Matematya dysreta dla iformatyów Cz ± I: Elemety ombiatoryi Jerzy Jaworsi Zbigiew Pala Jerzy Szyma«si Uiwersytet im Adama Miciewicza Poza«2007
3 Schematy wyboru i tożsamości ombiatorycze 31 Wariacje z powtórzeiami Dae s obiety o ró»ych typach Tworzymy uªady zªo»oe z obietów, zaªadaj c,»e w daym uªadzie mo»a u»ywa obietów tego samego typu Dwa uªady b dziemy uwa»a za ró»e, je»eli zawieraj ró»e liczby obietów tórego± z typów lub je»eli ich obiety s iaczej uporz dowae Ka»dy z ta zdeiowaych uªadów azywamy -elemetow wariacj z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego Ozaczaj c przez W liczb wszystich -elemetowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego, a mocy prawa mo»eia, mamy W (31) Przyªad 31 Pytamy sze± przypadowych osób o dzie«tygodia ich urodzi Jai du»y jest zbiór wszystich mo»liwych odpowiedzi? 32 Wariacje i ombiacje bez powtórze«je»eli w deicji wariacji z powtórzeiami odrzucimy mo»liwo± wyst powaia w daym uªadzie obietów tego samego typu, to mamy do czyieia z poj ciem wariacji bez powtórze«korzystaj c z ogólego prawa mo»eia otrzymujemy,»e liczba V wszystich -elemetowych wariacji bez powtórze«ze zbioru -elemetowego jest rówa V ( 1) ( + 1) () (32) W szczególym przypadu, gdy, wariacj bez powtórze«azywamy permutacj (uporz dowaiem) Zatem -elemetowych permutacji jest P 1 2! Mimo,»e poj cie permutacji zbioru pustego (zeroelemetowego) ie ma iterpretacji ombiatoryczej, b dziemy zaªada,»e 0! 1 Przyªad 32 Na ile sposobów mo»a ustawi w szeregu dwuastoosobow dru»y harcers ta, by dwaj ustalei harcerze stali obo siebie?
14 3 Schematy wyboru i to»samo±ci ombiatorycze Zaªó»my teraz,»e z zadaego -elemetowego zbioru Y wybieramy elemetów, przy czym elemety ie mog si powtarza oraz ie jest istota olejo± (uporz dowaie) wybieraych elemetów Iymi sªowy, mamy do czyieia z -elemetowymi podzbiorami zbioru Y Liczb taich wyborów ozacza si przez ( ) i azywa wspóªczyiiem dwumiaowym lub symbolem Newtoa Same za± wybory b dziemy azywa ombiacjami bez powtórze«(lub róto ombiacjami) Przyªad 33 Mamy do dyspozycji 16 ró»ych losów Na ile sposobów mo»a wybra dwa spo±ród ich? Przyªad 34 Na ile sposobów mo»a wybra trzy spo±ród 16-tu ró»ych losów? Liczba -elemetowych ombiacji ze zbioru -elemetowego wyra»a si wzorem V! ()! (33) oraz zachodzi ast puj ca to»samo± ombiatorycza 1 + 1 2 + + 1 ( ) 1 (34) 1 Przyªad 35 Ile jest ajrótszych dróg od A do B a racie wymiaru z Przyªadu 23? Przyªad 36 Na pªaszczy¹ie arysowao prostych ta, by»ade dwie proste ie byªy rówolegªe ai»ade trzy ie przeciaªy si w jedym pucie Ile otrzymao wszystich putów przeci cia? Przyªad 37 W lasie mamy 16 dziewcz t i 15 chªopców Ile mamy mo»liwych wyborów 5- osobowej delegacji w sªad tórej wejdzie co ajmiej 3 chªopców? Przyªad 39 W turieju teisowym bierze udziaª 10 zawodiów Ogªoszoo ours a wytypowaie pierwszej tróji tego turieju i zapowiedziao dwa losowaia agród W pierwszym wezm udziaª upoy z poprawie poda olejo±ci pierwszej tróji, w drugim rówie» te z i olejo±ci tej tróji Ile upoów musimy wypeªi, by mie pewo± braia udziaªu w pierwszym losowaiu? Ile upoów musimy wypeªi, by bra udziaª w drugim losowaiu? Przyªad 310 Ile rozwi za«ma rówaie gdzie a»de x i jest dodati liczb caªowit? x 1 + x 2 + + x Przyªad 311 Ile ró»ych prosto tów mo»a utworzy a racie wymiaru? Przyªad 312 Wyaza,»e liczba prosto tów, tóre dotyaj co ajmiej jedym boiem prawego lub dolego brzegu raty wyosi 3
