-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "-Macierz gęstości: stany czyste i mieszane (przykłady) -równanie ruchu dla macierzy gęstości -granica klasyczna rozkładów kwantowych"

Dagmara Lewandowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 WYKŁAD 4 dla zanteresowanych -Macerz gęstośc: stany czyste meszane (przykłady) -równane ruchu dla macerzy gęstośc -granca klasyczna rozkładów kwantowych

2 Macerz gęstośc (przypomnene z poprzednch wykładów) Z = -be ; P = Z - -be ; H > = E > F = -k B Tln Z ; E U <H >= P E E = P E = P < H > =Tr H, gdze = Z - -bh,h = 0 ñ = I> <I

3 = P I> = Tr H wtedy Dla dowolnego operatora O: < O > = Tr O = = P 3

4 H > = E > Dla dowolnego operatora O: = P I> = Tr O = = P æ lczymy O pomędzy stanam czystym : a następne mnożymy przez prawdopodobeństwo wystąpena tego stanu; æ stan reprezentowany przez nazywa sę stanem meszanym; można go nterpretować jako nespójną nekoherentną superpozycję stanów własnych ne ma efektów nterferencj!; 4

5 Stany czyste H : hamltonan układu operator O: dowolna obserwabla operator f > : ortonormalny zespół zupełny stanów zwązany z jakąś obserwablą <f f> = î Ic I = f> = c I f > : reprezentuje dowolny stan układu <f O f> =,j =,j r j O j c * c j <f IOIf j > r j O j = Tr O <fi = c * < f I r j : można uważać za elementy macerzowe pewnego operatora 5

6 f> = c I f > <fof> =,j r j O j = Tr O : nazywa sę macerzą gęstośc dla stanu czystego f> =,j r j I f j > <f I =,j c * c j I f j > < f I = j c j I f j > c * <f I = f> <f Wpowyższym przykładze zostało wprowadzone jako nny zaps operacj średnowana kwantowo - mechancznego. Stan opsywany przez = f> <f nazywa sę stanem czystym. Na raze średnowane po średnowane kwantowo - mechanczne <fof> są równoważne. 6

7 Stany meszane Załóżmy, że nasz układ oddzaływuje z nnym podukładem np. termostatem Układ f> ô f j > = c j I f > Poneważ nasza nformacja o układze ne jest pełna możemy jedyne powedzeć, że nteresujący nas układ może być w jednym z możlwych stanów: f >, f >,... f j >,... takch, że f j >= Ic j I = c j I f > Możlwość zastnena welu różnych stanów ndeksowanych górnym wskaźnkem j uwzględna wpływ otoczena. 7

8 Poneważ nasza nformacja o układze ne jest pełna możemy jedyne powedzeć, że nteresujący nas układ może być w jednym z możlwych stanów : f >, f >,... f j >,... takch, że f j > = Ic j I = c j I f > Dokonując pomaru ne merzymy <f j O f j > wpewnym stane czystym f j >. Raczej wynkem pomaru jest średna < O > = lm NÆ0 N N = <f a IOIf a > po wszystkch możlwych realzacjach = j= h j <f j IOIf j >; h j = j= 8

9 Średnowane powyższe ma dwojak charakter. Zawera ono w sobe zarówno średnowane zwązane z probablstycznym charakterem opsu kwantowego <f j IOIf j >, jak średnowane statystyczne j= h j..., którego koneczność wynka z nepełnych danych o rozpatrywanym układze. Formalne średnowane j= h j... możemy sobe wyobrazć jako średnowane po zespole statystycznym jednakowych, neoddzaływujących mędzy sobą układów wygląda to jak ' rzut fałszywą kostką ', której ścank = < f j IOIf j > : ne ma efektów nterferencyjnych. 9

10 Przypatrzmy sę blżej wprowadzonemu średnowanu : < O > = h j <f j IOI f j > = h j Tr j O j= j= = Tr j= h j j O = Tr O = h j j h j I f j > < f j I : macerz gęstośc dla stanów j= j= meszanych Stan reprezentowany przez macerz gęstośc, gdze zarówno średnowane kwantowo - mechanczne jak średnowane po zespole są uwzględnone nos nazwę stanu meszanego. Stan czysty jest szczególnym przypadkem dla którego h j = d j,j0. 0

11 Interpretacja wzoru : = h j j h j I f j > <f j I j= j= Postulat Faz Przypadkowych I f j > : ortonormalny zbór dopuszczalnych stanów układu <f I f j > = d j nezależny od czasu y> = n= y>: stan całośc c n > f n > gdze c n > = < f n y> Reprezentuje stan otoczena; na ogół zależy od czasu

