Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak

Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6

Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie rchunku cłki oznczonej Riemnn - twierdzenie o funkcji górnej grnicy cłkowni Drugie zsdnicze twierdzenie rchunku cłki oznczonej Riemnn - twierdzenie Newton-Leiniz Cłkownie przez części cłek oznczonych Cłkownie przez podstwinie cłek oznczonych Cłki niewłściwe Kryteri zieżności cłek niewłściwych Olicznie pól figur płskich Olicznie długości łuku krzywych Olicznie ojętości rył orotowych Olicznie pól powierzchni orotowych Zstosowni cłek oznczonych w fizyce

Definicj cłki oznczonej Riemnn Niech f : [, ] R ędzie funkcją ogrniczoną. Dl kżdej liczy nturlnej n wyierzmy pewne elementy x,, x n nleżące do przedziłu [, ], które spełniją nstępujące zleżności: = x < x < < x n =. Ziór Δ n = { x, x,, x n } nzywmy n -tym podziłem przedziłu [, ] odpowidjącym ustlonej liczie n. Dl n-tego podziłu przedziłu [, ] oznczmy przez Δx k długość dowolnego podprzedziłu [ x k, x k ], tzn. Δ x k = x k x k, gdzie k {,,, n}. Liczę Δx k nzywmy średnicą podprzedziłu [ x k, x k ]. Niech δ n ędzie njwiększą ze średnic wszystkich podprzedziłów [ x k, x k ] występujących w n -tym podzile przedziłu [, ], czyli δ n = mx{δ : k =,,, n}. x k Nstępnie dl kżdego k {,,, n} wyierzmy pewien element ξ k [ x k, x k ] zwny punktem pośrednim podziłu Δ n. DEFINICJA Definicj : n -t sum cłkow Riemnn Niech n S n = f( ξ k )Δ x k. k= Powyższą sumę S n nzywmy n-tą sumą cłkową Riemnn funkcji f w przedzile [, ]. DEFINICJA Definicj : Normlny ciąg podziłów przedziłu Mówimy, że ciąg (Δ n ) n= podziłów przedziłu [, ] jest normlny, jeżeli lim δ n =. n Ozncz to de fcto, że gdy n rośnie, to uzyskne podprzedziły (czyli części, n które dzielimy przedził [, ] ) są corz mniejsze.

Rysunek : Interpretcj geometryczn przykłdowej n-tej sumy cłkowej Riemnn dl n = 4 Rysunek : Interpretcj geometryczn przykłdowej n-tej sumy cłkowej Riemnn Przejdźmy do definicji cłki oznczonej Riemnn funkcji ogrniczonej. DEFINICJA Definicj 3: Cłk oznczon Riemnn Jeżeli dl kżdego normlnego ciągu (Δ n ) n= podziłów przedziłu [, ] ciąg (S n ) n= n -tych sum cłkowych Riemnn jest zieżny do tej smej grnicy włściwej, niezleżnej od wyoru punktów pośrednich ξ k ( k =,, n), to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną Riemnn funkcji f n przedzile [, ] i oznczmy symolem f(x)dx, tzn. I = f(x)dx := lim. n S n Rysunek 3: Interpretcj geometryczn cłki oznczonej Riemnn funkcji f W powyższej cłce liczę nzywmy dolną grnicą cłkowni, liczę górną grnicą cłkowni, ntomist f funkcją podcłkową. Jeżeli i są tkimi liczmi rzeczywistymi, że <, to przyjmujemy, że Pondto dl liczy rzeczywistej przyjmujemy, że f(x)dx := f(x)dx. f(x)dx :=.

Przyjrzyjmy się, w jki sposó możn oliczyć cłkę oznczoną Riemnn korzystjąc z jej definicji. PRZYKŁAD Przykłd : Oliczmy cłkę oznczoną funkcji stłej f przyjmującej wrtość c R n przedzile [, ]. Funkcj f jest ogrniczon. Rozwżjąc dowolny ciąg podziłów normlnych (Δ n ) n= odcink [, ] niezleżnie od wyoru punktów pośrednich ξ k otrzymujemy cdx = lim cδ x k = c lim Δ x k = c lim [( x x ) + + ( x n x n )] = c lim ( ) = c( ). n n n n n k= n k= Wykżemy terz, że nie kżd funkcj ogrniczon jest cłkowln. PRZYKŁAD Przykłd : Zdefiniujmy tzw. funkcję Dirichlet z pomocą nstępującego przepisu: f(x) = {,, gdy x Q, gdy x R Q, gdzie Q jest ziorem licz wymiernych. Funkcj f jest ogrniczon. Rozwżmy dowolny przedził [, ] zwrty w R. Dl kżdej liczy nturlnej n wyierzmy dowolny podził Δ n odcink [, ] tk, y ciąg (Δ n ) n= ył normlnym ciągiem podziłów tego odcink. Nstępnie wyierzmy ciąg punktów pośrednich (ξ k ) n k= tego podziłu, które nleżą do zioru licz wymiernych, i utwórzmy n-tą sumę cłkową Riemnn S n. Okzuje się, że skoro dl wszystkich licz wymiernych funkcj f przyjmuje stle wrtość, to S n n = f( ξ k )Δ x k = Δ =. k= k= Podonie, wyierzmy ciąg punktów pośrednich (ξ k ) n k= ustlonego podziłu w tki sposó, y nleżły one do zioru licz niewymiernych, orz utwórzmy n-tą sumę cłkową Riemnn S n. Widomo, że dl dowolnej liczy niewymiernej funkcj f przyjmuje wrtość, ztem Grnice ou ciągów n-tych sum cłkowych Riemnn są różne, więc cłk f(x)dx nie istnieje. n x k = f( ξ k )Δ x k = Δ =. S n n k= k= n x k TWIERDZENIE Twierdzenie : Wrunek wystrczjący cłkowlności Jeżeli funkcj f : [, ] R jest ciągł, to jest on cłkowln w przedzile [, ].

PRZYKŁAD Przykłd 3: Oliczmy cłkę oznczoną 3 xdx, korzystjąc z jej definicji. Funkcj podcłkow f(x) = x jest oczywiście ciągł, ztem n mocy twierdzeni cłk t istnieje. Woec tego przy dowolnym wyorze ciągu podziłów normlnych odcink [, 3] orz ukłdu punktów pośrednich ciąg n -tych sum cłkowych Riemnn (S n ) n= jest zwsze zieżny do tej smej grnicy. Możemy więc wyrć jeden szczególny ciąg podziłów normlnych (Δ n ) n= odcink [, 3] orz ukłdy punktów pośrednich w tki sposó, y wygodnie yło oliczyć grnicę lim S n. Otóż dl ustlonego n wyierzmy punkty podziłu n x k = + k ( k =,, n ) orz punkty pośrednie ξ ( ). Wówczs kżdy z odcinków m tę n k = x k k =,, n [ x k, x k ] smą długość Δ x k =. Ozncz to, że n w rezultcie lim δ n =. Uwzględnijąc to, że n możemy wykonć nstępujące oliczeni: δ n = mx{δ x k : k =,,, n} =, n (n+)n mjąc n uwdze, że jest sumą kolejnych licz,, n. S n n = f( ξ k )Δ x k = ( + k), k= xdx = lim S 4 n = lim ( + k) = lim ( + k) n n n n n 3 n n k= n n k= n n n n k= = lim ( + k) = ( + ) = 4, n n 4 n + n lim k= n n k= n TWIERDZENIE Twierdzenie : o cłkowlności funkcji mjącej skończoną liczę punktów nieciągłości Jeżeli funkcj f : [, ] R m skończoną liczę punktów nieciągłości w przedzile [, ], to jest on cłkowln w tym przedzile. Włsności cłki Riemnn Przedstwimy terz kilk podstwowych włsności cłki oznczonej wynikjących ezpośrednio z jej definicji.

TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o cłkowlności funkcji ciągłej w podprzedzile jej przedziłu określoności Funkcj cłkowln f : [, ] R jest cłkowln w kżdym podprzedzile [α, β] przedziłu [, ]. TWIERDZENIE Twierdzenie 4: o cłkowlności funkcji wrtości ezwzględnej Jeżeli funkcj f : [, ] R jest cłkowln, to cłkowln jest również funkcj f : [, ] x f(x) R. TWIERDZENIE Twierdzenie 5: o podstwowych dziłnich n funkcjch cłkowlnych Jeżeli funkcje f : [, ] R orz g : [, ] R są cłkowlne, ntomist c jest liczą rzeczywistą, to funkcje: są również cłkowlne w przedzile [, ]. f + g : [, ] x f(x) + g(x) R, f g : [, ] x f(x) g(x) R, f g : [, ] x f(x)g(x) R, f f : [, ] x ( )(x) R g g (o ile g(x) dl x [, ]), cf : [, ] x cf(x) R TWIERDZENIE Twierdzenie 6: o wyrżeniu cłki w postci sumy cłek Jeżeli f : [, ] R jest funkcją cłkowlną orz c (, ), to zchodzi równość f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. c c

c Rysunek 4: I = f(x)dx, I = f(x)dx c TWIERDZENIE Twierdzenie 7: o nierówności cłek Jeżeli funkcje f : [, ] R orz g : [, ] R są cłkowlne, pondto f(x) g(x) dl kżdego x [, ], to f(x)dx g(x)dx. Rysunek 5: I = f(x)dx, I = g(x)dx Dzięki temu rezulttowi, w pewnych szczególnych sytucjch jesteśmy w stnie porównć wrtości rozptrywnych cłek, nwet jeżeli ezpośrednie wyliczenie cłek jest trudne lu wręcz niemożliwe.