33 Kombiacje z powtórzeiami 15 33 Kombiacje z powtórzeiami Powró my a chwil do Przyªadu 22 Je»eli przez Y {y 1, y 2,, y } ozaczymy zbiór szu- ade, to a»de rozmieszczeie jedaowych ul mo»a tratowa jao -elemetow ombiacj z powtórzeiami ze zbioru Y Przyªadowe rozmieszczeie rozwa»ae we wspomiaym przyªadzie mo»a zapisa jao {y 1, y 1, y 3, y 5, y 6, y 6, y 6 } Te obiet ombiatoryczy ie jest ai ci giem, ai zbiorem Nazywa si go ró»ie: zbiorem z powtórzeiami, pseudozbiorem, multizbiorem, olecj Maj c a uwadze Przyªad 22 stwierdzamy,»e liczba wszystich -elemetowych ombiacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego jest rówa liczbie ci gów biarych zªo»oych z zer i 1 jedye, tórych jest oczywi±cie ( ) + 1 Przyªad 316 Na ile sposobów mo»a rozmie±ci 20 idetyczych ul w pi ciu ró»ych szu- adach ta, aby w a»dej szuadce byªy przyajmiej dwie ule? Przyªad 317 Na ile sposobów mo»a wybra dziesi piªe spo±ród ieograiczoej liczby czerwoych, iebiesich i zieloych, je±li chcemy otrzyma (1) co ajmiej pi czerwoych piªe, (2) co ajwy»ej pi czerwoych piªe? Przyªad 318 Na ile sposobów mo»a rozmie±ci dwadzie±cia pi idetyczych ul w siedmiu rozró»ialych szuadach, je»eli pierwsza szuada mo»e zawiera co ajwy»ej dziesi ul, a pozostaªe mog zawiera dowol liczb ul? 34 Permutacje z powtórzeiami Przyªad 319 Mamy do dyspozycji dziesi cyfr: 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1 Ile ró»ych dziesi ciocyfrowych liczb mo»a utworzy z tych cyfr? W powy»szym przyªadzie mamy do czyieia z permutacjami z powtórzeiami S to permutacje ie zbioru, ale pseudozbioru, a wi c elemety mog si powtarza Przyªad 320 Na ile sposobów mo»a rozbi zbiór -elemetowy a r rozª czych podzbiorów A 1, A 2,, A r o mocach, odpowiedio, t 1, t 2,, t r, gdzie t 1 + t 2 + + t r? ( )( )( ) ( ) t1 t1 t 2 t1 t 2 t r 1 t 1 t 2 t 3 t 1, t 2 t r! t 1! t 2! t r! Wyra»eie stoj ce po prawej stroie powy»szej to»samo±ci ozacza si przez ( ) t 1,,t r i azywa si wspóªczyiiem wielomiaowym W przypadu iedy r 2 wspóªczyi wielomiaowy reduuje si do wspóªczyia dwumiaowego! ( ) t 1!t 2!! t 1!( t 1 )! Przyªad 321 Ile jest ró»ych rozda«w bryd»u? t 1 Przyªad 322 Ile jest permutacji -elemetowych ie posiadaj cych putów staªych (ieporz dów)?
16 3 Schematy wyboru i to»samo±ci ombiatorycze 35 To»samo±ci ombiatorycze (1 + x) x (311) 0 W szczególo±ci, je»eli przyjmiemy,»e x 1, to mamy ( ) ( 2 + 0 1 ) + + Uogólieiem wzoru (311) jest ast puj cy wzór dwumiaowy Newtoa (312) Twierdzeie 32 (Wzór Newtoa) Dla dowolych liczb rzeczywistych a i b oraz dla dowolej liczby aturalej (a + b) a b (313) 0 Wyra»eie (a+b) osi azw dwumiau Newtoa Id c jeszcze dalej mo»a poaza prawdziwo± ast puj cej zale»o±ci Twierdzeie 33 (Wzór wielomiaowy) Dla dowolych liczb rzeczywistych a 1, a 2,, a r i dowolej liczby aturalej zachodzi ( ) (a 1 + a 2 + + a r ) a t 1 t 1,, t 1 a t 2 2 a t r r r t 1,,tr 0 t 1 +t 2 ++t r gdzie sumowaie przebiega po taich idesach t 1, t 2,, t r 0, dla tórych t 1 +t 2 + +t r Przyªad 323 Niech i b d liczbami caªowitymi, przy czym 1 Uzasadi,»e ( ) ( ) ( ) 1 1 + (314) 1 Przyªad 324 Rozwa»aj c odpowiedie ajrótsze drogi od A do B a racie poaza,»e 2 + 0 2 + + 1 2 ( ) 2 Przyªad 325 Uzasadi zale»o± ombiatorycz ( ) r ( ) 1 t 1, t 2,, t r t 1,, t i 1,, t r i1 Przyªad 326 Udowodi ombiatoryczie ast puj ce to»samo±ci: l 0 1 m ( ) ( ) m l ( ) m + 1, (315) + 1 + m, (316) l 2 ( ) 2 2 2 2 (317) 1
