graica Fukcja wyk ladicza, logarytmy, sius i kosius cd. 9. Fukcja wyk ladicza expx, liczba e. Wykazaliśmy wcześiej zob. pukt 4., że dla każdej liczby rzeczywistej x istieje skończoa + x i ozaczyliśmy te graice przez expx. Określiliśmy wie c fukcje a zbiorze lim wszystkich liczb rzeczywistych. Teraz pozamy kilka ajważiejszych w lasości tej fukcji. a. expx > 0 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyika to sta d, że cia g + x jest od pewego miejsca > x iemaleja cy i jego wyrazy sa dodatie. b. Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi ierówość expx + x. Wyika to sta d, że dla > x zachodzi ierówość x >, zatem a mocy ierówości Beroulli ego możemy apisać + x + x = + x. Skoro pocza wszy od pewego miejsca wszystkie wyrazy cia gu sa rówe co ajmiej + x, to i graica tego cia gu jest wie ksza lub rówa + x. Przekoamy sie późiej, że ierówość jest ostra dla każdej liczby x 0. c. Lemat o graicach -tych pote g cia gów szybko zbieżych do Jeśli lim a = 0, to Dowód. Poieważ lim + a =. lim a = 0, wie c istieje 0 takie, że jeśli > 0, to a <. Wtedy a = a <. Wobec tego dla każdej liczby aturalej > 0 zachodza ierówości: a > >, a +a > oraz a +a <, co usprawiedliwia dwukrote stosowaie ierówości Beroulli ego w wierszu poiżej + a + a = a a +a +a Czytelik zwróci uwage a to, że dzie ki wyborowi 0 stosowaie ierówości Beroulli ego prowadzi do wyrażeń dodatich, wie c przejście do ich odwrotości jest usprawiedliwioe stosowaliśmy ierówość Beroulli ego do miaowika! Teza lematu wyika z twierdzeia o trzech cia gach, bowiem lim + a = = lim. Lemat zosta l udowodioy. a +a d. Rówaie podstawowe Dla dowolych liczb rzeczywistych x, y zachodzi rówość: expx + y = expx expy. Skorzystamy z określeia liczby expx i tego, że jest to liczba dodatia, co udowodiliśmy wcześiej. Rówość, która mamy udowodić, jest rówoważa temu, że expx expy expx+y =. Mamy expx expy expx + y = lim + x + y + x+y = lim + xy + x+y = 39
Ostatia rówość wyika z lematu o cia gach szybko zbieżych do i z tego, że = 0. lim xy + x+y e. Dla dowolej liczby rzeczywistej x zachodzi wzór exp x = expx. Mamy bowiem exp0 = exp0 + 0 = exp0 exp0, a poieważ exp0 jest liczba dodatia, wie c exp0 =.* Wobec tego = exp0 = exp x + x = exp x expx, zatem zachodzi wzór exp x = expx. f. Dla dowolej liczby rzeczywistej x, dowolej liczby ca lkowitej p i dowolej dodatiej liczby ca lkowitej q zachodzi wzór: exp p q x = expxp/q. Jeśli m jest liczba aturala, y rzeczywista to expmy = expy + y +... + y = = expy expy... expy = expy m. Sta d wyika, że exp x q = q expx = expx /q stosujemy poprzedi wzór przyjmuja c y = x m i m = q. Dla p > 0, zachodzi wie c rówość exp p q x = exp x q p = expx /q p = expx p/q. Teraz za lóżmy, że p < 0. Mamy wobec tego exp p q x = exp p q x = expx p/q = expx p/q. Udowodiliśmy wie c wzór, który chcieliśmy wykazać. g. Defiicja Liczba e azywamy graice lim +, czyli e = exp. Liczba ta zajmowa l sie itesywie jako pierwszy L.Euler, matematyk szwajcarski zatrudiay przez Petersburska Akademie Nauki 77-744,766-783 i Berlińska Akademie Nauki 744-766. Liczba ta ma duże zaczeie w matematyce. Z puktu widzeia tego wyk ladu jest to ajważiejsza podstawa pote g i logarytmów. Z tego, co wykazaliśmy do tej pory, wyika, że expw = e w dla każdej liczby wymierej w we wzorze z puktu f przyjmujemy x = oraz p q = w. Wiemy też, że e = exp + =. h. Dla każdej liczby rzeczywistej x <, zachodzi ierówość podwója + x expx x. Pierwsza z dwu ierówości zosta la wykazaa już wcześiej zob. pukt b i to dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Zajmiemy sie druga. Mamy exp x x, co wyika z ierówości expx + x po zasta pieiu liczby x liczba x. Sta d expx = exp x x. i. Cia g lość fukcji exp Jeśli lim x = x, to rówież lim expx = lim expx. Dok ladie ta w lasość fukcji wyk ladiczej jest azywaa jej cia g lościa. W lasościami fukcji cia g lych i różymi określeiami cia g lości zajmiemy sie późiej. Teraz udowodimy, że fukcja exp jest cia g la. Za lóżmy, że h < wyika, że jeśli h <, to exph h. Jeśli lim zachodzi ierówość x x <, zatem * iy dowód: exp0=lim+ 0 =lim=.. Mamy wtedy h exph h = 40 h h. Sta d x = x, to dla dostateczie dużych
0 expx expx = expx expx x expx x x. Dowodzoa teza wyika wie c z twierdzeia o trzech cia gach. j. Charakteryzacja fukcji wyk ladiczej Za lóżmy, że a zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych określoa jest fukcja f, taka że i jeśli lim x = x, to lim fx = fx, tz. fukcja f jest cia g la; ii dla dowolych liczb rzeczywistych zachodzi rówość fx + y = fxfy ; iii f = e = exp. Wtedy dla każdej liczby x zachodzi rówość fx = expx. Twierdzeie w istocie rzeczy mówi, że w lasości i oraz ii sa podstawowymi w lasościami fukcji wyk ladiczej. W lasość iii ustala podstawe pote gi, gdyby w tym twierdzeiu opuścić za lożeie iii, to teza brzmia laby fx = f x. Udowodimy to twierdzeie. Mamy fx = f x + x = f x f x = f x 0. Jeśli dla pewej liczby rzeczywistej x zachodzi rówość fx = 0, to fx = fx fx x = 0 dla każdej liczby x. Wobec tego albo fukcja f jest dodatia w każdym pukcie, albo jest rówa 0 w każdym pukcie. W aszym przypadku f 0, zatem asza fukcja przyjmuje jedyie wartości dodatie. Rozumuja c tak jak w przypadku fukcji exp, zob. pukt f, stwierdzamy bez trudu, że dla dowolej liczby rzeczywistej x, dowolej liczby ca lkowitej p i dowolej ca lkowitej liczby dodatiej q zachodzi rówość f p q x = fxp/q. W szczególości ma to miejsce dla x =, a to ozacza, że f p q = fp/q = e p/q = exp p q. Wykazaliśmy zatem, że fukcja f pokrywa sie z fukcja exp a zbiorze wszystkich liczb wymierych. Dla dowolej liczby rzeczywistej x, istieje cia g liczb wymierych w, którego graica jest x. Wobec tego, dzie ki cia g lości fukcji f i fukcji exp możemy apisać: fx = lim fw = lim expw = expx. * Dowód zosta l zakończoy. k. Zbiór wartości fukcji wyk ladiczej exp. * Dla każdej liczby rzeczywistej y > 0 istieje liczba x, taka że y = e x = expx. Udowodimy to twierdzeie. Z w lasości cia gu geometryczego wyika, że lim e = + oraz lim e = 0. Sta d wyika, że istieje liczba aturala, taka że e < y < e. Niech c = e, d = e. Sa dwie możliwości: exp c+d y, exp c+d > y. W pierwszym przypadku przyjmujemy: c = c+d, d = d, w drugim przypadku: c = c, d = c+d. W obu przypadkach otrzymujemy przedzia l [c, d ] dwa razy krótszy iż [c, d], zawarty w [c, d], przy czym expc y expd. W idetyczy sposób z przedzia lu [c, d ] otrzymujemy dwa razy krótszy od iego przedzia l [c, d ], zawarty w przedziale [c, d ], przy czym expc y expd. Kotyuuja c te proces defiiujemy cia gi: c i d, takie że Autor ie ma pojecia, jak obecie w szko lach defiiowaa jest potega o wyk ladiku iewymierym, zreszta to może zależeć od auczyciela, podreczika i iych czyików, podejrzewa, że wiekszość maturzystów ie potrafi powtórzyć żadej defiicji. W istocie rzeczy wszystkie defiicje w jawej lub iejawej formie musza odwo lywać sie do cia g lości i określeia wartości fukcji w przypadku argumetów wymierych. Jeda z możliwości omiiecia tej d lugiej drogi to przyjecie, że e x =lim+ x. 4
