Programowanie wielokryterialne

Transkrypt

1 Prgramwane welkryteralne. Pdstawwe defncje znaczena. Matematyczny mdel sytuacj decyzyjnej Załóżmy, że decydent dknując wybru decyzj dpuszczalnej x = [ x,..., xn ] D keruje sę szeregem kryterów f,..., f. Zakładamy, że krytera te są merzalne, tj., że mgą być ne wyrażne przez funkcje lczbwe. Przy tych załżenach cena decyzj dana jest przez wektr cen cząstkwych T f = [ f,..., f ] S, gdze S zbór cen.. Sfrmułwane prblemu Dany jest zbór decyzj D raz zbór merzalnych kryterów. Wyznaczyć w zbrze D najlepszą decyzję ze względu na rzpatrywany zbór kryterów. Rzważmy przypadek, gdy wyznaczene najlepszej decyzj jest tżsame z maksymalzacją kryterum ptymalnśc. Sytuacją wyjątkwą będze przypadek stnena takeg x D dla któreg wszystke krytera cząstkwe jedncześne sągają swe maksma (w gólnym przepadku ptma). Decyzja lepsza ze względu na jedn kryterum będze zazwyczaj grsza ze względu na nne krytera. ryterum ptymalnśc znane z analzy jednkryteralnej zastępujemy tzw. ptymalnścą w sense Paret.. Optymalnść w sense Paret T Zakładając, że ze względu na każdą funkcję kryterum f ( x ) > f ( x ), =,...,, pwemy, że decyzja f,..., f decyzja x jest lepsza d x x jest lepsza d x jeżel ze względu na rzpatrywany zbór kryterów, jeżel f ( x ) f ( x ) dla wszystkch =,...,, () f ( x ) > f ( x ) dla c najmnej jedneg. Pwemy, że decyzja x jest ptymalna w sense Paret jeżel spełnny jest następujący warunek : w zbrze D ne stneje taka decyzja x, że f ( x ) f ( x ) dla wszystkch =,...,, () 0 f ( x ) > f ( x ) dla c najmnej jedneg. 0 0 Warunek () ns nazwę warunku Paret. Innym słwy decyzja jest Paret ptymalna, gdy ne stneje decyzja grsza d nej pd każdym względem, a pd jednym względem lepsza. ażda decyzja lepsza d nej ze względu na pewne kryterum, mus być d nej grsza ze względu na nne. Zbór decyzj ptymalnych w sense Paret nazywa sę zbrem decyzj nezdmnwanych lub sprawnych. Zbór ten jest pdzbrem zbru D. W szczególnśc mże być dentyczny ze zbrem D. Rzadk bywa zbrem jednelementwym.

2 J. Marcnkwsk Badana peracyjne Wynka stąd, że w gólnym przypadku zbór decyzj ptymalnych w sense Paret ne pzwala na jednznaczny wybór decyzj najlepszej. Zbór ten mżna zawęzć (w szczególnśc d zbru jednelementweg) przyjmując ddatkwe załżena dnśne relacj ważnśc mędzy kryteram. Przykład W tabel pdan zysk (mln zł) udzał w rynku (%), jak frma spdzewa sę sągnąć stsując wybrane stratege marketngwe. Wyznaczmy stratege Paret ptymalne. Stratege marketngwe rytera Zysk (mln zł) ( ) Udzał w rynku (%) ( ) A B C D E f f f ( ) 50 E 40 C 30 D B A 3 4 f Współrzędne każdeg z punktów dane są przez wartśc kryterów cząstkwych charakteryzujących pszczególne stratege (przy sprządzanu rysunku wykrzystan przestrzeń kryteralną). Oba krytera są maksymalzwane. Strategam Paret - ptymalnym są C E Dla strateg C E ne mżna wskazać strateg lepszych ze względu na jedn kryterum, a ne grszych ze względu na druge. Są ne Paret - ptymalne. Pzstałe stratege t stratege zdmnwane. Dla każdej ze strateg zdmnwanych mżna wskazać lepszą d nej strategę ze zbru strateg Paret - ptymalnych. Na przykład stratege C E są lepsze d strateg B. Ne każda ze strateg Paret - ptymalnych mus dmnwać strategę zdmnwaną. Stratega A jest dmnwana przez C, ale już ne przez E. A C D E Alternatywnym spsbem prezentacj relacj preferencj jest dagram Hasseg. Jest t graf, któreg werzchłk reprezentują decyzje. Jeżel decyzja X dmnuje decyzję Y, d werzchłka reprezentująceg perwszą z nch kreślmy łuk prwadzący d werzchłka reprezentująceg drugą decyzję. Jeżel decyzje są neprównywalne, dpwadające m werzchłk ne są płączne łukem. Z decyzjam Paret - ptymalnym krespndują werzchłk, d których ne dchdzą żadne łuk. Opsana wyżej reprezentacja relacj preferencj jest nezbędna w przypadku, gdy wektry cen decyzj zawerają węcej nż dwe składwe.