PRZYKŁAD Przykłd 4: Zuwżmy, że x3 dx Istotnie, skoro dl kżdego x [, ] zchodzi nierówność x 3 x, w konsekwencji x3 x, to porównnie wrtości tych cłek wynik ezpośrednio z powyższego twierdzeni. x dx. TWIERDZENIE Twierdzenie 8: o dolnym i górnym oszcowniu cłki Jeżeli f : [, ] R jest funkcją cłkowlną orz istnieją tkie liczy rzeczywiste m i M, że m f(x) M dl kżdego x [, ], to zchodzą nierówności m( ) f(x)dx M( ). Rysunek 6: I = f(x)dx

PRZYKŁAD Przykłd 5: Oszcujmy wrtość cłki + x dx. Oliczenie tej cłki nie yłoy łtwym zdniem. Zuwżmy, że dl kżdego 4 x [, ] zchodzą nierówności x 4 6, ztem x 4 + 7. Poniewż funkcj pierwistkow jest funkcją rosnącą, to x 4 + 7. Skoro długość przedziłu cłkowni wynosi, to n mocy powyższego twierdzeni dostjemy nstepujące oszcownie wrtości cłki: + x 4 dx 7. TWIERDZENIE Twierdzenie 9: o oszcowniu wrtości ezwzględnej cłki Jeżeli f : [, ] R jest funkcją cłkowlną, to f(x)dx f(x) dx. DOWÓD Zuwżmy, że f(x) f(x) f(x) dl kżdego x [, ]. Cłkując powyższe nierówności w grnicch od do, otrzymujemy co z włsności modułu implikuje żądną nierówność. CND. f(x) dx f(x)dx f(x) dx, Konsekwencją powyższego twierdzeni jest nstępujący wniosek. WNIOSEK Wniosek : o oszcowniu wrtości ezwzględnej cłki Jeżeli f : [, ] R jest funkcją cłkowlną orz f(x) M dl kżdego x [, ], to zchodzi nierówność f(x)dx M( ).

Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji TWIERDZENIE Twierdzenie : o średniej cłkowej funkcji Jeżeli f : [, ] R jest funkcją ciągłą, to istnieje element c [, ] o tej włsności, że f(c) = f(x)dx. Liczę f(c) nzywmy wówczs średnią cłkową funkcji f w przedzile [, ]. Rysunek 7: Interpretcj geometryczn średniej cłkowej funkcji DOWÓD N wstępie zuwżmy, że dzięki ciągłości funkcji f n mocy twierdzeni Weierstrss wrtości są skończone. Wtedy dl dowolnego x [, ] mmy m f(x) M. Cłkując te nierówności w grnicch od do, otrzymujemy ztem po przeksztłcenich Poniewż funkcj ciągł w przedzile [, ] posid włsność Droux, to dl kżdej wrtości y [m, M] istnieje tki rgument x [, ], że y = f(x). W szczególności dl zdefiniownego powyżej elementu y możn znleźć tki rgument c [, ], że y = f(c), co ozncz, że CND. m = min f(x) orz M = mx f(x) x [,] Pierwsze zsdnicze twierdzenie rchunku cłki x [,] m( ) = mdx f(x)dx Mdx = M( ), y m f(x)dx M. f(c) = f(x)dx.

oznczonej Riemnn - twierdzenie o funkcji górnej grnicy cłkowni TWIERDZENIE Twierdzenie : o funkcji górnej grnicy cłkowni Niech f : [, ] R ędzie funkcją cłkowlną. Zdefiniujmy funkcję F : [, ] R z pomocą przepisu Wówczs: x F(x) = f(t)dt dl x [, ].. funkcj F jest ciągł,. jeżeli f jest funkcją ciągłą w punkcie x [, ], to funkcj F jest funkcją różniczkowlną w punkcie x orz F ( x ) = f( x ), przy czym jeżeli x = lu x =, to pochodną funkcji F w punkcie x rozumiemy tu jko pochodną jednostronną. DOWÓD Zuwżmy, że twierdzenie o funkcji górnej grnicy cłkowni w oczywisty sposó jest prwdziwe dl funkcji f tożsmościowo równej zero, gdyż wtedy funkcj F jest również tożsmościowo równ zero. Rozptrzmy przypdek, gdy f osiąg wrtość niezerową w pewnym punkcie przedziłu [, ]. Ustlmy x [, ]. Wówczs dl x [, ] otrzymujemy x x x x x x F(x) F( x ) = f(t)dt f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt f(t)dt = f(t)dt. x x Korzystjąc z nierówności dl cłek, możemy oszcowć od góry osttni z wyrzów, jk nstępuje: gdzie M > jest mksymlną wrtością funkcji f w przedzile [, ]. Wrtość t jest osiągn n mocy twierdzeni Weierstrss, gdyż f, w konsekwencji f, jest funkcją ciągłą w domkniętym przedzile ogrniczonym. Ustlmy dowolną liczę ε >. Przyjmując δ = ε, dl kżdego x z dziedziny funkcji F tkiego, że x x < δ, wnioskujemy, że M Wykzliśmy w ten sposó, że więc funkcj F jest ciągł w punkcie x. Przejdźmy do dowodu drugiej części twierdzeni. Rozwżmy przypdek, gdy x (, ). (Jeżeli x = lu x =, to dlsz część dowodu przeieg nlogicznie.) Korzystjąc z definicji pochodnej orz przepisu funkcji F, otrzymujemy Powołując się n twierdzenie o średniej cłkowej funkcji?, wnioskujemy, że dl kżdego x leżącego między x istnieje punkt c ( x, x) tki, że Kontynuując oliczeni, dostjemy x x x f(t)dt f(t) dt Mdt M x x, x x ε F(x) F( x ) M x x < M < ε. M ε > δ > x [, ] : x x < δ F(x) F( x ) < ε, F x ( x ) = lim = lim. x x F(x)F( x ) x x xx x x f(t)dt = f(c)(x ). x x x f(t)dt xx f(c)(x ) = f(c) = f(c) = f( ).

lim x x + f(c)(x x ) xx = lim f(c) = lim f(c) = f( ). x x + Wykzliśmy w ten sposó, że pochodn prwostronn funkcji F w punkcie x jest równ f( x ). W nlogiczny sposó wykzujemy, że pochodn lewostronn funkcji F w punkcie x również wynosi f( x ). To implikuje, że F ( x ) = f( x ). CND. c x + x PRZYKŁAD Przykłd 6: Jeżeli x F(x) = e t dt dl x >, to dzięki ciągłości funkcji podcłkowej, n mocy twierdzeni o funkcji górnej grnicy cłkowni, otrzymujemy F (x) = e x. Wrto dodć, że w tym przypdku ezpośrednie oliczenie funkcji pierwotnej funkcji podcłkowej f : t e t nie jest możliwe, gdyż f nie jest funkcją elementrną. PRZYKŁAD Przykłd 7: Niech x F(x) = sin t dt dl x >. Oliczmy pochodną funkcji F w punkcie x >. Przyjmijmy, że Jk łtwo zuwżyć, Woec tego, n podstwie wzoru n pochodną funkcji złożonej, dostjemy Skoro G (x) = x, n mocy twierdzeni o funkcji górnej grnicy cłkowni zstosownego do funkcji H mmy to G(x) = x orz H(x) = sin t dt. F(x) = (H G)(x) = H(G(x)). F (x) = H (G(x)) G (x). (x) = sin x, F (x) = sin x G (x) = sin x x = x sin x, gdzie x = x = x, gdyż x >. H x Drugie zsdnicze twierdzenie rchunku cłki oznczonej Riemnn - twierdzenie Newton- Leiniz Podmy drugie podstwowe twierdzenie rchunku cłkowego, zwne twierdzeniem Newton-Leiniz, które pozwl powiązć