d c = d c, dla każdego zachodza ierówości c c + oraz d d +, przy czym expc y expd. Oczywiście w tej sytuacji cia gi c i d maja wspóla graice skończoa, która ozaczymy przez g. Wobec tego expg = lim expc y oraz expg = lim expd y. Z tych dwu ierówości wyika, że expg = y. Dowód zosta l zakończoy. l. Mootoiczość fukcji wyk ladiczej Udowodimy, że fukcja exp jest ściśle rosa ca, tj. jeśli x < y, to expx < expy. Mamy expy = expy x expx > + y x expx > expx. m. Waża graica * Jeśli cia g h 0 dla każdego i lim h = 0, to Wystarczy wykazać, że expx+h expx h exph h expx+h lim expx h = expx. exph lim h =, gdyż zachodzi aste puja ca rówość = expx exph h. Za lóżmy, że 0 h <. Sta d 0 < h <. Mamy = exph h h. Z ierówości h exph + h wyika atychmiast, że 0 exph h h h = h h = h h h. Po podzieleiu tej ierówości stroami przez h otrzymujemy 0 exph h = exph h h h < h. 9.m h Z tej ierówości i z twierdzeia o trzech cia gach dowodzoa teza wyika atychmiast.. Szacowaia, zajdowaie przybliżeń dziesie tych liczby e Wiemy już dosyć dużo o fukcji wyk ladiczej o podstawie e. Nadszed l czas a pewe wyjaśieia. Wiemy miaowicie, że cia g + x ma graice e x = expx. Powstaje aturale pytaie: jak duże ależy rozpatrywać, by różica mie dzy wyrazem tego cia gu i jego graica by la ma la. To czy odciek d lugości p. jedego metra jest krótki, czy też d lugi, zależy od tego, co mierzymy. Jeśli chcemy zaleźć wymiary sto lu, a którym stoi urza dzeie, za pomoca którego autor przelewa swe myśli a twardy dysk, a potem a papier, to b la d rze du m jest b le dem ogromym, bo d lugość tego sto lu jest rówa 8 cm. Jeśli chcemy zaleźć odleg lość mie dzy dwoma miastami, p. Warszawa i Krakowem, to pomiar z dok ladościa do m jest zbyt dok lady, bo trudo jest te odleg lość tak precyzyjie zdefiiować! To, co as w rzeczywistości iteresuje, to b le dy wzgle de. Nierówość 9.m moża iterpretować w aste puja cy sposób. Rozpatrujemy wzór przybliżoy e h = exph + h. Iteresuje as, kiedy b la d jaki pope liamy przy takim przybliżeiu jest ma ly w porówaiu z h. Jeśli p. h < 00, to b la d wzgle dy, czyli iloraz b le du bezwzgle dego = e h h przez h jest miejszy iż 00, czyli jest miejszy iż %. Jeśli atomiast h <, to ierówość 9.m pozwala o oszacowaie b le du wzgle dego z góry przez * Obliczamy tu pochoda fukcji wyk ladiczej, defiicja bedzie późiej! 4
00%, co oczywiście ic ie daje, a domiar z lego ie wiemy, a ile dok lade jest to szacowaie b le du. Późiej przekoamy sie, że w rzeczywistości przy h dok ladość tego przybliżeia rzeczywiście jest ieduża. Iaczej rzecz ma sie z ma lymi liczbami h. Dla ich to przybliżeie daje dobra dok ladość, co ozacza, że w przypadku isko oprocetowaych rachuków bakowych w ied lugich okresach czasu jest oboje te jak iterpretujemy zasady oprocetowaia. Iaczej jest w przypadku d lugich okresów czasu i rachuków wysoko oprocetowaych. We wspomiaym wcześiej zagadieiu ustalaia d lugości szyy kolejowej jako fukcji temperatury h jest bardzo ma le, bo zależy od wspó lczyika rozszerzalości cieplej, który jest bardzo ma ly i od zmiay temperatury, który ie jest duża. W tej sytuacji stosowaie wzoru dok ladego zamiast prostszego, przybliżoego, po prostu ie ma sesu, bo różice wyikaja ce z wyboru różych metod obliczaia d lugości szyy sa miejsze iż dok ladość pomiaru! Stosowaie tego samego, liiowego wzoru przy obliczaiu zmiejszeia masy pierwiastka promieiotwórczego w czasie ie ma sesu, bo w tym przypadku b la d jest o wiele za duży! Jak moża b la d szacować, dowiemy sie przy omawiaiu wzoru Taylora. Ogólie rzecz biora c, w kokretych przypadkach może to być trude, choć teoretyczie wykoale. W dalszej cze ści tego puktu czytelik apotka ieco bardziej skomplikowae rozumowaia. Studetom gorzej przygotowaym z matematyki, których te przedmiot bardzo me czy, autor sugeruje opuszczeie rachuków i obejrzeie wiosków. Studetów, którzy chca zrozumieć dok ladie temat, autor zache ca do przeczytaia i zrozumieia ca lości tekstu. Nie ma potrzeby zapamie taia szczegó lów, atomiast warto sie troche pome czyć, by zrozumieć jak moża rozwia zywać iektóre problemy w matematyce. Dodać ależy, że po dok ladym przeczytaiu tego tekstu, be dzie moża lepiej zrozumieć, co daje teoria, która rozwiiemy w dalszej cze ści. Późiej te oszacowaia be dziemy w staie uzyskać o wiele szybciej i iekiedy be da oe dok ladiejsze. Teraz wypada admieić, że choć e = lim +, to wyrazy pocza tkowe tego cia gu źle przybliżaja liczbe e, 78888459..., co widać wyraźie w pukcie 3 tego rozdzia lu, gdzie podae zosta ly przybliżeia dziesie te pierwszych dziesie ciu wyrazów tego cia gu i awet w dziesia tym wyrazie po tuż po przeciku ie wysta pi la cyfra 7. Ozacza to, że te cia g ie daje dobrych przybliżeń liczby e, chociaż jest do iej zbieży duża dok ladość pojawia sie dopiero dla bardzo dużych. Pokażemy teraz iy cia g zbieży do e x. Wykażemy miaowicie, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi rówość e x = lim j=0 x j j! = lim + x! + x! + + x.! Zwykle stosuje sie ozaczeie k=0 x k k! a ozaczeie graicy lim + x + x k! +... + xk k!. Moż- 43
a wie c apisać e x x = k k! dla x IR. k=0 Zacziemy od x > 0, bo tu szacowaia sa ieco latwiejsze. Niech k be dzie ustaloa liczba aturala i iech ozacza dowola ie miejsza iż k. Wtedy + x = j=0 j x j k j=0 j x j = = + x! + x! + = + x + x! + jase, że lim { + x + x! +... + x3 x 3 3! +... + 3! +... +... k... k x k k! =... k x k k! } = x k k!. Jest = + x + x! +... + xk k!. Wyika sta d, że dla każdej liczby aturalej k i każdej rzeczywistej liczby dodatiej zachodzi ierówość: e x = expx + x + x! +... + xk k!. Z poprzedio uzyskaych ierówości przyjmujemy = k wyika, że + x + x! +... + xk k! + x k k. Mamy wie c e x + x + x! +... + xk k! + x k Sta d i z twierdzeia o trzech cia gach wyika, że e x = expx = lim k Za lóżmy teraz, że x < 0. Szacowaia, które poprzedio umożliwi ly am dowód musza k + x + x! +... + xk k!. być ieco zmieioe, bo wyrażeie j x j jest dodatie, gdy j jest parzyste, zaś gdy j jest ieparzyste, wyrażeie to jest ujeme. Zauważmy jedak, że jeśli > j > x, to zachodzi ierówość: 0 > j+ x j+ = j j x j j+ x = j x j+ >. Ozacza to, że od pewego mometu wartości bezwzgle de sk ladików sumy j=0 j x j maleja. Sta d i z tego, że sk ladiki odpowiadaja ce parzystym j sa dodatie, zaś ieparzystym j ujeme, wyika, że ierówość + x + x + x! + x 3 3! +...+... k x k k! pozostaje prawdziwa przy za lożeiu, że k jest liczba ieparzysta oraz > k > x = x ; dla parzystego k ierówość przeciwa ma miejsce. Za lóżmy teraz, że k jest liczba parzysta. Wobec tego możemy apisać: +x+ x! + x 3 +...+... k x k 3! k! + x +x+ x! + x 3 +...+... k x k+ 3! k +! 44
