M1 M2 M3 Jednostka produkcyjna W1 6h 3h 10h h/1000szt 2zł W2 8h 4h 5h h/100szt 25zł Max. czas pracy maszyn:

Transkrypt

1 Zad. Programowanie liniowe Jakiś zakład produkcyjny, ma 3 różne maszyny i produkuje różne produkty. Każdy z produktów wymaga pewnych czasów każdej z 3ch maszyn (podane w tabelce niżej). Ile jakiego produktu należy wyprodukować, aby zarobić jak najwięcej. Wyroby/maszy ny M M M3 Jednostka produkcyjna W 6h 3h 0h h/000szt zł W 8h 4h 5h h/00szt 5zł Max. czas pracy maszyn:. Zmienne decyzyjne: 48h h 50h x, y R gdzie x wielkość produkcji W w tys. sztuk y wielkość produkcji W w setkach sztuk. Cel Maksymalizacja przychodu w złotych. max x 0 = 000x + 500y 3. Ograniczenia /* sens fizyczny: nie możemy produkować ujemnych ilości */ x >= 0 y >= 0 /* ograniczenia czasu pracy wynikające z tabelki */ 6x+8y <= 48 3x+4y <= 0x + 5y <= 50 /* model mamy już gotowy (wyznaczyliśmy zmienne decyzyjne, cel i ograniczenia) */ 4. Rozwiązanie Mamy proste: l : 6x+8y = 48 l : 3x+4y = l 3 : 0x + 5y = 50 oraz oczywiste: x = 0 y = 0 Zarabiamy na sztuce

2 I teraz parę informacji: rozwiązanie optymalne nie będzie znajdywało się wewnątrz ABC0, gdyż wtedy pozostaną nam niewykorzystane moce przerobowe, rozwiązanie optymalne będzie się znajdywało w którymś z punktów A, B lub C (może się zdarzyć, że rozwiązanie będzie się znajdywało na którymś z odcinków AB, BC, ale to nie w tym przykładzie) by znaleźć rozwiązanie optymalne wystarczy policzyć wartość funkcji celu dla każdego z punktów Liczymy wartość fun. celu dla każdego z punktów: A(0; 6) f(a) = 0*000zł + 6*500zł = 5000zł B(3.; 3.6) f(b) = 3.*000zł + 3.6*500zł = 5400zł C(5; 0) f(c) = 5 * 000zł + 0*500zł = 0000zł Punkt B jest lepszy od A i C, w tym tylko nieznacznie lepszy od punktu A. Odp. Dla największego zysku powinno się produkować 0 sztuk W i 360 sztuk W. Analiza parametryczna jak się zmienią rozwiązania optymalne w zależności od zmiany ceny W? Mamy (tu cena w tys złotych dla łatwiejszego liczenia): x 0 = x +,5y z paramerem będzie: x 0 = c*x +,5y f(a) = f(b) 0*c+6*.5 = 3.*c + 3.6*.5 5 = 3.c c = 6 c =.875 = 5/8 czyli: przy cenie W w przedziale (0;.875] (tys pln) optymalne rozwiązanie jest w punkcie A f(b) = f(c) 3.*c + 3.6*.5 = 5*c + 0*.5 9 =.8c c = 5 czyli: przy cenie W w przedziale [.875; 5] (tys pln) optymalne rozwiązanie jest w punkcie B, a w przedziale [5; + ) optymalnym rozwiązaniem jest C. Trzeba to jeszcze zilustrować: A B C c