cłkę oznczoną funkcji ciągłej z cłką nieoznczoną. TWIERDZENIE Twierdzenie : Newton-Leiniz Jeżeli f : [, ] R jest funkcją ciągłą, ntomist g : [, ] R jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zchodzi równość f(x)dx = g() g(). () DOWÓD Zdefiniujmy funkcję F, dl kżdego x [, ], kłdąc F(x) = x f(t)dt. Skoro funkcj f jest ciągł, to n mocy twierdzeni o funkcji górnej grnicy cłkowni funkcj F jest różniczkowln i zchodzi równość F (x) = f(x) we wszystkich punktch x (, ). Ozncz to, że F jest funkcją pierwotną funkcji f. Poniewż kżde dwie funkcje pierwotne dnej funkcji różnią się o stłą, to dl pewnej liczy rzeczywistej C orz dowolnego x [, ] zchodzi równość g(x) = F(x) + C. () Z definicji funkcji F wynik, że f(t)dt = F(), (3) skoro F() = f(t)dt =, to możemy kontynuowć oliczeni, zpisując F() = F() F() = (F() + C) (F() + C) = g() g(), (4) gdzie osttni równość wynik z ( ). Połączenie ( 3 ) z ( 4 ) implikuje żądny wzór i kończy dowód twierdzeni. CND. Różnicę wrtości funkcji pierwotnej n końcch przedziłu występującą we wzorze ( ) zpisujemy również w nstępujący sposó: g(x) = g() g(). Cłkownie przez części cłek oznczonych Podmy terz niezwykle wżny wzór służący do oliczni cłek oznczonych, który uzsdnimy przy pomocy twierdzeni Newton-Leiniz. TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o cłkowniu przez części cłek oznczonych Jeżeli f : [, ] R orz g : [, ] R są funkcjmi klsy C, to zchodzi równość f(x) g (x)dx = (f(x)g(x)) f (x)g(x)dx. (5)

DOWÓD Skoro (fg) = f g + f g, to Stosując do funkcji podcłkowej f g + f g w przedzile [, ] twierdzenie Newton-Leiniz, otrzymujemy co dowodzi, że zchodzi ( 5 ). CND. (f(x) g (x) + f (x)g(x))dx = f(x)g(x) + C. (f(x) g (x) + f (x)g(x))dx = f()g() f()g(), Zstosujmy powyższe twierdzenie do oliczeni przykłdowych cłek oznczonych. PRZYKŁAD Przykłd 8: e u(x) = ln x v e (x) = ln xdx = = x ln x x dx u e (x) = v(x) = x x x = x ln x e x e = e (e ) =. PRZYKŁAD Przykłd 9: ztem Stąd e x u(x) = sin x (x) = sin xdx = = sin x cos xdx u (x) = cos x v(x) = e x e x e x v u(x) = cos x (x) = = = sin sin u (x) = sin x v(x) = e x e e po przeniesieniu cłki oznczonej z prwej n lewą stronę i po podzieleniu ou stron równości przez otrzymujemy v e x e x ex cos x + e x sin xdx, e x sin xdx = e e cos + e cos e x sin xdx. e x sin xdx = e + e x sin xdx, e x sin xdx = ( e + ).

Cłkownie przez podstwinie cłek oznczonych Podmy twierdzenie, które podonie jk twierdzenie o cłkowniu przez części, stnowi rdzo użyteczne nrzędzie do oliczni cłek oznczonych. TWIERDZENIE Twierdzenie 4: o cłkowniu przez podstwinie cłek oznczonych Jeżeli f : [, ] R jest funkcją ciągłą, ntomist φ : [α, β] [, ] jest funkcją klsy C tką, że φ(α) = orz φ(β) =, to zchodzi równość β f(x)dx = f(φ(t)) φ (t)dt. α DOWÓD Skoro funkcj f jest ciągł, to posid funkcję pierwotną g, ztem f = g. W konsekwencji tk więc f(φ(t)) φ (t) = g (φ(t)) φ (t) = (g φ ) (t), f(φ(t)) (t)dt = (g φ ) (t)dt = g(φ(β)) g(φ(α)) = g() g() = f(x)dx. α β φ α β Zuwżmy, że w powyższych oliczenich dwukrotnie użyliśmy twierdzenie Newton-Leiniz, z pierwszym rzem stosując je do funkcji podcłkowej (g φ) orz jej funkcji pierwotnej g φ, dlej do funkcji podcłkowej f orz jej funkcji pierwotnej g. Pondto przedosttni równość zostł uzyskn dzięki złożeniu, że φ(α) = i φ(β) =. CND. Zstosujmy twierdzenie o cłkowniu przez podstwienie do oliczeni przykłdowych cłek oznczonych. PRZYKŁAD Przykłd : x x + t = x + dx = dt = xdx = = =. dt t t dt = xdx Zuwżmy, że dokonliśmy tu nstępującej zminy wrtości grnic cłkowni: x t = x + Tel : Zmin wrtości grnic cłkowni, gdy t = x +

PRZYKŁAD Przykłd : Zuwżmy, że dokonliśmy nstępujących zmin wrtości grnic cłkowni: orz e e e dx x ln x ln(ln x) e t = ln x dt = = = s = ln t = = ln s = ( ln ln ln ) = ln ln. dt = dx t ln t ds ds = dt s ln x x t t = ln x ln e e e Tel : Zmin wrtości grnic cłkowni, gdy t = ln x e t e s = ln t ln Tel 3: Zmin wrtości grnic cłkowni, gdy s = ln t N podstwie twierdzeni o cłkowniu przez podstwienie możemy sformułowć ntępujące wnioski. WNIOSEK Wniosek : o cłce z funkcji przystej w przedzile symetrycznym względem zer Jeżeli jest liczą dodtnią, ntomist f : [, ] R jest przystą funkcją ciągłą, to f(x)dx = f(x)dx. DOWÓD Dokonując w pierwszej z cłek występujących w powyższej sumie podstwieni t = x i stosownej zminy grnic cłkowni otrzymujemy f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Tel 4: Zmin wrtości grnic cłkowni, gdy t = x Osttni równość wynik z fktu, że f jest funkcją przystą orz zminy symolu zmiennej cłkowni z t n x. CND. x t = x f(t)dt + f(x)dx = f(t)dt + f(x)dx = f(x)dx.

Rysunek 8: I = f(x)dx Rozumując nlogicznie jk powyżej, możemy otrzymć kolejny rezultt. WNIOSEK Wniosek 3: o cłce z funkcji nieprzystej w przedzile symetrycznym względem zer Jeżeli jest liczą dodtnią, ntomist f : [, ] R jest nieprzystą funkcją ciągłą, to f(x)dx =. Rysunek 9: I = f(x)dx Powyższe wnioski mją dość duże znczenie w prktycznych oliczenich, gdyż niejednokrotnie prościej jest znleźć wrtość funkcji pierwotnej w zerze niż w. W szczególności powyższy wniosek pozwl ntychmist podć wrtość liczową niektórych cłek ez konieczności przeprowdzni złożonych rchunków.

PRZYKŁAD Przykłd : Możemy stwierdzić, że sin 7 xdx =, poniewż cłkujemy po przedzile, który jest symetryczny względem zer, funkcj sinus jest w nim nieprzyst. Cłki niewłściwe Włściwości cłki ze względu n przedził cłkowni (cłk I rodzju) Przypomnijmy, że pojęcie cłki oznczonej Riemnn zostło przez ns zdefiniowne dl funkcji ogrniczonej, określonej n przedzile domkniętym i ogrniczonym. Ze względu n prktyczne zstosowni istnieje potrze rozszerzeni tego pojęci n przypdek funkcji dziłjącej n przedzile nieogrniczonym lu funkcji nieogrniczonej. N początek zdefiniujmy cłkę niewłściwą funkcji określonej n przedzile postci [, + ), nstępnie (, ], dlej n cłym ziorze licz rzeczywistych.

DEFINICJA Definicj 4: Cłk niewłściw Riemnn I rodzju w przedzile (, ] [, + ) lu Niech f : [, + ) R ędzie funkcją cłkowlną w sensie Riemmn n kżdym z przedziłów domkniętych [, β], gdzie < β. Cłką niewłściwą Riemnn I rodzju funkcji f nzywmy grnicę i oznczmy ją symolem lim f(x)dx β + + Jeżeli powyższ grnic istnieje i jest skończon, to mówimy, że cłk niewłściw jeżeli grnic t nie istnieje lu jest niewłściw, to mówimy, że cłk niewłściw β f(x)dx. + f(x)dx + f(x)dx jest zieżn, ntomist jest rozieżn. Rysunek : Interpretcj geometryczn cłki niewłściwej Riemnn I rodzju w przedzile [, + ) W nlogiczny sposó definuje się cłkę niewłściwą Riemnn I rodzju f(x)dx funkcji f określonej n przedzile (, ], jk również pojęci jej zieżności i rozieżności. Przyjmujemy wówczs, że f(x)dx := lim f(x)dx. α α Rysunek : Interpretcj geometryczn cłki niewłściwej Riemnn I rodzju w przedzile (, ]

DEFINICJA Definicj 5: Cłk niewłściw Riemnn I rodzju w ziorze licz rzeczywistych Niech f : R R ędzie funkcją cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [α, β] zwrtym w R. Cłkę niewłściwą Riemnn I rodzju funkcji f w R definujemy jko + f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx, gdzie jest dowolnie wyrnym punktem z R. Jeżeli oie cłki w powyższej sumie są zieżne, to mówimy, że cłk + f(x)dx jest zieżn. Gdy którś z tych cłek nie istnieje lu jest rozieżn, to mówimy, że cłk + f(x)dx jest rozieżn. + Nleży podkreślić, że jeżeli cłk w powyższej definicji. + f(x)dx jest zieżn, to możn wykzć, że jej wrtość nie zleży od wyoru punktu R PRZYKŁAD Przykłd 3: Oliczmy cłkę + dx. Otóż +x + β dx = lim dx = lim rctg x β = (rctg β rctg ) = =. +x β + +x β + lim β + Otrzymn wrtość liczow może yć interpretown jko pole oszru pomiędzy prostą x =, dodtnią półosią OX wykresem nieujemnej funkcji podcłkowej x. x + Rysunek : Pole oszru pomiędzy prostą x =, osią OX orz wykresem funkcji x x+ Przykłd ten pokzuje, że pole nieogrniczonego oszru n płszczyźnie może yć skończone.