przechodza c do graicy przy otrzymujemy ierówość podwója + x + x! +... + xk k! ex + x + x! +... + xk k! + xk+ k +! Sta d wyika, że Biora c pod uwage, że lim 0 e x + x + x! +... + xk xk+ k! k +! x k+ k k+! = 0, możemy stwierdzić, że e x = expx = lim + x + x k! +... + xk = k! k=0 x k k!. Podamy teraz przybliżeia pierwszych dziesie ciu wyrazów cia gu +! +! +... +! :, 000000000,, 500000000,, 666666667,, 708333333,, 76666667,, 78055556,, 7853968,, 7878770,, 78856,, 78880. W tym przypadku już w czwartym wyrazie pojawi la sie a pierwszym miejscu po przeciku cyfra 7, w wyrazie dziesia tym a pierwszych siedmiu miejscach po przeciku wyste puja w laściwe cyfry dopiero a ósmym miejscu pojawia sie 0 zamiast. To jest dosyć duża dok ladość osia gie ta stosukowo ma lym kosztem. Wykażemy poiżej, że to ie jest przypadek, że rozpatryway cia g jest rzeczywiście szybko zbieży do liczby e. Mamy e +! +! +... + k! = lim Dla zachodzi ierówość k+! + k+! + k+3! +... + k+!. k+! + k+! + k+3! +...+ k+! k+! + k+k+! + k+ k+! +...+ k+ k+! = < k+! k+ = k+! k+ = k+ k+ k!k+ = k+ k![kk++] < k k! skorzystaliśmy tu z oczywistych ierówości: k +3 k +, k +4 k +,..., k + k +. = k+! k+ k+ Wykazaliśmy wie c, że k -ty wyraz cia gu +! +! +... +! przybliża liczbe e z b le dem miejszym iż k k!, a wie c bardzo ma lym awet wtedy, gdy k jest iezbyt duże. Zasugerowaliśmy poprzedio, że cia g + przybliża liczbe e raczej kiepsko by l to eksperymet przeprowadzoy a pierwszych dziesie ciu wyrazach cia gu. Wykażemy teraz, że to ie by l przypadek. Poiższy fragmet pomia ć lub zapozać sie z im dla treigu w oceiaiu b le dów pope liaych przy stosowaiu wzorów przybliżoych. Udowodimy teraz, że dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość e + +. 45
Zacziemy od oszacowaia z do lu różicy kolejych wyrazów tego cia gu: + + + = + + { + + + }. Dla > 3 mamy + > + + + 4 6+ 6 wyika to sta d, że dla j < zachodzi j j + > j+ j+ +, wie c stosuja c dwu- mia Newtoa otrzymujemy sume + sk ladików o maleja cych wartościach bezwzgle dych, każde dwa koleje sk ladiki tej sumy maja róże zaki, wie c urywaja c sumowaie a sk ladiku ujemym otrzymujemy sume miejsza od daej, a urwawszy a sk ladiku dodatim wie ksza. Mamy + + + + 4 6+ = 6 + Wykażemy teraz, że + + + + + + + + + + + 6+ 3 + 4 6 + 6 > + 3 +. + + 3. Ozaczmy y = +. Wtedy + = y, + = y, + = 3y. Należy wie c dowieść, że + y y y + y y y 6 y3 y y 3y > y y 3. Po wymożeiu i uporza dkowaiu ierówość, która mamy udowodić, wygla da tak: y y 3 < y 6 y3 + 3 y4 + 6 y5 5 6 y6 + y 7 = y y3 + 3 y3 + 3 y4 + 6 y5 5 6 y6 + y 7. Ta ierówość wyika od razu z tego, że 0 < y <, wie c y 3 > y 6, y 4 > y 6, y 5 > y 6, zatem 3 y3 + 3 y4 + 6 y5 5 6 y6 > y 6 3 + 3 + 6 5 = 0. 6 Te przekszta lceia by ly żmude, ale teraz już latwo otrzymujemy ierówość: + + + > Zauważmy jeszcze, że ++3 = to + + 3 = + 3 > + + 3. + +3 46. Jeśli i k > sa liczbami aturalymi,
+ k > > k + + k + k { = + k k k k k + k + + k + k + + + + + + + + + + + + + + > k+ k+ + + k + + + k k k+ + + + +3 +4 k+ k+ + k k+ + + +3 +4 + + +3 + + } = = + + +3 > + k+ druga ierówość wyika z tego, że cia g + jest rosa cy. Obliczywszy graice lewej i prawej stroy tej ierówości przy k ca ly środek pomijamy stwierdzamy, że e + +. + Z tej ierówości wyika, że dla wszystkich liczb aturalych prawda jest, że e + + bo +. Otrzymay rezultat przekouje as o tym, że cia g + jest bardzo wolo zbieży do liczby e. Z wykazaej ierówości wyika p, że e + 998 998 000, w istocie jest jeszcze gorzej, do dla 6 mamy + 5, wie c e +,5 + = 5 4+, wie c a pewo e + 48 48 000, wobec tego liczba + 48 48 ma a trzecim miejscu po przeciku ia cyfre iż liczba e. Widać wie c, że próba zajdowaia przybliżeń dziesie tych liczby e za pomoca cia gu + ie ma sesu. Na zakończeie tego puktu dodać wypada, że w dalszej cze ści auczymy sie uzyskiwać tego rodzaju oszacowaia zaczie prościej, ale wymaga to rozwiie cia teorii, która zalaz la wiele zastosowań w różych dziedziach wiedzy. Porówaie wysi lku jaki trzeba w lożyć w uzyskaie kokretych rezultatów go lymi re koma, jak to w laśie uczyiliśmy, z ak ladem pracy cz lowieka zaja cego rachuek różiczkowy, u latwi w laściwa ocee tego arze dzia. 0. Logarytm aturaly Poprzedio udowodiliśmy, że zbiór wartości fukcji wyk ladiczej o podstawie e sk lada sie ze wszystkich liczb dodatich. Pozwala to a wprowadzeie defiicji logarytmu o podstawie e. Defiicja i w lasości logarytmu aturalego Logarytmem aturalym dodatiej liczby rzeczywistej y azywaa jest liczba rzeczywista x, dla której zachodzi rówość: y = e x. Piszemy x = ly. Poieważ z ierówości x < x wyika ierówość e x < e x, wie c fukcja logarytm jest dobrze zdefiiowaa: liczbie y przypisujemy dok ladie jeda liczbe x, co wie cej fukcja logarytm 47
jest ściśle rosa ca, tj. logarytm wie kszej liczby jest wie kszy iż logarytm liczby miejszej. Poieważ e x e x = e x+x, wie c ly y = ly + ly. Pote ge o dowolej podstawie a > 0 moża zdefiiować p. tak: a x = e xla = exp xla. Sta d od razu wyika, że l a x = xla. Z defiicji i z w lasości fukcji wyk ladiczej o podstawie e atychmiast wyika, że a x+x = a x a x oraz a x x = exp x la x = exp x x la = a xx. Te krótki przegla d w lasości logarytmu zakończymy pokazaiem kilku ierówości. Wykazaliśmy wcześiej, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi ierówość + x e x. Po zlogarytmowaiu otrzymujemy l + x x, oczywiście tylko dla x >, liczba + x musi bowiem być dodatia, by w ogóle moża by lo mówić o jej logarytmie. Dla x < zachodzi udowodioa w pukcie 9.g ierówość e x x. Zlogarytmowawszy ja otrzymujemy x l x = l + x x. Niech y = x x. Wtedy x = mamy wie c y +y, przy czym waruek x < odpowiada warukowi y >. Dla y > y l + y y. 0. + y Sta d wyika, że jeśli y > 0, to +y l+y y, zaś jeśli < y < 0, to ierówości skierowae sa przeciwie: +y l+y y. Sta d i z twierdzeia o trzech cia gach wyika, że dla każdego cia gu y zbieżego do 0, którego wyrazy sa róże od 0, zachodzi wzór l + y lim =. 