3 min x 7x x, x x 0 3x x 0 Zad. Dane jest następujące zadanie programowania liniowego x x x 4 5x a) Przedstawić ilustrację graficzną zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni zmiennych x, x. b) Znaleźć graficznie rozwiązanie optymalne i wyliczyć odpowiadającą mu wartość funkcji celu. a) Ilustracja dopuszczalnych rozwiązań (oś Y`ów = x. oś X`ów - x ): l: 3x + x <= l: 7x + x >= 4 l3: x x <= l4: x, x >= 0 Odp. a) Dopuszczalne rozwiązania do zamalowany obszar wraz z ograniczającymi ten obszar prostymi. b) Znaleźć graficzne rozwiązanie: Tu przyda się np. linijka. Bierzemy funkcję celu dla np x 0 = 0, później przesuwamy linijkę kolejno zwiększając x 0 i patrzymy na jaki pierwszy punkt znajdujący się w rozwiązaniu optymalnym 'dojedziemy' linijką. W tym przypadku gołym okiem widać, że będzie to A. Liczymy współrzędne A z równania prostych l3 i l: wychodzi: x = 8/ x = 4/ A(4/, 8/) x 0 = x + 5x = *8/ + 5 * 4/ = 36/ + 70/ = 06/ = 9 i 7/ Możemy jeszcze dla przykładu sprawdzić punkt D: D(7, 0) x 0 = x + 5x = *0 + 5 * 7 = 35

4 Jak widać funkcja celu jest większa (a my szukamy minimalnej) Zad 3. Planowanie Przedsięwzięcie składa się z operacji A, B, C, D, E, F i G o znanych czasach trwania i relacjach poprzedzania. Operacja A B C D E F G Czas trwania Operacje poprzednie - A A,F A,F D - B,C a) Wyznaczyć minimalny czas trwania przedsięwzięcia T min oraz zapasy całkowite operacji B i D. b) Wyznaczyć terminy rozpoczęcia poszczególnych operacji zapewniające wykonanie całego przedsięwzięcia w czasie T min przy jednoczesnym spełnieniu następujących warunków: operacja B rozpoczyna się w najpóźniejszym możliwym terminie, wykorzystuje się połowę zapasu operacji D, jaki pozostał po ustaleniu terminu operacji B (w przypadku zapasu o nieparzystej liczby dni N+ operacja D rozpoczyna się po wykorzystaniu N dni zapasu), po ustaleniu terminów rozpoczynania B i D każda z pozostałych operacji jest rozpoczynana w najwcześniejszym możliwym obecnie terminie. (nie uwzględniamy jeszcze wypunktowanych wyżej założeń to ma być example, który ma pokazać jak to wygląda w najprostszej postaci, później wprowadzimy założenia). Przedstawiamy to za pomocą grafu (operacje wierzchołki) : A F B C D G E. Tworzymy graf krawędziowy do w/w A (5) F(7) B(3) C(0) D(5) E(5) G(4) Mając ten drugi graf powinniśmy wiedzieć, iż majkrótszy czas przedsięwzięcia = najdłuższej ścieżce od do n. Szukamy i mamy tę ścieżkę: F,C,G = 7+0+4= Więc minimalny czas przedsięwzięcia wynosi. Teraz numerujemy graf, a robimy to tak: bierzemy pierwszy wierzchołek, do którego nie dochodzi żadna ścieżka i nadajemy mu kolejny nr (od ), później zmazujemy ścieżki wychodzące z tego wierzchołka i czynność powtarzamy. Jeśli operacja się nie powiodła, to znaczy, że zjebaliśmy coś w grafie mamy cykl.

5 Mamy: A (5) F(7) 5 3 B(3) 4 7 C(0) 6 D(5) 9 8 G(4) E(5) 0 b) mamy: wyznaczyć minimalny termin rozpoczęcia każdej operacji żeby całość zmieściła się w czasie T min Dla każdego wierzchołka musimy policzyć s i czyli najdłuższą ścieżkę od wierzchołka do i Wierzchołki to zdarzenia, a łuki to operacje. Licząc te czasy dla wierzchołków banalnie jest perzerobic to na czsy dla operacji patrząc na graf. Zdarzenie s i Z tego mamy dla operacji: Operacja A B C D E F G s i (a jak to będzie wyglądało z uwzględnionymi wpunktowanych wyżej założeniami?) Pierwszy graf bez zmian, jednak graf krawędziowy do pierwszego lekko zmodyfikujemy: Założenie: B zaczynamy w najpóźniejszym możliwym terminie rozpoczęcia operacji. Taki termin wyrażony jest wzorem: T = s n l j - p ij czyli przekładając na nasz język, dla B: T = (długość najdłuższej ścieżki od wierzchołka do n) (długość najdłuższej ścieżki z wierzchołka kończącego operację B do wierzchołka n) (długość operacji B) czyli najpóźniejszy termin rozpoczęcia operacji B = (7+0+4) (4) (3) = 7 = 4 Jak to zilustrować na grafie? można dodać wierzchołek między 3, a 4 i przypisać połączeniu wartość (Bmax Bmin) = (4-5) = 9 Zmieni się także numeracja oczywiście i tak to będzie wyglądało: (Jeżeli powstała kolejna ścieżka dłuższa, od tej co poprzednio była najdłuższa - to coś zjebaliśmy :) )

