawdzć nerównśc (.13). W naszym zadanu przekrój jest rzbudwany wzdłuż s x 0, jest węc ntucyjne czywste, że mment bezwładnśc J y0 mus być wyraźne wększy d mmentu bezwładnśc J x0. Mżna też szacwać na k znak mmentu dewacyjneg, rzpatrując rzmeszczene materału w pszczególnych ćwartkach układu x 0, y 0. Na rysunku.8 wdać, że wększa część materału jest rzmeszczna w ćwartkach I III (ćwartk ddatne), a węc mment dewacyjny J x 0 y pwnen być wększy d zera. 0 Tak wec przesłank ntucyjne ptwerdzają pprawnść uzyskanych wynków. Równeż nerównśc (a) (b) z p..5 są spełnne: J xy 780, 7 cm < 853, 1683, , 56 cm, 853, , 6 J xy 780, 7 cm < 10568, cm. Pwyższa krytyczna cena uzyskanych rezultatów jest kneczna, gdyż jak wykazuje dśwadczene najwększe błędy ppełnamy właśne pdczas blczana wyjścwych wartśc mmentów bezwładnśc. ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

13 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 13 c) Oblczene kerunków śrdkwych s głównych Płżene śrdkwych s głównych I II jest kreślne przez kąt ϕ 0 : 0y0 7807, 5, 9 tgϕ0 0865,, skąd ϕ0 1, 97.Pneważ < Jy, 0 0 J y,, 0 węc kąt ϕ 0 jest kątem mędzy są x 0 a są II. d) Oblczene głównych śrdkwych mmentów bezwładnśc 853, , 6 853, 1683, 6 JI , 7 169, cm, 853, , 6 853, 1683, 6 JII + 780, 7 1, 6 cm. Sprawdzmy jeszcze wartść nezmennka I 3 : 7 8 I3 JI JII 169, 1, 6 7, cm Jy J 0 0 x0y0. e) Oblczene mmentów bezwładnśc względem s x' 0, y' 0, brócnych względem s x0, y0 kąt ϕ 0. D blczena wykrzystujemy wzry transfrmacyjne: 853, , 6 853, 1683, 6 0' + cs( 80 ) 780, 7sn( 80 ) 131, cm, Jy ', +,,, cm, 853, 1683, 6 0' y ' sn( ) +, cs( ), cm. Sprawdzene I 3 : 7 I ,,,, cm 8. Rezultaty blczeń zawartych w punktach c), d) e) sprawdzn za pmcą kła Mhra (rys..9). Z rysunku dczytan (w nawasach pdan wartśc ścsłe): ϕ 0 13 ( 1, 97 ), JI 1690 cm ( 169, cm ), JII 00 cm ( 1, 6 cm ), ' cm (, cm ), J y 8780 cm 88 cm 0' (, ), 6110 cm ( 6111, cm ). 0' y0' ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater

14 Ddatek. PRMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁSKICH 1 Rys..9 ndrzej Gawęck - Mechanka materałów knstrukcj prętwych 003r. lma Mater