0. y Za lóżmy, że lim x = x oraz że liczby x, x, x,... sa dodatie. Niech y = x x x. Mamy wtedy lx lx = l + x x x = l + y = l+y y y 0 = 0. Wobec tego z rówości lim x = x wyika rówość lim lx = lx. Warto może admieić, że stwierdzeie to moża uzasadić iaczej, w sposób bardzo podoby do tego, w jaki wykazaliśmy, że jeśli lim x = g, to lim k x = k g. Nie zrobimy tego jedak teraz, bo w rozdziale poświe coym fukcjom cia g lym udowodimy twierdzeie o cia g lości fukcji odwrotej, z którego twierdzeia o cia g lości pierwiastka i logarytmu wyika bez trudu Dowód cia g lości pierwiastka poday w pukcie 7.i jest w istocie rzeczy dowodem twierdzeia o cia g lości fukcji odwrotej przeprowadzoym w tym kokretym przypadku.. Rówość 0. mówi coś o wielkości logarytmu aturalego liczb w pobliżu, atomiast ie zawiera żadych iformacji o zachowaiu sie logarytmów dużych liczb rzeczywistych. Z wzorów, które udowodiliśmy w pukcie 9 wyika, że jeśli x > 0, to dla każdej liczby aturalej k zachodzi ierówość e x > xk+ k+!, sta d zaś wyika od razu, że jeżeli lim x = +, to lim x k expx = 0. 48
Zauważmy, że jeśli x jest cia giem liczb dodatich, to lim x = + wtedy i tylko wtedy, gdy lim lx = +. Jeśli bowiem M jest dowola liczba rzeczywista i lim x = +, to dla dostateczie dużych mamy x > e M, zatem lx > M, a wobec tego lim lx = +. Jeśli M jest liczba rzeczywista i lim lx = +, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość lim x > M, wie c x > e M + M > M, a wobec tego lim x = +. Niech lim x = + i iech x > 0 dla każdego. Niech y = lx. Z tego co udowodiliśmy dotychczas wyika, że lim y = + i wobec tego 0 = lim expy = lim lx x. Wykazaliśmy wie c, że dla dostateczie dużych liczba lim x jest zikomo ma la w porówaiu z liczba x. Moża bez trudu podać kokrete oszacowaia pokazuja ce, że jeśli x jest duża liczba dodatia, to iloraz lx x jest bardzo ma ly. Oto przyk lad. Wiemy, że lim x x dla każdej liczby dodatiej x. Wobec tego lx = l x x < x, zatem Dla zobrazowaia tego zjawiska zauważmy p. że e 0 le 0 = 0. Wobec tego lx x y < x x = x. l6807 6807 < l e 0 6807 = 0 < 0, 0006 6807 >, 7 0 = 7, 9 5 > 7 5 = 6807, zaś Mamy też e 00 = e 0 0 > 6807 0 > 6000 0 = 40 0 30 = 04 4 0 30 > 0 4. Sta d wyika, że l 0 4 0 4 < le00 0 4 = 0 40 = 0, 0000000000 0000000000 0000000000 000000000 Wykazaliśmy wie c wcześiej, że logarytm aturaly dużej liczby dodatiej jest bardzo ma ly w porówaiu z ta liczba i dla iedowiarków zamieściliśmy dwa kokrete przyk lady liczbowe, przy czym przeprowadzoe tu obliczeia ie wymagaja awet kalkulatora! Ta w lasość logarytmów powoduje, że stosowae sa oe w wielu sytuacjach, w których ludzie maja do czyieia z liczbami bardzo dużymi lub bardzo bliskimi 0 zmieiaja cymi sie w dużych zakresach. Zwykle ie sa to logarytmy o podstawie e, lecz o podstawie 0. Przyk ladowo w chemii używaa jest wielkość ph, która jest rówa mius logarytmowi o podstawie 0 ze ste żeia joów wodorowych w roztworze, chemicy mówia ujemy logarytm... maja c a myśli liczbe przeciwa do logarytmu. W czystej wodzie ste żeie joów wodorowych wyosi oko lo 0, 000000 = 0 7, zatem ph czystej wody jest rówe 7. Chodzi o to, by operować miejszymi liczbami, co w przypadku jedokrotego użycia zaczeia ie ma, ale ph jest używae przez bardzo wielu ludzi wielokrotie, wie c prostota defiicji ma duże zaczeie. Iym przyk ladem jest p. skala Richtera trze sień Ziemi: mierzoa jest tam amplituda fal sejsmiczych, aste pie logarytmowaa przy podstawie 0; w rezultacie trze sieie o jede stopień siliejsze ma 3-krotie wie ksza eergie dok lada zależość eergii i wielkości trze sieia wg. doste pej mi ecyklopedii ie jest zaa. Podobie jest jest z 49
ate żeiem dźwie ku, rówież w tym przypadku skala jest logarytmicza. Skala jasości gwiazd też jest logarytmicza. Logarytmy wymyśloo w XVII wieku J.Napier chodzi lo o to, by przy wykoywaiu obliczeń zasta pić możeie dodawaiem lxy = lx + ly. Stworzoo tablice logarytmów. Możeie wykoywao tak: zajdowao w tablicach logarytmy liczb, dodawao je, aste pie w tablicach odszukiwao liczbe, której logarytm rówy by l sumie logarytmów liczb możoych. Podobie pierwiastkowao i podoszoo do pote gi lx y = ylx. Tak by lo do pocza tku lat osiemdziesia tych XX wieku, czyli do mometu, w którym komputery osobiste sta ly sie powszeche. Dziś do obliczeń logarytmy ie sa używae, ale sa, i zapewe be da, stosowae róże skale logarytmicze, o których wspomieliśmy wyżej. Logarytmy symboli ieskończoych W dalszym cia gu stosować be dziemy aste puja ca umowe : l+ = oraz l0 =. Jest oa zgoda z poprzedio przyje ta : e + = + i e = 0. Ważiejsze od tego jest to, że jeśli x +, to lx +, jeśli 0 < x 0, to lx.. Defiicja fukcji. F U N K C J E C I A G L E Jedym z ajważiejszych poje ć w matematyce jest poje cie fukcji. Przypomimy defiicje. Defiicja fukcji, wartości, obrazu, dziedziy i przeciwdziedziy Przyporza dkowaie f elemetom zbioru A elemetów zbioru B w taki sposób, że każdemu elemetowi zbioru A przypisay jest dok ladie jede elemet zbioru B azywamy fukcja ze zbioru A w zbiór B. Jeśli a jest elemetem zbioru A, symboliczie a A, czyli argumetem fukcji f, to przypisay mu elemet zbioru B ozaczamy symbolem fa i azywamy wartościa fukcji f w pukcie a lub obrazem puktu a.* Zbiór A azywamy dziedzia fukcji f, zbiór B przeciwdziedzia. Zbiór fa z lożoy ze wszystkich wartości fukcji f, czyli elemetów zbioru B postaci fa, gdzie a A azywamy obrazem zbioru A przez fukcje f lub zbiorem wartości fukcji f. Jeśli f przekszta lca zbiór A w zbiór B, to piszemy f: A B. Jeśli zbiór fa wartości fukcji f pokrywa sie z przeciwdziedzia B fukcji f, to mówimy, że f przekszta lca zbiór A a zbiór B i piszemy czasem f: A a B, w tym przypadku piszemy też oczywiście B = fa. Przyk ladem fukcji jest cia g: jest to fukcja określoa p. a zbiorze IN = {0,,,... }. Iym przyk ladem, dobrze zaym ze szko ly, jest fukcja liiowa: fx = ax + b, gdzie a, b sa ustaloymi liczbami rzeczywistymi, x jest elemetem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych IR, a którym fukcja f jest określoa, fx jest elemetem przeciwdziedziy IR ; jeśli a 0, to * Czasem bedziemy mówić: f obrazem, choć to ie brzmi dobrze, ale czasem ależy wyraźie zazaczyć o jaka fukcje chodzi. 50