PRZYKŁAD Przykłd 4: Przy ustlonej liczie > zdjmy zieżność cłki + dx w zleżności od wrtości prmetru p R. x p Przypdek. p. Zuwżmy, że + dx + = dx = lim dx = xp x p β + β x p lim β + x p+ p + β = lim = ( ). β + ( p)x p p lim β + β p p β lim β + β p +, = {, gdy p <, gdy p >, ztem + dx x p +, gdy p <, = {, gdy p >. (p) p Przypdek. p =. + dx x = lim ln x = lim (ln β ln ) = +. β + β β + Resumując, cłk + dx jest zieżn dl p >, rozieżn dl p. x p Niewłściwość cłki ze względu n funkcję podcłkową (cłk II rodzju) Sformułujmy terz definicję cłki niewłściwej funkcji nieogrniczonej określonej n przedzile ogrniczonym.

DEFINICJA Definicj 6: Cłk niewłściw Riemnn II rodzju w przedzile [, ) lu (, ] Niech f : [, ) R ędzie funkcją cłkowlną w sensie Riemmn n kżdym z przedziłów domkniętych [, β], przy czym < β <. Złóżmy, że funkcj f jest nieogrniczon w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu. Cłką niewłściwą Riemnn II rodzju funkcji f nzywmy grnicę i oznczmy ją symolem β lim f(x)dx β f(x)dx. Jeżeli powyższ grnic istnieje i jest skończon, to mówimy, że cłk niewłściw f(x)dx grnic t nie istnieje lu jest niewłściw, to mówimy, że cłk niewłściw f(x)dx jest zieżn, ntomist jeżeli jest rozieżn. Rysunek 3: Interpretcj geometryczn cłki niewłściwej Riemnn II rodzju w przedzile [, ) W nlogiczny sposó definiujemy cłkę niewłściwą Riemnn II rodzju w przypdku, gdy funkcj f : (, ] R jest cłkowln w sensie Riemmn n kżdym z przedziłów domkniętych [α, ], przy czym < α <, orz jest nieogrniczon w prwostronnym sąsiedztwie punktu. Wówczs przyjmujemy, że f(x)dx := lim f(x)dx. W tej sytucji nlogicznie jk wyżej definiuje się pojęci zieżności i rozieżności cłki niewłściwej. α + α Rysunek 4: Interpretcj geometryczn cłki niewłściwej Riemnn II rodzju w przedzile (, ]

DEFINICJA Definicj 7: Cłk niewłściw Riemnn II rodzju w przedzile (, ) Niech f : (, ) R ędzie funkcją cłkowlną w sensie Riemmn n kżdym z przedziłów domkniętych [α, β], przy czym < α < β <. Złóżmy, że funkcj f jest nieogrniczon w pewnym prwostronnym sąsiedztwie punktu orz w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu. Cłkę niewłściwą Riemnn II rodzju funkcji f w (, ) definiujemy jko f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, c c gdzie c jest dowolnie wyrnym punktem z (, ). Jeżeli oie cłki po prwej stronie powyższej równości są zieżne, to mówimy, że cłk f(x)dx jest zieżn. Gdy którś z tych cłek nie istnieje lu jest rozieżn, to mówimy, że cłk niewłściw f(x)dx jest rozieżn. PRZYKŁAD Przykłd 5: Oliczmy cłkę dx. Zuwżmy, że lim = +, ztem funkcj podcłkow jest nieogrniczon (x) x (x) w lewostronnym sąsiedztwie punktu. N początku znjdźmy nstępującą cłkę nieoznczoną: dx = t = x = dt = + C = + C. (x) dt = dx t t x Otrzymujemy ztem dx (x) więc rozptrywn cłk niewłściw jest rozieżn. β dx = lim = lim ( ) = ( ) = +, x lim β β (x) β β β Oliczmy terz cłkę podoną do tej z przykłdu, w którym przedził cłkowni ył nieogrniczony. Po wykonniu poniższych oliczeń wrto porównć wyniki uzyskne w ou przykłdch.

PRZYKŁAD Przykłd 6: Przy ustlonej liczie > zdjmy zieżność cłki dx w zleżności od wrtości prmetru p R. Przypdek. p. dx = x p dx = lim x p dx = xp x p α + α lim α + x p+ p + = lim = ( ). α + ( p)x p α p lim α + p α p α Zuwżmy, że, lim = { α + α p +, gdy p <, gdy p >, ztem dx p, = { p x p +, gdy p <, gdy p >. Przypdek. p =. dx x dx α + x α = lim = lim ln x = lim (ln ln α) = +. α + α α + Resumując, cłk dx jest zieżn dl p <, rozieżn dl p. x p Kryteri zieżności cłek niewłściwych Przedstwimy kryteri zieżności cłek niewłściwych. TWIERDZENIE Twierdzenie 5: Kryterium porównwcze I Niech f : [, ) R orz g : [, ) R ędą funkcjmi ciągłymi. Złóżmy, że f(x) g(x) dl kżdego x [, ). Wówczs: ) jeżeli cłk g(x)dx jest zieżn, to cłk f(x)dx jest również zieżn, ) jeżeli cłk f(x)dx jest rozieżn, to cłk g(x)dx jest również rozieżn.

Przyjrzyjmy się przykłdowym zstosowniom tego kryterium, w którym dopuszczmy również możliwość, że = +. PRZYKŁAD Przykłd 7: Zdjmy zieżność cłki + dx. Zuwżmy, że e x ln(ln x) Poniewż ln x x dl kżdego x, to + ln x + x + x ln(ln x) e dx = β β + x + ln x Stąd n mocy kryterium porównwczego I wnioskujemy rozieżność wyjściowej cłki. dx. dx dx = lim dx = lim ln(x ) = +. β + β PRZYKŁAD Przykłd 8: Zdjmy zieżność cłki + rctg x dx. Poniewż funkcj rcus tngens jest ogrniczon od góry przez, to dl kżdego x 3 + x [, + ) zchodzi szcownie N mocy powyższego twierdzeni i zieżności cłki niewłściwej zieżn. rctg x x 3 + x 3. + x 3 dx wnioskujemy, że wyjściow cłk jest TWIERDZENIE Twierdzenie 6: Kryterium porównwcze II Niech f : [, ) R orz g : [, ) R ędą funkcjmi ciągłymi. Złóżmy, że f(x) orz g(x) > dl kżdego x [, ) orz istnieje grnic Wówczs: f(x) lim x g(x) = K ( K + ).. ze zieżności cłki g(x)dx dl K < + wynik zieżność cłki f(x)dx,. z rozieżności cłki g(x)dx dl K > wynik rozieżność cłki f(x)dx. Zuwżmy, że dl K (, + ) cłki f(x)dx orz g(x)dx są jednocześnie zieżne ądź rozieżne.