3 J. Marcnkwsk Badana peracyjne 3. Pstępwane w przypadku neprównywalnśc decyzj Decyzje Paret ptymalne ne są prównywalne: ne mżna pwedzeć, że jedna z nch jest lepsza d drugej. W sense warunku (). Wprwadzając ddatkwe warunk granczamy zbór decyzj Paret ptymalnych d jedneg punktu. W praktyce zadane prgramwana welkryteralneg staramy sę sprwadzć d zadana jednkryteralneg.. Maksymalzacja celu główneg Jedn z kryterów cząstkwych traktujemy jak cel główny pstulując jeg maksymalzację. Chcąc uwzględnć pzstałe krytera cząstkwe, żądamy, aby każde z nch zstał zrealzwane w mnmalnym satysfakcjnującym stpnu. Przyjmując, że f jest celem głównym, f,..., f celam pbcznym zadane ptymalzacyjne przybera pstać : (3) f max D f b =,...,, gdze b,...,b mnmalne wymagane pzmy realzacj celów cząstkwych.. Metakryterum Zakłada sę że decydent pmm że keruje sę w swym pstępwanu welma kryteram jest zdlny d przypsana układw wartśc sąganych przez te krytera dla każdej decyzj dpuszczalnej jednej wartśc lczbwej nazywanej użytecznścą. Zakłada sę węc, że decydent jest zdlny d wskazana funkcj T (4) u x) = u[ f, f,..., f ] ( której maksymalzacja jest równważna ze znalezenem rzwązana najlepszeg ze względu na wszystke krytera. Funkcja ta ns nazwę metakryterum. a) Ważna suma kryterów Pstać (5) u = w f, w 0 =,...,, = gdze w nazywane są wagam, kreślając względne znaczene przypsywane przez decydenta temu kryterum. Są ne w spsób subektywny kreślane przez decydenta. Pneważ sttne są tylk ch stsunk, a ne wartśc abslutne, najczęścej pddaje sę je zabegw nrmalzacj, przyjmując że (6) = w =. Warunkem senswnśc teg pdejśca jest wyrażene wartśc kryterów cząstkwych - w tych samych jednstkach pmaru, - na tej samej skal lczbwej. b) Ważna suma stpn realzacj kryterów cząstkwych Próbą mnęca prblemów neprównywalnśc skal lczbwych jednstek jest maksymalzacja ważnej sumy realzacj celów cząstkwych 3

4 J. Marcnkwsk Badana peracyjne Załóżmy, że wszystke krytera cząstkwe są maksymalzwane, a zbór D jest nepusty. Oznaczmy przez f maksymalną wartść -teg kryterum sąganą w zbrze D : = D (7) f = max f,,...,. Zakładamy, że f > 0, f 0, =,..., D. f Zdefnujmy welkść nazywaną stpnem realzacj teg celu cząstkweg przez decyzję x. f Jest na welkścą bezwymarwą. f Przy przyjętych załżenach lraz > 0 =,..., x D. Metakryterum przyjmuje następującą pstać : (8) m( x) w, w =, w 0 =,...,,. f f D f = = = f Pneważ ne mają mana, metakryterum mżna stswać w przypadku kryterów wyrażnych f w różnych jednstkach lub/ skalach lczbwych. Stanw n syntetyczny mernk satysfakcj, sągając wartść równą w tym punkce ( le tak punkt stneje), w którym wszystke krytera cząstkwe sągają swe maksma cząstkwe, 0 m. 3. Mnmalzacja dległśc d punktu dealneg Nech f,..., f będą maksymalnym wartścam funkcj f,..., f sąganym w zbrze D. Oznacza t, że stneją take x,..., x D, że (9) ( x ) = f, f ( x ) = f,..., f ( x ) f f = Z teg ne wynka, że w zbrze D stneje take x dla któreg (0) f ( x ) = f, f( x ) = f,..., f ( x ) = f, tj. taka decyzja która maksymalzuje wszystke krytera cząstkwe. Mże na w góle ne stneć, lub też stneć, ale znajdwać sę pza zbrem D. Mżna jednak pstulwać wybór takej decyzj x D która leży najblżej punktu dealneg M ( f,..., f ).Taką decyzję mżna uznać za ptymalną. Punkt M należy d D jeżel stneje tak punkt w którym wszystke krytera sągają swje maksma. W przecwnym raze punkt ten leży pza zbrem D. 4. Prblem wyznaczana rankngu banków ażdy z banków cenany jest ze względu na następujące krytera : - wyskść prcentwana depzytów rcznych zmennej stpe prcentwej, - lczbę placówek, - stsunek kaptałów własnych d aktywów gółem. Perwsze kryterum cena zyskwnść nwestycj, druge dstępnść usług, trzece pzm bezpeczeństwa nwestycj. W tabel pdan ceny banków ze względu na rzpatrywane krytera. 4

