Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów wolnych w warunkach ograniczających analiza wrażliwości pozwala określić, w jakich granicach (w jakim przedziale liczbowym) mogą się zmieniać wyrazy wolne (prawostronne ograniczenia), aby w rozwiązaniu optymalnym pozostały dotychczasowe zmienne bazowe, oraz wyznaczyć nowe optymalne wartości tych zmiennych. Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu z = 5 x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 1

Ostatnia tablica simpleksowa: c j 5 6 0 0 x B c B x 1 x 2 x 3 x 4 rozw. x 2 6 0 1 10-10/3 20 x 1 5 1 0-10 5 60 z j 5 6 10 5 420 d j =c j -z j 0 0-10 -5 c j 5+ 1 6 0 0 x B c B x 1 x 2 x 3 x 4 rozw. x 2 6 0 1 10-10/3 20 x 1 5+ 1 1 0-10 5 60 z j 5+ 1 6 10-10 1 5+5 1 420 d j =c j -z j 0 0-10+10 1-5-5 1 MAX: d j < 0 j -10+10 1 < 0-5-5 1 < 0 2

10 1 < 10 5 1 < 5 1 < 1 1 > -1 c j 5 6+ 2 0 0 x B c B x 1 x 2 x 3 x 4 rozw. x 2 6+ 2 0 1 10-10/3 20 x 1 5 1 0-10 5 60 z j 5 6+ 2 10+10 2 5-10/3 2 420 d j =c j -z j 0 0-10-10 2-5+10/3 2-10-10 2 < 0-5+10/3 2 < 0-10 2 < 10 10/3 2 < 5 2 > -1 2 < 1,5 3

x 1 x 2 60 20 z=5x 1 +6x 2 -> MAX 420 0,2x 1 +0,3x 2 18 18 0,6x 1 +0,6x 2 48 48 Komórki decyzyjne Wartość Współczynnik Dopuszczalny Dopuszczalny Nazwa końcowa funkcji celu wzrost spadek x1 60 5 1 1 x2 20 6 1,5 1 a) zakładamy, iż zysk związany z zakupem od pierwszego dostawcy zmaleje z 5 j.p. do 4,5 j.p., zaś związany z zakupem od drugiego dostawcy nie zmieni się (6 j.p.) z = 4,5 x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 4

x 1 x 2 60 20 z=4,5x 1 +6x 2 ->MAX 390 0,2x 1 +0,3x 2 18 18 0,6x 1 +0,6x 2 48 48 b) zakładamy, iż zysk związany z zakupem od pierwszego dostawcy nie zmieni się (5 j.p.), zaś związany z zakupem od drugiego dostawcy wzrośnie do 7 j.p. z = 5x 1 + 7 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 x 2 60 20 z=5x 1 +7x 2 -> MAX 440 0,2x 1 +0,3x 2 18 18 0,6x 1 +0,6x 2 48 48 5

c) zakładamy, iż zysk związany z zakupem od pierwszego dostawcy wzrośnie do 7 j.p., zaś związany z zakupem od drugiego dostawcy nie zmieni się (6 j.p.) z = 7x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 x 2 80 0 z=7x 1 +6x 2 -> MAX 560 0,2x 1 +0,3x 2 18 16 0,6x 1 +0,6x 2 48 48 6

d) zakładamy, iż zysk związany z zakupem od pierwszego dostawcy nie zmieni się (5 j.p.) wzrośnie do 7 j.p., zaś związany z zakupem od drugiego dostawcy wzrośnie do 8 j.p z = 5 x 1 + 8 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 x 2 0 60 z=5x 1 +8x 2 -> MAX 480 0,2x 1 +0,3x 2 18 18 0,6x 1 +0,6x 2 48 36 7

Analiza wrażliwości wyrazów wolnych w warunkach ograniczających Ostatnia tablica simpleksowa: c j 5 6 0 0 x B c B x 1 x 2 x 3 x 4 rozw. x 2 6 0 1 10-10/3 20 x 1 5 1 0-10 5 60 z j 5 6 10 5 420 d j =c j -z j 0 0-10 -5 b 1 10 1 + 20 > 0-10 1 + 60 > 0 1 > -2 1 < 6 8

b 2 20-10/3 2 > 0 60+5 2 > 0 2 > 6 2 < -12 Wartość Cena Prawa strona Dopuszczalny Dopuszczalny Nazwa końcowa dualna w. o. wzrost spadek 0,2x1+0,3x2 18 10 18 6 2 0,6x1+0,6x2 48 5 48 6 12 9