PRZYKŁAD Przykłd 9: Zdć zieżność cłki dx. Niech f(x) = orz g(x) =. Wówczs 4 x 4 4 x 4 4 x Poniewż lim x x4 4 x 4 to kryterium porównwcze II implikuje zieżność wyjściowej cłki. = lim = lim = (, + ). dx 4 x x 4 (x)(+x+ x+ x3) x 4 β x +x+ x + x 4 4 3 4 dx 4 = lim = lim ( ( x ) 3 ) 4 =, 4 4 x 3 3 β β β W kryterium porównwczym II, podonie jk w kryterium porównwczym I, dopuszczmy możliwość, że = +. PRZYKŁAD Przykłd : Zdć zieżność cłki + x x x x dx. Niech f(x) =, g(x) =. Wtedy +x +x +x Cłk + +x lim x + x x +x +x = lim = (, + ). x + x + + x dx jest rozieżn, więc n mocy kryterium porównwczego II rozieżn jest też wyjściow cłk. Powyższe kryteri zieżności cłek niewłściwych możn nlogicznie sformułowć dl funkcji ciągłych f : (, ] R orz g : (, ] R, które są nieogrniczone w prwostronnym sąsiedztwie punktu. Wrto dodć, że dopuszczmy tu możliwość, że =. PRZYKŁAD Przykłd : Zdjmy zieżność cłki sin dx. Powołjmy się n nstępującą nierówność sin t t dl t >. Stąd dl kżdego x x (, ] zchodzi szcownie Cłk niewłściw wyjściowej cłki. x x x sin. dx = dx jest zieżn. Woec tego kryterium porównwcze I implikuje zieżność x

PRZYKŁAD Przykłd : Zdjmy zieżność cłki dx. W tym celu zuwżmy, że x+ 3 x lim x + x+ 3 x 3 x 3 x +x + x 3 x = lim = lim = lim =, x + + x 3 x x + + x 6 poniewż dx = dx jest cłką zieżną, to n mocy kryterium porównwczego II zieżn jest również 3 x x 3 wyjściow cłk. Olicznie pól figur płskich Z definicji cłki oznczonej Riemnn wynik, że jeżeli f : [, ] R jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedzile [, ], to cłk f(x)dx jest równ polu P figury ogrniczonej przez wykres funkcji f, oś OX orz proste x = i x =. Tk zdną figurę, którą możemy opisć jko ziór {(x, y) R : y f(x), x }, nzywmy trpezem krzywoliniowym. Jeżeli f(x) dl x [, ], to P = f(x)dx. W rezultcie dl dowolnej funkcji ciągłej f : [, ] R prwdziwy jest nstępujący związek: P = f(x) dx. Rysunek 5: Pole P figury płskiej zwnej trpezem krzywoliniowym

PRZYKŁAD Przykłd 3: Oliczmy pole P oszru zwrtego pomiędzy wykresmi funkcji f(x) = x +, g(x) = (x ), gdzie x [, ], orz osią OX. Zuwżmy, że rozptrywn figur jest sumą dwóch trpezów krzywoliniowych T i T : T = {(x, y) R : y x +, x [, ]}, T = {(x, y) R : y (x ), x [, ]}, więc jej pole P jest równe sumie P T + P T pól tych trpezów. Korzystjąc z interpretcji geometrycznej cłki oznczonej, otrzymujemy P T P T = x + dx = (x + ) 3 =, 3 3 = (x ) dx = (x ) 3 =. 3 3 Szukne pole wynosi ztem P = + =. 3 3 Rysunek 6: P T = f(x)dx, P T = g(x)dx PRZYKŁAD Przykłd 4: Oliczmy pole oszru ogrniczonego przez elipsę o półosich i (, > ) dną równniem x y + =.

x Rysunek 7: Oszr ogrniczony przez elipsę y + = N początku zuwżmy, że rozwżny oszr jest symetryczny względem osi ukłdu współrzędnych, więc możemy go podzielić n cztery oszry o identycznych polch. Pole części leżącej w pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych zwrte jest między osimi OX i OY orz częścią krzywej zdnej przepisem Jest to więc pole figury ędącej trpezem krzywoliniowym. Wówczs Oliczmy tę cłkę poprzez zminę zmiennych w cłce oznczonej. Niech więc x x Zuwżmy, że [, ], czyli zwier się w dziedzinie funkcji cyklometrycznej rcus sinus, więc now zmienn t jest poprwnie określon. Poniewż funkcj rcus sinus jest funkcją rosnącą, to jeżeli x zmieni się od do, to wrtości t rosną od do. Mmy więc Wówczs więc f(x) = x, gdzie x [, ]. gdzie Tel 5: Zmin wrtości grnic cłkowni, gdy t = rcsin x Powołując się n twierdzenie o cłkowniu przez podstwienie, otrzymujemy Osttecznie pole figury ogrniczonej przez elipsę o półosich i wynosi. P P = 4 P, = f(x)dx = x dx. x t = rcsin dl x [, ]. x t x = sin t dl t [, ], dx = cos t dt. P = 4 sin t cos tdt = 4 cos tdt = 4 ( + cos t)dt sin t = (t + ) sin = ( + ) =.

WNIOSEK Wniosek 4: o polu figury ogrniczonej przez wykresy dwóch funkcji orz proste pionowe Jeżeli f : [, ] R orz g : [, ] R są funkcjmi ciągłymi, pondto f(x) g(x) dl kżdego x [, ], to pole P figury ogrniczonej przez wykresy tych funkcji orz proste x = i x = wyrż się wzorem P = (g(x) f(x))dx. Rysunek 8: Pole P figury ogrniczonej przez wykresy funkcji f i g orz proste x = i x =

PRZYKŁAD Przykłd 5: Znjdźmy pole figury zwrtej między wykresmi funkcji f(x) = e x i g(x) = e x orz prostą x =. Rysunek 9: Pole P figury zwrtej między wykresmi funkcji f i g orz prostą x = Dl kżdego x [, ] zchodzi nierówność f(x) g(x), więc szukne pole oliczmy w nstępujący sposó: P = ( e x e x ) dx = ( e x + e x ) = e + e.

PRZYKŁAD Przykłd 6: Oliczmy pole oszru zwrtego między prolmi o równnich gdzie p jest ustloną liczą dodtnią. x = py orz y = px, Rysunek : Pole P figury zwrtej między wykresmi funkcji f i g Rozwiązując ukłd równń { x = py y = px znjdujemy punkty przecięci ou prol, mjące współrzędne (, ) i (p, p). Zuwżmy, że oszr, którego pole chcemy oliczyć, zwrty jest między wykresmi funkcji f(x) = orz g(x) = px, gdzie x [, p]. p x Poniewż f(x) g(x) dl kżdego x [, p], to szukne pole wyrż się wzorem P = (g(x) f(x))dx = ( px )dx p p p p p x = p x dx dx = p x p 3 x 3 p x 3 p 3 = (p) (p) 3 4 =. 3 6p 3 p p Ay oliczyć pole figury płskiej przy pomocy cłki oznczonej, w pewnych sytucjch wrto jest cłkowć względem zmiennej y zmist zmiennej x. Pozwl to uniknąć dzieleni dnego oszru n mniejsze oszry orz niepotrzenego oliczni kilku cłek.

PRZYKŁAD Przykłd 7: Pokżemy drugi sposó n znlezienie pol oszru z przykłdu. Zuwżmy (rys. ), że zdny oszr jest ziorem jego pole oliczmy w nstępujący sposó: {(x, y) R : y x y +, y [, ]}, P = ( y + y + ) dy = ( y 3 + y) = + =. 3 3 y3 3 3 Omówimy terz sposó wyznczni pol figury ogrniczonej przez krzywą zdną prmetrycznie. Njpierw jednk podjmy definicję tkiej krzywej. DEFINICJA Definicj 8: Krzyw zdn prmetrycznie Mówimy, że Γ jest krzywą zdną prmetrycznie, jeżeli istnieją tkie funkcje ciągłe φ : [α, β] R orz ψ : [α, β] R, że Γ = {(x, y) R : x = φ(t), y = ψ(t) dl t [α, β]}. TWIERDZENIE Twierdzenie 7: o polu oszru ogrniczonego łukiem krzywej zdnej prmetrycznie Niech Γ ędzie krzywą zdną prmetrycznie, jk jest to opisne w definicji Krzyw zdn prmetrycznie. Złóżmy dodtkowo, że funkcj φ jest rosnąc i m w kżdym punkcie przedziłu [α, β] ciągłą pochodną, funkcj ψ jest nieujemn. Pole P oszru ogrniczonego łukiem krzywej Γ, odcinkiem osi OX orz prostymi x =, x =, gdzie = φ(α), = φ(β), wyrż się wzorem β P = ψ(t) φ (t)dt. α DOWÓD W pierwszym kroku dowodu wykżemy, że przy przyjętych złożenich możemy wyrzić krzywą Γ jko wykres funkcji ciągłej zmiennej x n przedzile [, ]. Istotnie, poniewż funkcj φ jest rosnąc w przedzile [α, β], to = φ(α) φ(β) =, pondto funkcj t jest odwrcln. To z kolei implikuje, że t = φ (x) dl x [, ] (gdzie φ ozncz funkcję odwrotną do φ), co po podstwieniu do równni y = ψ(t) dje y = ψ( φ (x)) dl x [, ]. Dlej, skoro funkcj ψ jest nieujemn, to w konsekwencji funkcj y zleżn od zmiennej x przyjmuje wrtości nieujemne. Dzięki temu pole rozptrywnego oszru możemy oliczyć, stosując wzór P = y(x)dx = ψ( (x))dx.