6 A (5) F(7) Założenie: wykorzystuje się połowę zapasu operacji D, jaki pozostał po ustaleniu terminu operacji B (w przypadku zapasu o nieparzystej liczby dni N+ operacja D rozpoczyna się po wykorzystaniu N dni zapasu), Musimy policzyć jaki zapas ma operacja D, czyli mniej więcej tak jak przy B: Dmin = 7 (wierzchołki:, 6, 7) Dmax = (7+0+4) (5) - (5) = 0 = -7 = 4 chcemy floor(zapas/): floor(4/) = 6 3 (9) 4 B(3) 5 Poprawiamy graf, wstawiając wierzchołek przed operację D: 7 C(0) D(5) G(4) E(5) A (5) F(7) 6 3 (9) 4 B(3) 5 9 G(4) 8 C(0) 7 E(5) () 0 D(5) Ostatnie założenie jest już spełnione, więc: Dla zdarzeń: Zdarzenie s i Patrząc na graf przekształcamy powyższą tabelkę dla operacji, np. operacja B zaczyna się w wierzchołku 4, więc w B wpisujem wartość spod 4 z w/w tabelki. Operacja A B C D E F G s i I ta powyższa tabelka jest rozwiązaniem naszego zadania.

7 Zad 4. Planowanie Przedsięwzięcie składa się z operacji A, B, C, D, E, F i G o znanych czasach trwania i relacjach poprzedzania. Operacja A B C D E F G Czas trwania Operacje poprzednie A A, F A, F D - B, C a) Wyznaczyć minimalny czas trwania przedsięwzięcia T min. b) Wyznaczyć najpóźniejsze terminy, w których mogą rozpocząć się poszczególne operacje przy założeniu, że czas realizacji całego przedsięwzięcia nie przekroczy T min.. Przedstawiamy to za pomocą grafu (operacje wierzchołki) Tak samo jak w zadaniu wyżej bo treść ta sama.. Tworzymy graf krawędziowy do w/w Tak samo jak w zadaniu wyżej bo treść ta sama i mamy: A (5) F(7) 5 Znajdujemy najdłuższą ścieżkę od do n w grafie i wyliczamy najkrótszy czas przedsięwzięcia: (F, C, G) s n = = Liczymy dla każdej operacji najpóźniejszy czas rozpoczęcia zadania, jak to policzyć wyjaśniłem już w zadaniu wyżej, przypomnę krótko: T = s n l j - p ij dla (i,j): A: (, ): 4 5 = B: (3, 4): 4 3 = 4 C: (6, 7): 4 0 = 7 D: (6, 9): 5 5 = E: (9, 0): 0 5 = 6 F: (, 5): 4 7 = 0 G: (3, 4): 0 4 = 7 3 B(3) 4 7 C(0) 6 D(5) 9 8 G(4) 0 E(5) Operacja A B C D E F G T Teraz zostało tylko sformułować jakąś sensowną odpowiedź to już chyba każdy da radę. Przemyślenia: teoretycznie można by wywalić wierzchołki 4 i 7 nie zmieni nam to nic z punktu