12 Wtedy << O U >> = df < y O U y > <y y> = jj' < c j c j' > < f j O U f j' > n < c n c n > Postulat faz przypadkowych W laboratorum merzymy welkośc uśrednone po czase: n < c n Ic n > = < y y> od czasu ne zależy bo jest normą, a ruch jest transformacją untarną Natomast < c j c j' > otoczene ô èèèèèèèèèèèè <c j c j' > średnowane po czase Zakładając chaos na pozome molekularnym możemy założyć, że wszystke efekty nterferencyjne pomędzy stanam średnują sę do zera èèèèèèèèèèèè tzn. < c j Ic j' > Æ < c j Ic j' > jj' jj' Æ tæ j Ib j I

13 Stąd << O U >> = df <yo U y> <y y> = jj' < c j c j' > <f j O U f j' > n < c n c n > tæ ô j Ib j I <f j O U f j > n Ib n I Zatem Ib j I n Ib n I = h j 3

14 Własnośc macerzy gęstośc = h j I f j > <f j I : operator hermtowsk j= = lub r mn = r nm * Jeśl r mn ne jest dagonalne wtedy zawsze można zdagonalzować : wartośc własne będą prawdopodobeństwam = j= w j Ij > <ji : Ij > = w j Ij >; w j = ; w a 0 j= Tr = w j = j= 4

15 Przykład: Rozważmy foton poruszający sę wzdłóż os z. Foton może meć dwe polaryzacje np. w kerunku x w kerunku y: f > = : stan z polaryzacją wkerunkux 0 f > = 0 : stan z polaryzacją wkerunkuy dowolny stan czysty: f> = a f >+bf >= a b gdze <ff> = a *,b * a = a + b = b w szczególnośc : stan o polaryzacj pod kątem a do os OX y> = c cos a + sn a 0 0 5

16 f> = a b y> = c cos a 0 + sn a 0 f> = f> <f = a a *,b * = ab * b aa* a * b bb * y> = cos f sn f cos f sn f cos f sn f Stany czyste: polaryzacja x a =, b = 0: x> = polaryzacja y a = 0, b = : y> =

17 y> = cos f sn f cos f sn f cos f sn f polaryzacja 45 0 : 45> = polaryzacja 35 0 : 35> = - - 7

18 stany meszane: 50 % pol.x + 50 % pol. y: = x> + y> = % pol % pol = 45> + 35> = 0 0 różne stany meszane mogą dawać te same macerze gęstośc 8

19 Problem : przypuśćmy, że mamy macerz r nn' = < f n f n' > jak w oparcu o znajomość r nn' rozpoznać czy stan jest czysty czy meszany - stan czysty - = y> <y = y> <y y> <y = y> <y = : operator rzutowy 9

20 - stan meszany - = j= h j I f j > <f j I = h j h k I f j > < f j I f k > < f k I = h j I f j > < f j I π j,k= j= = gdy h j = d jj0 Równoważne warunk : Tr = Tr ab = ab 0

21 Przykłady: = 45> + 35> = 0 0 : stan meszany = π 45> = : stan czysty 45> = 45>

22 Równane ruchu dla = j h j I f j > <f j I Ñ t I fj > = HIf j > -Ñ t <fj I = < f j IH Ñ t = H, : równane Von Neumana lub Hesenbergowske równane ruchu dla macerzy gęstośc

23 Ñ t = H, Dla stanów stacjonarnych: t = 0 î H, = 0 î = H î jest dagonalne w reprezentacj, która dagonalzuje Hamltonan î n > = r E n n > î h n r E n = P E n 3

24 Mając = P E n In > <n I oraz defnując entropę n jako S = -k B Tr ln = -k B P E n ln P E n n możemy odtworzyć wszystke rozkłady korzystając z zasad waracyjnych patrz np. poprzedn wykład 4

25 Granca klasyczna rozkładów kwantowych -szkc wyprowadzena -ścsła analza jest trochę skomplkowana - Lczymy Tw. macerz gęstośc w reprezentacj położenowej r df x x' = < xz - -bh x' > æ ÑÆ0 ô r x x = P x, gdze P x jest klasyczną funkcją rozdzału rozkładu wycałkowaną po pędach : P x = Z - n! n!... n m! N! 3 N = 3 p h 3 exp-b j p j + V x m j 5

26 Jak lczyć r x x' = df < x Z - -bh x' > korzystamy z bosonowych fermonowych funkcj falowych dla cząstek swobodnych zamknętych w pudle: < xk > = n! n!... n m! N! Q P P` P j k j r j L 3 gdze P` : operator permutacj na zborze r, r,..., r N, tzn. zmenający ndeksy przy r. Q P = dla bosonów natomast Q P = ± dla fermonów w zależnośc od parzystośc permutacj Powyższe podejśce pozwala w sposób systematyczny uwzględnć poprawk kwantowe do sumy statystycznej. Okazuje sę, że wyrazy ~Ñ znkają. Perwsze nezerowe poprawk są proporcjonalne do Ñ. 6

27 KONIEC 7

Podobne dokumenty

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Diagonalizacja macierzy kwadratowej Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an