METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania

Transkrypt

1 METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed przystąpieniem do rozwiązania zapoznaj się z matematycznymi funkcjami Excela: MACIERZ. ILOCZYN, SUMA. ILOCZYNÓW oraz z narzędziem Solver. Informacje uzyskasz korzystając z opcji pomocy. Przykłady przygotowania danych do rozwiązania zadań z wykorzystaniem Solvera zamieszczono w pliku Excela MOO-przykłady.

2 Zad.. W fabryce wytwarza się produkty I i II. Wytworzenie jednostki produktu I wymaga zużycia 8 jednostek surowca A i jednostek surowca B. Wyprodukowanie zaś jednostki produktu II jednostek surowca A i jednostek surowca B. Dostawy surowców w każdym dniu wynoszą odpowiednio jednostek surowca A i jednostek surowca B. Zysk ze sprzedaży jednostki produktu I wynosi 9 zł, produktu II 8 zł. Zakładając, że cała dzienna produkcja zostanie sprzedana, wyznacz jej wysokość w odniesieniu do każdego produktu, by otrzymać maksymalny zysk. Sformułuj też i rozwiąż zadanie dualne. Zad.. Dyrekcja przedsiębiorstwa rozważa podjęcie produkcji trzech nowych wyrobów W, W, W. O ewentualnym ograniczeniu produkcji tych wyrobów stanowią zasoby dwóch surowców S i S. Miesięczne limity surowców wynoszą: S kg, S 8 kg. Normy zużycia surowców przy produkcji poszczególnych wyrobów podano w tab.. Zysk osiągany na jednostce wyrobu W wynosi zł, W zł, W zł. Które z wyrobów i w jakiej ilości powinno produkować przedsiębiorstwo, by osiągnąć maksymalny zysk, nie przekraczając zużycia surowców S i S? Tab.. Zużycie surowców (kg /jedn.) Surowce W W W S S Zad.. Dwa gatunki węgla: A i B zawierają zanieczyszczenia fosforem i popiołem. W pewnym procesie przemysłowym potrzeba co najmniej 9 t paliwa zawierającego nie więcej niż.% fosforu i nie więcej niż % popiołu. Procent zanieczyszczeń i ceny zakupu poszczególnych gatunków węgla podano w tab.. Jak zmieszać wymienione dwa gatunki węgla, aby uzyskać paliwo o możliwie najniższym koszcie, spełniające wyżej wymienione wymagania. Czy skład paliwa należy zmienić, gdy cena gatunku B wzrośnie do zł /t? Tab.. Procentowe zanieczyszczenie Cena w zł /t Węgiel fosforem popiołem A. B. 8 Zad.. Trzy magazyny: M, M, M zaopatrują w paliwo czterech odbiorców: O, O, O, O. Jednostkowe koszty transportu w zł/t, oferowane miesięczne wielkości dostaw A i (w tonach) oraz miesięczne zapotrzebowanie odbiorców B j (w tonach) podano w tab.. Należy

3 opracować plan przewozu paliwa z magazynów do odbiorców, minimalizujący całkowity koszt transportu. Tab.. Magazyn Odbiorca A i O O O O M 7 M 8 7 M B j Jak wyglądałoby rozwiązanie zadania, gdyby miesięczna wielkość dostaw magazynu M wynosiła t, zamiast 7 t, zakładając zerowe koszty magazynowania? Czy zmieni się drugie rozwiązanie, gdy koszty magazynowania wyniosą: w M - zł /t, w M zł /t, w M zł /t? Zad.. Na trzech typach krosien można produkować pięć rodzajów tkanin. Wydajność krosien w m/h przy produkcji poszczególnych tkanin oraz dopuszczalne czasy pracy krosien podano w tab.. Należy rozdzielić produkcję tkanin między poszczególne typy krosien tak, aby wyprodukować co najmniej m tkaniny, m tkaniny, 8 m tkaniny, m tkaniny i 7 m tkaniny, minimalizując łączny czas pracy krosien. Tab.. Krosno Wydajność w m/h przy produkcji tkaniny Dopuszczalny czas pracy w h A 8 B C Zad.. Rozwiąż zad.. zakładając, że wysokości dziennej produkcji produktu I i produktu II są liczbami całkowitymi. Zad. 7. Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o dł..7 m oraz belek o dł.. m. W jaki sposób powinno być zrealizowane zamówienie, by odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o dł.. m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu? Wskazówka: Rozpocznij od ustalenia sposobów cięcia dłużyc.