Ay oliczyć osttnią cłkę, zstosujmy twierdzenie o cłkowniu przez podstwienie dl t = φ (x), pmiętjąc przy tym o stosownej zminie grnic cłkowni. Z równni x = φ(t), gdzie t [α, β], dostjemy dx = φ (t)dt. W rezultcie CND. P = y(x)dx = ψ( φ (x))dx. β P = ψ(t) φ (t)dt. α PRZYKŁAD Przykłd 8: Oliczymy pole oszru ogrniczonego osią OX prmetrycznymi i jednym łukiem krzywej zwnej cykloidą, któr zdn jest równnimi x = φ(t) := (t sin t), { y = ψ(t) := ( cos t), gdzie jest ustloną liczą dodtnią. Wyjśnijmy, że cykloid to krzyw opisując tor ruchu punktu leżącego n owodzie koł o promieniu, które toczy się ez poślizgu po prostej. Zuwżmy, że wrtości y = ψ(t) powtrzją się cyklicznie, gdy prmetr t przeieg kżdy z przedziłów [k, (k + )], gdzie k jest liczą cłkowitą. Dl nszych potrze wyierzmy jeden z tkich przedziłów, np. [, ]. Rysunek : Frgment łuku cykloidy Zuwżmy, że φ (t) = ψ(t) dl kżdego t [, ], więc spełnione są złożeni twierdzeni o polu oszru ogrniczonego łukiem krzywej zdnej prmetrycznie. N jego podstwie otrzymujemy P = ψ(t) (t)dt = ( cos t) ( cos t)dt φ = ( cos t) dt = ( cos t + cos t)dt = (t sin t) + ( + cos t)dt = sin t ( + (t + ) ) = ( + ) = 3. Jk widomo, położenie punktu n płszczyźnie możn określić dzięki wprowdzeniu n płszczyźnie krtezjńskiego prostokątnego ukłdu współrzędnych. Wówczs położenie punktu P jest jednozncznie określone poprzez podnie pry (, ) P P OX OY

( x P, y P ), gdzie x P jest współrzędną tego punktu względem osi OX, zś y P względem osi OY. Rysunek : Położenie punktu n płszczyźnie opisne w krtezjńskim prostokątnym ukłdzie współrzędnych Jednkże położenie punktu P n płszczyźnie możn też określić w inny sposó - dzięki wprowdzeniu tzw. iegunowego (polrnego) ukłdu współrzędnych. Jest ono jednozncznie określone poprzed podnie odległości od pewnego wyróżnionego n płszczyźnie punktu zwnego iegunem orz poprzez podnie kąt φ pomiędzy półprostą o początku w iegunie i przechodzącą przez punkt P inną wyróżnioną półosią o początku w iegunie, zwną półosią iegunową. (Kąty skierowne przeciwnie do ruchu wskzówek zegr są dodtnie, zgodnie z ruchem wskzówek zegr są ujemne). Rysunek 3: Położenie punktu n płszczyźnie opisne przy użyciu iegunowego ukłdu współrzędnych Jeżeli umieścimy iegun w punkcie (, ), czyli w początku ukłdu krtezjńskiego, zś jko półoś iegunową przyjmiemy półoś dodtnią osi OX, to wówczs związki między oydwom ukłdmi wyrżą się w nstępujący sposó: { x r y r = cos φ, = sin φ. Rysunek 4: Związek między opisem położeni punktu n płszczyźnie w krtezjńskim prostokątnym ukłdzie współrzędnych w iegunowym ukłdzie współrzędnych

W rezultcie x = r cos φ, { y = r sin φ. PRZYKŁAD Przykłd 9: Równnie półokręgu o środku w punkcie (, ) i promieniu 4 m postć x + y = 4, przy czym y. T sm krzyw we współrzędnych iegunowych m równnie r =, przy czym φ [, ]. PRZYKŁAD Przykłd 3: Krzyw zdn równniem ( x + y ) = xy ze względu n związki x = r cos φ, y = r sin φ m we współrzędnych iegunowych równnie czyli r 4 = r sin φ cos φ, r = sin φ. Omówimy terz, w jki sposó możn oliczyć pole figury ogrniczonej, której frgment rzegu jest zdny z pomocą współrzędnych iegunowych. DEFINICJA Definicj 9: Krzyw zdn iegunowo Mówimy, że Γ jest krzywą zdną iegunowo, jeżeli istnieje nieujemn funkcj ciągł r : [α, β] R tk, że Γ = {(r, ϕ) R : r = r(ϕ), ϕ [α, β]}. Zuwżmy, że krzywą zdną iegunowo możn przedstwić w nstępujący sposó w postci prmetrycznej (w zleżności od prmetru ϕ): x = r(ϕ) cos ϕ orz y = r(ϕ) sin ϕ, gdzie ϕ [α, β]. Niech O = (, ), A = (r(α), α), B = (r(β), β) orz złóżmy, że < β α <. Wtedy promienie wodzące o mplitudch α i β, czyli odcinki OA i OB, orz łuk krzywej Γ wyznczją oszr zilustowny n poniższym rysunku.

Rysunek 5: Trpez krzywoliniowy w sensie iegunowego ukłdu współrzędnych Tki oszr nzywmy trpezem krzywoliniowym w sensie iegunowego ukłdu współrzędnych. Jego pole możemy oliczyć korzystjąc z nstępującego twierdzeni. TWIERDZENIE Twierdzenie 8: o polu oszru ogrniczonego łukiem krzywej zdnej iegunowo orz dwom promienimi wodzącymi Niech Γ ędzie krzywą zdną iegunowo. Pole P oszru ogrniczonego łukiem krzywej Γ orz promienimi wodzącymi o mplitudch α i β wyrż się wzorem P = β r α (ϕ)dϕ. DOWÓD Dl kżdego n N podzielmy przedził [α, β] n n podprzedziłów [ ϕ k, ϕ k ] (k =,, n) tk doierjąc punkty ϕ k, y zchodził zleżność α = ϕ < ϕ < ϕ < < ϕ n = β. W ten sposó otrzymujemy n trójkątów krzywoliniowych zwrtych między łukiem krzywej Γ orz promienimi wodzącymi o mplitudch ϕ k i ϕ k. Oznczmy przez Δϕ k długość odcink [ ϕ k, ϕ k ], tzn. Δ ϕ k = ϕ k ϕ k, gdzie k {,, n}. Niech δ n ędzie njwiększą ze średnic wszystkich przedziłów [ ϕ k, ϕ k ], czyli δ n = mx{δ : k =,, n}. ϕ k Nstępnie dl kżdego k {,, n} wyierzmy kąt pośredni ξ k [ ϕ k, ϕ k ]. Przy młych wrtościch Δϕ k pole k-tego trójkąt jest w przyliżeniu równe polu P k wycink kołowego o promieniu r( ξ k ) i kącie środkowym Δ ϕ k, wyrżjącego się wzorem P k = ( )Δ, r ξ k ϕ k gdzie Δϕ k jest mirą łukową tego kąt środkowego. Oznczmy przez P n sumę pól wszystkich tych wycinków. Wówczs n n = Pk = ( )Δ. r ξ k ϕ k Przechodząc do grnicy (jk w konstrukcji cłki oznczonej Riemnn), otrzymujemy P n k= k= P = = ( )Δ = (ϕ)dϕ. n k k β

n P = lim = lim ( )Δ = (ϕ)dϕ. r ξ k ϕ k r n P n n k= β α CND. Zstosujmy powyższy wzór do oliczeni pol figury ogrniczonej przez krzywą zdną iegunowo. PRZYKŁAD Przykłd 3: Wyznczmy pole figury ogrniczonej przez krdioidę, czyli krzywą zdefiniowną iegunowo z pomocą przepisu r = ( + cos ϕ), gdzie ϕ [, ], przy czym jest ustloną liczą dodtnią. Ay nrysowć tę krzywą, skorzystjmy ze znjomości wykresu funkcji cosinus. Otóż, gdy wrtości kąt ϕ rosną od do, to wrtości cosinus mleją od do, więc promień r mleje od ( + cos ) = do ( + cos ) =. Z kolei, gdy ϕ rośnie od do, to wrtości funkcji cosinus mleją od do, więc promień r mleje od do ( + cos ) =. Pondto promień r rośnie od do dl kąt ϕ zmienijącego się od do. Poniewż wykres funkcji cosinus jest symetryczny względem osi OY, to krdioid jest symetryczn względem osi OX. Rysunek 6: Krdioid Korzystjąc z twierdzeni o polu oszru ogrniczonego łukiem krzywej zdnej iegunowo orz dwom promienimi wodzącymi i symetrii rozptrywnego oszru względem osi OX, otrzymujemy β P = (ϕ)dϕ = ( + cos ϕ dϕ = ( + cos ϕ + ϕ)dϕ r ) cos α = [ϕ + sin ϕ + ( + cos ϕ)dϕ ] = [ + ϕ + ] sin ϕ = [ + ] = 3. Olicznie długości łuku krzywych