a) zakładamy, że przerób ziemniaków na frytki może wzrosnąć do 20 t (z 18 t), natomiast przerób ziemniaków na puree nie zmieni się (48 t) z = 5 x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 20 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 x 2 40 40 z=5x 1 +6x 2 -> MAX 440 0,2x 1 +0,3x 2 20 20 0,6x 1 +0,6x 2 48 48 10

b) zakładamy, że przerób ziemniaków na frytki nie zmieni się (18 t), natomiast przerób ziemniaków na puree wzrośnie do 52 t (wobec poprzedniego 48 t) z = 5 x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 52 x 1 x 2 80 6,666667 z=5x 1 +6x 2 -> MAX 440 0,2x 1 +0,3x 2 18 18 0,6x 1 +0,6x 2 52 52 11

c) zakładamy, że przerób ziemniaków na frytki wzrośnie do 26 t (wobec poprzedniego 18 t), natomiast przerób ziemniaków na puree nie zmieni się (48 t) z = 5 x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 26 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 x 2 0 80 z=5x 1 +6x 2 -> MAX 480 0,2x 1 +0,3x 2 26 24 0,6x 1 +0,6x 2 48 48 12

d) zakładamy, że przerób ziemniaków na frytki nie zmieni się (18 t), natomiast przerób ziemniaków na puree wzrośnie do 72 t (wobec poprzedniego 48 t) z = 5 x 1 + 6 x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 72 x 1 x 2 90 0 z=5x 1 +6x 2 -> MAX 450 0,2x 1 +0,3x 2 18 18 0,6x 1 +0,6x 2 72 54 13

Zadania do rozwiązania 1. Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga obróbki na trzech maszynach. Jeden tysiąc ryz papieru modelu S wymaga 4 godz. obróbki na maszynie M 1, 6 godz. obróbki na maszynie M 2 oraz 4 godz. obróbki na maszynie M 3. Do wyprodukowania tysiąca ryz papieru F niezbędne jest 10 godz. pracy maszyny M 1, 4 godz. pracy maszyny M 2 i 6 godz. pracy maszyny M 3, a dla tysiąca ryz wyrobu N niezbędne czasy pracy maszyn wynoszą odpowiednio: 4, 2 i 6 godz. Maszyny w ciągu tygodnia mogą maksymalnie pracować: M 1 80 godz., M 2 i M 3 po 60 godz. a) wiedząc, że cena ryzy papieru S wynosi 12 zł, papieru F 24 zł, zaś papieru N 16 zł określić optymalną tygodniową produkcję ryz papierów dającą maksymalny przychód ze sprzedaży; czy czas pracy maszyn jest w pełni wykorzystany; jakie efekty ekonomiczne przyniesie wzrost czasu pracy maszyny M 2 o 1 godz., b) czy zmiana ceny wyrobu F o 25% zmieni optymalny plan produkcji? c) przedsiębiorstwo dostało zamówienie na pewną ilość papieru do papeterii, która wymaga obróbki na maszynach M 1 i M 2 ; czy zmniejszenie tygodniowego czasu pracy każdej z tych maszyn przy dotychczasowej produkcji o 20 godz. spowoduje zmianę bazy optymalnej? d) jakie przy nowych limitach czasu pracy maszyn będą optymalne wielkości produkcji S, F i N oraz łączny przychód ze sprzedaży? e) czy przy założeniach takich jak w punkcie (a) opłacalne byłoby zwiększenie czasu pracy maszyny M 2 o 50%? 14

Rozwiązanie a) N-4, S-6, F-4 tys. ryz, przychód 232 tys. zł, b) nie, c) tak, d) N-7, S-3, F-2 tys. ryz, przychód 196 tys. zł, e) N-4,75, S-12,75, F-1 tys. ryz, przychód 253 tys. zł. 2. Mając ostatnią tablicę simpleksową: c j 12 18 12 0 0 rozw. x B c B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 18 0 1 450 x 1 12 1 0 100 m z j = i 1 a ij c ib 12 18 5 9300 d j =c j -z j 5 6-5 dla rozwiązanego zadania 2 z pliku badania operacyjne 2: z = 12 x 1 + 18 x 2 + 18 x 3 MAX 1,5 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 < 1500 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 < 1200 x 1, x 2, x 3 > 0 dokonać analizy wrażliwości rozwiązania na zmianę współczynników funkcji celu i ograniczeń. 15