fukcja f przekszta lca zbiór IR a siebie; jeśli a = 0, to jedya wartościa fukcji f jest liczba b. Jeszcze iym przyk ladem jest fukcja kwadratowa: fx = ax + bx + c, gdzie a, b, c sa liczbami rzeczywistymi, przy czym a 0, fukcja ta jest określoa a zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych IR, przeciwdziedzia jest rówież IR, zbiorem wartości jest pó lprosta [ 4ac b 4a, + w przypadku a > 0, zaś w przypadku a < 0 zbiorem wartości jest pó lprosta, 4ac b 4a ]. Iy przyk lad fukcji zay ze szko ly to permutacje zbioru elemetowego, moża je traktować jako fukcje przekszta lcaja ce zbiór {,,, } a day zbiór z lożoy z elemetów: mamy ustawić elemety daego zbioru w kolejości, pierwszy w tym ustawieiu elemet to wartość permutacji w pukcie, drugi wartość w pukcie,..., ty wartość w pukcie. Zadaie a ile sposobów 0 osób może wsia ść do trzech wid to pytaie: ile jest fukcji ze zbioru 0 elemetowego w zbiór trójelemetowy osobie przypisujemy wide, do której ta osoba wsiada. Przyk lady moża możyć, ale ie be dziemy tego robić teraz. Na razie be dziemy zajmować sie fukcjami rzeczywistymi jedej zmieej rzeczywistej, co ozacza, że wartościami fukcji be da liczby rzeczywiste i dziedzia fukcji be dzie jakiś zbiór z lożoy z liczb rzeczywistych. W rzeczywistości dziedziami be da albo przedzia ly, albo sumy skończeie wielu lub ieskończeie wielu przedzia lów, p dziedzia fukcji tg jest zbiór z lożoy z tych wszystkich liczb rzeczywistych, które ie sa postaci + π, czyli jest to suma przedzia lów postaci + π, + π, gdzie ozacza dowola liczbe ca lkowita. w przypadku fukcji zdefiiowaej wzorem fx = x x x+ moża powiedzieć, że jej dziedzia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyja tkiem i, czyli zbiór,,, +. Z puktu widzeia formalego dopóki ie powiemy a jakim zbiorze fukcja ma być zdefiiowaa, to ie zosta la oa określoa. W szczególości z formalego puktu widzeia zadaia: zaleźć dziedzie fukcji określoej wzorem..., ie maja sesu. Pytaie o dziedzie ależy traktować jako pytaie o maksymaly zbiór, a którym moża zdefiiować fukcje w sposób zapropooway przez autora zadaia. Nawet przy takiej iterpretacji moga powstawać wa tpliwości: p. czy fukcja określoa wzorem fx = x x może tym wzorem być zdefiiowaa a ca lej prostej, czy też w pukcie 0 tym akurat wzorem ie da sie jej zdefiiować. Autorowi tego tekstu wydaje sie, że specjaliści od tak formu lowaych zadań w wie kszości przypadków uzaja, że ta defiicja w pukcie 0 ie dzia la, ale ie wydaje mu sie, by te problem wart by l dyskusji moża po prostu takich zadań ie dawać, a jeśli sie je daje, to uikać wielozaczości. Be dziemy jedak mówić p. o fukcji 4x 3x 67 x 3 4x+3, zak ladaja c przy tym, że jej dziedzia jest zbiór wszystkich tych liczb rzeczywistych, dla których miaowik jest róży od 0. Fukcja e x be dzie automatyczie zdefiiowaa a zbiorze z lożoym z liczb rzeczywistych iedodatich. W przypadku jakichkolwiek wielozaczości be dziemy wyraźie określać dziedzie. Czasem też dziedzia z jakichś przyczy be dzie miejsza iż maksymala, p. zmiea be dzie mieć jakieś pozamatematycze zaczeie i wtedy iterpretacja be dzie żród lem ograiczeń dziedziy. Np. pytaie o maksymale pole prostoka ta o obwodzie 4 prowadzi do rozpatrywaia fukcji x x a przedziale otwartym 0, : x ozacza tu jede wymiar 5
prostoka ta, a x drugi. Fukcje x x moża rozpatrywać ie tylko a przedziale 0,, ale z puktu widzeia zadaego pytaia ie ma to sesu. W dalszej cze ści wyk ladu zajmiemy sie rówież fukcjami określoymi a podzbiorach p laszczyzy, przestrzei trójwymiarowej i ogólie wymiarowej. Wartościami tych fukcji be da zazwyczaj liczby rzeczywiste, ale wysta pia rówież fukcje przekszta lcaja ce pewe podzbiory p laszczyzy w p laszczyze. Takie fukcje be da azywae a ogó l przekszta lceiami lub odwzorowaiami. Nie ozacza to, że fukcji z IR a IR daej wzorem fx = x+ ie moża azwać odwzorowaiem cze sto termi te jest używay, zw laszcza wtedy, gdy mówimy o geometrii zwia zaej z ta fukcja jest przesuie cie o w prawo.. Fukcje różowartościowe, fukcja odwrota Waża klasa fukcji sa fukcje różowartościowe, tj. takie które różym puktom dziedziy przypisuja róże wartości: x y fx fy. Jeśli f jest fukcja różowartościowa przekszta lcaja ca zbiór A a zbiór B, to moża określić fukcje f odwrota do daej fukcji f : f b = a b = fa. Jeśli fx = x 3 dla każdej liczby rzeczywistej x, to fukcja f przekszta lca różowartościowo zbiór IR a siebie, wie c moża określić fukcje odwrota : f x = 3 x. Jeśli fx = e x dla każdej liczby rzeczywistej x, to zbiorem wartości fukcji f jest zbiór wszystkich liczb dodatich i wobec tego f x = l x dla każdej dodatiej liczby x. Jeśli fx = x dla ieujemych liczb x, to f x = x dla każdej liczby ieujemej x. Jeśli fx = x dla każdej liczby iedodatiej x, to fukcja f przekszta lca zbiór wszystkich liczb iedodatich a zbiór wszystkich liczb ieujemych. Fukcja odwrota do iej daa jest wzorem f x = x. W ostatich dwóch przyk ladach wzór by l idetyczy, ale dziedziy by ly róże. W zwia zku z tym wzory a fukcje odwrote też by ly róże. W dalszym cia gu be dziemy używać jeszcze dwu fukcji zdefiiowaych jako odwrote do fukcji sius i tages. Oczywiście fukcje sius i tages jako okresowe ie sa różowartościowe, wie c ie maja fukcji odwrotych. Moża wie c posta pić tak, jak w przypadku pierwiastka kwadratowego, który jest zdefiioway jako fukcja odwrota do fukcji x rozpatrywaej ie a ca lej dziedziie, lecz a zbiorze, a którym fukcja x jest różowartościowa, i to możliwie ajprostszym o tej w lasości.* Wybieramy możliwe ajbardziej aturale dziedziy. W przypadku siusa ograiczamy sie do przedzia lu [ π, π ], a w przypadku tagesa do przedzia lu π, π. Zbiory wartości to odpowiedio przedzia l domkie ty [, ] i ca la prosta, +. Tradycyjie zamiast pisać si piszemy arcsi, a zamiast tg piszemy arctg **, co zreszta pozwala a uikie cie dwuzaczości zwia zaej z ozaczeiami si i tg. Podamy teraz defiicje tych fukcji w jawy sposób. Defiicja fukcji arcsi i arctg Jeśli x [, ], to arcsi x jest jedya liczba z przedzia lu [ π, π ], dla której zachodzi rówość * Zbiorów, a których fukcja x jest różowartościowa jest bardzo dużo, p, [,0],+,,,,0], [0,+, zbiór z lożoy ze wszystkich liczb wymierych dodatich oraz ujemych liczb iewymierych i wiele iych. ** W iektórych krajach i programach komputerowych arcta. 5