4 Zad. 8. Do wyprodukowania drążków o trzech długościach:. m,. m,. m, których ilości powinny odpowiadać proporcjom :: przeznacza się prętów o długości m. Należy określić program cięcia prętów zapewniający maksymalną liczbę kompletów drążków. Wskazówka: Rozpocznij od ustalenia sposobów cięcia. Zad. 9. Do pojemników o objętości cm należy zapakować rodzaje przedmiotów o objętościach, odpowiednio. cm, cm, cm, 8 cm w ilościach, odpowiednio:,,, sztuk. Ustalone przez producenta pięć sposobów pakowania określa macierz A=[a ij ], w której a ij oznacza liczbę sztuk i tego przedmiotu, zapakowanych do jednego pojemnika według j tego sposobu ( i =,...,, j =,...,) A = Ile pojemników należy zapakować każdym ze sposobów, by łączna ich liczba była jak najmniejsza? Zad.. Dane są cztery typy przedmiotów. Każdy typ jest scharakteryzowany przez ciężar i wartość jednej sztuki o następujących danych liczbowych (ciężar, wartość): (, ), (, ), (, ), (, 8). Należy wybrać liczbę sztuk poszczególnych typów tak, by łączny ciężar nie przekraczał a łączna wartość była maksymalna. Zad.. Mamy cztery maszyny i czterech obsługujących je robotników. Wydajność każdego robotnika na poszczególnych maszynach, mierzona liczbą detali, które ten robotnik może wykonać na danej maszynie w ciągu godziny przedstawiono w tab.. Należy ustalić taki przydział robotników do maszyn, aby łączna wydajność całego zespołu była maksymalna. Tab.. W ij R R R R M 7 8 M 9 8 M 9 7 M 7 9 W ij wydajność robotnika R j na maszynie M i

5 Zad.. Chcemy wykonać niezależnych i niepodzielnych zadań na trzech równoległych procesorach w minimalnym czasie. Czasy wykonania poszczególnych zadań są identyczne dla każdego procesora i wynoszą kolejno:,,,, sekundy. Rozwiązując odpowiedni problem programowania binarnego zaproponuj uszeregowanie zadań. Sporządź diagram Gantta. Czy otrzymane rozwiązanie jest jednoznaczne? Zad.. Rozwiąż zad.. dla zadań i procesorów przyjmując czasy wykonania zadań, kolejno: 7,,,,, sekundy. Zad.. Chcemy wykonać niezależnych, ale podzielnych zadań na procesorach w minimalnym czasie. Czasy wykonania poszczególnych zadań są jednakowe dla każdego procesora i wynoszą, kolejno:,,,, sekundy. Korzystając z rozwiązania odpowiedniego problemu programowania liniowego oraz algorytmu McNaughtona przedstaw uszeregowanie zadań na wykresie Gantta. Jak wyglądałby wykres dla zadań niepodzielnych? Zad.. Wyznacz najkrótszą drogę z Warszawy do Sofii na podstawie danych z tab.., przedstawiających odległości między miastami pośrednimi. Podróżować można jedynie od miasta w pierwszej kolumnie do miasta z tego samego wiersza drugiej kolumny. Narysuj odpowiedni graf skierowany, ponumeruj jego węzły, zapisz zadanie jako problem binarnej optymalizacji liniowej i rozwiąż je w Excelu. Tab.. Początek odcinka drogi Warszawa Warszawa Warszawa Katowice Katowice Zakopane Lwów Wiedeń Zagrzeb Bukareszt Koniec odcinka drogi Katowice Zakopane Lwów Wiedeń Bukareszt Zagrzeb Zagrzeb Bukareszt Sofia Sofia Sofia Odległość w km