36 Zadaia 17 Przyªad 327 Uzasadi,»e 36 Zadaia ( 0 ( ) ) 2 2 0 ( ) 2, (318) ( )( ) ( )( ) + r 1 + r 1 2r ( r), r r 2r r (319) m ( ) ( ) + + m + 1 m (320) 0 Zadaie 31 W ilu permutacjach liczb od 0 do 9, liczby 2, 6 i 9 (ieoieczie w tej olejo±ci) stoj a trzech s siedich miejscach? Zadaie 32 Mamy 10 par butów Na ile sposobów mo»emy z tych 20 butów wybra 4 ta, by otrzyma co ajmiej jed par? Zadaie 33 Udowodi, orzystaj c z iducji matematyczej wzgl dem,»e liczba -elemetowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego jest rówa (porówaj wzór (31)) Zadaie 35 Ile jest mootoiczych liczb aturalych -cyfrowych, je»eli mootoicza ozacza,»e (a) a»da cyfra jest wi sza od poprzediej, (b) a»da cyfra jest ie miejsza od poprzediej, (c) a»da cyfra jest ie miejsza od poprzediej i co ajmiej jeda cyfra jest wi sza od poprzediej? Zadaie 36 Rzucamy dwuastoma ostami do gry Poaza,»e poªowa z mo»liwych wyiów daje parzyst sum liczby ocze Zadaie 37 Na ile sposobów 10 m»czyz mo»e poprosi do ta«ca 10 obiet? Zadaie 38 Na ile sposobów mo»a poª czy w pary 20 osób? Zadaie 39 Na ile sposobów mo»a uªo»y w ci g idetyczych ul biaªych i m idetyczych ul czarych? Zadaie 310 Uczesti zaªadów totalizatora sportowego przewiduje wyii 12 ró»ych spota«piªarsich maj c do dyspozycji trzy mo»liwo±ci: zwyci stwo gospodarzy, ich pora» lub remis Ile upoów trzeba wypeªi by mie pewo± 12 trae«? Zadaie 311 Na ile sposobów mo»a rozmie±ci cztery idetycze pomara«cze i sze± ró»ych jabªe w pi ciu poumerowaych srzyach? Zadaie 312 Na ile sposobów mo»a rozmie±ci 25 idetyczych listów w dziesi ciu ró»ych przegródach ta, aby w a»dej przegródce byª co ajmiej jede list? Zadaie 313 Przed wej±ciem do ia stoi osób, jeda za drug Osoby te b d wpuszczae a seas do ia w grupach (a»da grupa sªada si z co ajmiej jedej osoby) Na ile sposobów mo»a utworzy tych grup?
18 3 Schematy wyboru i to»samo±ci ombiatorycze Zadaie 314 Ile rozwi za«ma rówaie x 1 + x 2 + + x 9 90 gdzie a»de x i jest liczb caªowit wi sz od 3? Zadaie 315 Ile spo±ród wszystich prosto tów, tóre mo»a utworzy a racie, jest wadratami? Zadaie 318 Rozpisa wyra»eie (a + b + c) 4 Zadaie 319 Z ró»ych ul olorujemy maj c do dyspozycji dwie barwy ( 1) Na ile sposobów mo»emy to uczyi? Rozwi zuj c te problem dwoma ró»ymi sposobami poaza,»e zachodzi ast puj ca zale»o± ombiatorycza: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 + + + 2 0 1 1 0 Zadaie 320 Poaza,»e dla dowolego N zachodzi ast puj ca zale»o± ombiatorycza: + 1 2 1 3 + 2 3 + + 3 2 Zadaie 321 Udowodi, dla 1, ombiatoryczie ast puj ce to»samo±ci ( N): 1 2 1, 0 + 2 ( + 1 ), 3 0 (m 1) m Zadaie 322 Poaza u»ywaj c argumetów ombiatoryczych i algebraiczych,»e ast puj ca rówo± zachodzi dla dowolego N: 0 (2)! (!) 2 ( )! 2 ( ) 2 2 Zadaie 323 Udowodi to»samo± 2 ( + 1)2 2 1 Zadaie 324 U»ywaj c argumetów ombiatoryczych udowodi,»e 2 3 0 Zadaie 325 Poda ombiatorycze i algebraicze uzasadieie to»samo±ci: dla dowolego N ( ) 2 2 2 ( 2 ) + 2
36 Zadaia 19 Zadaie 326 Udowodi a dwa sposoby, u»ywaj c argumetów ombiatoryczych i algebraiczych, wzór ( ) ( ) + 1 + 2 2 2 Zadaie 327 Udowodi a dwa sposoby, u»ywaj c argumetów ombiatoryczych i algebraiczych, wzór 1 1 Zadaie 328 Udowodi a dwa sposoby, u»ywaj c argumetów ombiatoryczych i algebraiczych,»e dla dowolych 0 m ( )( ) ( )( ) m m m m Zadaie 329 Poaza,»e dla m > r 0 m ( ) r Zadaie 330 Poaza,»e dla dowolych, m N ( ) m + 1 1 ( ) ( ) + 1 m r + 1 r + 1 m + 1 Zadaie 331 Wyzaczy wszystie mo»liwe warto±ci i, dla tórych zachodzi rówo± ( +1) 3 ( ) Zadaie 332 Udowodi,»e 1! Zadaie 333 Udowodi,»e dla dowolego N ( ) ( ) ( ) < < < 0 1 /2 Zadaie 334 Udowodi,»e dla dowolego N (a) (1 + 2) + (1 2) jest liczb caªowit parzyst, (b) (1 + 2) (1 2) b 2, gdzie b N > > /2