siarcsi x = x. Jeśli x jest liczba rzeczywista, to arctg x jest jedya liczba rzeczywista z przedzia lu π, π, dla której zachodzi rówość tg arctg x = x. Podamy przyk lady: arcsi = π, arcsi = π 6, arcsi arctg = π 4, arctg 0 = 0. 3. Graica fukcji = π 4, arctg 3 = π 3, Wprowadzimy ozaczeie: IR = [, + ] ozacza zbiór z lożoy ze wszystkich liczb rzeczywistych uzupe lioy symbolami ieskończoymi i +. Moża myśleć, że IR to prosta z końcami. Podkreślić wypada, że symboli ieskończoych ie traktujemy jak liczb, bo p. ie wszystkie dzia laia z ich użyciem sa wykoale. Defiicja puktu skupieia Pukt p IR jest puktem skupieia zbioru A IR wtedy i tylko wtedy, gdy istieje cia g a puktów zbioru A, o wyrazach różych od a, zbieży do p. + jest puktem skupieia zbioru wszystkich liczb aturalych IN by sie o tym przekoać wystarczy przyja ć a =. Iych puktów skupieia zbiór IN ie ma. W gre mog lyby wchodzić jedyie liczby ieujeme, bo graica cia gu liczb aturalych jest albo rówa +, albo też jest liczba ieujema. Jeśli cia g liczb aturalych ma skończoa graice, to ze wzgle du a waruek Cauchy ego odleg lości mie dzy wyrazami tego cia gu, których umery sa dostateczie duże, sa miejsze iż, a poieważ sa to liczby ca lkowite, wie c te odleg lości sa rówe 0. Wykazaliśmy, że cia g liczb aturalych, który ma skończoa graice musi być od pewego miejsca sta ly, a wie c graica jest rówa pewym wyrazom cia gu. Jest to iezgode z defiicja puktu skupieia. Każda liczba z przedzia lu domkie tego [0, ] jest puktem skupieia przedzia lu otwartego 0,. Iych puktów skupieia przedzia l 0, ie ma. To drugie zdaie jest prawdziwe w oczywisty sposób graica cia gu liczb z przedzia lu 0, musi sie zajdować w przedziale [0, ]. Jest też jase, że dla każdej liczby p z przedzia lu [0, ] istieje cia g a liczb z przedzia lu 0,, taki że p = lim a oraz a p dla każdego. Każda liczba rzeczywista i oba symbole ieskończoe sa puktami skupieia dziedziy fukcji tages, tj. zbioru tych liczb rzeczywistych, które ie sa ieparzystymi wielokrotościami liczby π. Latwe uzasadieie tego stwierdzeia pozostawiamy czytelikom. Teraz możemy już zdefiiować graice fukcji. Defiicja graicy fukcji w pukcie.* Niech p ozacza dowoly pukt skupieia dziedziy fukcji f. Mówimy, że g IR jest graica fukcji f w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego cia gu x zbieżego do p, którego wszystkie wyrazy sa róże od p, ma miejsce rówość lim fx = g. Graice fukcji f w pukcie * Ta defiicja jest azywaa cia gowa lub defiicja Heiego 53
p ozaczamy symbolem lim fx. Zwrócić ależy uwage a to, że wśród wyrazów cia gu zbieżego do p, wyste puja cego w defiicji graicy, ie ma p. Ozacza to w szczególości, że awet wtedy, gdy p jest argumetem fukcji f, to wartość w tym pukcie ie ma wp lywu a istieie graicy w pukcie p, ai a jej wartość moża dowolie zmieiać wartość fukcji w pukcie p ie zmieiaja c graicy w tym pukcie. Ozacza to, że jeśli fukcja ma graice w pukcie p, to w dostateczie bliskich puktach x wartość fx jest bliska graicy g, pod warukiem jedak, że x p. Poieważ cia g ma co ajwyżej jeda graice, wie c rówież fukcja może mieć tylko jeda graice w jedym pukcie. Poje cie graicy fukcji jest bardzo waże, jest rozszerzeiem poje cia graicy cia gu. Podamy teraz kilka przyk ladów. Przyk lady graic.. lim x 0 si x x =. Rówość ta zosta la udowodioa w pukcie rozdzia lu., w lasość T. l+x. lim x 0 x =. Rówież ta rówość zosta la udowodioa wcześiej, zob. pukt 0., rozdzia lu, wzór 0.. e 3. lim x x 0 x =. Te rówość wykazaliśmy w pukcie 9.m rozdzia lu pierwszego. 4. lim x + x x = e. Te rówość wykażemy teraz. Trzeba wykazać, że dla każdego cia gu x, którego graica jest zachodzi rówość lim + x = e. Wiemy, że jest tak w przy- x padku x = bezpośredio z defiicji liczby e. Przypomijmy też, że cia g + jest rosa cy. Sta d wyika, że jeśli k > jest liczba aturala, to + < + k k < e. Sta d i z defiicji graicy wyika, że jeśli lim k = +, k IN, to lim + k k = e jeśli bowiem m jest jaka kolwiek liczba aturala, to dla dostateczie dużych liczb aturalych, zachodzi ierówość k > m, zatem + m m < + k k < e. Teraz możemy przejść do w laściwego dowodu. Niech lim x = +, x IR. Bez straty ogólości rozważań moża przyja ć, że dla każdego zachodzi ierówość x, bo jest tak dla dostateczie dużych. Niech k be dzie taka liczba ca lkowita, że k x < k + taka liczba k istieje dok ladie jeda. Poieważ x < k, wie c lim k = +. Sta d i z tego, co wykazaliśmy poprzedio, wyika, że lim + k = e = lim + +k. Mamy rówież + k k + k + x < + x + x < + +k. + k + k x k k Z tej ierówości i twierdzeia o trzech cia gach wyika dowodzoa przez as teza. 5. Fukcja x, określoa dla x 0, ie ma graicy w pukcie 0, bowiem lim / = + i jedocześie lim / =, uda lo sie am wie c wskazać dwa cia gi argumetów zbieże 54
do 0, takie że odpowiadaja ce im cia gi wartości maja róże graice. 6. Fukcja si x, określoa dla x 0, ie ma graicy w pukcie 0, bowiem si /π = 0 oraz si /π+π/ =. Wskazaliśmy wie c dwa cia gi argumetów, takie że odpowiadaja ce im cia gi wartości sa sta le i róże. Oprócz graicy fukcji rozpatrywae sa graice jedostroe fukcji w pukcie. Zdefiiujemy graice lewostroa, defiicja graicy prawostroej jest aalogicza. Defiicja graicy lewostroej g jest graica lewostroa fukcji f w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy moża zaleźć w dziedziie cia g x o wyrazach miejszych ściśle! iż p, zbieży do p i gdy dla każdego takiego cia gu odpowiadaja cy mu cia g wartości fx ma graice g. Stosujemy ozaczeie lim fx. Latwo moża udowodić, że fukcja x jest rówa +, zaś lewostroa jest. Fukcja si x ma jedostroe graice w pukcie 0 : prawostroa ie ma graicy prawostroej w pukcie 0 wykazaliśmy to w przyk ladzie 6, wskazuja c dwa cia gi dodatich argumetów tej fukcji zbieże do 0, takie że odpowiadaja ce im cia gi wartości maja róże graice. Bez trudu moża udowodić fukcyja wersje twierdzeia o scalaiu. Twierdzeie o scalaiu Fukcja f określoa a zbiorze zawieraja cym cia g liczb miejszych iż p, zbieży do p oraz cia g liczb wie kszych iż p, zbieży do p, ma graice w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy ma obie graice jedostroe i sa oe rówe. Dowód. Jest jase, że z istieia graicy wyika istieie graic jedostroych zamiast wszystkich cia gów zbieżych do p, których wyrazy sa róże od p, rozpatrujemy jedyie ich cze ść. Jeśli atomiast wiemy, że istieja graice jedostroe, to cia g o wyrazach różych od p możemy rozbić a podcia g o wyrazach miejszych iż p i a podcia g o wyrazach wie kszych iż p. Odpowiadaja ce im cia gi wartości maja te sama graice, wie c cia g wartości odpowiadaja cy aszemu cia gowi ma graice i to rówa wspólej wartości obu graic jedostroych. Oczywiście jeśli cia g argumetów zawiera jedyie skończeie wiele wyrazów wie kszych iż p, to ie możemy rozpatrywać graicy prawostroej, ale to iczemu ie przeszkadza, bo w tym przypadku wystarczy skorzystać z istieia graicy lewostroej. Podobie jak w przypadku twierdzeia o scalaiu, moża przeieść ie twierdzeia dotycza ce graic cia gów a ogóliejszy przypadek graicy fukcji. Twierdzeie o arytmetyczych w lasościach graicy A. Jeśli istieja graice lim fx, lim gx i określoa jest ich suma, to istieje graica lim fx + gx i zachodzi wzór: lim fx + gx = lim fx + lim gx. A. Jeśli istieja graice lim fx, lim gx i określoa jest ich różica, to istieje graica 55