5 J. Marcnkwsk Badana peracyjne ryterum Bank A B C D E f (%) f f 3 (%) Przeprwadzwszy badana marketngwe w grupe ptencjalnych klentów pszczególnym kryterm przypsan następujące wag : 0.6, 0., 0.. Sprządzć rankng banków. W rankngu uwzględnć tylk te bank dla których stpne realzacj celów cząstkwych są ne mnejsze d 0.7, 0., 0.5. Cele cząstkwe są wyrażne w różnych jednstkach, dlateg w celu dknana rankng banków krzystamy z metakryterum (8) wyznaczając wartść m(x) dla każdeg z banków prządkując je na skal preferencj d najlepszeg d najgrszeg. Wyznaczamy w tym celu, krzystając z (7), maksymalne wartśc kryterów cząstkwych f, =,...,3 sągane w zbrze D: f = 5, f = 000, f 0. 3 = nstruujemy macerz względnych pzmów realzacj celów cząstkwych : Stpne Bank realzacj A B C D E w f (x)/ f f (x)/ f f 3 (x)/ f m(x) X X Ze zbru banków elmnujemy bank E z uwag na nespełnene warunku realzacj drugeg kryterum w mnmalnym stpnu. Bank A B C D Wartść m(x) Rankng : A C D B. Stpeń realzacj celu cząstkweg mżna wyznaczać wykrzystując wele frmuł. Nech f znacza mnmalną wartść teg kryterum sąganą w zbrze D: = D () f = mn f,,...,. Nekedy stpeń realzacj celu cząstkweg r (x) wyznacza sę według wzru : f x f () r ( ( ) x) =, =,...,, D. f f Z () wynka, że 0 r, =,...,, D : r = 0 dla f = f, r = dla f f =. Oznacza t, że tak zdefnwany stpeń realzacj jest welkścą unrmwaną na przedzale [0,]. Welkśc f x), f, f mgą przyjmwać dwlne wartśc. ( Wyznaczamy, krzystając z (), mnmalne wartśc kryterów cząstkwych f, =,..., 3 sągane w zbrze D (pmjamy bank E): f = 4.5, f = 000, f 6. 3 = 5

6 J. Marcnkwsk Badana peracyjne f f = 0.5, f f = 800, f3 f3 = 4. Macerz względnych pzmów realzacj celów cząstkwych przybera pstać : Stpne Bank realzacj A B C D w r (x) 0 / 0.6 r (x) 0 3/8 /4 0. r (x) / 0 /4 0. m(x) X Bank A B C D Wartść m(x) Rankng : D B C A. Tak spsób wyznaczana wartśc r (x) mże zbytn fawryzwać względne różnce ksztem wartśc abslutnych, c mże w spsób nepżądany znekształcać rankng, w szczególnśc gdy różnce względne sągają newelke wartśc dla kryterum któremu przypsan dużą wagę : pwduje t przecenane małych różnc. W przypadku mnmalzacj kryterum r (x) prpnuje sę wyznaczać według wzru : f f (3) r = f f Z (3) wynka, że 0 r : = 0 dla r f f =, = dla r f f =. f f r = = 0 r 6