6 Zad.. Rozwiąż zadanie znalezienia najkrótszej drogi z węzła do węzła w sieci scharakteryzowanej w tab. 7. Podobnie jak w zad.. można poruszać się od węzła z kolumny pierwszej do odpowiedniego węzła z kolumny drugiej. W trzeciej kolumnie podano koszty przejścia. Narysuj graf, zapisz problem binarnej optymalizacji liniowej i rozwiąż go w Excelu. Tab. 7. początkowy końcowy Koszt w zł Zastanów się, czy przedstawione zadanie może stanowić interpretację następującego zagadnienia decyzyjnego. Firma poszukuje sposobu dzierżawienia systemu komputerowego, biorąc pod uwagę okres najbliższych sześciu lat i założenie, że cały system musi być wymieniony po upływie każdego roku lub po każdych dwóch latach pracy. W uzyskanej ofercie dzierżawy podano, że: (i) koszt nowego systemu na początku działalności wynosi zł i wzrasta z roku na rok o 8% (np. koszt nowego systemu na początku trzeciego roku działalności wynosi (ii).8 = 8 zł), wartość systemu zwracanego po jednym roku wynosi %, po dwóch latach % jego wartości początkowej (tzn. np., że wymiana na początku drugiego roku systemu zainstalowanego w roku pierwszym kosztuje. = zł). Należy rozstrzygnąć, w jakich latach wymieniać system, aby koszt dzierżawy w okresie najbliższych sześciu lat był minimalny (pośrednie dane liczbowe zaokrąglamy każdorazowo do najbliższej wartości całkowitej). Zad. 7. Dana jest sieć scharakteryzowana w tab. 8, w której zestawiono numery węzłów początkowych, numery węzłów końcowych, przepustowości łuków oraz jednostkowe koszty przepływu. Sporządź odpowiedni rysunek, oraz zapisz matematycznie i rozwiąż w Excelu: (a) zadanie maksymalnego przepływu, (b) zadanie najtańszego przepływu. W każdym przypadku wyznacz optymalne przepływy przez poszczególne gałęzie. Jako źródło przyjmij węzeł, jako ujście węzeł.

7 Tab. 8. początkowy końcowy Przepustowość Cena jednostkowa Zad. 8. Wyznacz maksymalny przepływ i odpowiadające mu przepływy przez gałęzie sieci scharakteryzowanej w tab. 9. Źródłem jest węzeł, ujściem węzeł. Tab. 9. początkowy końcowy Przepustowość Zad. 9. Popyt na pewne dobro w kolejnych latach scharakteryzowano w tab.. Tab.. rok t popyt p Metodą najmniejszych kwadratów znajdź parametry następujących modeli a) p = αt + β b) p = αt + βt + γ c) p = αt β Który z modeli najlepiej odpowiada danym z tabeli? Zadanie rozwiąż korzystając z opcji Excela wstaw linię trendu. 7

8 Zad.. J(x) = (x x ) + (-x ) (i) Wykreśl warstwice funkcji J dla J = c, przyjmując c =, c =. + Skorzystaj z zależności x = x -. [c-(-x ) ] ½, tablicując x dla x = -., -., -....,.,.. (ii) Startując z punktu x = -.9, x =. rozwiąż zadanie minimalizacji J(x) bez ograniczeń. Zbadaj, jak odbywały się poszukiwania, notując wartości rozwiązań w kolejnych iteracjach. Przyjmij zbieżność. oraz.. Uwaga: Rozwiązanie optymalne: x = x =., J =. (iii) Zadanie (ii) rozwiąż przyjmując dodatkowe ograniczenie x + x. Uwaga: Rozwiązanie optymalne x =.97, x =.88. Wyznacz je startując z różnych wartości początkowych x, x. 8