lim fx gx i zachodzi wzór: lim fx gx = lim fx lim gx. A3. Jeśli istieja graice lim fx, lim gx i określoy jest ich iloczy, to istieje graica lim fx gx i zachodzi wzór: lim fx gx = lim fx lim gx. fx A4. Jeśli istieja graice lim fx, lim gx i określoy jest ich iloraz, to istieje graica lim gx fx i zachodzi wzór lim gx = limfx lim. gx Dowód tego twierdzeia jest atychmiastowa kosekwecja twierdzeia o arytmetyczych w lasościach graicy cia gu. Przed podaiem aste pego twierdzeia przypomijmy, że operujemy termiem dla dostateczie dużych. Ozacza to, że iteresuja as liczby aturale wie ksze od pewej liczby. W laściwie chodzi o to, by by ly oe bliskie +. W przypadku fukcji argumet, którym w przypadku cia gu jest umer wyrazu, czyli, ma być bliski puktowi p, który może lecz ie musi być rówy +. Wymaga wie c zmiay sposób mówieia. Mówia c x jest dostateczie bliski p be dziemy mieć a myśli, że: + x > M dla pewej liczby rzeczywistej M, gdy p = +, x < M dla pewej liczby rzeczywistej M, gdy p =, IR x p < δ dla pewej dodatiej liczby δ, gdy p IR. Twierdzeie o szacowaiu N. Jeśli C < lim fx, to dla x p, dostateczie bliskich p zachodzi ierówość C < fx. N. Jeśli C > lim fx, to dla x p, dostateczie bliskich p zachodzi ierówość C > fx. N3. Jeśli lim gx < lim fx, to dla x p, dostateczie bliskich p zachodzi ierówość gx < fx. N4. Jeśli gx fx dla x dostateczie bliskich p, to zachodzi ierówość lim gx lim fx. Dowód. Zak ladamy ca ly czas, że p jest puktem skupieia dziedziy fukcji. Zauważmy ajpierw, że zaprzeczeiem zdaia: Dla wszystkich x p dostateczie bliskich p spe lioy jest waruek W jest zdaie: Istieje cia g x zbieży do p, taki że x p dla każdego i waruek W ie zachodzi dla żadego wyrazu cia gu x. Jeśli p. p = + i ie jest prawda, że waruek W spe lioy jest dla wszystkich x dostateczie bliskich p = +, to dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba x > M, dla której waruek W ie zachodzi. By otrzymać cia g x, którego graica jest, z lożoy z liczb, dla których waruek W ie zachodzi, wystarczy przyja ć, że M =. Jeśli atomiast istieje cia g x, którego graica jest +, taki że waruekw ie jest spe lioy dla żadego x, to waruek W ie jest spe lioy dla wszystkich dostateczie dużych x, czyli ie jest spe lioy dla wszystkich x dostateczie bliskich +. Aalogiczie poste pujemy w przypadku p =. Jeśli p IR, to dla każdego δ > 0 istieje x, takie że x p i x p < δ, dla którego waruek 56
W ie zachodzi. By zdefiiować x przyjmujemy, że δ =. Z istieia cia gu x z lożoego z liczb, dla których waruek W ie zachodzi, wyika od razu, że ie jest możliwe, by waruek W by l spe lioy dla wszystkich x dostateczie bliskich p. Teraz możemy zaja ć sie w laściwym dowodem. Za lóżmy, że lim fx < C oraz że ie jest prawda, że dla x dostateczie bliskich p zachodzi ierówość fx < C. Wyika sta d, że istieje cia g x, taki że dla każdego zachodzi ierówość fx C. Sta d jedak wyika, że lim fx C, wbrew za lożeiu. Dowód w tym przypadku zosta l zakończoy. Stwierdzeie N dowodzimy aalogiczie lub wioskujemy z N zaste puja c fukcje f fukcja przeciwa f. Stwierdzeie N3 wyika ze stwierdzeń poprzedich: starczy użyć liczby C leża cej mie dzy lim fx oraz lim gx. Ostati fragmet twierdzeia to prosta kosekwecja tego, że cia g o miejszych wyrazach ma miejsza graice. Dowód zosta l zakończoy. Podamy teraz ia defiicje graicy fukcji. Z poprzedia moża wia zać takie stwierdzeie ieścis le, ale waże: iezależie od tego w jaki sposób argumet da ży do p, to wartość fukcji zbliża sie do g. Z ta która pojawi sie iebawem wia żemy stwierdzeie jeśli argumet fukcji jest dostateczie bliski p, ale róży od p, to wartość fukcji jest bliska g. Sformu lujemy zapowiedziaa defiicje bardzo dok ladie, bez żadych skrótów. Ma oa dziewie ć cze ści, ale a ogó l po przeczytaiu dwóch trzech pierwszych ie ma potrzeby czytać dalej, bo moża to samodzielie apisać. Defiicja graicy fukcji*. g, p IR. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba δ > 0 taka, że jeśli 0 < x p < δ, to fx g < ε.. g IR, p = +. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba rzeczywista M, taka że jeśli x > M, to fx g < ε. 3. g IR, p =. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba rzeczywista M, taka że jeśli x < M, to fx g < ε. 4. g = +, p IR. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista δ > 0, taka że jeśli 0 < x p < δ, to fx > M. 5. g = +, p = +. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx > M. 6. g = +, p =. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x < K, to fx > M. 7. g =, p IR. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje * ta defiicja azywaa jest defiicja Cauchy ego lub defiicja otoczeiowa, czasem, ale to już be lkot matematyczy, epsiloowo deltowa. 57
liczba rzeczywista δ > 0, taka że jeśli 0 < x p < δ, to fx < M. 8. g =, p = +. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx < M. 9. g =, p =. Wtedy g = lim fx wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x < K, to fx < M. Dowód. Dowód podamy w dwóch wybraych przypadkach: pierwszym i ósmym. Reszte czytelik powiie uzupe lić samodzielie, być może ie wszystko tyle tylko, by w miare swobodie przeprowadzić dowód w którymś przypadku. Za lożymy ajpierw, że g, p sa liczbami rzeczywistymi oraz że g = lim fx w sesie defiicji cia gowej. Jeśli istieje liczba ε > 0, taka że dla każdej liczby δ > 0 istieje x, takie że 0 < x p < δ i jedocześie fx g ε, to przyjmuja c, że x jest dobrae do, tz. 0 < x p < i fx g ε, otrzymujemy cia g x zbieży do p, o wyrazach różych od p i taki że odpowiadaja cy mu cia g wartości fukcji ie jest zbieży do liczby g, bowiem wszystkie wyrazy tego cia gu wartości pozostaja w odleg lości ie miejszej iż ε od g. Twierdzeie zosta lo udowodioe w jeda stroe. Teraz za lożymy, że g = lim fx w sesie defiicji otoczeiowej. Niech x be dzie dowol- ym cia giem argumetów fukcji f zbieżym do p, o wyrazach różych od p i iech ε ozacza dowola liczbe dodatia. Z defiicji otoczeiowej graicy fukcji