DEFINICJA Definicj : Długość łuku krzywej zdnej prmetrycznie Rozwżmy krzywą Γ zdną prmetrycznie w nstępujących sposó: Γ = {(x, y) R : x = φ(t), y = ψ(t), t [α, β]}, gdzie φ i ψ są funkcjmi ciągłymi w przedzile [α, β]. Zdefiniujmy długość d łuku krzywej Γ. Podzielmy przedził [α, β] n n podprzedziłów wyierjąc punkty podziłu t k ( k =,, n) tk, y zchodził zleżność α = t < t < < t n = β. Niech Δ k = t k t k orz δ n = mx{ Δ k : k =,, n}. Zuwżmy, że punkty P k = (φ( t k ), ψ( t k )) Γ ( k =,, n) wyznczją łmną Γ n, któr przyliż krzywą Γ w przedzile [α, β]. Rysunek 7: Krzyw zdn prmetrycznie wrz z oznczonymi n niej punktmi odpowidjącymi punktom podziłu przedziłu [α, β] Długość otrzymnej łmnej wyrż się wzorem d n = P k P k, gdzie P k P k jest długością odcink łączącego punkty P k i P k (k =,, n). Jeżeli istnieje grnic n k= lim n d n i jest on jest niezleżn od wyoru normlnego ciągu podziłów przedziłu [α, β] (czyli tkich jego podziłów, że lim δ n = ), to mówimy, że krzyw Γ jest krzywą prostowlną w przedzile [α, β]. Grnicę tę nzywmy długością łuku n krzywej Γ w przedzile [α, β]. TWIERDZENIE Twierdzenie 9: o długości krzywej zdnej prmetrycznie Jeżeli Γ jest krzywą prostowlną zdną prmetrycznie, funkcje φ : [α, β] R i ψ : [α, β] R są klsy C, to długość krzywej Γ wyrż się wzorem β d = ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt. α (6)

DOWÓD N początku zuwżmy, że dl kżdego n N długość łmnej Γ n jest równ Poniewż funkcje φ i ψ są klsy C n przedzile [α, β], więc do kżdej z nich i do kżdego z przedziłów [ t k, t k ] ( k =,, n) możemy zstosowć twierdzenie Lgrnge'. Otóż n jego podstwie istnieją tkie punkty ξ k i ξk nleżące do przedziłu ( t k, t k ), że Stąd po przeksztłcenich otrzymujemy gdzie Δ k ozncz długość przedziłu ( t k, t k ). Podstwijąc powyższe wyrżeni do wzoru n d n, dostjemy Terz przechodząc z d n do grnicy przy n (i oczywiście pmiętjąc, że lim δ n = ), otrzymujemy n CND. d n d n n n = P k P k = (φ( t k ) φ( t k )) + (ψ( t k ) ψ( t k )). k= φ( t k )φ( ) k= t k = φ ψ( t ( ξ ) orz k )ψ( t k ) = ( ). t k t k k ψ ξ t k t k k φ( t k ) φ( t k ) = φ ( ξ k )( t k t k ) = φ ( ξ k ) Δ k, ψ( t k ) ψ( t k ) = ψ ( ξ k )( t k t k ) = ψ ( ξ k ) Δ k, n = ( φ ( ξ k ) Δ k ) + ( ψ ( ξ k ) Δ k) n = ( φ ( ξ k )) + ( ψ ( ξ k ) ). k= n d = lim ( φ ( ξ k )) + ( ψ ( ξ β k ) ) Δ k = ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt. n k= k= α Δ k

PRZYKŁAD Przykłd 3: Oliczymy długość krzywej zwnej steroidą, któr jest zdn równnimi prmetrycznymi gdzie t [, ], ntomist jest ustloną liczą dodtnią. x = φ(t) := t, { 3 cos 3 y = ψ(t) := 3 sin 3 t, Rysunek 8: Asteroid Asteroid jest symetryczn względem ou osi ukłdu współrzędnych, więc do oliczeni jej długości wystrczy wyznczyć długość łuku leżącego w pierwszej ćwirtce ukłdu współrzędnych. Zuwżmy, że x = φ(t) i y = ψ(t) są funkcjmi klsy C, ich pochodne wynoszą odpowiednio: φ (t) = 3 3 cos t sin t, ψ (t) = 3 3 sin t cos t. Oliczmy wrtość wyrżeni ( φ (t)) + ( ψ (t)) > dl kżdego t (, ). Otóż ( φ (t)) + ( ψ (t)) = (3 3 cos t sin t ) + (3 3 sin t cos t) Korzystjąc ze wzoru ( 6 ) n długość krzywej, otrzymujemy Wrtości sin t i cos t są nieujemne dl kżdego t [, ], ztem = 9 6 cos 4 t sin t + 9 6 sin 4 t cos t = 9 6 cos t sin t( cos t + sin t) = 9 6 cos t sin t >. d = 4 ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt = 4 9 6 cos t sin tdt = 4 3 3 cos t sin t dt. d = 3 cos t sin tdt = 6 3 sin tdt = 6 3 ( cos t) = 3 = 6. 3 3

Podmy terz twierdzenie, które umożliwi nm wyzncznie długości krzywej, któr jest wykresem funkcji zmiennej x. TWIERDZENIE Twierdzenie : o długości krzywej ędącej wykresem funkcji jednej zmiennej Długość d łuku krzywej ędącej wykresem funkcji f : [, ] R, któr jest klsy C, wyrż się wzorem d = + ( f (x)) dx. (7) DOWÓD Przyjmijmy, że Wówczs n podstwie twierdzeni o długości krzywej zdnej prmetrycznie otrzymujemy CND. x = φ(t) := t orz y = ψ(t) := f(t) dl t [, ]. d = ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt = + ( f (t)) dt.

PRZYKŁAD Przykłd 33: Oliczmy długość linii łńcuchowej f(x) = ( e x + e x ), gdzie x [, ]. Rysunek 9: Lini łńcuchow Poniewż pochodn funkcji f wyrż się wzorem f więc wyrżenie podpierwistkowe m postć (x) = ( e x e x ), + ( f (x)) = + ( 4+ e = x + e x e = x ++ e x ( + =. ex e x ) Podstwijąc to wyrżenie do wzoru ( 7 ), otrzymujemy długość krzywej 4 4 4 e x e x ) d = + ( f (x)) ( e dx = x + e x ) e dx = x + e x e dx = x e x = e. 4 e 4 Dl krzywej Γ zdnej w postci iegunowej zchodzi nstępujące twierdzenie. TWIERDZENIE Twierdzenie : o długości krzywej zdnej w postci iegunowej Jeżeli krzyw Γ zdn jest w postci iegunowej r = r(ϕ), gdzie r : [α, β] R jest funkcją klsy C, łuk krzywej Γ nie m punktów wielokrotnych, to długość tej krzywej wyrż się wzorem β d = (r(ϕ) ) + ( r (ϕ)) dϕ. α (8) DOWÓD Krzywą wyrżoną w postci iegunowej możn tkże zpisć prmetrycznie, przy pomocy tzw. współrzędnych iegunowych: {

gdzie ϕ [α, β], nstępnie jej długość wyrzić z pomocą wzoru ( 6 ). Poniewż pochodne funkcji φ i ψ są postci dl ϕ [α, β], to wyrżenie podpierwistkowe przyjmuje postć W konsekwencji CND. x = φ(ϕ) := r(ϕ) cos ϕ, { y = ψ(ϕ) := r(ϕ) sin ϕ, φ (ϕ) = (ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ, ψ (ϕ) = r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ ( φ (ϕ)) + ( ψ (ϕ)) = ( r (ϕ) cos ϕ r(ϕ) sin ϕ ) + ( r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ) r = ( r (ϕ)) cos ϕ r (ϕ)r(ϕ) cos ϕ sin ϕ + r (ϕ) sin ϕ +( r (ϕ)) sin ϕ + r (ϕ)r(ϕ) cos ϕ sin ϕ + r (ϕ) cos ϕ = ( r (ϕ)) ( sin ϕ + cos ϕ) + r (ϕ)( sin ϕ + cos ϕ) = (r(ϕ)) + ( r (ϕ)). β d = ( φ (ϕ)) + ( ψ (ϕ)) β dϕ = (r(ϕ) ) + ( r (ϕ)) dϕ. α α PRZYKŁAD Przykłd 34: Wyprowdzimy wzór n długość okręgu o promieniu. Równnie okręgu we współrzędnych iegunowych m postć r(ϕ) =, gdzie ϕ [, ]. Podstwijąc r(ϕ) i r (ϕ) = do wzoru ( 8 ) n długość krzywej, otrzymujemy znny wzór n długość okręgu d = + dϕ = dϕ = ϕ =. Olicznie ojętości rył orotowych TWIERDZENIE Twierdzenie : o ojętości ryły powstłej przez orót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi OX Niech krzyw Γ ędzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej f : [, ] R. Ojętość V ryły powstłej z orotu łuku krzywej Γ wokół osi OX wyrż się wzorem V = f (x)dx.