8 widzenia obliczeń, a uprości graf. Zad 5. Przed procesorem oczekuje 5 zadań do wykonania. Czasy wykonywania zadań są następujące: p =, p =0, p 3 =0, p 4 =40, p 5 =. Zysk z wykonania poszczególnych zadań jest natomiast równy: z =0, z =40, z 3 =, z 4 =50, z 5 =60. Procesor jest dostępny przez 60 jednostek czasu. Należy określić, które zadania powinno się wykonać w tym czasie na procesorze, aby osiągnąć maksymalny sumaryczny zysk (przyjmujemy, że zadanie przynosi zysk jeżeli jest ono w całości wykonane). a) Sformułować model programowania liniowego dla powyższego zadania. b) Rozwiązać zadanie metodą programowania dynamicznego. c) Rozwiązać zadanie metodą podziału i oszacowań (ograniczeń) Rozwiązujemy: a) Sformułować model programowania liniowego dla powyższego zadania.. Zmienne decyzyjne: x i {0;} ( tak wykonujemy ten proces; 0 nie, nie wykonujemy go) gdzie: i numer procesu [; 5]. Cel Funkcja celu, maksymalizacja zysku: max x 0 = 0*x + 40*x + *x *x *x 5 3. Ograniczenia /* ograniczenia wynikające z czasu zajętości procesora */ *x + 0*x + 0*x *x 4 + *x 5 <= 60 /* to już w sumie mamy ujęte wyżej, ale napisać nie zaszkodzi */ 0 <= x <= 0 <= x <= 0 <= x 3 <= 0 <= x 4 <= 0 <= x 5 <= /* model mamy już gotowy (wyznaczyliśmy zmienne decyzyjne, cel i ograniczenia) */ b) Rozwiązać zadanie metodą programowania dynamicznego.. Definiujemy etapy: Etapami będą wykonywane kolejne procesy.. Definiujemy stany: Stanami będzie wykorzystanie czasu procesora. 3. Definiujemy decyzje: Będziemy decydować, czy wykonujemy konkretny proces, czy nie.

9 Rysujemy model: Stany: czas CPU P P P3 P4 P5 Etapy: wykonanie kolejnych procesów Teraz liczymy cośtam Bergmana ;) Czyli: idąc od początku (można też od końca) nad każdym stanem zapisujemy sumę zysków jeśli mamy jakiś wybór to wybieramy największą sumę. Patrzymy, gdzie nam suma wyjdzie maksymalna i odtwarzamy tą ścieżkę. [90] [90] 0 Stany: czas CPU 0 [0] [0] [0] 50 [0] 60 [60] [60] [60] [60] [00] [0] [70] [70] 60 [70] [40] [40] 50 [40] [40] [0] [0] [0] [0] [0] [0] P P P3 P4 P5 Etapy: wykonanie kolejnych procesów I czytamy z grafu odpowiedź: Wykonujemy procesy P i P5, zysk będzie wynosił 00, wykorzystamy 50 czasu procesora. c) Rozwiązać zadanie metodą podziału i oszacowań (ograniczeń) Nie wiem jak to zrobić!

10 Zad 6. Inwestor dysponuje środkami finansowymi o wartości 5 jednostek (tys. zł). Rozpatruje możliwości zainwestowania tych środków w 3 różne przedsięwzięcia. Spodziewane zyski z poszczególnych przedsięwzięć w zależności od nakładów opisuje poniższa tabela. Zysk I II III Należy określić ile środków powinien przeznaczyć inwestor na każde z przedsięwzięć, aby osiągnąć maksymalny zysk. Rozwiązać zadanie metodą programowania dynamicznego. W tym cel a) określić stany i etapy dla powyższego zadania b) narysować graf przejść między stanami c) wyznaczyć optymalną trajektorię d) zapisać rozwiązanie tzn. osiągnięty zysk oraz wielkość środków przeznaczonych na każde z przedsięwzięć Definiujemy etapy: Etapami będą kolejne przedsięwzięcia Definiujemy stany: Będzie to ilość przydzielonych środków Więcej nie będzie. a) określić stany i etapy dla powyższego zadania