wyika, że istieje liczba δ > 0, taka że jeśli 0 < x p < δ, to fx g < ε. Z defiicji graicy cia gu wioskujemy, że dla dostateczie dużych zachodzi ierówość x p < δ i oczywiście x p, zatem 0 < x p < δ, a sta d wyika, że fx g < ε. Sta d i z defiicji graicy cia gu wyika, że lim fx = g, a wobec tego, że x jest dowolym cia giem, możemy stwierdzić, że g jest graica w sesie defiicji cia gowej. Teraz, zgodie z obietica, zajmiemy sie przypadkiem 8, tj. za lożymy, że g = oraz że p = +. Zak ladamy, że dla każdego cia gu x argumetów fukcji f, którego graica jest + zachodzi rówość lim fx =. Mamy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx < M. Za lóżmy, że tak ie jest. Istieje wie c liczba M taka, że dla każdej liczby K istieje argumet x fukcji f, taki że x > K i jedocześie fx M. Przyjmuja c K = otrzymujemy argumet x, taki że x i fx M. Sta d jedak wyika, że ie jest graica cia gu fx, wbrew za lożeiu, kończy to dowód w jeda stroe. Teraz za lożymy, że dla każdej liczby rzeczywistej M istieje liczba rzeczywista K, taka że jeśli x > K, to fx < M. Jeśli lim x = +, to dla dostateczie dużych zachodzi ierówość x > K i wobec tego fx < M. Wobec dowolości M, ozacza to, że zakończoy. lim fx =. Dowód zosta l Z twierdzeia o trzech cia gach wyika aalogicze twierdzeie dla graic fukcji. 58
Twierdzeie o trzech fukcjach Jeśli dla wszystkich argumetów x dostateczie bliskich puktowi p zachodzi ierówość podwója fx gx hx i istieja fukcja g ma graice graice lim fx, lim hx oraz lim fx = lim hx, to rówież w pukcie p i zachodzi rówość lim fx = lim gx = lim hx. Z aste pego twierdzeia w zasadzie ie be dziemy korzystać, podajemy je tylko po to, by pokazać, pe la aalogie poje cia graicy cia gu i graicy fukcji, wie c latwy dowód pozostawiamy czytelikom w charakterze zadaia. Twierdzeie Cauchy ego o istieiu graicy skończoej Fukcja f ma graice skończoa w pukcie p wtedy i tylko wtedy, gdy spe lioy jest aste puja cy waruek Cauchy ego: Twierdzeie, które zajduje sie poiżej ma bardzo prosty dowód, ale jest bardzo cze sto stosowae. dla każdego ε > 0, dla wszystkich x, y p dostateczie bliskich p zachodzi ierówość fx fy < ε. w.c. Twierdzeie o graicy z lożeia dwu fukcji Za lóżmy, że dziedzia fukcji f zawiera zbiór wartości fukcji g, że fukcja g ma graice pukcie p, że graica G jest puktem skupieia dziedziy fukcji f i fukcja f ma graice pukcie G oraz że wartości fukcji g w puktach dostateczie bliskich p sa róże od G. Przy tych za lożeiach fukcja f g określoa wzorem f gx = fgx ma w pukcie p graice, ta graica jest rówa H. Za lożeia tego twierdzeia sa tak dobrae, że dowód wyika od razu z defiicji cia gowej graicy fukcji w pukcie. G w H w Przed podaiem twierdzeia o istieiu graic jedostroych fukcji mootoiczej omówimy poje cie kresu zbioru i kresu fukcji. Rozpocziemy od defiicji. Defiicja kresów gz. Kresem górym zbioru iepustego A IR azywamy taki elemet M zbioru IR, że dla każdego a A zachodzi ierówość a M oraz że jeśli M < M, to istieje a A, dla którego a > M. Iymi s lowy: M jest ajmiejszym ograiczeiem górym zbioru A. Piszemy sup A. gf. Kresem górym M fukcji f azywamy kres góry zbioru jej wartości, tj. ajmiejszy elemet M zbioru IR, taki że fx M dla każdego argumetu x fukcji f. Piszemy sup f. dz. Kresem dolym zbioru iepustego A IR azywamy taki elemet M zbioru IR, że dla każdego a A zachodzi ierówość a M oraz że jeśli M > M, to istieje a A, dla którego a < M. Iymi s lowy: M jest ajwie kszym ograiczeiem dolym zbioru A. Piszemy if A. df. Kresem dolym M fukcji f azywamy kres doly zbioru jej wartości, tj. ajwie kszy elemet M zbioru IR, taki że fx M dla każdego argumetu x fukcji f. Piszemy if f. 59
Podamy teraz kilka przyk ladów kresów zbiorów i fukcji.. supa, b = b dla każdego przedzia lu otwartego a, b, ifa, b = a. Wzory te sa atychmiastowym wioskiem z defiicji kresu i z defiicji przedzia lu.. sup[a, b] = b, if[a, b] = a. Rówież te wzory wyikaja od razu z defiicji kresów i przedzia lów. 3. sup IR = +, if IR =. Te wzory wyikaja z przyk ladu. 4. sup{,, 3,...} = +, if{,, 3,...} =. 5. Niech fx = x +x. Jest jase, że < fx < dla każdej liczby rzeczywistej x. Czytelik sprawdzi z latwościa, że jeśli 0 a < i x > a a, to a < x +x = fx. Wykazaliśmy wie c, że jest ograiczeiem górym fukcji f oraz że żada liczba dodatia miejsza iż ie jest ograiczeiem górym fukcji f. Sta d wyika, że sup f =. Poieważ fukcja f jest ieparzysta f x = x dla każdego x, wie c if f =. 6. Kresem górym fukcji si jest liczba, a kresem dolym fukcji sius liczba. 7. Kresem górym fukcji wyk ladiczej o podstawie e jest +, a dolym liczba 0. 8. Kresem górym logarytmu aturalego jest +, a kresem dolym jest. 9. Kresem górym fukcji liiowej iesta lej jest +, a kresem dolym tej fukcji jest. 0. Kresem górym fukcji f, daej wzorem fx = x +x = x+ 3, jest +, a kresem dolym tej fukcji jest liczba 3. Prawdziwe jest aste puja ce zdaie: każdy iepusty, ograiczoy z góry zbiór z lożoy z liczb rzeczywistych ma skończoy kres góry. Zdaie to azywae jest czasem aksjomatem pewikiem cia g lości Dedekida, a czasem twierdzeiem o istieiu kresu. Udowodimy to stwierdzeie w oparciu o twierdzeie, które przyje liśmy wcześiej bez dowodu, tj. o twierdzeie, z którego wyika, że każdy ograiczoy z góry, iemaleja cy cia g liczb rzeczywistych ma skończoa graice. Bez tego rozumowaia studet ekoomii może sie obejść, ale zapozawszy sie z im poza jeszcze jede przyk lad rozumowaia egzystecjalego, co może u latwić dalsza auke. Niech A be dzie iepustym, ograiczoym z góry zbiorem z lożoym z liczb rzeczywistych. Niech M be dzie ograiczeiem górym zbioru A, tz. dla każdej liczby x A zachodzi ierówość x M i iech a be dzie jakimkolwiek elemetem zbioru A. Zdefiiujemy dwa cia gi: iemaleja cy a, którego wyrazy be da elemetami zbioru A i ierosa cy M, którego wyrazy be da ograiczeiami górymi zbioru A. Niech a 0 = a, M 0 = M i c 0 = a 0 + M 0. Jeśli c 0 jest ograiczeiem górym zbioru A, to defiiujemy a = a 0 i M = c 0. Jeżeli c 0 ie jest ograiczeiem górym zbioru A, to w zbiorze A moża zaleźć elemet a wie kszy iż c 0, wtedy przyjmujemy M = M 0. Zdefiiowaliśmy wie c a i M w taki sposób, że M jest ograiczeiem górym zbioru A, a A oraz 0 M a M 0 a 0. Aalogiczie kostruujemy a i M : c = a + M ; jeśli c jest ograiczeiem górym zbioru A, to M = c i a = a ; jeśli ie, to istieje a > c, a A, wtedy M = M itd. Cia g a jest oczywiście iemaleja cy, cia g M ierosa cy. Z kostrukcji wyika, że M + a + M a. Sta d wioskujemy, że 0 M a M 0 a 0. Niech m = lim M. 60