Rysunek 3: Brył uzyskn w wyniku orotu wykresu funkcji f wokół osi OX PRZYKŁAD Przykłd 35: Korzystjąc z twierdzeni o ojętości ryły powstłej przez orót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi OX oliczymy ojętość stożk, którego wysokość jest równ h, promień jego podstwy wynosi r. Zuwżmy, że stożek ten powstje z orotu odcink o końcch w punktch A = (, ) i B = (h, r) ( h >, r > ) wokół osi OX. Ogólnie odcinek łczący punkty o współrzędnych ( x A, y A ) orz ( x B, y B ) możemy opisć z pomocą równni W nszej sytucji przyjmuje ono postć y B y A y y A = (x x ), gdzie x [, ]. x B x A x A x B A r y = x, gdzie x [, h]. h Rysunek 3: Stożek, którego ojętość oliczmy Szukną ojętość możemy ztem oliczyć w nstępujący sposó: h V = ( x dx = dx = x3 = h. h 3 r 3 r ) r h h x r h h Niech Γ ędzie krzywą zdną prmetrycznie: Γ = {(x, y) R : x = φ(t), y = ψ(t), t [, ]}.

TWIERDZENIE Twierdzenie 3: o ojętości ryły powstłej z orotu łuku krzywej zdnej w postci iegunowej Jeżeli funkcje x = φ(t) i y = ψ(t) mją ciągłe pochodne, funkcj φ jest rosnąc lu mlejąc, funkcj ψ(t) jest nieujemn, to ojętość V ryły powstłej z orotu łuku krzywej Γ wokół osi OX wyrż się wzorem β V = ψ (t) φ (t) dt. α PRZYKŁAD Przykłd 36: Znjdźmy ojętość ryły powstłej w wyniku orotu wokół osi OX figury zwrtej między osimi ukłdu krzywą Γ = {(x, y) R : x = t, y = t, t }. Zuwżmy, że tk zdn krzyw Γ położon jest w górnej półpłszczyźnie OXY orz przecin osie ukłdu współrzędnych w punktch (, ) przy t = orz (, ) przy t =. Korzystjąc z twierdzeni o ojętości ryły powstłej z orotu łuku krzywej zdnej w postci iegunowej, znjdujemy szukną ojętość V = ( t) t dt = dt = t 3 =. 3 3 t Olicznie pól powierzchni orotowych TWIERDZENIE Twierdzenie 4: o polu powierzchni orotowej powstłej przez orót wykresu funkcji jednej zmiennej wokół osi OX Niech krzyw Γ ędzie wykresem nieujemnej funkcji ciągłej f : [, ] R. Pole S powierzchni orotowej ryły powstłej z orotu krzywej Γ wokół osi OX wyrż się wzorem S = f(x) + ( f (x)) dx.

Rysunek 3: Powierzchni orotow, której pole oliczmy

PRZYKŁAD Przykłd 37: Oliczyć pole S powierzchni orotowej powstłej przez orót łuku sinusoidy y = sin x, gdzie x [, ], wokół osi OX. Rysunek 33: Powierzchni orotow powstł przez orót łuku sinusoidy wokół osi OX Poniewż dn funkcj spełni wszystkie złożeni powyższego twierdzeni, to S wyrż się nstepująco: W celu oliczeni tej cłki wprowdzimy nową zmienną t = cos x. Wtedy dt = sin x dx, poniewż funkcj cosinus jest mlejąc n przedzile [, ], więc prmetr t zmieni się od do. W rezultcie S = + t dt = + t dt. Oliczymy terz cłkę nieoznczoną + t +t dt = dt, stosując wzór n cłkownie funkcji niewymiernych: +t Różniczkując oie strony równni, otrzymujemy po pomnożeniu ou stron równni przez + t dostjemy równnie wielominowe którego rozwiązniem są liczy =, = i k =. W konsekwencji + t dt = t + t + dt = t + t + ln t + + C, C R, +t + t orz + więc szukne pole jest równe S = ln. S = sin x + (cos x) dx. +t dt = (t + ) + t + k dt. +t +t +t +t = + t t + (t + ) + k, +t + t = ( + t ) + (t + )t + k, +t S = ( t + t + ln t + ) = + ln + ln +, + t Zdjmy krzywą Γ w postci prmetrycznej x = φ(t), y = ψ(t), t [α, β], przy czym złóżmy, że funkcje φ i ψ mją ciągłe pochodne. Przyjmijmy dodtkowo, że funkcj φ jest stłego znku, funkcj ψ jest nieujemn. Wówczs zchodzi nstępujące twierdzenie.

TWIERDZENIE Twierdzenie 5: o polu powierzchni orotowej powstłej przez orót krzywej zdnej prmetrycznie Pole S powierzchni orotowej ryły powstłej z orotu łuku krzywej Γ wokół osi OX, gdzie t [α, β] wyrż się wzorem β S = ψ(t) ( φ (t)) + ( ψ (t)) dt. α PRZYKŁAD Przykłd 38: Oliczyć pole powierzchni ryły powstłej przez orót części steroidy o równnich x = φ(t) = cos 3 t, y = ψ(t) = sin 3 t, t [, ], wokół osi OX. Funkcje φ i ψ spełniją złożeni twierdzeni orz φ (t) = 3 cos t sin t, ψ (t) = 3 sin t cos t, t [, ]. Poniewż łuk steroidy jest symetryczny względem osi OY, więc szukne pole wyrż się wzorem S = 4 sin 3 t (3 cos t sin t ) + (3 sin t cos t) dt = 4 sin 3 t 9 cos 4 t sin t + 9 sin 4 t cos tdt = 4 sin 3 t 9 cos t sin tdt = sin 4 t cos t dt. Do oliczeni osttniej cłki zstosujemy twierdzenie o cłkowniu przez podstwinie: S = sin 4 u = sin t t cos t dt = = du = =. du = cos tdt u5 5 5 u 4 Zstosowni cłek oznczonych w fizyce Podmy terz niektóre z zstosowń cłek oznczonych w fizyce. Złóżmy, że pewien punkt A porusz się w momencie t z prędkością chwilową opisną równniem v = v( t ). Zmienną prędkość punktu A w cłym czsie poruszni się tego punktu określ więc pewn funkcj v(t).

TWIERDZENIE Twierdzenie 6: o drodze przeytej przez punkt mterilny w przedzile czsu Drogę s przeytą przez punkt A w pewnym przedzile czsowym t [ t, t ] ze zmienną prędkością v(t) wyrżmy z pomocą wzoru t s = v(t) dt. t PRZYKŁAD Przykłd 39: Pociąg zczyn ngle hmowć w chwili t = i jego prędkość w chwili t wynosi v(t) = ( 5 t m 3 ) dopóki się nie s ztrzym. Oliczyć drogę hmowni. Njpierw wyznczmy czs, po którym pociąg się ztrzymł, czyli osiągnął prędkość v(t) = Rozwiązując osttnie równnie otrzymujemy więc pociąg ztrzym się po 8 sekundch. Terz wystrczy zstosowć wzór n długość drogi poruszjącego się oiektu: Ztem drog hmowni to 64 m. v(t) = 5 t 3 =. t 3 = 4, t = 8, s = ( 5 t 3 3 ) dt = (t 5 t 5 8 3 ) = 6 3 3 = 64. 5 8 TWIERDZENIE Twierdzenie 7: o prcy wykonnej przy przesuwniu punktu mterilnego wzdłuż prostej Prcę W wykonną przy przesuwniu pewnego oiektu ze zmienną siłą F(x) po prostej OX, pokrywjącej się z kierunkiem siły, od punktu x = do punktu x = wyrżmy wzorem W = F(x) dx. Podmy terz wzory n olicznie momentów sttycznych i momentów ezwłdności orz środk ciężkości trpezu krzywoliniowego T : T = {(x, y) R : y f(x), x }. Złóżmy, że trpez T jest figurą jednorodną (ms jest rozłożon n nim równomiernie), której gęstość powierzchniow ρ (tj. ms przypdjąc n jednostkę pol) jest stł.

TWIERDZENIE Twierdzenie 8: o momentch sttycznych i momentch ezwłdności trpezu krzywoliniowego Moment sttyczny M x i moment ezwłdności I x trpezu T względem osi OX wyrżj się z pomocą wzorów = ρ f (x) dx, I x = ρ f 3(x) dx. M x Moment sttyczny M y i moment ezwłdności I y trpezu T względem osi OY wyrżją się z pomocą wzrorów M y = ρ xf(x) dx, = ρ f(x) dx. I y 3 x TWIERDZENIE Twierdzenie 9: o środku ciężkości trpezu krzywoliniowego Środek ciężkości C = ( x C, y C ) trpezu T, którego pole wynosi S = f(x) dx jest punktem o współrzędnych zdnych wzormi x C M y ρs =, =. y C M x ρs WNIOSEK Wniosek 5: o środku ciężkości figury płskiej Środek ciężkości figury płskiej A dnej nstępująco: A = {(x, y) R : f (x) y f (x), x } o polu równym S m współrzędne (x) (x)) dx x( f f x C S ( f (x) (x)) dx f y C S =, =.